1、2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 21.2 21.2 解解一元二次方程一元二次方程 21.2.4 21.2.4 一元二次方程的根与系数一元二次方程的根与系数 的的关系关系 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 1. 一元二次方程一元二次方程的求根公式是什么？的求根公式是什么？ 2 2 4 (40) 2 bbac xbac a 【想一想想一想】方程的两根方程的两根x1和和x2与系数与系数a、b、c还有还有其他关系其他关系吗？吗？ 2. 如何如何用判别式用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况
2、？来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 时时,方程有方程有两个不相等两个不相等的实数根的实数根. b2 - 4ac = 0 时时,方程有方程有两个相等的两个相等的实数根实数根. b2 - 4ac 0. 方程有两个实数根方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / （2）2x2 - - 3x - - 2 = 0. 解：解：
3、这里这里 a = 2 , b = - -3 , c = - -2. = b2 - - 4ac = （- - 3）2 4 2 (- -2) = 25 0, 方程有两个实数根方程有两个实数根. . 设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么那么 x1 + x2 = , x1 x2 = - -1 . 3 2 探究新知探究新知 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 不解不解方程，求方程两根的和与两根的积：方程，求方程两根的和与两根的积： x2+3x-1=0 2x2-4x+1=0 12 3xx 12 1xx 12 2xx 解：解： 原方程可化为：原方程可化为： 0
4、 2 1 2 2 xx 12 1 2 xx 二次项不是二次项不是1，可以，可以 先把它化为先把它化为1 1. 巩固练习巩固练习 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 例例2 已知方程已知方程5x2+kx-6=0的一个根是的一个根是2，求它的求它的 另一个根及另一个根及k的值的值. . 解：解：设方程的两个根分别是设方程的两个根分别是x1、x2，其中其中x1=2 . 所以所以：x1 x2=2x2= 即即：x2= 由于由于x1+x2=2+ = 得得：k=7. 答：答：方程的另一个根是方程的另一个根是 ，k=7. , 5 k 3 . 5 3 () 5 3 5 6 , 5 利用根与
5、系数的关系求字母的值或取值范围利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 想一想，还想一想，还 有没有别的有没有别的 做法？做法？ 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 2. 已知已知方程方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2 ,求求它它 的另一个根及的另一个根及k的值的值. 解：解： 设方程的另一个根为设方程的另一个根为x1. 把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得由根与系数关系，得x1 23k 即即 2 x1 6 x1 3 答：答：方程
6、的另一个根是方程的另一个根是3 , k的值是的值是2. 巩固练习巩固练习 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 例例3 不解方程不解方程，求方程求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、的两根的平方和、 倒数和倒数和. . 1212 31 ,. 22 xxxx 解：解：根据根与系数的关系可知：根据根与系数的关系可知： 2 22 121122 12,xxxx xx 2 22 121212 2xxxxx x 2 1331 ; 4 2 22 12 1212 113 2. 2 3 1 2 xx xxx x 利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和利用根与系数的关系求两根的平方和、倒
7、数和 素养考点素养考点 3 探究新知探究新知 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / （1）x1+x2= , (2) x1 x2= , (3) , (4)(4) . 4 1 12 14 2 21 )(xx 2 2 2 1 xx 巩固练习巩固练习 3. 设设x1, x2为方程为方程x2-4x+1=0的两个根，则的两个根，则: 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 例例4 设设x1，x2是方程是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，的两个实数根，且且 x12 +x22 =4，求，求k的值的值. 解：解：由方程有两个实数根，得由方程有两
8、个实数根，得= 4（k - 1）2 - 4k2 0 即即 -8k + 4 0. 由根与系数的关系得由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由由 x12 + x22 = 4，得得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验，经检验， k2 = 4 不合题意，舍去不合题意，舍去. 2 1 k 根与系数关系的综合题目根与系数关系的综合题目 素养考点素养考点 4 探究新知探究新知 2121.
9、.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 归纳总结归纳总结 探究新知探究新知 12 11 1. xx 12 12 ; xx x x 12 4.(1)(1)xx 1212 () 1;x xxx 12 21 3. xx xx 22 12 12 xx x x 2 1212 12 ()2 ; xxx x x x 12 5. xx 2 12 ()xx 2 1212 ()4.xxx x 222 121212 2.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时求与方程的根有关的代数式的值时, ,一般先将所求的一般先将所求的 代数式化成含两根之和代数式化成含两根之和, ,两根之积的形式两根之积的形
10、式, ,再整体代入再整体代入. . 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 解解：设方程两根分别为设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得由根与系数的关系得x1 1+ +x2 2= = , , x1 1x2 2= = 解得解得k1=9,k2= -3 当当k=9或或-3时，由于时，由于0，k的值为的值为9或或-3. 2 1k 2 3k （ ）2-4 =1 2 1k 2 3k 巩固练习巩固练习 4. 当当k为何值时，方程为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差的两根差 为为1.
11、2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 一元二次方程一元二次方程x22x=0的两根分别为的两根分别为x1和和x2，则，则x1x2 为（为（ ） A2 B1 C2 D 0 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 D 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 1. 如果如果-1是方程是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个的一个根，则另一个 根是根是_，m =_. 2. 已知已知一元二次方程一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为的两根分别为-2 和和 1 ，则：，则：p = , q= . 1 -2 3 2 -3 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基
12、础 巩 固 题 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 3.已知方程已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是的一个根是1，求它求它 的另一个根及的另一个根及m的值的值. . 解：解：将将x = 1代入方程中：代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得解得 m = 16, 设另一个根为设另一个根为x1,则：则： 1 x1 = x1 = 16 . 3 c a 16 . 3 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 4.已知已知x1,x2是方程是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根的两个根，且且
13、（x1+1)(x2+1)=4； （1）求求k的值的值； （2）求求(x1-x2)2的值的值. 解解：( (1) )根据根与系数的关系根据根与系数的关系 所以所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：解得：k=-7； 12 , xxk 12 1. 2 k x x 1 () 14, 2 k k （2）因为）因为k=-7,所以所以 则：则： 1 2 4.x x 12 7,xx 222 12121 2 ()()474 ( 4)65.xxxxx x 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 设设x1,x2是
14、方程是方程3x2 + 4x 3 = 0的两个根的两个根.利用根系数之间的关系利用根系数之间的关系, 求下列各式的值求下列各式的值. (1) (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)(2) . 2 1 1 2 x x x x 解解: : 根据根与系数的关系得根据根与系数的关系得： （1 1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2 2） 1212 4 ,1. 3 bc xxxx aa 44 (-1) 1; 33 222 21121212 121212 34 9 2xxxxxxx x xxx xx x （） - . 课堂检测课堂检测 能 力 提
15、 升 题能 力 提 升 题 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 1. 当当k为何值时，方程为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为的两根差为1. 解：解：设方程两根分别为设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则，则x1-x2=1 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得 , 2 21 k xx, 2 1 21 xx , 1 2 1 4 2 2 k , 3 2 2 k 2 3k . 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 0 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 2. 已知已知关于
16、关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程）若方程有实数根有实数根,求实数求实数m的取值范围的取值范围. （2）若方程两根）若方程两根x1,x2满足满足x1-x2= 1 求求m的值的值. 解：解：( (1) )方程有实数根方程有实数根 2 4bacD =- m的取值范围为的取值范围为m0. (2)方程有实数根方程有实数根x1,x2 . 2 , 2 2121 m m xxxx (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 . 1 2 422 m m 解得解得m=8. 经检验经检验m=8是原方程的解是原方程的解 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广
17、探 索 题 ()() 2 242mm m= -鬃- 22 448mmm=-+ 80m=? 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 根与系数的关系根与系数的关系 （韦达定理）（韦达定理） 内内 容容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个 根分别是x1、 x2，那么 应应 用用 222 121212 ()2xxxxx x 22 121212 ()()4xxxxx x 12 1212 11xx xxxx 12 b xx a 12 c x x a g 课堂小结课堂小结 2121. .2 2 解解一元二次方程一元二次方程/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
