1、第1讲 构造轴对称图形题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）思路导航1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形例题精讲【引例】 如图，在中，是角平分线，垂足为求证： 【解析】如图，延长交于点，典题精练【例1】 如图1所示： 平分，为上一点，于点则延长与交于点（如图2所示），易证进而可知点是线段的中点. 请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在中，平分，
2、求证： 【解析】 延长、相交于，在和中（ASA），同理，在和中，（ASA） 【例2】 阅读下面学习材料：如图1所示：中，取中点，连接，则叫的中位线（如图2所示）易证且我们来一起证明一下：证明：过点作交的延长线于. ,. 四边形是平行四边形. ,. 若在中，、分别是三角形的外角、的角平分线， 垂足分别是、求证：，【解析】延长、相交于点，延长、相交于点，易证，且【例3】 阅读下列学习材料：如图1 所示，平分，为上一点，为上一点.连接,在射线上截取，连接（如图2），易证 请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在四边形中，的角平分线交于，是的角平分线求证：； 【解析】 在上截取，使，连接，在和中，
3、在和中， , .【例4】 已知：如图，在四边形中，平 分求证：【分析】 证两个角的和等于，使我们联想到证这两角和等于一个平角由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角【解析】 证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点作、的垂线，垂足分别为、则在和中，, 证法二：如图，在上截取，连结，在和中，证法三：如图，延长到，连结在和中，题型二：将军饮马问题探索思路导航探索1：如图，在上找一点，使最小. 【解析】直线与的交点即为所求点，最小值为.探索2：如图，在上找一点，使最小. 【解析】做点关于直线的对称点,直线与的交点即为所求点，最小值为.【备选1】模型
4、应用： 如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小； 如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，在AC上找一点P，使PB+PE的值最小； 如图3，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值； 如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法【解析】 作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为；连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接ED交AC于P，则
5、PB+PE的最小值是；作A关于OB的对称点A，连接AC，交OB于P，PA+PC的最小值即为AC的长，AOC=60，AOC=120，作ODAC于D，则AOD=60，OA=OA=2，AD=，AC=如图4，首先过点B作BBAC于O，且OB=OB，连接DB并延长交AC于P，由AC是BB的垂直平分线，可得APB=APD【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可探索3：如图，在上找一点，使最大. 【解析】直线与的交点即为所求点，最大值为.探索4：如图，在上找一点，使最大. 【解析】做点关于直线的对称点,直线与的交点即为所求点，最大值为.探索5：如
6、图，在上找一点，使最小. 【解析】直线的中垂线与的交点即为所求点，最小值为.探索6：如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使的周长最小. 【分析】做点关于直线、的对称点、，与直线、的交点为所求点、.PCD的周长最小值为P1P2的长度【备选2】 已知如图所示，为内一点，为上一点，为上一点，则当的周长取最小值时，的度数为 (东城期末)【解析】 分别作点关于ON、OM的对称点、，连接、，显然的周长，由两点间线段最短，故的最小周长为，是等腰三角形，此时O=O=50角APB=O+O=100探索7：如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使最小. 【解析】做点关于直线的对称点
7、、过向直线作垂线、与的交点为所求点，垂足即为点CPD+CD的最小值为PC的长度【备选3】如图，在锐角三角形ABC中，BC=，ABC=45，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值【解析】 过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC于N，则CE即为CM+MN的最小值，BC=，ABC=45，BD平分ABC，BCE是等腰直角三角形，CE=4，故CM+MN的最小值为4探索8：如图，点、在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使四边形周长最小. 【解析】如图所示，作、两点分别关于直线、的对称点，连接分别交、于，点、即为所求【备选4】在MON的两边上分别找两
8、点P、Q，使得AP+PQ+QB最小（保留画图痕迹，不要求写作法）探索9：如图，直线外有两点、，有一定长线段，在直线上找到点、,使得间的距离等于定长，使得四边形的周长最小. 【解析】 如图所示，将点向右平移个长度到点,做点关于直线的对称点,连接后交直线于点,过点作,交直线于点，四边形即为所求.【备选5】如图1，在ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE的周长最小在图1中作出点P（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）请直接写出PDE周长的最小值如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上
9、的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF周长的最小值【解析】 如图1所示：8； 如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小AB=4，BC=6，G为边AD的中点，DG=AG=AM=3，MH=，CG=探索10：如图，在一组平行线1、2两侧各有两点、，在1、2间找一条线段MN,使1并且使得AM+MN+NB之和最短【备选6】如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5
10、米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADDEEB的路程最短，这个最短路程是多少米？【解析】 作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D作DD、EE即为桥证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB最短距离为米典题精练【例5】 如图，点位于内，点、分别是射线、上的动点，求的最小周长 【解析】 分别作点关
11、于、的对称点、，连接、，显然的周长，由两点间线段最短，故的最小周长等于的长，又，是等边三角形，即的最小周长为3【例6】 如图1，是的角平分线，请利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题： 如图2，在中，是直角，分别是的角平分线，相交于点请你判断写出与之间的数量关系； 如图3，在中，如果不是直角，而中的其他条件不变，请问，你在中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由（北京中考）4321 【解析】 图略 与之间的数量关系为 中的结论仍然成立证法一：如图4，在上截取，连接，为公共边，、分别是的平分线，且为公共边，可得，证法二：若，如图
12、5，过点分别作于点，于点，且分别是的平分线，思维拓展训练(选讲)训练1. 如图，已知在中，求证： 【解析】延长交于，又，训练2. 在中，、分别是三角形的内角、的角平分线，垂足分别是、求证：， 【解析】延长、相交于点，延长、相交于点，易证，且训练3. 如图所示，是内角平分线，求证：【解析】 如图，在上取一点，使，连接，平分，在中，即，训练4. 如图，正方形中，是上的一点，且，是上的一动点，求的取值范围【解析】当时，有最小值为0，此时点位于的垂直平分线与的交点处，当点与点重合时，等号成立，此时有最大值2复习巩固题型一 角平分线的常见辅助线模型（二） 巩固练习【练习1】 如图所示，在中，是的平分线，
13、交于点，若，则的面积是 （北京四中期中）【解析】 （提示：过作垂线）【练习2】 在中，平分，为垂足，为的中点，求证： 【解析】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以【练习3】 如图1所示，在中，为的中点，是的角平分线，若且交的延长线于，求证:. 如图2所示，将中改成的外角平分线，其它条件不变，则中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由 【解析】 如图3所示，延长、相交于点，在和中，故，从而，.而，故是的中位线，从而 不成立理由如下：如图4所示，延长交延长于点易证，即点为中点是中点,【练习4】 如图所示，在中，是的平分线，延长至E，使求证： 【解析】 在上取一点，使得易证得，又，平分，题型二 将军饮马问题 巩固练习【练习5】 已知的顶点坐标分别为(0，2)，(，0)，(，0)，是坐标原点.试在和边上分别找一点、，使的周长最短.画出点、两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题) 【解析】 作点关于线段、的对称点、，连接两点与、的交点为所求点、.课后测测试1. 如图内有点，试在角的两边上找两点、(均不同于点)，使的周长最小，画出、两点的位置图形，保留作图痕迹. 【解析】测试2. 如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？ 【解析】作交的延长线于点,可推出，易证，测试3. 如图，已知在中，求证： 【解析】延长交于，又，
