初二数学秋季讲义 第8讲 分式恒等变形(教师版)

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1、第第 8 讲讲 分式恒等变形分式恒等变形 对于分式的混合运算和化简求值来说,最为重要的就是细心运算,不要跳步.个别的题目要 注意是否有简便方法. 【引例】 计算 22 33 xyxy xy xxyxx 【解析】 原式 22 33 xyxy xy xxyxx 222 33 xyxy xy xxyxxyx 2 x xy 2x xy 【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分,再打开括号,但是运算量会加大,所以在运算的 时候需要思考一下简单方法. 【例1】 计算: 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲 典题精练典题精练 题型一:分式的混合运算与化简求值题型一:分式的混合运算与化简求值 23 22 ()

2、 xyx xy xyxy 22 12 239 aa aaaa 【解析】 2 () () x xy yxy ; 原式 331 232 aaa a aaa 13 22 a aa 13 22 a aa 22 22 aa aa 【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值 【变式一】已知 234 xyz ,求 2 2 xyz xyz 的值 【解析】 设 234 xyz k, 则 x=2k,y=3k,z=4k 原式 223444 223455 kkkk kkkk 【备注】已知连比,常设比值 k 为参数,这种解题方法叫见比设参法 【变式二】已知 22 60aabb,求 ab ab

3、 的值 【解析】 由 22 60aabb,有320abab, 30ab或20ab, 解得3ab 或2ab 当3ab 时,原式 3 2 3 bb bb ; 当2ab时,原式 21 23 bb bb 【探究二】将所求式变形代入求值 【变式三】已知0abc,求 111111 ()()()cba abcabc 的值 【解析】 原式 111111111 ()1()1()1cba abccabbca 111 ()()3cba abc 0abc, 原式3 【变式四】已知0abc ,且0abc,求代数式 222 abc bccaab 的值 【解析】 原式 3 33 333 bcbcabc abcabc 332

4、233 33 3 3 bcb cbcbc abc bc bc abc 【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值 【变式五】已知 2 210aa ,求分式 22 214 () 2442 aaa aaaaa 的值 【解析】 原式 2 212 (2)(2)4 aaa a aaa 2 (2)(2)(1)2 (2)4 aaa aa a aa 2 42 (2)4 aa a aa 2 11 (2)2a aaa 2 210aa , 2 21aa, 原式1 【备注】本例是将条件式化为“ 2 21aa”代入化简后的求值式再求值,这种代入的技巧叫做整 体代入 【变式六】若4360 xyz,2700 xyzxyz

5、,求 222 222 52 2310 xyz xyz 的值 【解析】 由于0 xyz ,4( )3( )60 xy zz ,2( )70 xy zz ,解得 x z =3, y z =2 222 222 52 2310 xyz xyz = 2222 2222 (52) (2310) xyzz xyzz = 22 22 5( )2( )1 2( )3( )10 xy zz xy zz = 22 22 5 3221 2 33 210 = 52 4 =13 【例2】 将下列式子先化简,再求值 已知: 2 380 xx,求代数式 2 1441 212 xxx xxx 的值; 已知: 3 1 x x ,

6、求 1 24 2 xx x 的值; 已知: 2 410aa ,且 42 32 1 5 33 ama amaa ,求 m 的值; 已知 11 3 xy ,求 232 2 xxyy xxyy 的值 【解析】 原式 2 3 32xx 当 2 380 xx时, 2 38xx 原式 3 82 3 10 2 2 2 24 1 1 1 x x x xx 2 1 ()218x x ,故 8 1 1 24 2 xx x 2 410aa , 1 4a a , 2 2 1 14a a 又 2 42 2 32 1 114 5 3 3312 3 am amam a amaam am a 37 2 m 解法一:将分子、分

7、母同除以xy,得: 原式 1122 233 2 333 11 32511 2 2 xyyx yx xy 解法二:由 11 3 xy ,得3 yx xy ,即3yxxy,代入所求分式得: 232326333 223255 xyxyxxyyxyxyxy xxyyxyxyxyxyxy 思路导航思路导航 题型题型二二:分式的恒等变形分式的恒等变形 恒等概念是对两个代数式而言, 如果两个代数式里的字母换成任意的数值, 这两个代数式的 值都相等,就说这两个代数式恒等表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式,叫做恒等变形(或恒等变换) 以恒等变形的意义来看, 它不过是将一个

8、代数式从一种形式变为另一种形式, 但有一个条件, 要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的,就是“形”变“值”不变 【引例】 已知有理数a、b、c满足 1111 abcabc ,求证:ab ,或bc ,或ca 【解析】 1111 abcabc 1111 ababcc ababcabc abc abcc abc 若0ab 则 11 abc abc 2 acbccab 2 0abacbcc 0a bcc bc 0acbc 0ac或0bc 当0ab时,即ab 综上所述ca ,或ab ,或bc 【点评】 此结论十分有用,利用它,一些题可以迎刃而解 【例3】 若n为自然数, 且 1111 abcabc ,

9、 求证: 212121212121 1111 nnnnnn abcabc 【分析】 若 1111 abcabc ,则ab 或bc 或ca ,用以解决本题就容易多了 【解析】 证明:由 1111 abcabc 得ab 或bc 或ca ,不妨设ab ,代入左边 左边 212121 111 nnn bc b 212121 111 nnn bbc 例题精讲例题精讲 典题精练典题精练 21 1 n c , 而右边 21212121 2121 11 nnnn nn bbc bbc 21 1 n c , 左边右边,原式成立 【例4】 若1abc ,求证:1 111 abc ababcbcac 【解析】 证法

10、 1:1abc , 1 c ab 代入到等式左边 左边 1 111 1 11 ab ab aba bba ababab 1 111 aab abaabaaba 1 右边 证法 2:左边 1 aababc abaabcabaabcaabcab 1 111 aab abaabaaba 1 右边 此类题型常见于解决整除问题,特别常见于一元二次方程整数根问题. 【引例】 已知 2 a x 与 2 b x 的和等于 2 4 4 x x ,求a、b的值 【解析】 22 ()2()4 2244 abab xabx xxxx 所以 4 0 ab ab ,解得 2 2 a b 思路导航思路导航 例题精讲例题精讲

11、 题型题型三三:部分分式与分离常数部分分式与分离常数 【例5】 已知 2 372 3 1111 xxAB xxxx ,其中A、B为常数,求42AB的值 【解析】 1A ,6B ,原式8 【例6】 若整数m使 6 1 m m 为正整数,则m的值为 若x取整数,则使分式 63 21 x x 的值为整数的x的值有( ) A3 个 B4 个 C6 个 D8 个 【解析】 0m ; B, 636 3 2121 x xx ,又21 |6x,216x ,3,2,1 x的整数值 有 4 个. 【例7】 已知 abc k bcacab ,求k的值 【解析】因为 abc k bcacab 所以 ()ak bc,

12、()bk ac, ()ck ab, 由+得()()()abck bck ack ab, 即2 ()abck abc 当0abc时,21k ,所以 1 2 k 当0abc时,bca ,所以1 aa k bca ,所以k的值是 1 2 或1 典题精练典题精练 训练1. 若不论x为何值,分式 2 1 2xxc 总有意义,则c 已知分式 2 215 3 xx x 的值为零,那么x的值是 . 当x 时,分式 2 1 5 x x 的值为正数. 当x满足 时, 1 0 2 x x . 【解析】 1c ;5 ;1x ;12x ; 训练2. 23 22 () xyx xy xyxy 22 2 524 1 244

13、 aaa aaa ,其中23a 【解析】 2 2 2 x xy yxy 22 2 52244 24 aaaaa aa 22 22 2 222 aa a aaa 当23a 时,原式2323 训练3. 已知 1 3x x ,求 1 24 2 xx x 的值. 【解析】 2 2 2 24 1 1 1 x x x xx 2 1 ()2 1 12x x ,故 2 42 1 112 x xx . 训练4. 已知 2 22 211 11 xxABC xxxxx ,其中A、B、C为常数,求ABC的值 【解析】 原式右边 22 2 222 11211 111 Ax xB xCxAC xBA xBxx xxxxx

14、x ,得 2AC,1BA,11B,解得10A ,11B ,8C ,从而13ABC 思维拓展训练思维拓展训练( (选讲选讲) ) 题型一题型一 分式的混合运算与化简求值分式的混合运算与化简求值 巩固练习巩固练习 【练习1】 计算: 2 22 2211 2326246 xxx xxxxx 【解析】 原式= 1x x 【练习2】 若4xy ,3xy ,则式子 11 11xy 的值为 . 【解析】 1 3 题型二题型二 分式的恒等变形分式的恒等变形 巩固练习巩固练习 【练习3】 已知x、y、z为三个不相等的实数,且 111 xyz yzx ,求证: 222 1x y z . . 【解析】 由 11 x

15、y yz , 得 11yz xy zyyz , 故 yz yz xy , 同理可得 zx zx yz , xy xy zx , 故 222 1 yzzx xy x y z xyyzzx . 题型三题型三 部分分式与分离常数部分分式与分离常数 巩固练习巩固练习 【练习4】 若 2 8 224 MNx xxx 恒成立,求 M、N 的值 【解析】 2 8 224 MNx xxx , 8 22(2)(2) MNx xxxx (2)(2)8M xN xx 则228MxMNxNx, 即228MxNxNMx 故()2()8MN xNMx, 1 4 MN NM 解得: 5 2 3 2 M N 复习巩固复习巩固

16、 【练习5】 当x为何值时,分式 2 2 365 1 1 2 xx xx 有最小值?最小值是多少? 【解析】 2 22 2 36522 66 1 22(1)1 1 2 xx xxx xx 当1x 时,原分式有最小值 4 测试1. 计算: 2 2 266 (3) 443 xxx x xxx 先化简,再求值: 2 2 121 1 24 xx xx ,其中3x 【解析】 2 2 266 (3) 443 xxx x xxx 2 2(3)1(3)(2)2 (2)3(3)2 xxx xxxx 原式 2 12 1 222 xx xxx 2 221 2 1 xxx x x 2 1 x x 当3x 时,原式 325 3 12 测试2. 已知: 22 32abab,求 2ab ab 的值. 已知 11 3 ab ,则 3 2 aabb aabb 的值是 【解析】 变形可得:()(3 )0ab ab,所以ab 或3ab,所以 21 2 ab ab 或 5 2 . 11 3 ab ,0a ,0b ,0ab 11 3 3(3)33 0 11 2(2)32 2 aabbaabbab ba aabbaabbab ba 课后测课后测

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