1、24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 24.3 24.3 正多边形正多边形和圆和圆 第一课时 第二课时 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 第一课时 正多边形的相关概念及计算正多边形的相关概念及计算 返回返回 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 导入新知导入新知 观察上边的美丽图案，思考观察上边的美丽图案，思考下面的下面的问题：问题： （1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到 的物体，你能找出正多边形吗？的物体，你能找出正多边形吗？ 24.324.3正多边形和正多边
2、形和圆圆/ / 导入新知导入新知 （2）你知道）你知道正多边形和圆有正多边形和圆有什么关系吗？怎样什么关系吗？怎样 做一个正多边形呢？做一个正多边形呢？ 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 素养目标素养目标 3. 会会应用应用正多边形和圆正多边形和圆的有关知识解决实际的有关知识解决实际 问题问题. 1. 了解了解正多边形和圆正多边形和圆的有关概念的有关概念. 2. 理解理解并掌握并掌握正多边形半径正多边形半径、中心角中心角、边心边心 距距、边长、边长之间的关系之间的关系. 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 问题问题1 什么叫做正多边形？什么叫做正多边
3、形？ 各边相等各边相等, ,各角也相等各角也相等的多边形叫做正多边形的多边形叫做正多边形. . 问题问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？ 为什么？为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等；不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等；不是，因为菱形不符合各角相等； 注意注意 正多边形正多边形 各边相等各边相等 各角相等各角相等 缺一不可缺一不可 正多边形的对称性正多边形的对称性 知识点知识点 1 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 问题问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴正三
4、角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴 对称图形吗？都是中心对称图形吗？对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 正正n边形都是轴对称图形，都有边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为条对称轴，只有边数为 偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 问题问题4 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对 称图形吗？都是中心对称图形吗？称图形吗？都是中心对称图形吗？ 归纳归纳 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探
5、究新知 正多边形正多边形的有关概念的有关概念 O A B C D 问题问题1 以正四边形为例以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出根据对称轴的性质，你能得出 什么结论？什么结论？ E F G H EF是边是边AB、CD的垂直平分线，的垂直平分线， OA=OB，OD=OC. GH是边是边AD、BC的垂直平分线，的垂直平分线， OA=OD；OB=OC. OA=OB=OC=OD. 正方形正方形ABCD有一个以点有一个以点O为圆心为圆心 的外接圆的外接圆. 知识点知识点 2 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 O A B C D E F G H AC是是DAB及及DC
6、B的角平的角平 分线，分线，BD是是ABC及及ADC 的角平分线，的角平分线， OE=OH=OF=OG. 正方形正方形ABCD还有一个以点还有一个以点O 为圆心的为圆心的内切圆内切圆. 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆同心圆. . 2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上一个正多边形的各个顶点在同一个圆上? 3.所有所有的多边形的多边形是不是都有一个外接
7、圆和内切圆？是不是都有一个外接圆和内切圆？ 一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这 个圆的一个个圆的一个内接正多边形内接正多边形，圆叫做这个正多边形的，圆叫做这个正多边形的外接圆外接圆. . 多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意 三角形都有外接圆和内切圆三角形都有外接圆和内切圆. . 想一想想一想 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆和内切圆的公正多边形的外
8、接圆和内切圆的公 共圆心，叫作正多边形的共圆心，叫作正多边形的中心中心. . 外接圆的半径叫作正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半半 径径. . 内切圆的半径叫作正多边形的内切圆的半径叫作正多边形的边边 心距心距. . 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中中 心角心角. .正多边形的每个中心角都等于正多边形的每个中心角都等于 360 n 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 中心角中心角 A B C D E F O 半径 半径R 边心距边心距r 中心中心 正多正多 边形边形边数边数 内角内角 中心角中心角 外角
9、外角 3 4 6 n 60 120 120 90 90 90 120 60 60 (2) 180n n 360 n 360 n 正多边形的外正多边形的外 角角=中心角中心角 完成下面的表格：完成下面的表格： 练一练练一练 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 如图如图，已知半径为已知半径为4的圆内接正六边形的圆内接正六边形ABCDEF： 它的中心角等于它的中心角等于 度度 ； OC BC (填、或）；填、或）； OBC是是 三角形三角形； 圆内接正六边形的面积是圆内接正六边形的面积是 OBC面积的面积的 倍倍. 圆内接正圆内接正n边形面积公式边形面积公式:_. C
10、D O B E F A P 60 = 等边等边 6 1 = 2 S 正多边形 周长 边心距 正多边形的有关计算正多边形的有关计算 知识点知识点 3 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 例例1 有有一个亭子一个亭子,它的地基是半径为它的地基是半径为4 m的正六边形的正六边形,求地求地 基的基的周长和面积周长和面积 (精确到精确到0.1 m2). C D O E F A P 抽象成抽象成 正多边形的有关计算正多边形的有关计算 素养素养考点考点 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距 22 422
11、 3.r 亭子地基的亭子地基的面积：面积： 在在RtOMB中中,OB4, MB 4 2 22 BC ， 4m O A B C D E F F M r 解：解：过点过点O作作OMBC于于M. 2 11 24 2 341.6(m ). 22 Sl r 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 巩固练习巩固练习 1.如如图所示，正五边形图所示，正五边形ABCDE内接于内接于O， 则则ADE的度数是的度数是 （ ） A60 B45 C 36 D 30 A B C D E O C 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 2.作边心距，构造直角三角形作边心距，构造直角三角形
12、. 1.连半径，得中心角；连半径，得中心角； O A B C D E F R M r 方法归纳方法归纳 ：圆圆内接正多边形的辅助线内接正多边形的辅助线 O 边心距边心距r 边长一半边长一半 半径半径R C M 中心角一半中心角一半 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 巩固练习巩固练习 2. 已知已知直角三角形两条直角边的和等于直角三角形两条直角边的和等于8，两条直，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？大值是多少？ 广东省怀集县中洲镇泰来学校广东省怀集县中洲镇泰来学校 李周林李周林 解：解：直角三角形两直角边之
13、和为直角三角形两直角边之和为8,设一边长设一边长x 另一边长为另一边长为8-x。 则该直角三角形面积：则该直角三角形面积：S=（8-x）x2 即即 当当x= =4,另一边为另一边为4时，时，S有最大值有最大值 8 当当两直角边都是两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为时，直角面积最大，最大值为8. 2 1 4 2 sxx 2 4 4 ac b a 2 b a 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 巩固练习巩固练习 1.图图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着 坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然坚冰出现裂
14、纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然 和谐美图和谐美图2是从图是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组 成的图形，则成的图形，则1+2+3+4+5= 度度 连接中考连接中考 解析：解析：由多边形的外角和等于由多边形的外角和等于360可知，可知， 1+2+3+4+5=360. 连 接 中 考连 接 中 考 360 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 正多边形边正多边形边 数数 半径半径 边长边长 边心距边心距 周长周长 面积面积 3 4 1 6 2 3 3 1. 填表填表 2 1 2 3 3 3 2 2 8 4 2 2 12
15、 6 3 2. 若正多边形的边心距与若正多边形的边心距与半径半径的比为的比为1:2，则这个，则这个 多边形的边数是多边形的边数是 . 3 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 4. 要用圆形铁片截出边长为要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则的正方形铁片，则 选用的圆形铁片的直径最小要选用的圆形铁片的直径最小要_cm. 也就是要找这个正也就是要找这个正 方形外接圆的直径方形外接圆的直径 4 2 3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 看作为正七边形，则一个内角为看作为正七边形，
16、则一个内角为 度度.（不（不 取近似值）取近似值） 4 128 7 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 1. 如如图，四边形图，四边形ABCD是是O的内接正方形，若正方形的内接正方形，若正方形 的面积等于的面积等于4，求，求O的面积的面积 解：解：正方形的面积等于正方形的面积等于4， O的面积为的面积为 2 ( 2)2 . 正方形的边长正方形的边长AB=2. 则圆的直径则圆的直径AC=2 ， O的半径的半径= 2 2 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 A B
17、 C D E F P 2.如如图，正六边形图，正六边形ABCDEF的边长为的边长为 ，点，点P为六边为六边 形内任一点则点形内任一点则点P到各边距离之和是多少？到各边距离之和是多少？ 2 3 点点P到各边距离之和到各边距离之和=3BD=36=18 解：解：过过P作作AB的垂线，分别交的垂线，分别交AB、DE于于H、K， 连接连接BD，作，作CGBD于于G. G H K P到到AF与与CD的距离之和，及的距离之和，及P到到EF、BC的距离之和均为的距离之和均为HK的长的长. 六边形六边形ABCDEF是正六边形，是正六边形，ABDE，AFCD，BCEF， BC=CD，BCD=ABC=CDE=120
18、， CBD=BDC=30，BDHK，且，且BD=HK.CG= BC= CGBD， BD=2BG=2 =2 3 =6. 2 1 3 22 BGBC 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 如如图图,M,N分别是分别是O内接正多边形内接正多边形AB,BC上的点上的点,且且BM=CN. (1)求图中求图中MON=_;图中图中MON= ; 图中图中MON= ; (2)试探究试探究MON的度数与正的度数与正n边形的边数边形的边数n的关系的关系. A B C D E A B C D . A B C M N M N M N O O O 90 7
19、2 360 MON n 120 图 图 图 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂小结课堂小结 正多边形 正多边形的 有 关 概 念 正多边形的 有 关 计 算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形 和圆 中心角 内角 外角 周长 面积 正多边形的 定义 正多边形的 性质 任何正多边形都有一个外接 圆和一个内切圆.所有正多边 形都是轴对称图形，边数为 偶数时，它既是轴对称图形 又是中心对称图形 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 第二课时 正多边形的画法正多边形的画法 返回返回 24.324.
20、3正多边形和正多边形和圆圆/ / 导入新知导入新知 正多边形和圆有什么关系？正多边形和圆有什么关系？ 你能借助圆画一个正多边形吗？你能借助圆画一个正多边形吗？ O 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 素养目标素养目标 2. 掌握掌握画正多边形画正多边形的关键的关键等分圆周等分圆周的两的两 种方法：一是种方法：一是量角器量角器等分圆周；二是用等分圆周；二是用尺规尺规 作图等分圆周作图等分圆周. 1. 掌握掌握正多边形正多边形的画法的画法. 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 多姿多彩的正多边形多姿多彩的正多边形: :观察生活观察生活中的中的 正多边形正多
21、边形图案图案. . 正多边形的画法正多边形的画法 知识点 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 几种常见的正多边形几种常见的正多边形 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 由于由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性， 所以所以会画正多边形应是学生必备能力会画正多边形应是学生必备能力之一之一. . 怎样画一个正多边形呢？怎样画一个正多边形呢？ 问题问题1：已知已知O的半径为的半径为2cm，求作圆的内接正三角形，求作圆的内接正三角形. 120 用量角器度量，使用量角器度量，使 AOB=BOC=CO
22、A=120 用量角器或用量角器或30角的三角板度量，角的三角板度量， 使使BAO=CAO=30 A O C B 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？正六边形吗？ A B C D O A B C D E O O A B C D E F 90 72 60 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 你能尺规作出正四边形、正八边形吗？你能尺规作出正四边形、正八边形吗？ A B C D O 只要作出已知只要作出已知O的的互相垂直互相垂直 的直径的直径即得圆内接正
23、方形，再即得圆内接正方形，再 过圆心作各边的垂线与过圆心作各边的垂线与O相相 交，或作各中心角的角平分线交，或作各中心角的角平分线 与与O相交，即得圆接正八边相交，即得圆接正八边 形，照此方法依次可作正十六形，照此方法依次可作正十六 边形、正三十二边形、正六十边形、正三十二边形、正六十 四边形四边形 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边 形吗？形吗？ O A B C E F D 以半径长在圆周上截取六以半径长在圆周上截取六 段相等的弧，依次连结各等分段相等的弧，依次连结各等分 点，则作
24、出正六边形点，则作出正六边形. . 先先作出正六边形，则可作作出正六边形，则可作 正三角形，正十二边形，正二正三角形，正十二边形，正二 十四边形十四边形 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 说说作正多边形的方法有哪些说说作正多边形的方法有哪些? ? （1）用）用量角器等分圆周量角器等分圆周作正作正n边形；边形； （2）用）用尺规作正方形尺规作正方形及由此扩展作正八边形及由此扩展作正八边形, 用用尺规作正六边形尺规作正六边形及由此扩展作正及由此扩展作正12边形、正边形、正 三角形三角形 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 探究新知探究新知 例例 已知已知
25、O和和O上的一点上的一点A(如图如图). 求作求作O的内接正方形的内接正方形ABCD和内接正六边形和内接正六边形AEFCGH; 正多边形正多边形的画法的画法 素养素养考点考点 解：解：作法作法:作直径作直径AC;作直径作直径BDAC; 依次连接依次连接A、B、C、D四点四点. 四边形四边形ABCD即为即为O的内接正方形的内接正方形. 分别以分别以A、C为圆心为圆心,OA的长为半径作弧的长为半径作弧, 交交O于于E、H、F、G; 顺次连接顺次连接A、E、F、C、G、H各点各点; 六边形六边形AEFCGH为为O的内接正六边形的内接正六边形,如如图所示图所示. A O . . 24.324.3正多边
26、形和正多边形和圆圆/ / 巩固练习巩固练习 画画一个半径为一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正的正五边形，再作出这个正 五边形的各条对角线，画出一个五角星五边形的各条对角线，画出一个五角星. 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 巩固练习巩固练习 尺尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中传说拿破仑通规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中传说拿破仑通 过下列尺规作图考他的大臣：过下列尺规作图考他的大臣： 将半径为将半径为r的的O六等分，依次得到六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六六 个分点个分点；分别以点分别以点A，D为圆心，为圆心，AC长为半径画弧，长为半径画弧，G是两是两 弧的一
27、个交点弧的一个交点；连结连结OG 问：问：OG的长是多少？的长是多少？ 大臣给出的正确答案应是（大臣给出的正确答案应是（ ） A r B（1+ ）r C（1+ ）r D r 连 接 中 考连 接 中 考 3 2 D 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 巩固练习巩固练习 解：解：如图连接如图连接CD、AC、DG、AG AD是是O直径直径， ACD=90， 在在RtACD中，中，AD=2r，DC=OD=r，DAC=30， AC= r，DG=AG=CA，OD=OA， OGAD， GOA=90，OG= AC2OA2 = ( 3r)2r2= 2 ， 3 连 接 中 考连 接 中 考 24.3
28、24.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 广东省怀集县大岗镇中心初级中学广东省怀集县大岗镇中心初级中学 石迎伦石迎伦 在在图中，用尺规作图画出圆图中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形的内接正三角形 R 作法：作法： 1.作出圆的任意一条半径，作出圆的任意一条半径， 2.作半径的垂直平分线，交作半径的垂直平分线，交 圆于点圆于点A、B， 3.分别以分别以A、B为圆心，线为圆心，线 段段AB的长为半径作弧，两的长为半径作弧，两 户交于点户交于点C，连接，连接AC、BC. 则则ABC即为所求即为所求. A B C 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 24.324.3正多边形和正多边
29、形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 利用利用量角器画一个边长为量角器画一个边长为2cm的正六边形的正六边形 作法：作法：如图，以如图，以2cm为半径作一个为半径作一个O，用量角器画一个，用量角器画一个 等于等于 的的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依 次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次个等分点，顺次 连接各分点，即可得出正六边形连接各分点，即可得出正六边形 60 6 360 60 O 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测课堂检测 一个平面封闭图形内一个平面
30、封闭图形内(含边界含边界)任意两点距离的最大值称任意两点距离的最大值称 为该图形的为该图形的“直径直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图，封闭图形的周长与直径之比称为图 形的形的“周率周率”，下面四个平面图形，下面四个平面图形(依次为正三角形、正依次为正三角形、正 方形、正六边形、圆方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为的周率从左到右依次记为a1，a2， a3，a4，则下列关系中正确的是，则下列关系中正确的是( )( ) A.a4a2a1 B.a4a3a2 C.a1a2a3 D.a2a3a4 B 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂检测
31、课堂检测 画画一个正十二边一个正十二边形形. 作法：作法：如图，分别以如图，分别以O的四的四 等分点等分点A，B，E，F为圆心，为圆心， 以以O的半径长为半径，画的半径长为半径，画8条条 弧与弧与O相交，就可以把相交，就可以把O分分 成成12等份，依次连接各等分点，等份，依次连接各等分点， 即得到正十二边形即得到正十二边形. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 课堂小结课堂小结 1.画画正多边形的方法：正多边形的方法： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧由于同圆中相等的圆心角所对的弧相相等，因等，因 此作相等的圆心角就可以此作相等的圆心角就可以等分等分圆周，从而得圆周，从而得 到相应的到相应的正多边形正多边形. 2.画画正多边形的方法正多边形的方法 1.用用量角器量角器等分圆等分圆 2.尺规尺规作图等分圆作图等分圆 24.324.3正多边形和正多边形和圆圆/ / 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习 课后作业课后作业
