1、1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用 北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册 N E P Q R 1 2 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 在同一平面内，两点之间在同一平面内，两点之间, ,线段最短线段最短 从从行政楼行政楼A 点走到教学楼点走到教学楼B 点怎样走最近？点怎样走最近？ 教教 学学 楼楼 行政楼行政楼 B A 你你能说出这能说出这 样走的理由吗样走的理由吗？ 导入导入新知新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 1. 灵活灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的会用勾股定理求
2、解立体图形上两点之间的最短最短 距离问题距离问题. 2. 运用运用勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理解决简单的实际解决简单的实际问题问题. 3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识. 素养目标素养目标 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 以以小组为单位小组为单位, ,研究蚂蚁在圆柱体的研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面点沿侧面爬行到爬行到B点的问题点的问题. . 讨论讨论 1.蚂蚁蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到点爬行到B点？点？ 2. .有有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？最短路径吗？若有，哪条
3、最短？你是怎样找到的？ B A 我要从我要从A点沿侧面点沿侧面 爬行到爬行到B点，怎么点，怎么 爬呢？大家快帮我爬呢？大家快帮我 想想呀！想想呀！ 探究新知探究新知 知识点 1 利用利用勾股定理解答最短路径问题勾股定理解答最短路径问题 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / B A d A B A A B B A O 想一想想一想 蚂蚁走哪一条路线最近？蚂蚁走哪一条路线最近？ A 蚂蚁蚂蚁AB的路线的路线 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 若若已知圆柱体高为已知圆柱体高为12 cm，底面周长为，底面周长为18 cm， 则则: B A r O 12
4、 侧面展开侧面展开 图图 12 182 A B 小结小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体 图形图形展开成平面图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段，连接两点，根据两点之间线段 最短确定最短路线最短确定最短路线. . A A AB2= =122+(+(182) )2 所以所以AB= =15. 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 例例1 有一个圆柱形油罐，要以有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好点环绕油罐建梯子，正好 建在建在A点的正上方点点的正上方点B处，问梯子最短需多少米处，问梯子最短需多少米
5、?(?(已知油已知油 罐的底面半径是罐的底面半径是2m，高，高AB是是5m，取取3） A B A B A B 解：解：油罐的展开图如图，则油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离为梯子的最短距离. . 因为因为AA= =232= =12, , AB= =5m, , 所以所以AB= =13m. . 即梯子最短需即梯子最短需13米米. . 素养考点素养考点 1 利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 数学思想：数学思想： 立体图形立体图形 平面图形平面图形 转化转化 展开展开 探究新知探究新知
6、1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 如图所示如图所示, ,一个圆柱体高一个圆柱体高20cm, ,底面半径为底面半径为5cm, ,在圆柱体在圆柱体 下底面的下底面的A点处有一只蜘蛛点处有一只蜘蛛, ,它想吃到上底面与它想吃到上底面与A点相对的点相对的 B点处的一只已被粘住的苍蝇点处的一只已被粘住的苍蝇, ,这只蜘蛛从这只蜘蛛从A点出发点出发, ,沿着沿着 圆柱体的侧面爬到圆柱体的侧面爬到B点点, ,最短路程是多少最短路程是多少?(?(取取3) ) 3 勾股定理的应用 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 解解: :如图所示如图所示
7、, ,将圆柱将圆柱侧面沿侧面沿AC剪开并剪开并展平展平, ,连接连接AB, , 则则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程的长即为蜘蛛爬行的最短路程. . 根据题意得根据题意得AC= =20 cm, ,BC= =1 2 25= =15( (cm) ). . 在在ABC中中, ,ACB= =90, ,由勾股定理得由勾股定理得 AB2= =BC2+ +AC2= =152+ +202= =252, , 所以所以AB= =25 cm, ,最短路程是最短路程是25cm. . 3 勾股定理的应用 巩固练习巩固练习 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / B 牛奶盒 A 例例2 学习了最短问题，学习了最
8、短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，小明灵机一动，拿出了牛奶盒， 把小蚂蚁放在了点把小蚂蚁放在了点A处，并在点处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，处放上了点儿火腿肠粒， 你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？路程吗？ 6cm 8cm 10cm 素养考点素养考点 2 利用勾股定理解决长方体的最短路线问题利用勾股定理解决长方体的最短路线问题 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 长长 方方 体体 爬爬 行行 路路 径径 A B F E H G A B C D E F G H 前（后）前（后） 上（下）上（下） A B C D E F G
9、H B C G F E H A B C D E F G H 右（左）右（左） 上（下）上（下） 前（后）前（后） 右（左）右（左） B C A E F G 分析分析 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12= =102 + +（6+ +8）2= =296 AB22= = 82 + +（10+ +6）2= =320 AB32= = 62 + +（10+ +8）2= =360 因为因为360320296 所以所以AB1 最短最短. . 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / A B 点点A和
10、点和点B分别是棱长为分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点的正方体盒子上相对的两点, , 一只蚂蚁在盒子表面由一只蚂蚁在盒子表面由A处向处向B处爬行处爬行, ,所走最短路程的所走最短路程的 平方是多少？平方是多少？ 前前 上上 A B A B 左左 上上 A B 前前 右右 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / A B C 解解: :如图所示如图所示 在在RtABC中中, ,利用利用勾股定理勾股定理 可得，可得， AB 2= =AC2+ +BC2 = =20 2+ +102 = =500 10 10 10 所以所以AB2= =500. 巩
11、固练习巩固练习 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 李叔叔李叔叔想要检测雕塑底座正面的想要检测雕塑底座正面的AD边和边和BC边是否边是否 分别垂直于底边分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？）你能替他想办法完成任务吗？ 解解: :连接对角线连接对角线AC，只要分别量，只要分别量 出出AB、BC、AC的长度即可的长度即可. . AB2+ +BC2= =AC2 ABC为直角三角形为直角三角形 知识点 2 利用勾股定理的逆定理解答实际问题利用勾股定理的逆定理解答实际问题 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的
12、应用/ / （2）量得量得AD长是长是30 cm，AB长是长是40 cm，BD长是长是50 cm. AD边垂直于边垂直于AB边吗边吗？ 解解: :AD2+ +AB2= =302+ +402= =502= =BD2， 得得DAB= =90，AD边垂直边垂直 于于AB边边. . 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / （3）若随身只有一个长度为若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺的刻度尺，能有办法能有办法 检验检验AD边是否垂直于边是否垂直于AB边吗边吗？ 解解: :在在AD上取点上取点M, ,使使AM= =9, , 在在AB上取点上取点N使使AN= =12, ,
13、测量测量MN是否是是否是15，是，就是垂直，是，就是垂直； 不是不是，就是不垂直，就是不垂直. . 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 例例 如如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应 为长方形，他在挖完后测量了一下，发现为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB= =DC= =8m， AD= =BC= =6m，AC= =9m，请你运用所学知识帮他检验一，请你运用所学知识帮他检验一 下挖的是否合格？下挖的是否合格？ 解：解：因为因为AB= =DC= =8m，AD= =BC= =6m， 所以所以AB2+ +BC2= =
14、82+ +62= =64+ +36= =100. 又又因为因为AC2= =92= =81， 所以所以AB2+ +BC2AC2，ABC90， 所以所以该该农民挖的不合格农民挖的不合格 素养考点素养考点 1 利用勾股定理的逆定理解答测量问题利用勾股定理的逆定理解答测量问题 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 有有一个高为一个高为1.5米，半径是米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地 方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5米，问这根铁棒最长是多少米？米，问
15、这根铁棒最长是多少米？ 解解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为为 x米米,即即AB= =x米，而米，而AC= =2米，米，BC= =1.5米米， 有有x2= =1.52+ +22 , ,x = =2.5 故，最长是故，最长是2.5+ +0.5= =3( (米米) ) 答答:这根铁棒的最长这根铁棒的最长3米，最短米，最短2米米. 故，最短是故，最短是1.5+ +0.5= =2( (米米) ) 当最短时当最短时:x = =1.5 A C B 最短是多少米？最短是多少米？ 变式训练变式训练 巩固练习巩固练习 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/
16、 / 如如图是一个滑梯示意图，若将滑道图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与水平放置，则刚好与 AB一样长一样长. .已知滑梯的高度已知滑梯的高度CE= =3m，CD= =1m，试求滑道，试求滑道AC的长的长. . 故滑道故滑道AC的长度为的长度为5m. . 解：解：设滑道设滑道AC的长度为的长度为x m，则则AB的长也为的长也为x m， AE的长度为的长度为（x- -1）m. . 在在RtACE中中，AEC= =90， 由勾股定理得由勾股定理得AE2+ +CE2= =AC2， 即即（x- -1）2+ +32= =x2， 解得解得x= =5. . 例 知识点 3 利用勾股定理解答长
17、度问题利用勾股定理解答长度问题 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 甲甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出甲先出 发，他以发，他以6km/h的速度向正东行走，的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以小时后乙出发，他以 5km/h的速度向正北行走的速度向正北行走. .上午上午10：00，甲、乙两人相距多远？，甲、乙两人相距多远？ 解解: :如图如图: :已知已知A 是甲、乙的出发点，是甲、乙的出发点，10:00 甲到达甲到达B 点点, ,乙到达乙到达C 点点. .则则: : AB= =26= =12( (千米
18、千米),), AC= =15= =5( (千米千米) ). 在在RtABC 中中, , 所以所以BC = =13( (千米千米) ) 即甲乙两人相距即甲乙两人相距13千米千米. . BC2= =AC2+ +AB2 = =52+ +122= =169= =132 巩固练习巩固练习 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 解：解：连接连接BD. . 在在RtABD中中, ,由勾股定理得由勾股定理得 BD2= =AB2+ +AD2， 所以所以BD= =5cm. .又又因为因为CD= =12cm，BC= =13cm, , 所以所以BC2= =CD2+ +BD2，所以所以BDC是直角三角形是
19、直角三角形. . 所以所以S四边形 四边形ABCD= =SRtBCD- -SRtABD= =1 2BDCD- - 1 2ABAD = =1 2 ( (512- -34) )= =24 ( (cm2) ) C B A D 例例 如如图，四边形图，四边形ABCD中，中，ABAD，已知已知AD= =3cm， AB= =4cm，CD= =12cm，BC= =13cm，求四边形求四边形ABCD 的面积的面积. . 素养考点素养考点 1 利用勾股定理的逆定理解答面积问题利用勾股定理的逆定理解答面积问题 探究新知探究新知 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 如如图，在四边形图，在四边形ABC
20、D中，中，ACDC，ADC的面积为的面积为30 cm2， DC= =12 cm，AB= =3cm，BC= =4cm，求，求ABC的面积的面积. . 解解:因为因为S ACD= =30 cm2， ，DC= =12 cm. 所以所以AC= =5 cm. 又又因为因为AB2+ +BC2= =32+ +42= =52= =AC2, , 所以所以ABC是直角三角形是直角三角形, , B是直角是直角. 所以所以 D C B A 变式训练变式训练 S ACD= =1 2CDAC= = 1 2 12 AC= =30（ cm2 ） S ABC= =1 2ABBC= = 1 2 3 4= =6（ cm2 ） 巩固
21、练习巩固练习 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 如图如图，圆柱形玻璃杯高为，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为，底面周长为32cm，在杯内壁离，在杯内壁离 杯底杯底5cm的点的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离 杯上沿杯上沿3cm与蜂蜜相对的点与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处到内壁B处的处的 最短距离为最短距离为_cm（杯壁厚度不计）（杯壁厚度不计） 解析解析：将杯子侧面展开，作将杯子侧面展开，作A关于关于EF的对称点的对称点A， 连接连接AB，则，则AB即为最短距离，即为最短距离， AB=
22、= A2+B2= = 162+122= = 故故答案为答案为20 20 20（cm） 连接中考连接中考 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / B B 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.五根小木棒，其长度分别为五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他，现将他 们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ） D A. B. C. D. 课堂检测课堂检测 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏
23、东 25的方向，且到医院的距离为的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为，公园到医院的距离为 400 m，若公园到超市的距离为，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的，则公园在医院的 ( )( ) A.北偏东北偏东75的方向上的方向上 B.北偏东北偏东65的方向上的方向上 C.北偏东北偏东55的方向上的方向上 D.无法确定无法确定 B 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 3.如图，某探险队的如图，某探险队的A组由驻地组由驻地O点出发，以点出发，以12km/h的速度前进，的速度前进， 同时，同时，B组也
24、由驻地组也由驻地O出发，以出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，的速度向另一个方向前进， 2h后同时停下来，这时后同时停下来，这时A，B两组相距两组相距30km此时，此时，A，B两组两组 行进的方向成直角吗？请说明理由行进的方向成直角吗？请说明理由. 解解：因为因为出发出发2小时，小时，A组行了组行了122= =24( (km) )， B组行了组行了92= =18( (km) )， 又又因为因为A，B两组相距两组相距30km， 且且有有242+ +182= =302， 所以所以A，B两组行进的方向成直角两组行进的方向成直角 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 A O B 课堂检测课堂检测
25、 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 4.在城市街路上速度不得超过在城市街路上速度不得超过70千米千米/ /时，一辆小汽车某一时刻时，一辆小汽车某一时刻 行驶在路边车速检测仪的北偏东行驶在路边车速检测仪的北偏东30距离距离30米处，过了米处，过了2秒后秒后 行驶了行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米米. . 问：问： 2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向? ?这辆小汽车超速了吗这辆小汽车超速了吗? ? 车速检测仪车速检测仪 小汽车小汽车 30米米 30 北北 60 解：解：小汽车在车速检测仪小汽车
26、在车速检测仪 的南的南偏东偏东60方向或方向或北北偏偏 西西60方方向向. . 25米米/ /秒秒= =90千米千米/ /时时70千米千米/ /时时 所以所以小汽车小汽车超速超速了了. . 2秒后秒后 50米米 40米米 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 如如图图，四边形四边形ABCD中中，B= =90，AB= =3，BC= =4， CD= =12，AD= =13, ,求四边形求四边形ABCD的面积的面积. . 分分析析：连接连接AC，把四边形分成两个三角形，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出先用勾股定理求出 AC
27、的长度，再利用勾股定理的逆定理判断的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 解：解：连接连接AC. . 在在RtABC中，中， AC= = A2+B2= = 32+42= =5, , 在在ACD中，中， AC2+ +CD2= =52+ +122= =169= =AD2， 所以所以ACD是直角三角形，是直角三角形， 且且ACD= =90. . 所以所以S四边形 四边形ABCD= =SRtABC+ +SRtACD= =6+ +30
28、= =36. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 A D B C 3 4 13 12 课堂检测课堂检测 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 如如图，在图，在ABC中，中，AB：BC：CA= =3：4：5且周长为且周长为36cm， 点点P从从点点A开始沿开始沿AB边向边向B点以每秒点以每秒2cm的速度移动，点的速度移动，点Q从点从点C沿沿 CB边向点边向点B以每秒以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过的速度移动，如果同时出发，则过3s时，时， 求求PQ的长的长 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 P C B A Q 课堂检测课堂检测 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理
29、的应用/ / 解：解：设设AB为为3xcm，BC为为4xcm，AC为为5xcm，因为因为周长周长为为36cm， 即即AB+ +BC+ +AC= =36cm， 所以所以AB= =9cm，BC= =12cm，AC= =15cm. 因为因为AB2+ +BC2= =AC2，所以所以ABC是直角三角形，过是直角三角形，过3秒时秒时， BP= =9- -32= =3( (cm) )，BQ= =12- -13= =9( (cm) )， 在在RtPBQ中，由勾股定理中，由勾股定理得得PQ= = 32+92= =3 10 ( (cm) ). . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 所以所以3x+ +4x+ +
30、5x= =36， 解得解得x= =3. P C B A Q 课堂检测课堂检测 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 勾股定理及逆勾股定理及逆 定理的应用定理的应用 应 用应 用 最短路径最短路径问题问题 方 法方 法 认真审题认真审题, ,画出画出符合题意符合题意的的 图形图形, ,熟练运用勾股定理及熟练运用勾股定理及 其逆定理来解决问题其逆定理来解决问题 解决解决不规则图形不规则图形面积面积问题问题 测量测量问题问题 课堂小结课堂小结 1.3 1.3 勾股定理的应用勾股定理的应用/ / 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业
