1、2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 24.1 圆的有关性质 24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 你你知道赵州桥吗知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度 (弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距 离离)为为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 导入新知导入新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 3. 灵活运用灵活
2、运用垂径定理垂径定理解决有关圆的问题解决有关圆的问题. 1. 进一步认识圆，了解进一步认识圆，了解圆是轴对称图形圆是轴对称图形. 2. 理解理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应垂直于弦的直径的性质和推论，并能应 用它解决一些简单的计算、证明和作图问题用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 素养目标素养目标 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径把一个圆沿着它的任意一条直径 对折，重复几次，你发现了什么？由此对折，重复几次，你发现了什么？由此 你能得到什么结论？你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，任何一条直径所
3、在直线都是任何一条直径所在直线都是 它的对称轴它的对称轴 探究新知探究新知 圆的轴对称性圆的轴对称性 知识点 1 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / （1 1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴 是什么？你能找到多少条对称轴？是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所 在直线都是圆的对称轴. O 说一说说一说 （2 2）如何来证明圆是轴对称图形呢？）如何来证明圆是轴对称图形呢？ 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / B O A C D E 是轴对称图形是轴对称图形
4、 大胆猜想大胆猜想 已知：在已知：在O中，中，CD是直径，是直径， AB是弦，是弦， CDAB， 垂足为垂足为E 【思考思考】左左图是轴对称图形吗图是轴对称图形吗？ 探究新知探究新知 满足什么条满足什么条 件才能证明件才能证明 圆是轴对称圆是轴对称 图形呢？图形呢？ 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 证明：证明：连结连结OA、OB. 则则OAOB 又又CDAB， 直径直径CD所在的直线是所在的直线是AB的垂直平分线的垂直平分线. 对于圆上任意一点，在圆上都有关于直对于圆上任意一点，在圆上都有关于直 线线CD的对称点，即的对称点，即O关于直线关于直线CD对称对称. B O
5、 A C D E 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是圆的对称轴都是圆的对称轴. . 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 如如图，图，AB是是O的一条弦的一条弦, 直径直径CDAB, 垂足为垂足为 E.你能发现图中有那些相你能发现图中有那些相 等的线段和劣弧等的线段和劣弧? 为什么为什么? 线段线段: : AE=BE 弧弧: : AC=BC, AD=BD 理由：理由： 把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点两侧的两个半圆重合，点 A与点与点B重合重合，AE与与BE重合重合，AC和和B
6、C,AD与与BD重合重合 O A B D E C 探究新知探究新知 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 知识点 2 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 垂径定理垂径定理 O A B C D E 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧. . CD是直径是直径，CDAB， AE=BE, AC =BC, AD =BD. 推导格式：推导格式： 温馨提示：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理, ,三种三种 语言要相互转化语言要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. . 探究新知探
7、究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 想一想：想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？是，请说明为什么？ 是是 不是，因为不是，因为 没有垂直没有垂直 是是 不是，因为不是，因为CD 没有过圆心没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 2
8、24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 【思考思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命 题是真命题吗？题是真命题吗？ 过圆心过圆心 ；垂直于弦；垂直于弦； 平分弦；平分弦平分弦；平分弦 所对的优弧所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. . 上述五个条件中的上述五个条件中的任何两个条件任何两个条件都可以推出其他都可以推出其他 三个结论吗？三个结论吗？ 一条直线一条直线 过圆心过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分线所对的优弧平分线
9、所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 具备其中两条具备其中两条 其余三条成立其余三条成立 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / D O A B E C 举例证明其中一种组合方法。 已知: 求证： CD是直径是直径 CDAB，垂足为，垂足为E AE=BE AC=BC AD=BD 探究新知探究新知 证明猜想 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 如图，如图，AB是是O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使AE=BE. （1）CDAB吗？为什么？吗？为什么？ （2） B D （2）由垂径定理可得由垂径定理可得AC =BC， AD
10、 =BD. （1）连接）连接AO,BO,则则AO=BO, 又又AE=BE， OE=OE AOEBOE（SSS），）， AEO=BEO=90， CDAB. 证明举例 AC与与BC相等吗相等吗？ AD与与BD相等吗相等吗？为什么？为什么？ 探究新知探究新知 D O A B E C 证明：证明： 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 思考：思考：“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？”这个条件能去掉吗？ 如不能如不能，请举出反例，请举出反例. . 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦, ,并且平分并且平分 弦所对的弧弦所对的弧. . 垂径定理垂径定理的
11、推论的推论 O A B C D 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例1 如图，如图，OEAB于于E，若，若O的半径为的半径为10cm, OE=6cm,则则AB= cm. O A B E 解析：解析：连接连接OA， OEAB， AB=2AE=16cm. 16 22 22 1068 AEOAOE cm. 素养考点素养考点 1 垂径定理及其推论的计算垂径定理及其推论的计算 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1. 如图如图， O的弦的弦AB8cm ，直径，直径C
12、EAB于于D， DC2cm，求半径求半径OC的长的长. O A B E C D 解：解：连接连接OA， CEAB于于D， 11 84(cm) 22 ADAB 设设OC=x cm，则则OD= x-2, 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 解得解得 x=5， 即半径即半径OC的长为的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 巩固练习巩固练习 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例2已知：已知：O中弦中弦ABCD, 求证：求证：ACBD. . M C D A B O N 证明：证明：作直径作直径MNAB. ABCD，MNCD. 则则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对
13、的弧）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDM ACBD 利用垂径定理及推论证明相等利用垂径定理及推论证明相等 平行弦夹的弧相等平行弦夹的弧相等 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距过圆心作弦的弦心距（垂线（垂线 段），或段），或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线连结半径等辅助线，为应用垂径，为应用垂径 定理创造条件定理创造条件. . 归纳总结归纳总结 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 2.如如图，
14、在图，在O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两 条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E， 求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形 D O A B C E 又又 AC = AB AE = AD 四边形四边形ADOE为为正方形正方形. 证明：证明：OEAC，ODAB，ABAC OEA=EAD=ODA=90 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，AE= AC,AD= AB 2 1 2 1 巩固练习巩固练习 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 例例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问
15、题吗中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 素养考点素养考点 3 垂径定理的实际应用垂径定理的实际应用 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 解：解：如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R. 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC垂足为垂足为 D，与弧，与弧AB交于点交于点C，则则D是是AB的中的中 点，点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高. AB=37m，CD=7.23m. 解得解得R27.3（m）. 即主桥拱半径约为即主桥拱半径约为27.3m. R2=18.52+(R-7.2
16、3)2 AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23. 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 3. 如图如图a、b,一弓形弦长为一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆，弓形所在的圆 的半径为的半径为7cm，则弓形的高为，则弓形的高为 . 64 C D C B O A D O A B 图a 图b 2cm或或12cm 巩固练习巩固练习 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 在圆中有关弦长在圆中有关弦长a,半径半径r, 弦心距弦心距d（圆心到弦的圆心到弦的 距离距离），弓形高），弓形高h的计算题时，常常通过的计算题时，常常通过连半径连
17、半径或作或作 弦心距弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理 求解求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 22 2 a rd d+h=r O A B C 归纳总结归纳总结 探究新知探究新知 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 已知已知O的直径的直径CD=10cm，AB是是O的弦， 的弦，ABCD， 垂足为垂足为M，且，且AB=8cm，则，则AC的长为（的长为（ ） A2 5cm
18、B4 5cm C2 5cm或或4 5cm D2 3cm或或4 3cm 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 C 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 1. 已知已知O中，弦中，弦AB=8cm，圆心到，圆心到AB的距离为的距离为 3cm，则此圆的半径为，则此圆的半径为 . 5cm 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2. O的直径的直径AB=20cm, BAC=30 则弦 则弦AC= . 10 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 3.（分类讨论题）已知（分类讨论题）已知O的半径为的半径为10cm，弦，弦 MNEF,且且MN=
19、12cm,EF=16cm,则弦则弦MN和和EF之之 间的距离为间的距离为 . 14cm或或2cm 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么有什么 关系？为什么？关系？为什么？ 证明：证明：过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE. AECEBEDE 即即 ACBD. . A C D B O E 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力
20、提 升 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD, 点点O是弧是弧CD的圆心的圆心),其中其中CD=600m,E为弧为弧CD上的一点上的一点, 且且OECD，垂足为，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. 解解:连接连接OC. O C D E F ,CDOE 11 600300(m). 22 CFCD 222 ,OCCFOF 2 22 30090.RR 设这段弯路的半径为设这段弯路的半径为Rm,则则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 解得解得R=
21、545. 这段弯路的半径约为这段弯路的半径约为545m. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 垂径定理垂径定理 内容内容 推论推论 辅助线辅助线 一条直线满足一条直线满足: :过圆心过圆心; ;垂直于弦垂直于弦; ; 平分弦（不是直径）平分弦（不是直径）; ; 平分弦所对的优平分弦所对的优 弧弧; ;平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. . “知二推三”“知二推三” 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且平分弦并且平分弦 所对的两条弧所对的两条弧 两条辅助线：两条辅助线： 连半径，作弦心距连半径，作弦心距 构造构造RtRt利用勾股定理计算或建立方利用勾股定理计算或建立方 程程. . 基本图形及基本图形及 变式图形变式图形 课堂小结课堂小结 2 24 4. .1 1 圆的有关性质圆的有关性质/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
