1、专练 14 几何中平移与旋转变换 1.实践与探究 已知： ABC 和 DOE 都是等腰三角形，CAB=DOE=90 ，点 O 是 BC 的中点，发现结论： (1)如图 1，当 OE 经过点 A，OD 经过点 C 时，线段 AE 和 CD 的数量关系是_，位置关系是 _ (2)在图 1 的基础上，将 DOE 绕点 O 顺时针旋转 ( )得到图 2，则问题(1)中的结论是否成 立？请说明理由 (3)如图 3 在(2)的基础上，当 AE=CE 时，请求出 的度数 (4)在(2)的基础上， DOE 在旋转的过程中设 AC 与 OE 相交于点 F，当 OFC 为等腰三角形时，请直接写 出 的度数 【答案
2、】 (1)AE=CD；AECD (2)中的结论仍然成立 理由如下：连接 AO，延长 DC 交 AE 于点 M，设 OE，MD 相交于点 N ABC 是等腰直角三角形，O 是 BC 的中点 AO=CO，AOBC AOC=EOD=90 AOE=COD OE=OD AOECOD(SAS) AE=CD，AEO=CDO CDO+OND=90 ，且OND=MNE AEO+MNE=90 DME=90 DMAE 即 DCAE (3)连接 OA，如图 3， AE=CE，OA=OC OE 是 AC 的垂直平分线 AOE=COE=45 =45 (4)若 OF=FC 时，如图 4， ABC 是等腰直角三角形，BAC=
3、90 ， ACB=45 FOC=45 AOBC AOC=90 AOF=90 -45 =45 ，即 =45 ； 当 OC=FC 时，如图 5， ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ， ACB=45 FOC= AOBC AOC=90 AOF=90 -67.5 =22.5 ，即 =22.5 ； 综上所述， 的度数为 45 或 22.5 【解析】解：(1)ABC 是等腰三角形，CAB =90 ， ACB=45 点 O 是 BC 的中点， AOBC AOC 是等腰直角三角形， AO=CO DOE 是等腰三角形，DOE=90 ， EO=DO EO-AO=DO-CO 即 AE=CD OE 经过点 A，O
4、D 经过点 C， AECD 故答案为：AE=CD AECD 2.如图(1)，在矩形 中， ，点 分别是边 的中点，四边形 为矩 形，连接 (1)问题发现 在图(1)中， _； (2)拓展探究 将图(1)中的矩形 绕点 旋转一周，在旋转过程中， 的大小有无变化？请仅就图(2)的情形给出 证明； (3)问题解决 当矩形 旋转至 三点共线时，请直接写出线段 的长 【答案】 (1) (2) 的大小无变化. 证明：如图(1)，连接 ， 由题意可知： ， ， 即 ， 在矩形 中， ， ， ， 在矩形 中， ， ， ， ， ， ； (3) 或 如图(2)，图(3)： 如图(2)，当点 在线段 上，由(2)知
5、， ， ，在 中 ， ， ， ； 当点 在 的延长线上时，由(2)知， ， ，在 中 ， ， 综上所述， 或 【解析】(1)解：延长 FG 交 BC 于点 H， 则 ， ， ， ， ， 故答案为： 3.如图 (1)【问题探究】 如图，锐角 ABC 中，分别以 AB、AC 为边向外作等腰直角 ABE 和等腰直角 ACD ， 使 AE AB ， ADAC ， BAECAD90 ，连接 BD ， CE ， 试猜想 BD 与 CE 的大小关系，不需 要证明 (2)【深入探究】 如图，锐角 ABC 中，分别以 AB、AC 为边向外作等腰 ABE 和等腰 ACD ， 使 AEAB ， AD AC ， BA
6、ECAD ， 连接 BD、CE ， 试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理由 (3)【拓展应用】 如图，在 ABC 中，ACB=45 ，以 AB 为直角边，A 为直角顶点向外作等腰直角 ABD ， 连接 CD ， 若 AC= ，BC=3，则 CD 长为_ 【答案】 (1)BD=CE (2)解：BD=CE 理由：BAE+BAC=CAD+BAC，即CAE=DAB， 在 CAE 和 DAB 中， ) ， CAEDAB(SAS)， BD=CE； (3) 【解析】(1)证明：EAB+BAC=DAC+BAC，即CAE=DAB， 在 CAE 和 DAB 中， ) ， CAEDAB(SAS)， BD=C
7、E； (3)解：如图，作等腰直角 CAE，使CAE=90 ， 由题(1)得 BE=CD， EC= AC=2， BCA+ACE=90 ， BE= . 故答案为： . 4. (1)(问题情境)如图，在 中， ， ，点 D 为 中点，连结 ，点 E 为 上一点，过点 E 且垂直于 的直线交 于点 F易知 与 的数量关系为_ (2)(探索发现)如图，在 中， ， ，点 D 为 中点，连结 ，点 E 为 的延长线上一点，过点 E 且垂直于 的直线交 的延长线于点 F (问题情境)中的结论还成立吗？请说明理由 (3)(类比迁移)如图，在等边 中， ，点D是 中点，点E是射线 上一点(不与点A、 C 重合)
8、，将射线 绕点 D 逆时针旋转 交 于点 F当 时， _ 【答案】 (1) (2)解：成立，理由如下： 在 Rt ABC 中，D 为 AB 中点， CDBD， 又ACBC， DCAB， DBCDCB45 ， DEDF， EDF90 ， EDBBDFCDFBDF90 ， CDFBDE， ADFCDE， AFCE， CFBE； (3) 或 【解析】 解：问题情境：证明：在Rt ABC中，ACB90 ，ACBC，点D为AB中点，CDAB， CDBDAD AB，BCDB45 ， BDC90 ， EDF90 ， CDFBDE， 在 BDE 与 CDF 中， BDCF，BDCD，BDECDF， BDECD
9、F(ASA)， BECF； 类比迁移：ABC 是等边三角形， AB60 ， FDE60 ， BDF120ADE，AED120ADE， BDFAED， AEDBDF， ， 点 D 为 AB 中点，AB4， ADBD2，ACBC4， CF2CE， 设 CEx，则 CF2x， 当点 E 在线段 AC 上时， AE4x，BF42x， ， 解得：x3 ，x3 (不合题意，舍去)， CE3 ， 如图，当点 E 在 AC 的延长线上时， AE4x，BF42x， ， 解得：x1 ，(负值舍去)， CE1 综上所述，CE3 或1 ， 故答案为：CE3 或1 5.如图 (1)如图 1，直线 m经过等腰直角 ABC
10、 的直角顶点 A，过点 B、C 分别作 BDm，CEm，垂足分别是 D、 E.求证：BDCEDE； (2)如图 2，直线 m 经过 ABC 的顶点 A，ABAC，在直线 m 上取两点 D、E，使ADBAEC， 补充BAC_(用 表示)，线段 BD、CE 与 DE 之间满足 BDCEDE，补充条件后并证明； _ (3)在(2)的条件中，将直线 m 绕着点 A 逆时针方向旋转一个角度到如图 3 的位置，并改变条件ADB AEC_(用 表示).通过观察或测量，猜想线段 BD、CE 与 DE 之间满足的数量关系，并予以证 明._ 【答案】 (1)解：BDm，CEm，ABC=90 ，AC=BC， ADB
11、 和 AEC 都是直角三角形， DBA+DAB=90 ， ECA+EAC=90 ， BAC=90 ， DAB+EAC=90 ， DAB=ECA， 又ADB=CEA=90 ，AB=BC， 所以 ADBCEA(AAS)， BD=AE，DA=EC， DE=DA+AE=EC+BD， BDCEDE. (2)；解：等腰 ABC 中，AC=CB， ADB=BAC=CEA=， DAB+EAC=180 -， ECA+CAE=180 -， DAB=ECA， ADB=CEA=，AC=CB， ADBCEA(AAS)， CE=AD，BD=AE， AD+BE=CE+CD， 所以 BD+CE=DE. (3)180 -；证明
12、：数量关系为 DE=CE-BD， ADBAEC180 -，BAC=， ABD+BAD=，BAD+EAC=， ABD=CAE， AB=AC， BADACE(AAS)， AD=CE，BD=AE， DE=AD-AE=EC-BD. 【解析】(2)解：等腰 ABC 中，AC=CB， ADB=BAC=CEA=; (3)解：180 -，数量关系为 DE=CE-BD， ADBAEC180 - 6.将一副三角尺如图摆放，在 中， ；在 中， ，点 为 的中点， 交 于点 ， 经过点 . (1)求 的度数； (2)如图，将 绕点 顺时针方向旋转角 ( )，此时的等腰直角三角尺记为 ， 交 于点 ， 交 于点 ，试
13、判断 的值是否随着 的变化而变化？如 果不变，请求出 的值；反之，请说明理由. 【答案】 (1)解：如图， ，点 为 的中点， ， ， ， ； (2)解：如图， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 的值不随着 的变化而变化，是定值 . 7.将两个全等的直角三角形 ABC和 DBE按图方式摆放，其中ACBDEB90 ，AD30 ， 点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F. (1)求证：AF+EFDE； (2)若将图中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60180，其它条件不变，如图.你认为(1) 中猜想的结论还成立吗
14、？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理 由； (3)若将图中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 060，其它条件不变，请在图中画出变换 后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立. 【答案】 (1)证明：连接 BF，如图， ABCDBE(已知)， BC=BE，AC=DE. ACB=DEB=90 ， BCF=BEF=90 . 在 Rt BFC 和 Rt BFE 中， Rt BFCRt BFE(HL). CF=EF. 又AF+CF=AC， AF+EF=DE. (2)证明：连接 BF， ABCDBE， BC=BE， ACB=DEB=90
15、， BCF 和 BEF 是直角三角形， 在 Rt BCF 和 Rt BEF 中， ， BCFBEF(HL)， CF=EF； ABCDBE， AC=DE， AF=AC+FC=DE+EF. (3)解：画出正确图形如图： 同(1)得 CF=EF， ABCDBE， AC=DE， AF+FC=AF+EF=AC=DE. (1)中的结论 AF+EF=DE 仍然成立； 8.如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个 大的长方形 ABEF现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEPD，旋转角为 a. (1)当点 D恰好落在 E
16、F 边上时，求旋转角 a 的值; (2)如图 2，G 为 BC 中点，且 0 a 之 90 ，求证:GD=ED; (3)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中, DCD与 A CBD能否全等?若能，直接写出旋转角 的值:若不能说明理由. 【答案】 (1)解：长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD， CD=CD=2， 在 Rt CED中，CD=2，CE=1， CDE=30， CD EF， =30 (2)证明： G 为 BC 中点， CG=1，CG=CE， 长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD， DCE=DCE=90 ，CE=CE=CG， GCD=DCE=9
17、0+， 在 GCD和 ECD 中 ， GCDECD(SAS)，GD=ED (3)解：能理由如下：四边形 ABCD 为正方形， CB=CD，CD=CD， BCD与 DCD为腰相等的两等腰三角形， 当BCD=DCD时， BCDDCD， 当 BCD与 DCD为钝角三角形时，则旋转角 = =135 ， 当 BCD与 DCD为锐角三角形时， BCD= DCD= BCD=45 则 =360 =315 ，即旋转角 a 的值为 135 或 315 时， BCD与 DCD全等 9.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形” (1)概念理解： 如图1，在四边形 中，添加一个条件，使
18、得四边形 是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条 件_； (2)概念延伸： 下列说法正确的是_(填入相应的序号) 对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形； 一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形； 有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形； 一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形； (3)问题探究： 如图 ，小红画了一个 ，其中 ， ， ，并将 沿 的 平分线 方向平移得到 ，连结 ， ，要使平移后的四边形 是“邻好四边形” 应平移多少距离(即线段 的长)？ 【答案】 (1)AB=AD (2) (3)ABC=90 ，AB=2，BC=1， AC= ， 将
19、 Rt ABC 平移得到 ABC， BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC= ， (I)如图 1，当 AA=AB 时，BB=AA=AB=2； (II)如图 2，当 AA=AC时，BB=AA=AC= ； (III)当 AC=BC= 时， 如图 3，延长 CB交 AB 于点 D，则 CBAB， BB平分ABC， ABB= ABC=45 ， BBD=ABB=45 BD=BD， 设 BD=BD=x， 则 CD=x+1，BB= x， 在 Rt BCD 中，BD2+CD2=BC2 x2+(x+1)2=( )2 ， 解得： ， (不合题意，舍去)， BB= x ； ()当 BC=A
20、B=2 时，如图 4， 同理可得：BD2+CD2=BC2 ， 设 BD=BD=x， 则 x2+(x+1)2=22 ， 解得： ， (不合题意，均舍去)， BB= x 综上所述，要使平移后的四边形 ABCA是“邻好四边形”应平移 2 或 或 1 或 【解析】(1)AB=BC 或 BC=CD 或 AD=CD 或 AB=AD 答案：AB=AD；(2)符合题意，理由为： 四边形的对角线互相平分， 这个四边形是平行四边形， 四边形是“邻好四边形”， 这个四边形有一组邻边相等， 这个“邻好四边形”是菱形； 不符合题意，理由为：一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”也有可能是等腰梯形； 不符合题意，理
21、由为：有两个内角为直角的“邻好四边形”不是平行四边形时，该结论不成立； 符合题意，理由为：一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角可得到“四个角都是直角”，则 该四边形是矩形，根据“邻边相等的矩形为正方形”， 所以的说法符合题意 故答案是：； 10.如图 1，已知直线 MN GH，且 MN 和 GH 之间的距离为 1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板 ACB 和 DEF，其中ACB=90 ，DFE=90 ，BAC=45 ，EDF=30 ，AC=1.小明利用这两块三角板进 行了如下的操作探究： (1)如图 1，点 A 在 MN 上，边 BC 在 GH 上，边 DE 在直线 AB 上. 将
22、直角三角形 DEF 沿射线 BA 的方向平移，当点 F 在 MN 上时，如图 2，求AFE 的度数； 将直角三角形DEF从图 2 的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角 形时，求FAN 度数； (2)将直角三角形 ABC 如图 3 放置，若点 A 在直线 MN 上，点 C 在 MN 和 GH 之间(不含 MN，GH 上)，边 BC 和 AB 与直线 GH 分别交于 D，K.在 ABC 绕着点 A 旋转的过程中，设MAK=n ，CDK=(4m2n 10) ，则 m 的取值范围为_. 【答案】 (1)解：DFE=90 ， DEF+EDF=90 ， EDF=30 ，
23、DEF=60 ， DEF=EAF+AFE， AFE=DEFEAF=60 45 =15 ； 如图，当AFD=90 时， ACB=90 ， BAC+ABC=90 ， BAC=45 ABC=45 ， MNGH， BAN=ABC=45 ， AFD=90 ， FAD+ADF=90 ， ADF=30 ， FAD=60 ， FAN=FADBAN=60 45 =15 ； 如图，当FAD=90 时， FAN=FADBAN=90 45 =45 ， FAN 度数为 15 或 45 ； (2) 【解析】解:(2)如图，BAC=45 ，ACB=90 ， AKD+CDK=360 -90 -45 =225 ， MNGH，
24、MAK=AKD=n ， AKD+CDK=225 ， (n+4m-2n-10) =225 ， 整理得：n =(4m-235) ， AC=1，且 EF 和 GH 之间的距离为 1， BC=1， 如图，点 C 在直线 MN 上时，点 B、K、D 重合，MAK= n =180 -45 =135 ， 如图，点 C 在直线 GH 上时，点 B、K、D 重合，MAK= n =90 -45 =45 ， 点 C 在 MN 和 GH 之间(不含 MN、GH 上)， 45 n 135 ， 即 45 (4m-235) 135 ， m 的取值范围是：70 m92.5 . 故答案为：70 m92.5 . 11.如图，菱形
25、 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=6，BD=18，E，F 在对角线 BD 上. (1)若 BE=DF， 判断四边形 AECF 的形状并说明理由； 若 BE=AE，求线段 EF 的长； (2)将(1)中的线段 EF 从当前位置沿射线 BD 的方向平移，若平移过程中EAO=EFA，求此时 OF 的长. 【答案】 (1)解：四边形 ABCD 为菱形 ACBD，OA=OC，OB=OD BE=DF OB-BE=OD-DF OE=OF ACEF 且 OA=OC，OE=OF 四边形 AECF 是菱形； 由可知四边形 AECF 是菱形 EF=2OE 又四边形 ABCD 是菱形 OB= ，
26、 设 OE=x，则 AE=BE=9-x 在 Rt AOE 中， ，解得 x=4 EF=2OE=8 (2)解：在(1)的位置下，EF=8，且 ACEF AOE=FOA=90 又在平移过程中，EAO=EFA AOE 与 FOA 相似 如图：当点 E 在 O 点左侧时， AOEFOA 设 OF=x，则 OE=8-x 此时 ，即 解得： ， (不合题意，舍去) 当点 E 在 O 点右侧时， AOEFOA 设 OF=x，则 OE=x-8 此时 ，即 解得： ， (不合题意，舍去) 综上所述，OF 的长为 9 或 . 12.在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一
27、起，使点 A 与点 F 重 合，点C与点D重合(如图1)，其中ACBDFE90 ，BCEF3cm，ACDF4cm，并进行如下研 究活动. (1)活动一：将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移，连结 AE，BD(如图 2)，当点 F 与点 C 重合时停止平移. (思考)图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由. (2)(发现)当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形(如图 3).求 AF 的长. (3)活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度(090)，连结 OB， OE(如图 4). (探究)当
28、 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由. 【答案】 (1)解：四边形 ABDE 是平行四边形. 证明：如图，ABCDEF， ABDE，BACEDF， ABDE， 四边形 ABDE 是平行四边形； (2)解：如图 1，连接 BE 交 AD 于点 O， 四边形 ABDE 为矩形， OAODOBOE， 设 AFx(cm)，则 OAOE (x+4)， OFOAAF2 x， 在 Rt OFE 中，OF2+EF2OE2 ， ， 解得：x ， AF cm. (3)解：BD2OF， 证明：如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H， 四边形 ABDE 为矩形， OABOBAODEOED，OAOBOEOD， OBDODB，OAEOEA， ABD+BDE+DEA+EAB360 ， ABD+BAE180 ， AEBD， OHEODB， EF 平分OEH， OEFHEF， EFOEFH90 ，EFEF， EFOEFH(ASA)， EOEH，FOFH， EHOEOHOBDODB， EOHOBD(AAS)， BDOH2OF.
