1、第三章第三章 函数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)x32x23x6 在区间2，4上的零点必定属于( ) A.2，1 B.2.5，4 C.1，1.75 D.1.75，2.5 答案 D 解析 f(2)280， f(1)40， f(1.75)1.515 6250. f(x)在2，4上的零点必定属于1.75，2.5.故选 D. 2.函数 f(x) 1x1 x的定义域是( ) A.1，) B.(，0)(0，) C.1，0)(0，) D.R 答案 C
2、解析 由 1x0， x0， 解得1x0，区间表示为1，0)(0，)，故选 C. 3.若方程 f(x)20 在(，0)内有解，则 yf(x)的图像可能是( ) 答案 D 解析 A 中，与直线 y2 的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B 中，与直线 y2 无交 点，不符合题意，故不正确；C 中，与直线 y2 在区间(0，)上有交点，不符合题意，故 不正确；D 中，与直线 y2 在(，0)上有交点，故正确.故选 D. 4.已知函数 f(x)ax22x1 在区间(1，1)和(1，2)上分别有一个零点，则实数 a 的取值范围 是( ) A.(3，1) B. 3 4，1 C. 3，3 4 D.(，
3、3) 3 4， 答案 B 解析 由零点存在定理知，只需满足 f（1）f（1）0， f（1）f（2）0， 解得3 4a0 时，f(x)x22x，则 f(x)在3，1上是( ) A.增函数，最小值为1 B.增函数，最大值为1 C.减函数，最小值为1 D.减函数，最大值为1 答案 C 解析 f(x)x22x，图像为开口向下，对称轴为 x1 的抛物线， 所以 f(x)在1，3上是减函数. 因为 f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以函数 f(x)在3，1上也是减函数. 所以在3，1上，f(x)maxf(3)f(3)(3223)3， f(x)minf(1)f(1)(1221)1，故 C 正确. 6.已
4、知函数 f(x) x 2ax7 （x1）， a x （x1） 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是( ) A.4，0) B.(，2 C.4，2 D.(，0) 答案 C 解析 f(x)在 R 上为增函数， 需满足 a 21， a0，则满足 f(12x)f 1 3 0 的 x 的范围是( ) A. 1 3， 2 3 B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 2 3 D. 1 2， 2 3 答案 A 解析 由题意，f(x)在(，0上是增函数，又 f(x)是定义域为 R 的偶函数，故 f(x)在0，) 上是减函数.由 f(12x)f 1 3 0 可得 f(12x)f 1 3 f 1 3 ，所以1
5、 312x 1 3，解得 1 3x 2 3. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.已知 f(x) x2，x1， x2，1x2， 2x，x2， 若 f(x)1，则 x 的值是( ) A.1 B.1 2 C. 3 D.1 答案 AD 解析 根据题意，f(x) x2，x1， x2，1x2， 2x，x2， 若 f(x)1，分 3 种情况讨论：当 x1 时，f(x)x21，解可得 x1；当1x2 时，f(x)x21，解可得 x 1，又由1x2，则 x1
6、；当 x2 时，f(x)2x1，解可得 x1 2，舍去，综合可得：x1 或1.故选 AD. 10.若函数 yx24x4 的定义域为0，m，值域为8，4，则实数 m 的值可能为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 ABC 解析 函数 yx24x4(x2)28，当 x2 时，y8，令 yx24x44，得 x0 或 x4，若函数 yx24x4 的定义域为0，m，值域为8，4，则需满足 2m4，故 选 ABC. 11.若函数 yf(x)的图像如图所示，则下列描述正确的是( ) A.函数 f(x)的定义域为4，4) B.函数 f(x)的值域为0，) C.此函数在定义域内是增函数 D.对于任意的
7、y(5，)，都有唯一的自变量 x 与之对应 答案 BD 解析 由图可知，函数 f(x)的定义域为4，01，4)，故 A 错误；函数 f(x)的值域为0， )，故 B 正确；函数 f(x)在定义域内不是单调函数，有两个单调增区间为4，0，1，4)， 故 C 错误；对于任意的 y(5，)，都有唯一的自变量 x 与之对应，故 D 正确.故选 BD. 12.已知定义域为(，)的偶函数 f(x)的一个单调递增区间是(2，6)，关于函数 yf(2x) 的下列说法中正确的是( ) A.一个递减区间是(4，8) B.一个递增区间是(4，8) C.其图像对称轴方程为 x2 D.其图像对称轴方程为 x2 答案 B
8、C 解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(2x)f(x2)，把 f(x)的图像向右平移 2 个单位，可以得到 f(x2)的图像，又 f(x)的一个单调递增区间是(2，6)，所以 f(x2)的一个单调递增区间是(4， 8)；函数 f(x)是偶函数，图像关于 y 轴对称，所以 f(x2)的图像关于直线 x2 对称，故选 BC. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知函数 f(x)是定义在1，a上的奇函数，则 a_，f(0)_.(第一个空 2 分，第二个空 3 分) 答案 1 0 解析 根据题意，函数 f(x)是定义在1，a上的奇函数，则1a0，解可得 a1，即
9、 f(x) 的定义域为1，1，则 f(0)0. 14.已知函数 f(x)ax2(b2)x3 是定义在a1，a的偶函数，则 ab_. 答案 1 解析 由题意得 a1a0， b20， 所以 a1 2， b2， ab1. 15.如果函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0，则另一个零点是_. 答案 3 解析 函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0，则 f(0)0，m30，m3，则 f(x) x23x，于是另一个零点是 3. 16.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售，每天可卖出 100 个.若每个涨价 1 元，则日销售 量减少 10 个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个_
10、元. 答案 14 解析 设每个涨价 x 元，则实际销售价为(10 x)元，销售的个数为 10010 x.则利润为 y(10 x)(10010 x)8(10010 x)10(x4)2360(0 x0 时，f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图像. 解 (1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)0； 当 x0，因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上，f(x) x 22x，x0， 0，x0， x22x，x0. (2)图像如图所示. 18.(本小题满分 12 分)已知 f(x)在 R
11、上是单调递减的一次函数，且 ff(x)9x2. (1)求 f(x)； (2)求函数 yf(x)x2x 在 x1，a上的最大值. 解 (1)由题意可设 f(x)kxb(k0)， 由于 ff(x)9x2，则 k2xkbb9x2， 故 k 29， kbb2，解得 k3， b1， 故 f(x)3x1. (2)由(1)知，函数 y3x1x2xx24x1(x2)23， 故函数 yx24x1 的图像开口向上，对称轴为 x2， 当1a5 时，y 在 x1 处取得最大值(1)24(1)16， 当 a5 时，y 在 xa 处取得最大值 a24a1， 综上，ymax 6，1a0， f（x），x0， b24a0， 解
12、得 a1， b2， 则 F(x) x 22x1，x0， x22x1，x0. (2)由(1)可知 f(x)x22x1，则 g(x)x22x1kxx2(2k)x1， 则 g(x)的对称轴为 xk2 2 . 由于 g(x)在2，2上是单调函数， 故k2 2 2 或k2 2 2， 即 k2 或 k6. 故实数 k 的取值范围为(，26，). 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax 21 bxc 是奇函数(a，b 都是正整数)，且 f(1)2，f(2)3. (1)求 a，b，c 的值； (2)当 x0 时，f(x)的单调性如何？并证明你的结论. 解 (1)由 f(x)ax 21 bxc 是奇
13、函数， 得 f(x)f(x)对定义域内 x 恒成立， 则a（x） 21 b（x）c ax 21 bxc bxc(bxc)对定义域内 x 恒成立， 即 c0.由 f(1)a1 b 2，f(2)4a1 2b 3，又 a，b 是正整数，得 ba1. (2)由(1)知 f(x)x 21 x x1 x， 当 x1，从而 x1x210，x1x20， 即f x0. 故 f(x)在(，1上单调递增. 同理可证 f(x)在1，0)上单调递减. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 yf(x)的定义域为 R，且对任意 a，bR，都有 f(ab)f(a) f(b)，且当 x0 时，f(x)0 恒成立. (1)证明
14、函数 yf(x)是 R 上的单调函数； (2)讨论函数 yf(x)的奇偶性； (3)若 f(x22)f(x)x2，则 x1x20， f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2). 又当 x0 时，f(x)0 恒成立， f(x1x2)0，f(x1)f(x2)， 函数 yf(x)是 R 上的减函数. (2)解 令 ab0，得 f(00)f(0)f(0)，f(0)0. 由 f(ab)f(a)f(b)得 f(xx)f(x)f(x)， 即 f(x)f(x)f(0)0， f(x)f(x)，又函数 yf(x)的定义域为 R， 故函数 yf(x)是奇函数.
15、 (3)解 法一 由 f(x22)f(x)0 得 f(x22)f(x)，又 yf(x)是奇函数， 即 f(x22)x，解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围为(，2)(1，). 法二 由 f(x22)f(x)0，f(ab)f(a)f(b)且 f(0)0，得 f(x22x)0，解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围为(，2)(1，). 22.(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t， P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分 数据如下表所示： (1)根据提供的图像，写出该种
16、股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式； (3)用 y 表示该股票日交易额(万元)，写出 y 关于 t 的函数关系式，并求在这 30 天中第几天日交 易额最大，最大值是多少？ 解 (1)由图像知，前 20 天满足的是直线方程，且过两点(0，2)，(20，6)，容易求得直线方程 为 P1 5t2； 从 20 天到 30 天满足直线方程，且过两点(20，6)，(30，5)， 求得方程为 P 1 10t8， 故 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式为： P 1 5t2，0t20，tN， 1 10t8，20t30，tN. (2)由图表，易知 Q 与 t 满足一次函数关系， 即 Qt40，0t30，tN. (3)由(1)(2)可知 y 1 5t2 （t40），0t20，tN， 1 10t8 （t40），20t30，tN 1 5（t15） 2125，0t20，tN ， 1 10（t60） 240，20t30，tN . 当 0t20，t15 时，ymax125， 当 20t30 时，y 随 t 的增大而减小， 所以，在 30 天中的第 15 天，日交易额的最大值为 125 万元.
