1、2021-2022 学年江苏省八年级数学上册第学年江苏省八年级数学上册第 3 章勾股定理竞赛题精选章勾股定理竞赛题精选 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2015永春县自主招生）已知ABC 的三边长分别为 a，b，c 且 a+b4，ab1，c，则 ABC 的形状为（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定 2 （4 分） （2006宁波校级自主招生）设直角三角形的三边长分别为 a、b、c，若 cbba0，则 （ ） A2 B3 C4 D5 3 （4 分） （2017延平区校级自主招生）如图，在四边形
2、 ABCD 中，B135，C120，AB， AD1+，CD2，则 BC 边的长为（ ） A2 B C D 4 （4 分） （2017奉化市自主招生）如图，在ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，若ACB90， BE4，AD7，则 AB 的长为（ ） A10 B5 C2 D2 5 （4 分） （2015长沙校级自主招生）在 RtABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA，PC 5，则 PB 的值（ ） A B C或 D 6 （4 分） （2013船山区校级自主招生）若直角三角形的两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，斜边上的高为 h，则有（ ） Aabh2 B C Da2+
3、b22h2 7 （4 分） （2012桃源县校级自主招生）如图，是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方 形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 X、Y 表示直角三角形的两直角边（XY） ， 请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ） AX2+Y249 BXY2 C2XY+449 DX+Y13 8 （4 分） （2007温州校级自主招生）已知直角三角形有一条直角边的长是质数 n，另外两条边长是两个连 续自然数，那么它的周长是（ ） An2+1 Bn21 Cn2+n Dn2n 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题
4、 5 分）分） 9 （5 分） （2015 秋深圳校级期中）如图，分别以 RtXYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、 BCYX、DEZY，若直角边 YZ1，XZ2，则六边形 ABCDEF 的面积为 10 （5 分） （2012岳麓区校级自主招生）如图 RtABC 中，AC12，BC5，分别以 AB，AC，BC 为直 径作半圆，则图中阴影部分的面积为 11 （5 分） （2018镜湖区校级自主招生）如图，RtABC 中，ACB90，AC2，BC3，点 M 是直 线 BC 上一动点，且CAM+CBA45，则 BM 的长为 12 （5 分） （2015鼓楼区校级自主招生）已知直角三角形
5、的周长为 14，斜边上的中线长为 3则直角三角 形的面积是 13 （5 分） （2019武昌区自主招生）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称 其为“赵爽弦图” （如图 1） 图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正 方形 ABCD， 正方形 EFGH， 正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3 若 S1+S2+S321， 则 S2的值是 14 （5 分） （2020浙江自主招生）在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA， PC5，则 PB 三解答题（共三解答题（共 4 小题，满分小题，满分 38 分）分）
6、 15 （8 分）如果，已知：D 为ABC 边 AB 上一点，且 AC，AD2，DB1，ADC60，求BCD 的度数 16 （10 分） （2019和平区校级自主招生）如图，在四边形 ABCD 中，BC，ABC90，BD 平分 ABC，BDCA30，求 AD 的长 17 （10 分） （2012乐平市校级自主招生）如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，D、E 是边 AB 上 的两点，AD3，BE4，DCE45，则ABC 的面积是多少？ 18 （10 分） （2016和平区校级自主招生）如图，在ABC 中，A90，ABAC6，点 E 为 AC 中点， FEBE 与 BC 边交于点 F，求线段
7、 EF 的长 2021-2022 学年江苏省八年级数学上册第学年江苏省八年级数学上册第 3 章勾股定理竞赛题精选章勾股定理竞赛题精选 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2015永春县自主招生）已知ABC 的三边长分别为 a，b，c 且 a+b4，ab1，c，则 ABC 的形状为（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定 【分析】利用完全平方公式可得 a2+b214，再根据勾股定理逆定理可得ABC 的形状为直角三角形 【解答】解：a+b4， （a+b）216， a2+b2+2ab16， ab1， a2
8、+b214， c214， a2+b2c2， ABC 的形状为直角三角形， 故选：C 【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用 关键是掌握勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形 2 （4 分） （2006宁波校级自主招生）设直角三角形的三边长分别为 a、b、c，若 cbba0，则 （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据已知条件判断 c 是斜边，并且得到 c+a2b，然后根据勾股定理得到 c2a2b2，然后因式 分解可以求出 ca，代入要求的式子可以求出结果了 【解答】解：cbba0 cba，c+a2b 根据勾股定理得，c2
9、a2b2， （c+a） （ca）b2， cab 4 故选：C 【点评】此题主要利用了勾股定理和因式分解解题，题目式子的值不能直接求出，把它的分子分母分别 用 b 表示才能求出 3 （4 分） （2017延平区校级自主招生）如图，在四边形 ABCD 中，B135，C120，AB， AD1+，CD2，则 BC 边的长为（ ） A2 B C D 【分析】 作 AEBC 于 E， DFBC 于 F， AHDF 于 H，如图，先计算出ABE45， DCF60， 再利用等腰直角三角形的性质和含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 AEBEAB，CF ， DF， 接着利用四边形 AHFE 为矩形得到 AH
10、EF， HEAE， 所以 DH， 在 RtADH 中， 根据勾股定理计算出 AH2+，则 EF2+，然后计算 EFFCBE 即可 【解答】解：作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，AHDF 于 H，如图， B135，C120， ABE45，DCF60， 在 RtABE 中，AEBEAB， 在 RtDCF 中，CFCD，DFCF， 易得四边形 AHFE 为矩形， AHEF，HEAE， DH， 在 RtADH 中， AH（2+） 2+， EF2+， BCEFFCBE2+2 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的 平方也考查了含 30
11、度的直角三角形三边的关系解决此题的关键是构建直角三角形 4 （4 分） （2017奉化市自主招生）如图，在ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，若ACB90， BE4，AD7，则 AB 的长为（ ） A10 B5 C2 D2 【分析】设 ECx，DCy，则直角BCE 中，x2+4y2BE216，在直角ADC 中，4x2+y2AD249， 解方程组可求得 x、y，在直角ABC 中，AB 【解答】解：设 ECx，DCy，ACB90， 在直角BCE 中，CE2+BC2x2+4y2BE216， 在直角ADC 中，AC2+CD24x2+y2AD249， 解得 x2，y1 在直角ABC 中，AB
12、2 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角BCE 和直角ADC 求 DCBC 的长度是解题的关键 5 （4 分） （2015长沙校级自主招生）在 RtABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA，PC 5，则 PB 的值（ ） A B C或 D 【分析】先依据题意作一三角形，再结合图形进行分析，在等腰直角ABC 中，已知 PA、PC，通过辅 助线求出 AD，DC 及 PD 边的长，进而 PB 可求 【解答】解：如图所示，过点 B 作 BEAC，过点 P 作 PD，PF 分别垂直 AC，BE 在APD 中，PA2PD2+AD25， 在PCD 中
13、，PC2PD2+CD2，且 AD+CD5 解得 AD，CD，PD， 在 RtABC 中，BEAE， 所以在 RtBPF 中，PB2PF2+BF2（）2+（）210， PB 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用会画出简单的图形辅助解题 6 （4 分） （2013船山区校级自主招生）若直角三角形的两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，斜边上的高为 h，则有（ ） Aabh2 B C Da2+b22h2 【分析】根据三角形的面积求法，可将斜边的高 h 用两直角边表示出来 【解答】解：abch h 故选：C 【点评】本题主要考查勾股定理和直角三角形的面积求法 7 （4 分） （
14、2012桃源县校级自主招生）如图，是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方 形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 X、Y 表示直角三角形的两直角边（XY） ， 请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ） AX2+Y249 BXY2 C2XY+449 DX+Y13 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可 【解答】解：A 中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确； B 中，根据小正方形的边长是 2 即可得到，正确； C 中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确； D 中，根据 A，C 联立结合完全平方公式可以求得
15、x+y，错误 故选：D 【点评】根据各部分图形的面积的关系和勾股定理即可证明有关 x，y 的一些等式 8 （4 分） （2007温州校级自主招生）已知直角三角形有一条直角边的长是质数 n，另外两条边长是两个连 续自然数，那么它的周长是（ ） An2+1 Bn21 Cn2+n Dn2n 【分析】假设另外两边，根据勾股定理适当变形，即可解答 【解答】解：设另外两个数是 x、y（xy） 则 x2y2n2， 即（x+y） （xy）n2， xy1， x+yn2， 三角形的周长是 x+y+nn2+n 故选：C 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 30
16、分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） （2015 秋深圳校级期中）如图，分别以 RtXYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、 BCYX、DEZY，若直角边 YZ1，XZ2，则六边形 ABCDEF 的面积为 【分析】首先根据勾股定理求出 XY，那么可求出三个正方形和XYZ 及EFZ 的面积，再根据已知图形 可求出DYC180XYZ， AXB180YXZ，那么也能求出CDY 和ABX 的面积三个正方形和四个三角形面积的和就是 六边形 ABCDEF 的面积 【解答】解：在 RtXYZ 中，根据勾股定理得： XY2YZ2+XZ212+225， XY sinYXZ，sinXYZ
17、， 所以得： 正方形 AXZF 的面积224， 正方形 DEZY 的面积111， 正方形 BCYX 的面积5， XYZ 的面积121， EFZ 的面积121， 又AXB3609090YXZ180YXZ， 同理：DYC180XYZ， 已知正方形 AXZF、BCYX、DEZY， AX2，DY1，BXCY， ABX 的面积AXBXsinAXBAXBXsin（180YXZ） AXBXsinYXZ21， 同理：CDY 的面积CYDYsinXYZ11 六边形 ABCDEF 的面积正方形 AXZF 的面积+正方形 DEZY 的面积+正方形 BCYX 的面积+XYZ 的面 积+EFZ 的面积+ABX 的面积+
18、CDY 的面积 4+1+5+1+1+1+114 故答案为：14 【点评】此题是勾股定理、正方形面积、三角形面积知识的综合运用关键是根据勾股定理求出 XY，再 是表示出DYC180XYZ 和AXB180YXZ 10 （5 分） （2012岳麓区校级自主招生）如图 RtABC 中，AC12，BC5，分别以 AB，AC，BC 为直 径作半圆，则图中阴影部分的面积为 【分析】利用勾股定理列式求出 AB，再根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半圆的面积加上 ABC 的面积减去大半圆的面积，列式计算即可得解 【解答】解：AC12，BC5， AB13， 阴影部分的面积（）2+（）2+125（）2 +30
19、 30 故答案为：30 【点评】 本题考查了勾股定理， 半圆的面积， 熟记定理并观察图象表示出阴影部分的面积是解题的关键 11 （5 分） （2018镜湖区校级自主招生）如图，RtABC 中，ACB90，AC2，BC3，点 M 是直 线 BC 上一动点，且CAM+CBA45，则 BM 的长为 【分析】延长 CA 到 E，使 CEBC3，连接 BE，作 AFBE，可求EEBC45，根据勾股定理 可求 AB，AF，EF，BF 的长度，可证ABFAMC，可得 CM 的长度，即可求 BM 的长度 【解答】解：若点 M 在 BC 上， ：如图：延长 CA 到 E，使 CEBC3，连接 BE，作 AFBE
20、 BCCE3，C90，AC2 AE1，EEBC45 AFBE， EEAF45 AFEF 且 AE1 根据勾股定理可得 EFAF BC3，AC2 AB 在 RtABF 中，BF EBA+ABC45，CAM+CBA45 MACEBA，且CAFB90 ABFAMC CM BMBCCM3 若点 M 在 BC 延长线上，可得 BMBC+CM 故答案为或 【点评】 本题考查了勾股定理， 相似三角形的判定和性质， 关键是构造直角三角形用勾股定理解决问题 12 （5 分） （2015鼓楼区校级自主招生）已知直角三角形的周长为 14，斜边上的中线长为 3则直角三角 形的面积是 【分析】由ACB90，CD 是斜边
21、上的中线，求出 AB6，根据 AB+AC+BC14，求出 AC+BC，根 据勾股定理得出 AC2+BC2AB236 推出 ACBC14，根据 SACBC 即可求出答案 【解答】解：如图，ACB90，CD 是斜边上的中线， AB2CD6， AB+AC+BC14， AC+BC8， 由勾股定理得：AC2+BC2AB236， （AC+BC）22ACBC36， ACBC14， SACBC7 故答案为：7 【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握， 能根据性质求出 ACBC 的值是解此题的关键 13 （5 分） （2019武昌区自主招生）我国汉代数学家赵爽为
22、了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称 其为“赵爽弦图” （如图 1） 图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正 方形 ABCD， 正方形 EFGH， 正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3 若 S1+S2+S321， 则 S2的值是 【分析】根据图形的特征得出四边形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y， 从而用 x，y 表示出 S1，S2，S3，得出答案即可 【解答】解：将四边形 MTKN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y， 正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S
23、1，S2，S3，S1+S2+S321， 得出 S18y+x，S24y+x，S3x， S1+S2+S33x+12y21， x+4y7， S2x+4y7 故答案为 7 【点评】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用 x，y 表示出 S1，S2，S3，再利用 S1+S2+S320 求出是解决问题的关键 14 （5 分） （2020浙江自主招生）在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA， PC5，则 PB 【分析】先依据题意作一三角形，再结合图形进行分析，在等腰直角ABC 中，已知 PA、PC，通过辅 助线求出 AD，DC 及 PD 边的长，进而 PB 可求 【解答】解：如
24、图所示，过点 B 作 BEAC，过点 P 作 PD，PF 分别垂直 AC，BE 在APD 中，PA2PD2+AD25， 在PCD 中，PC2PD2+CD2，且 AD+CD5， 解得 AD，CD，PD， 在 RtABC 中，BEAE， 所以在 RtBPF 中，PB2PF2+BF210， 所以 PB 【点评】熟练掌握勾股定理的运用会画出简单的图形辅助解题 三解答题（共三解答题（共 4 小题，满分小题，满分 38 分）分） 15 （8 分）如果，已知：D 为ABC 边 AB 上一点，且 AC，AD2，DB1，ADC60，求BCD 的度数 【分析】过 C 作 CEAB 于 E，要想求BCD 的度数，只
25、需求出BCE 的度数即可设 DEx，在 Rt DCE 中，ADC60，可求出 CE 的长；在 RtAEC 中，可根据勾股定理列出等式，从而求出 x 的 值，继而得出 BECE，求出BCE 的值 【解答】解：过 C 作 CEAB 于 E， 设 DEx，则 AE2x， 在 RtDCE 中，ADC60， CEx， 在 RtAEC 中， 根据勾股定理得：AE2+CE2AC2， （2x）2+（x）2（）2， 解得：， BECE， 又BEC90， BCE45， 又DCE90ADC906030， BCDBCEDCE15 【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，关键是正确作出辅助线，平时应注意多总结这类题
26、目 的解题思路及勾股定理的灵活运用 16 （10 分） （2019和平区校级自主招生）如图，在四边形 ABCD 中，BC，ABC90，BD 平分 ABC，BDCA30，求 AD 的长 【分析】 过点 D 作 DEAB 于点 E， 过点 C 作 CFBD 于点 F， 由直角三角形的性质求出 CFBF， 求出 DE 的长，则可得出答案 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于点 E，过点 C 作 CFBD 于点 F， ABC90，BD 平分ABC， DBEDBC45， BC， CFBF， DF3， BD3+， DEB90， DEBD， A30， AD2DE3+ 【点评】 本题考查了勾股定理， 角平分
27、线的性质， 直角三角形的性质， 熟练掌握勾股定理是解题的关键 17 （10 分） （2012乐平市校级自主招生）如图，在ABC 中，ACBC，ACB90，D、E 是边 AB 上 的两点，AD3，BE4，DCE45，则ABC 的面积是多少？ 【分析】设 DEx，则 AB7+x，根据勾股定理，证明ACECDEBDC，列出关于 x 方程，解 出 x，再计算ABC 的面积 【解答】解：ACBC，ACB90， ABCCAB45， 设 DEx，则 ABAD+BE+DE3+4+x7+x， DCECAEDBC45，AECCED，BDCCDE， ACECDEBDC， 设 CDa，CEb， 则有以下等式： x：b
28、b：3+x，x：aa：4+x，x：ab：AC， 整理得，b2x（x+3） ，a2x（x+4） ，xACab， 则 x2（x+3） （x+4）a2b2x2AC2， 解得，x5； AB12， ACBC6， SABCACBC6636， 答：ABC 的面积是 36 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及列方程求解的能力；熟 练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键 18 （10 分） （2016和平区校级自主招生）如图，在ABC 中，A90，ABAC6，点 E 为 AC 中点， FEBE 与 BC 边交于点 F，求线段 EF 的长 【分析】过点 E 作底边 BC 上的高 ED，由BCE 的面积，可求 ED 的长；在BEF 中，根据三角形面积 求法，可求 BF 的长，可得结论 【解答】解：作 EHBC 于 H，如图， A90，ABAC6， BCAB6，C45， 点 E 为 AC 的中点， AECE3， CEH 为等腰直角三角形， EHCH， BH6， 在 RtABE 中，BE3， EHBF， BE2BHBF， 即 BF5， HFBFBH5， EF 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关 键
