1、2020-2021 学年重庆市合川区中考数学模拟试卷（三）学年重庆市合川区中考数学模拟试卷（三） 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）在下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B2 C0 D1 2 （4 分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （4 分）如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB 和 AC 上的点，且 DEBC，若 AE1，CEAD2，则 AB 的长是（ ） A6 B5 C4 D2 4 （4 分）如图，O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB
2、，OC若A60，ADC85，则 C 的度数是（ ） A25 B27.5 C30 D35 5 （4 分）下列命题是真命题的是（ ） A四边都相等的四边形是矩形 B菱形的对角线相等 C对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D对角线相等的平行四边形是矩形 6 （4 分）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图 1 中有 5 个棋子，图 2 中有 10 个棋子，图 3 中有 16 个棋子，则图 7 中有（ ）个棋子 A35 B40 C45 D50 7 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k+2）x22x10 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak3 Bk3 Ck3 且 k2
3、Dk3 且 k2 8 （4 分）估计（32）的值应在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 9 （4 分）某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客 可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度其中斜坡轨道 BC 的坡度（或坡比）为 i1：2，BC 12米，CD8 米，D36， （其中点 A、B、C、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯 AB 的高 度约为（ ）米 （精确到 0.1 米，参考数据：tan360.73，cos360.81，sin360.59） A5.6 B6.9 C11.4 D13.9 10
4、 （4 分）若数 a 既使关于 x 的不等式组无解，又使关于 x 的分式方程1 的 解小于 4，则满足条件的所有整数 a 的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 11 （4 分）矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH若 BCEF2，CDCE1，则 GH（ ） A1 B C D 12 （4 分）如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y的图象上，对角线 AC 与 BD 的交点恰 好是坐标原点 O，已知点 A（1，1） ，ABC60，则 k 的值是（ ） A5 B4 C3 D2 二、填空题：
5、（本大题二、填空题： （本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）分解因式：a325a 14 （4 分）武汉火神山医院建筑面积 340000000 平方厘米，拥有 1000 张床位将 340000000 平方厘米用科 学记数法表示应为 平方厘米 15 （4 分）现有五个小球，每个小球上面分别标着 1，2，3，4，5 这五个数字中的一个，这些小球除标的 数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字 4、5 的两个小球放入不透明的口袋 A 中，把分别标 有数字 1、2、3 的三个小球放入不透明的口袋 B 中，现随机从 A 和 B 两个口袋中各取出一
6、个小球，把从 A 口袋中取出的小球上标的数字记作 m，从 B 口袋中取出的小球上标的数字记作 n，且 mnk，则 y 关于 x 的二次函数 y2x24x+k 与 x 轴有交点的概率是 16 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长 AD2，分别以顶点 A、D 为圆心，线段 AD 的长为半径画弧 交于点 E，则图中阴影部分的面积是 17 （4 分）小雪和小松分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行小雪开始跑步，中途在某 地改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小雪先出发 5 分钟后，小松才骑自行车匀速回家小雪 到达图书馆恰好用了 35 分钟两人之间的距离 y（m）与小雪离开出发地的
7、时间 x（min）之间的函数图 象如图所示，则当小松刚到家时，小雪离图书馆的距离为 米 18 （4 分）一驴友分三次从 M 地出发沿着不同线路（A 线、B 线、C 线）去 N 地，在每条线路上行进的方 式都分为穿越丛林、 涉水行走和攀登这三种， 他涉水行走 4 小时的路程与攀登 6 小时的路程相等； B 线、 C 线路程相等，都比 A 线路程多 32%；A 线总时间等于 C 线总时间的一半；他用了 3 小时穿越丛林、2 小时涉水行走和 2 小时攀登走完 A 线；在 B 线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比 A 线上升了 20%、50%、50%若他用了 x 小时穿越丛林、y 小时涉水行走和
8、 z 小时攀登走完 C 线，且 x、y、z 都为 正整数，则 三、解答题： （本大题三、解答题： （本大题 7 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 70 分）分）. 19 （10 分） （1）计算： （3）0+4sin45+|1| （2）解方程：x22x20 20 （10 分）如图，已知ABC 和点 A （1）以点 A为顶点求作ABC，使ABCABC，SABC4SABC； （尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法） （2）设 D、E、F 分别是ABC 三边 AB、BC、AC 的中点，D、E、F分别是你所作的ABC 三边 AB、BC、AC的中点，求证：DEFDEF 21 （10 分）在
9、 6.26 国际禁毒日到来之际，重庆市教委为了普及禁毒知识，提高禁毒意识，举办了“关爱 生命，拒绝毒品”的知识竞赛，某校初一、初二年级分别有 300 人，现从中各随机抽取 20 名同学的测试 成绩进行调查分析，成绩如下： 初一 68 88 100 100 79 94 89 85 100 88 100 90 98 97 77 94 96 100 92 67 初二 69 97 91 69 98 100 99 100 90 100 99 89 97 100 99 94 79 99 98 79 （1）根据上述数据，将下列表格补充完成 【整理、描述数据】 ： 分数段 60 x69 70 x79 80 x
10、89 90 x100 初一人数 2 12 初二人数 2 2 1 15 【分析数据】 ：样本数据的平均数、中位数、满分率如表： 年级 平均数 中位数 满分数 初一 90.1 93 初二 92.3 20% 【得出结论】 ： （2）估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 人 （3）你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好，说明从两个方面说明你的理由 22 （10 分）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进 A、B 两种口罩生产设备若干台，已知购买 A 种口罩生 产设备共花费 360 万元，购买 B 种口罩生产设备共花费 480 万元购买的两种设备数量相同，且两种口 罩生产设备的单
11、价和为 140 万元 （1）求 A、B 两种口罩生产设备的单价； （2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本 40 元，如果按照每盒 50 元的价格进行销售，每天可以售出 500 盒后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价 1 元，则口罩的销量每天减少 20 盒，要保证每天销售 口罩盈利 6000 元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？ 23 （10 分）对于任意的两位数 m，满足 1a5，0b4，ab，我们称这样的数为“兄弟数” 将 m 的十位数字与个位数字之和，放在 m 的左侧，得到一个新的三位数 s1，放在 m 的两个数字中间得到一 个新的三位数 s2；将 m 的十位数字与个位数字之
12、差，放在 m 的右侧得到一个新的三位数 t1，放在 m 的两 个数字中间得到一个新的三位数 t2，用 s1与 t1的和减去 s2与 t2的和的差除以 9 的商记为 F（m） 例如， m41，s1541，s2451，t1413，t2431，所以 F（41）8 （1）计算：F（22） ；F（53） ； （2） 若 p， q 都是 “兄弟数” ， 其中 p10 x+1， q51+y （1x9， 0y9， x， y 是整数） ， 规定：， 当 12F（p）+F（q）139 时，求 K 的最大值 24 （10 分）数学综合实践课上，老师提出问题：如图 1，有一张长为 4dm，宽为 3dm 的长方形纸板，
13、在纸 板四个角剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来（实线为剪裁线，虚线为折叠线） ，做成一个无盖 的长方体盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？为了解决这个问题，小明同学根据学习 函数的经验，进行了如下的探究： （1）设小正方形的边长为 xdm，长方体体积为 ydm3，根据长方体的体积公式，可以得到 y 与 x 的函数关 系式是 ，其中自变量 x 的取值范围是 （2）列出 y 与 x 的几组对应值如下表： x/dm 1 y/dm3 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 （注：补全表格，保留 1 位小数点） （3）如图 2，请在平面直角坐标系中描出以补全后
14、表格中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象； （4）结合函数图象回答：当小正方形的边长约为 dm 时，无盖长方体盒子的体积最 大，最大值约为 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 A 点坐标为（，0） ，直线 BC 的解析式为 yx+2 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 作 ADBC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE，EB，BD， DC求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标； （3）将抛物线 yax2+bx+2
15、（a0）向左平移个单位，已知点 M 为抛物线 yax2+bx+2（a0）的对 称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点在（2）中，当四边形 BECD 的面积最大时，是否存 在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由 四、 解答题： （本大题四、 解答题： （本大题 1 个小题， 共个小题， 共 8 分） 解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤， 画出必要的图形 （包分） 解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤， 画出必要的图形 （包 括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卡中对
16、应的位置上 26 （8 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，AEF 为等腰直角三角形，AEF90，连接 FC，G 为 FC 的中点，连接 GD，ED （1）如图，E 在 AB 上，直接写出 ED，GD 的数量关系 （2）将图中的AEF 绕点 A 逆时针旋转，其它条件不变，如图， （1）中的结论是否成立？说明理 由 （3）若 AB5，AE1，将图中的AEF 绕点 A 逆时针旋转一周，当 E，F，C 三点共线时，直接写 出 ED 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4
17、 分）在下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B2 C0 D1 【解答】解：四个数大小关系为3201， 则比2 小的数是3， 故选：A 2 （4 分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不 是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选：C 3 （4 分）如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB 和 AC 上的点，且 DEBC，若 AE1，CEAD2，则 AB 的长是（ ） A6 B5 C4 D2 【解答】解：DEBC， ， ， AB6， 故选：A 4 （4 分）如图，O
18、中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC若A60，ADC85，则 C 的度数是（ ） A25 B27.5 C30 D35 【解答】解：A60，ADC85， B856025，CDO95， AOC2B50， C180955035 故选：D 5 （4 分）下列命题是真命题的是（ ） A四边都相等的四边形是矩形 B菱形的对角线相等 C对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D对角线相等的平行四边形是矩形 【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误； B、矩形的对角线相等，故错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确， 故选：D 6
19、 （4 分）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图 1 中有 5 个棋子，图 2 中有 10 个棋子，图 3 中有 16 个棋子，则图 7 中有（ ）个棋子 A35 B40 C45 D50 【解答】解：图 1 中棋子有 51+2+12 个， 图 2 中棋子有 101+2+3+22 个， 图 3 中棋子有 161+2+3+4+32 个， 图 7 中棋子有 1+2+3+4+5+6+7+8+7250 个， 故选：D 7 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k+2）x22x10 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak3 Bk3 Ck3 且 k2 Dk3 且 k2 【解答】
20、解：由题意可知：4+4（k+2）0， 解得：k3， k+20， k3 且 k2， 故选：D 8 （4 分）估计（32）的值应在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【解答】解： （32） 32 322 62， 223， 3624 故选：B 9 （4 分）某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客 可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度其中斜坡轨道 BC 的坡度（或坡比）为 i1：2，BC 12米，CD8 米，D36， （其中点 A、B、C、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯 AB 的高 度约为（
21、 ）米 （精确到 0.1 米，参考数据：tan360.73，cos360.81，sin360.59） A5.6 B6.9 C11.4 D13.9 【解答】解：如图 ， 由斜坡轨道 BC 的坡度（或坡比）为 i1：2，得 BE：CE1：2 设 BExm，CE2xm 在 RtBCE 中，由勾股定理，得 BE2+CE2BC2， 即 x2+（2x）2（12）2， 解得 x12， BE12m，CE24m， DEDC+CE8+2432m， 由 tan360.73，得 0.73， 解得 AE0.733223.36m 由线段的和差，得 ABAEBE23.361211.3611.4m， 故选：C 10 （4 分
22、）若数 a 既使关于 x 的不等式组无解，又使关于 x 的分式方程1 的 解小于 4，则满足条件的所有整数 a 的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：解不等式+1，得：x5a6， 解不等式 x2a6，得：x2a+6， 不等式组无解， 2a+65a6， 解得：a4， 解方程1，得：x22a， 方程的解小于 4， 22a4 且 22a2， 解得：a1 且 a0、a2， 则1a4 且 a0、a2， 所以满足条件的所有整数 a 有 1、3、4 这 3 个， 故选：B 11 （4 分）矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF
23、的中点 H，连接 GH若 BCEF2，CDCE1，则 GH（ ） A1 B C D 【解答】解：如图，延长 GH 交 AD 于点 P， 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形， ADCADGCGF90，ADBC2、GFCE1， ADGF， GFHPAH， 又H 是 AF 的中点， AHFH， 在APH 和FGH 中， ， APHFGH（ASA） ， APGF1，GHPHPG， PDADAP1， CG2、CD1， DG1， 则 GHPG， 故选：C 12 （4 分）如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y的图象上，对角线 AC 与 BD 的交点恰 好是坐标原点 O，已知
24、点 A（1，1） ，ABC60，则 k 的值是（ ） A5 B4 C3 D2 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， BABC，ACBD， ABC60， ABC 是等边三角形， 点 A（1，1） ， OA， BO， 直线 AC 的解析式为 yx， 直线 BD 的解析式为 yx， OB， 点 B 的坐标为（，） ， 点 B 在反比例函数 y的图象上， ， 解得，k3， 故选：C 二、填空题： （本大题二、填空题： （本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）分解因式：a325a a（a+5） （a5） 【解答】解：原式a（a225） a（a+5）
25、 （a5） 故答案为：a（a+5） （a5） 14 （4 分）武汉火神山医院建筑面积 340000000 平方厘米，拥有 1000 张床位将 340000000 平方厘米用科 学记数法表示应为 3.4108 平方厘米 【解答】解：3400000003.4108 故答案为：3.4108 15 （4 分）现有五个小球，每个小球上面分别标着 1，2，3，4，5 这五个数字中的一个，这些小球除标的 数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字 4、5 的两个小球放入不透明的口袋 A 中，把分别标 有数字 1、2、3 的三个小球放入不透明的口袋 B 中，现随机从 A 和 B 两个口袋中各取出一个小球，把
26、从 A 口袋中取出的小球上标的数字记作 m，从 B 口袋中取出的小球上标的数字记作 n，且 mnk，则 y 关于 x 的二次函数 y2x24x+k 与 x 轴有交点的概率是 【解答】解：画树状图如下： y 关于 x 的二次函数 y2x24x+k 与 x 轴有交点， 168k0，即 k2， 则 y 关于 x 的二次函数 y2x24x+k 与 x 轴有交点的概率为， 故答案为： 16 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长 AD2，分别以顶点 A、D 为圆心，线段 AD 的长为半径画弧 交于点 E，则图中阴影部分的面积是 【解答】解：如右图所示，连接 AE、DE， AEDEAD， AED 是
27、等边三角形， ADE60， 图中阴影部分的面积是：+（sin60）， 故答案为： 17 （4 分）小雪和小松分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行小雪开始跑步，中途在某 地改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小雪先出发 5 分钟后，小松才骑自行车匀速回家小雪 到达图书馆恰好用了 35 分钟两人之间的距离 y（m）与小雪离开出发地的时间 x（min）之间的函数图 象如图所示，则当小松刚到家时，小雪离图书馆的距离为 1500 米 【解答】 解：由图象可得：家和图书馆相距 4500 米，小雪的跑步速度为： （45003500）5200（米/分钟） ， 小雪步行的速度为：200100（米
28、/分钟） ， 设小雪在第 a 分钟时改为步行，列方程得： 200a+100（35a）4500 解得：a10 小松骑车速度为： （4500200101000）（105）300（米/分钟） 小松到家时的时间为第：4500300+520（分钟） 此时小雪离图书馆还有 15 分钟路程，100151500（米） 故答案为：1500 18 （4 分）一驴友分三次从 M 地出发沿着不同线路（A 线、B 线、C 线）去 N 地，在每条线路上行进的方 式都分为穿越丛林、 涉水行走和攀登这三种， 他涉水行走 4 小时的路程与攀登 6 小时的路程相等； B 线、 C 线路程相等，都比 A 线路程多 32%；A 线总
29、时间等于 C 线总时间的一半；他用了 3 小时穿越丛林、2 小时涉水行走和 2 小时攀登走完 A 线；在 B 线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比 A 线上升了 20%、50%、50%若他用了 x 小时穿越丛林、y 小时涉水行走和 z 小时攀登走完 C 线，且 x、y、z 都为 正整数，则 6 【解答】解：他涉水行走 4 小时的路程与攀登 6 小时的路程相等， 可以假设涉水行走的速度为 3nkm/h 与攀登的速度为 2nkm/h，穿越丛林的速度为 mkm/h 由题意：， 可得 m5n，5x+3y+2z33 x+y+z14 ， 由消去 z 得到：3x+y5， x，y 是正整数， x1，y2
30、，z11， 故答案为：6 三、解答题： （本大题三、解答题： （本大题 7 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 70 分）分）. 19 （10 分） （1）计算： （3）0+4sin45+|1| （2）解方程：x22x20 【解答】解： （1）原式1+42+1 ； （2）x22x20， x22x2， x22x+12+1， （x1）23， x1， x11+，x21 20 （10 分）如图，已知ABC 和点 A （1）以点 A为顶点求作ABC，使ABCABC，SABC4SABC； （尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法） （2）设 D、E、F 分别是ABC 三边 AB、BC、AC 的中
31、点，D、E、F分别是你所作的ABC 三边 AB、BC、AC的中点，求证：DEFDEF 【解答】 （1）解：如图，ABC即为所求作 （2）D、E、F 分别是ABC 三边 AB、BC、AC 的中点， DEAC，EFAB，DFBC， D、E、F分别是你所作的ABC三边 AB、BC、AC的中点， DEAC，EFAB，DFBC， ABCABC， ， ， DEFDEF 21 （10 分）在 6.26 国际禁毒日到来之际，重庆市教委为了普及禁毒知识，提高禁毒意识，举办了“关爱 生命，拒绝毒品”的知识竞赛，某校初一、初二年级分别有 300 人，现从中各随机抽取 20 名同学的测试 成绩进行调查分析，成绩如下：
32、 初一 68 88 100 100 79 94 89 85 100 88 100 90 98 97 77 94 96 100 92 67 初二 69 97 91 69 98 100 99 100 90 100 99 89 97 100 99 94 79 99 98 79 （1）根据上述数据，将下列表格补充完成 【整理、描述数据】 ： 分数段 60 x69 70 x79 80 x89 90 x100 初一人数 2 2 4 12 初二人数 2 2 1 15 【分析数据】 ：样本数据的平均数、中位数、满分率如表： 年级 平均数 中位数 满分数 初一 90.1 93 25% 初二 92.3 97.5
33、20% 【得出结论】 ： （2）估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 135 人 （3）你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好，说明从两个方面说明你的理由 【解答】解： （1）根据题意，得：初一人数：70 x79 的有 2 人， 80 x89 的有 4 人， 初一满分数：52025%， 初二中位数： （97+98）297.5， 故答案为：2，4，25%，97.5； （2）初一满分的人数约为：30025%75（人） ， 初二满分的人数约为：30020%60（人） ， 共有 75+60135（人） ， 故答案为：135； （3）初二学生掌握禁毒知识的水平比较好 从平均分
34、来看，初二的学生掌握禁毒知识的水平比较好； 从中位数来看，初二的学生掌握禁毒知识的水平比较好 22 （10 分）为了满足市场上的口罩需求，某厂购进 A、B 两种口罩生产设备若干台，已知购买 A 种口罩生 产设备共花费 360 万元，购买 B 种口罩生产设备共花费 480 万元购买的两种设备数量相同，且两种口 罩生产设备的单价和为 140 万元 （1）求 A、B 两种口罩生产设备的单价； （2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本 40 元，如果按照每盒 50 元的价格进行销售，每天可以售出 500 盒后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价 1 元，则口罩的销量每天减少 20 盒，要保证每天销售 口
35、罩盈利 6000 元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？ 【解答】解： （1）设 A 种口罩生产设备的单价为 x 万元，则 B 种口罩生产设备的单价为（140 x）万元， 依题意有 ， 解得 x60， 经检验，x60 是原方程的解，且符合题意， 则 140 x1406080 答：A 种口罩生产设备的单价为 60 万元，则 B 种口罩生产设备的单价为 80 万元； （2）设每盒口罩可涨价 m 元，依题意有 （5040+m） （50020m）6000， 解得 m15，m210（舍去） 故每盒口罩可涨价 5 元 23 （10 分）对于任意的两位数 m，满足 1a5，0b4，ab，我们称这样
36、的数为“兄弟数” 将 m 的十位数字与个位数字之和，放在 m 的左侧，得到一个新的三位数 s1，放在 m 的两个数字中间得到一 个新的三位数 s2；将 m 的十位数字与个位数字之差，放在 m 的右侧得到一个新的三位数 t1，放在 m 的两 个数字中间得到一个新的三位数 t2，用 s1与 t1的和减去 s2与 t2的和的差除以 9 的商记为 F（m） 例如， m41，s1541，s2451，t1413，t2431，所以 F（41）8 （1）计算：F（22） ；F（53） ； （2） 若 p， q 都是 “兄弟数” ， 其中 p10 x+1， q51+y （1x9， 0y9， x， y 是整数）
37、， 规定：， 当 12F（p）+F（q）139 时，求 K 的最大值 【解答】解： （1）F（22）22； F（53）31； （2）p，q 都是“兄弟数” ， 1x5，0y3， p 为 11，21，31，41，51；q 为 51，52，53，54； F（11）11，F（21）10，F（31）9，F（41）8，F（51）7； F（52）19，F（54）43； 12F（p）+F（q）139， F（P）11，F（q）7； F（p）10，F（q）19； F（p）9，F（q）31； F（p）8，F（q）43； ， K 的值分别为， K 的最大值为 24 （10 分）数学综合实践课上，老师提出问题：如图
38、1，有一张长为 4dm，宽为 3dm 的长方形纸板，在纸 板四个角剪去四个相同的小正方形，然后把四边折起来（实线为剪裁线，虚线为折叠线） ，做成一个无盖 的长方体盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大？为了解决这个问题，小明同学根据学习 函数的经验，进行了如下的探究： （1）设小正方形的边长为 xdm，长方体体积为 ydm3，根据长方体的体积公式，可以得到 y 与 x 的函数关 系式是 y4x314x2+12x ，其中自变量 x 的取值范围是 0 x （2）列出 y 与 x 的几组对应值如下表： x/dm 1 y/dm3 1.3 2.2 2.7 3 3.0 2.8 2.5 2 1.5
39、0.9 （注：补全表格，保留 1 位小数点） （3）如图 2，请在平面直角坐标系中描出以补全后表格中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象； （4）结合函数图象回答：当小正方形的边长约为 0.55 dm 时，无盖长方体盒子的体积最大，最大值 约为 3.03 【解答】解： （1）由已知，yx（42x） （32x）4x314x2+12x 故答案为：y4x314x2+12x 由已知 解得：0 x； 自变量 x 的取值范围是 0 x； 故答案为：0 x； （2）根据函数关系式，当 x时，y3；x1 时，y2； 故答案为：3，2； （3）根据（1）画出函数图象如图； （4）根据图象，当 x0.55dm 时
40、，盒子的体积最大，最大值约为 3.03dm3 故答案为：0.55，3.03 25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 A 点坐标为（，0） ，直线 BC 的解析式为 yx+2 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 作 ADBC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE，EB，BD， DC求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标； （3）将抛物线 yax2+bx+2（a0）向左平移个单位，已知点 M 为抛物线 yax2+bx+2（
41、a0）的对 称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点在（2）中，当四边形 BECD 的面积最大时，是否存 在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由 【解答】解： （1）直线 BC 的解析式为 yx+2，令 y0，则 x3，令 x0，则 y2， 故点 B、C 的坐标分别为（3，0） 、 （0，2） ； 则 yax2+bx+2a（x+） （x3）a（x22x6）ax22ax6a， 即6a2，解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）如图，过点 B、E 分别作 y 轴的平行线分别交 CD 于点 H，交 BC 于点 F
42、， ADBC，则设直线 AD 的表达式为：y（x+）， 联立并解得：x4，故点 D（4，） ， 由点 C、D 的坐标得，直线 CD 的表达式为：yx+2， 当 x3时，yCDx+22，即点 H（3，2） ， 设点 E（x，x2+x+2） ，则点 F（x，x+2） ， 则四边形 BECD 的面积 SSBCE+SBCDEFOB+（xDxC）BH（x2+x+2+ x2）3+42x2+3x+4， 0，故 S 有最大值，当 x时，S 的最大值为，此时点 E（，） ； （3）存在，理由： yx2+x+2（x）2+，抛物线 yax2+bx+2（a0）向左平移个单位， 则新抛物线的表达式为：yx2+， 点 A
43、、E 的坐标分别为（，0） 、 （，） ；设点 M（，m） ，点 N（n，s） ，sn2+； 当 AE 是平行四边形的边时， 点 A 向右平移个单位向上平移个单位得到 E，同样点 M（N）向右平移个单位向上平移个 单位得到 N（M） ， 即n， 则 sn2+或， 故点 N 的坐标为（，）或（，） ； 当 AE 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：+n+，解得：n， sn2+， 故点 N 的坐标（，） ； 综上点 N 的坐标为： （，）或（，）或（，） 四、 解答题： （本大题四、 解答题： （本大题 1 个小题， 共个小题， 共 8 分） 解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤， 画出必要
44、的图形 （包分） 解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤， 画出必要的图形 （包 括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 26 （8 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，AEF 为等腰直角三角形，AEF90，连接 FC，G 为 FC 的中点，连接 GD，ED （1）如图，E 在 AB 上，直接写出 ED，GD 的数量关系 （2）将图中的AEF 绕点 A 逆时针旋转，其它条件不变，如图， （1）中的结论是否成立？说明理 由 （3）若 AB5，AE1，将图中的AEF 绕点 A 逆时针旋转一周，当 E，F，C 三点共线时，直接写 出
45、 ED 的长 【解答】解： （1）结论：DEDG 理由：如图 1 中，连接 EG，延长 EG 交 BC 的延长线于 M，连接 DM 四边形 ABCD 是正方形， ADCD，BADCDAEDCBDCM90， AEFB90， EFCM， CMGFEG， CGMEGF，GCGF， CMGFEG（AAS） ， EFCM，GMGE， AEEF， AECM， DCMDAE（SAS） ， DEDM，ADECDM， EDMADC90， DGEM，DGGEGM， EGD 是等腰直角三角形， DEDG （2）如图 2 中，结论成立 理由：连接 EG，延长 EG 到 M，使得 GMGE，连接 CM，DM，延长 EF
46、 交 CD 于 R EGGM，FGGC，EGFCGM， CGMFGE（SAS） ， CMEF，CMGGEF， CMER， DCMERC， AER+ADR180， EAD+ERD180， ERD+ERC180， DCMEAD， AEEF， AECM， DAEDCM（SAS） ， DEDM，ADECDM， EDMADC90， EGGM， DGEGGM， EDG 是等腰直角三角形， DEDG （3）如图 31 中，当 E，F，C 共线时， 在 RtADC 中，AC5， 在 RtAEC 中，EC7， CFCEEF6， CGCF3， DGC90， DG4 DEDG4 如图 32 中，当 E，F，C 共线时，同法可得 DE3 综上所述，DE 的长为 4或 3
