1、第三章第三章 函数函数 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)x32x23x6 在区间2,4上的零点必定属于( ) A.2,1 B.2.5,4 C.1,1.75 D.1.75,2.5 答案 D 解析 f(2)280, f(1)40, f(1.75)1.515 6250. f(x)在2,4上的零点必定属于1.75,2.5.故选 D. 2.函数 f(x) 1x1 x的定义域是( ) A.1,) B.(,0)(0,) C.1,0)(0,) D.R 答案 C
2、解析 由 1x0, x0, 解得1x0,区间表示为1,0)(0,),故选 C. 3.若方程 f(x)20 在(,0)内有解,则 yf(x)的图像可能是( ) 答案 D 解析 A 中,与直线 y2 的交点是(0,2),不符合题意,故不正确;B 中,与直线 y2 无交 点,不符合题意,故不正确;C 中,与直线 y2 在区间(0,)上有交点,不符合题意,故 不正确;D 中,与直线 y2 在(,0)上有交点,故正确.故选 D. 4.已知函数 f(x)ax22x1 在区间(1,1)和(1,2)上分别有一个零点,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(3,1) B. 3 4,1 C. 3,3 4 D.(,
3、3) 3 4, 答案 B 解析 由零点存在定理知,只需满足 f(1)f(1)0, f(1)f(2)0, 解得3 4a0 时,f(x)x22x,则 f(x)在3,1上是( ) A.增函数,最小值为1 B.增函数,最大值为1 C.减函数,最小值为1 D.减函数,最大值为1 答案 C 解析 f(x)x22x,图像为开口向下,对称轴为 x1 的抛物线, 所以 f(x)在1,3上是减函数. 因为 f(x)为奇函数,图像关于原点对称,所以函数 f(x)在3,1上也是减函数. 所以在3,1上,f(x)maxf(3)f(3)(3223)3, f(x)minf(1)f(1)(1221)1,故 C 正确. 6.已
4、知函数 f(x) x 2ax7 (x1), a x (x1) 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.4,0) B.(,2 C.4,2 D.(,0) 答案 C 解析 f(x)在 R 上为增函数, 需满足 a 21, a0,则满足 f(12x)f 1 3 0 的 x 的范围是( ) A. 1 3, 2 3 B. 1 3, 2 3 C. 1 2, 2 3 D. 1 2, 2 3 答案 A 解析 由题意,f(x)在(,0上是增函数,又 f(x)是定义域为 R 的偶函数,故 f(x)在0,) 上是减函数.由 f(12x)f 1 3 0 可得 f(12x)f 1 3 f 1 3 ,所以1
5、 312x 1 3,解得 1 3x 2 3. 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项 是符合题目要求的,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 2 分,有选错的得 0 分) 9.已知 f(x) x2,x1, x2,1x2, 2x,x2, 若 f(x)1,则 x 的值是( ) A.1 B.1 2 C. 3 D.1 答案 AD 解析 根据题意,f(x) x2,x1, x2,1x2, 2x,x2, 若 f(x)1,分 3 种情况讨论:当 x1 时,f(x)x21,解可得 x1;当1x2 时,f(x)x21,解可得 x 1,又由1x2,则 x1
6、;当 x2 时,f(x)2x1,解可得 x1 2,舍去,综合可得:x1 或1.故选 AD. 10.若函数 yx24x4 的定义域为0,m,值域为8,4,则实数 m 的值可能为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 ABC 解析 函数 yx24x4(x2)28,当 x2 时,y8,令 yx24x44,得 x0 或 x4,若函数 yx24x4 的定义域为0,m,值域为8,4,则需满足 2m4,故 选 ABC. 11.若函数 yf(x)的图像如图所示,则下列描述正确的是( ) A.函数 f(x)的定义域为4,4) B.函数 f(x)的值域为0,) C.此函数在定义域内是增函数 D.对于任意的
7、y(5,),都有唯一的自变量 x 与之对应 答案 BD 解析 由图可知,函数 f(x)的定义域为4,01,4),故 A 错误;函数 f(x)的值域为0, ),故 B 正确;函数 f(x)在定义域内不是单调函数,有两个单调增区间为4,0,1,4), 故 C 错误;对于任意的 y(5,),都有唯一的自变量 x 与之对应,故 D 正确.故选 BD. 12.已知定义域为(,)的偶函数 f(x)的一个单调递增区间是(2,6),关于函数 yf(2x) 的下列说法中正确的是( ) A.一个递减区间是(4,8) B.一个递增区间是(4,8) C.其图像对称轴方程为 x2 D.其图像对称轴方程为 x2 答案 B
8、C 解析 因为 f(x)是偶函数,所以 f(2x)f(x2),把 f(x)的图像向右平移 2 个单位,可以得到 f(x2)的图像,又 f(x)的一个单调递增区间是(2,6),所以 f(x2)的一个单调递增区间是(4, 8);函数 f(x)是偶函数,图像关于 y 轴对称,所以 f(x2)的图像关于直线 x2 对称,故选 BC. 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)是定义在1,a上的奇函数,则 a_,f(0)_.(第一个空 2 分,第二个空 3 分) 答案 1 0 解析 根据题意,函数 f(x)是定义在1,a上的奇函数,则1a0,解可得 a1,即
9、 f(x) 的定义域为1,1,则 f(0)0. 14.已知函数 f(x)ax2(b2)x3 是定义在a1,a的偶函数,则 ab_. 答案 1 解析 由题意得 a1a0, b20, 所以 a1 2, b2, ab1. 15.如果函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0,则另一个零点是_. 答案 3 解析 函数 f(x)x2mxm3 的一个零点为 0,则 f(0)0,m30,m3,则 f(x) x23x,于是另一个零点是 3. 16.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售,每天可卖出 100 个.若每个涨价 1 元,则日销售 量减少 10 个.为获得最大利润,则此商品销售价应定为每个_
10、元. 答案 14 解析 设每个涨价 x 元,则实际销售价为(10 x)元,销售的个数为 10010 x.则利润为 y(10 x)(10010 x)8(10010 x)10(x4)2360(0 x0 时,f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式; (2)画出函数 f(x)的图像. 解 (1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,则 f(0)0; 当 x0,因为 f(x)是奇函数, 所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上,f(x) x 22x,x0, 0,x0, x22x,x0. (2)图像如图所示. 18.(本小题满分 12 分)已知 f(x)在 R
11、上是单调递减的一次函数,且 ff(x)9x2. (1)求 f(x); (2)求函数 yf(x)x2x 在 x1,a上的最大值. 解 (1)由题意可设 f(x)kxb(k0), 由于 ff(x)9x2,则 k2xkbb9x2, 故 k 29, kbb2,解得 k3, b1, 故 f(x)3x1. (2)由(1)知,函数 y3x1x2xx24x1(x2)23, 故函数 yx24x1 的图像开口向上,对称轴为 x2, 当1a5 时,y 在 x1 处取得最大值(1)24(1)16, 当 a5 时,y 在 xa 处取得最大值 a24a1, 综上,ymax 6,1a0, f(x),x0, b24a0, 解
12、得 a1, b2, 则 F(x) x 22x1,x0, x22x1,x0. (2)由(1)可知 f(x)x22x1,则 g(x)x22x1kxx2(2k)x1, 则 g(x)的对称轴为 xk2 2 . 由于 g(x)在2,2上是单调函数, 故k2 2 2 或k2 2 2, 即 k2 或 k6. 故实数 k 的取值范围为(,26,). 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax 21 bxc 是奇函数(a,b 都是正整数),且 f(1)2,f(2)3. (1)求 a,b,c 的值; (2)当 x0 时,f(x)的单调性如何?并证明你的结论. 解 (1)由 f(x)ax 21 bxc 是奇
13、函数, 得 f(x)f(x)对定义域内 x 恒成立, 则a(x) 21 b(x)c ax 21 bxc bxc(bxc)对定义域内 x 恒成立, 即 c0.由 f(1)a1 b 2,f(2)4a1 2b 3,又 a,b 是正整数,得 ba1. (2)由(1)知 f(x)x 21 x x1 x, 当 x1,从而 x1x210,x1x20, 即f x0. 故 f(x)在(,1上单调递增. 同理可证 f(x)在1,0)上单调递减. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 yf(x)的定义域为 R,且对任意 a,bR,都有 f(ab)f(a) f(b),且当 x0 时,f(x)0 恒成立. (1)证明
14、函数 yf(x)是 R 上的单调函数; (2)讨论函数 yf(x)的奇偶性; (3)若 f(x22)f(x)x2,则 x1x20, f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2). 又当 x0 时,f(x)0 恒成立, f(x1x2)0,f(x1)f(x2), 函数 yf(x)是 R 上的减函数. (2)解 令 ab0,得 f(00)f(0)f(0),f(0)0. 由 f(ab)f(a)f(b)得 f(xx)f(x)f(x), 即 f(x)f(x)f(0)0, f(x)f(x),又函数 yf(x)的定义域为 R, 故函数 yf(x)是奇函数.
15、 (3)解 法一 由 f(x22)f(x)0 得 f(x22)f(x),又 yf(x)是奇函数, 即 f(x22)x,解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围为(,2)(1,). 法二 由 f(x22)f(x)0,f(ab)f(a)f(b)且 f(0)0,得 f(x22x)0,解得 x1 或 x2. 故 x 的取值范围为(,2)(1,). 22.(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t, P),点(t,P)落在图中的两条线段上;该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分 数据如下表所示: (1)根据提供的图像,写出该种
16、股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天中第几天日交 易额最大,最大值是多少? 解 (1)由图像知,前 20 天满足的是直线方程,且过两点(0,2),(20,6),容易求得直线方程 为 P1 5t2; 从 20 天到 30 天满足直线方程,且过两点(20,6),(30,5), 求得方程为 P 1 10t8, 故 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式为: P 1 5t2,0t20,tN, 1 10t8,20t30,tN. (2)由图表,易知 Q 与 t 满足一次函数关系, 即 Qt40,0t30,tN. (3)由(1)(2)可知 y 1 5t2 (t40),0t20,tN, 1 10t8 (t40),20t30,tN 1 5(t15) 2125,0t20,tN , 1 10(t60) 240,20t30,tN . 当 0t20,t15 时,ymax125, 当 20t30 时,y 随 t 的增大而减小, 所以,在 30 天中的第 15 天,日交易额的最大值为 125 万元.