1、 1 【类型综述】 计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题 函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式 中待定几个字母，就要代入几个点的坐标 还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律 【方法揭秘】 代数计算和说理较多的一类题目， 是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组， 消去 y，得到关于 x 的一元二次方程，然后根据确定交点的个数 我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法来源: 如图 1，已知直线 yx1 与 x 轴交于点 A，抛物线 yx2
2、2x3 与直线 yx1 交于 A、B 两点，求点 B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点 A 的坐标，另一个解计算点的坐标 几何法是这样的：设直线 AB 与 y 轴分别交于 C，那么 tanAOC1 作 BEx 轴于 E，那么1 BE AE 设 B(x, x22x3)，于是 2 23 1 1 xx x 来源:Z.X.X.K 请注意，这个分式的分子因式分解后， (1)(3) 1 1 xx x 这个分式能不能约分，为什么？ 因为 x1 的几何意义是点 A，由于点 B 与点 A 不重合，所以 x1，因此约分以后就是 x31 这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分
3、，直接化为一元一次方程，很简便 图 1 【典例分析】 例 1 在平面直角坐标系中，C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于C 的反称点的定义如 下：若在射线 CP 上存在一点 P，满足 CPCP2r，则称点 P为点 P 关于C 的反称点如图 1 为点 P 2 及其关于C 的反称点 P的示意图 特别地，当点 P与圆心 C 重合时，规定 CP0 （1）当O 的半径为 1 时， 分别判断点 M(2, 1)，N 3 ( ,0) 2 ，T (1, 3)关于O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标； 点 P在直线 yx2 上，若点 P 关于O 的反称点 P存在，且点 P不在 x 轴上，求
4、点 P 的横坐标的取 值范围； （2）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 3 2 3 3 yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，若线段 AB 上 存在点 P，使得点 P 关于C 的反称点 P在C 的内部，求圆心 C 的横坐标的取值范围 例 2 已知二次函数 ya(xm)2a(xm)（a、m 为常数，且 a0） （1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图像的顶点为 C，与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D 当ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值 当ABC 的面积与ABD 的面积相等时，求 m 的值 例 3 如图
5、 1，在ABC 中，BCAC，ACB90 ，点 D 在 AB 边上，DEAC 于点 E （1）若 1 3 AD DB ，AE2，求 EC 的长； （2）设点 F 在线段 EC 上，点 G 在射线 CB 上，以 F、C、G 为顶点的三角形与EDC 有一个锐角相等， FG 交 CD 于点 P问：线段 CP 可能是CFG 的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由 3 图 1 例 4 已知二次函数 yx2bxc 的图像经过点 P(0, 1)与 Q(2, 3) （1）求此二次函数的解析式； （2）若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像于点 B，分别过 点
6、B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，且所得四边形 ABCD 恰为正方形 求正方形的 ABCD 的面积； 联结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E，求证：PADPEA 例 5 如图 1，抛物线 2 1 (3)1 2 yx与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）联结 CD，过原点 O 作 OECD，垂足为 H，OE 与抛物线的对称轴交于点 E，联结 AE、AD求证： AEOADC； （3）以（2）中的点 E 为圆心，1 为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点 P，过 P 作E 的切线， 切点
7、为 Q，当 PQ 的长最小时，求点 P 的坐标，并直接写出点 Q 的坐标 【变式训练】 一、解答题(本大题共 20 题) 1已知二次函数 （1）该抛物线与 轴交于点 ，顶点为 ，求点 的坐标； （2）在（1）的条件下， 轴是否存在一点 ，使得最短？若 点存在，求出 点的坐标；若 点不存 在，请说明理由. 2已知抛物线 yx2+2kxk2+k+3（k为常数）的顶点纵坐标为 4 4 （1）求 k的值；来源:ZXXK （2）设抛物线与直线 y （x3） （m0）两交点的横坐标为 x1，x2，nx1+x22，若 A（1，a） ，B（b， ）两点在动点 M（m，n）所形成的曲线上，求直线 AB 的解析式
8、； （3）将（2）中的直线 AB 绕点（3，0）顺时针旋转 45 ，与抛物线 x 轴上方的部分相交于点 C，请直接写 出点 C的坐标 3已知：二次函数满足下列条件： 抛物线 y=ax2+bx 与直线 y=x 只有一个交点； 对于任意实数 x，a(-x+5)2+b(-x+5)=a(x-3)2+b(x-3) 都成立. （1） 、求二次函数 y=ax2+bx 的解析式 （2） 、若当-2xr(r0)时，恰有 ty1.5r 成立，求 t和 r 的值. 4在平面直角坐标系 xOy中，已知两点 A（0，3） ，B（1，0） ，现将线段 AB绕点 B按顺时针方向旋转 90 得到线段 BC，抛物线 y=ax2
9、+bx+c经过点 C （1）如图 1，若抛物线经过点 A和 D（2，0） 求点 C 的坐标及该抛物线解析式； 在抛物线上是否存在点 P，使得POB=BAO，若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在， 请说明理由； （2）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 E（2，1） ，点 Q在抛物线上，且满足QOB=BAO， 若符合条件的 Q点恰好有 2 个，请直接写出 a 的取值范围 5平面直角坐标系 xOy （如图） ，抛物线 y=x2+2mx+3m2（m0）与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B左侧） ， 与 y轴交于点 C，顶点为 D，对称轴为直线 l，过点 C
10、作直线 l的垂线，垂足为点 E，联结 DC、BC （1）当点 C（0，3）时， 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； 5 求证：DCE=BCE； （2）当 CB平分DCO时，求 m的值 6已知抛物线 y=x2+bx+c（b，c 是常数）与 x 轴相交于 A，B两点（A 在 B的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）当 A（1，0） ，C（0，3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P（m，t）为抛物线上的一个动点 当点 P 关于原点的对称点 P落在直线 BC上时，求 m 的值； 当点 P 关于原点的对称点 P落在第一象限内，PA2取得最小值时，求 m的值及这个最小值 7已知二次函数 ymx22
11、mx+n 的图象经过（0，3） （1）n _； （2） 若二次函数 ymx22mx+n 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 m 值； （3） 若二次函数 ymx22mx+n 的图象与平行于 x 轴的直线 y5 的一个交点的横坐标为 4，则另 一个交点的坐标为 ； （4） 如图， 二次函数 ymx22mx+n 的图象经过点 A （3， 0） ， 连接 AC， 点 P 是抛物线位于线段 AC 下方图象上的任意一点，求PAC 面积的最大值 9如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点坐标为 P（2，9） ，与 x轴交于点 A，B，与 y轴 6 交于点 C（0，5） （）求二次函数
12、的解析式及点 A，B的坐标； （）设点 Q 在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点 Q也在抛物线上，求点 Q的坐标； （）若点 M在抛物线上，点 N在抛物线的对称轴上，使得以 A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 且 AC为其一边，求点 M，N 的坐标来源:Z。X。X。K 10如图抛物线 y=ax2+bx，过点 A（4，0）和点 B（6，2） ，四边形 OCBA是平行四边形，点 M（t，0） 为 x轴正半轴上的点，点 N为射线 AB 上的点，且 AN=OM，点 D为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式，并直接写出点 D的坐标； （2）当AMN的周长最小时，求 t的值； （3）如图，过
13、点 M 作 MEx 轴，交抛物线 y=ax2+bx于点 E，连接 EM，AE，当AME与DOC相似 时请直接写出所有符合条件的点 M 坐标 11抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0） ，B（ ，0） ，且与 y轴相交于点 C （1）求这条抛物线的表达式； （2）求ACB 的度数； （3）点 D是抛物线上的一动点，是否存在点 D，使得 tanDCB=tanACO若存在，请求出点 D的坐标， 7 若不存在，说明理由 12已知抛物线 C：y=x22x+1的顶点为 P，与 y轴的交点为 Q，点 F（1， ） （1）求 tanOPQ的值； （2）将抛物线 C向上平移得到抛物线 C，点
14、Q平移后的对应点为 Q，且 FQ=OQ 求抛物线 C的解析式； 若点 P 关于直线 QF的对称点为 K，射线 FK与抛物线 C相交于点 A，求点 A 的坐标 13如图 1，抛物线 l1：y=x2+bx+3 交 x 轴于点 A、B， （点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，其对称轴为 x=1，抛物线 l2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（5，0） ，交 y 轴于点 D（0，5） （1）求抛物线 l2的函数表达式； （2）P 为直线 x=1 上一动点，连接 PA、PC，当 PA=PC 时，求点 P 的坐标； （3）M 为抛物线 l2上一动点，过点 M 作直线 MNy 轴（如图
15、2 所示） ，交抛物线 l1于点 N，求点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值 8 14如图，抛物线 y=+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，3） ，点 D 是 x 轴上 一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 旋转得到 DE，过点 E 作直线 lx 轴，垂足为 H，过点 C 作 CFl 于 F，连接 DF （1）求抛物线解析式； （2）若线段 DE 是 CD 绕点 D 顺时针旋转 90 得到，求线段 DF 的长； （3）若线段 DE 是 CD 绕点 D 旋转 90 得到，且点 E 恰好在抛物线上，请求出点 E 的坐标 15
16、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C分别在 x 轴，y轴的正半轴上，且 OA=4，OC=3， 若抛物线经过 O，A两点，且顶点在 BC边上，对称轴交 AC于点 D，动点 P 在抛物线对称轴上，动点 Q在 抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）当 PO+PC的值最小时，求点 P 的坐标； （3）是否存在以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P，Q的坐标；若不存 在，请说明理由 16定义：如图 1，在平面直角坐标系中，点 M 是二次函数图象上一点，过点 M 作轴，如果二次函 数的图象与关于 l成轴对称，则称是关于点 M的伴随函数 如图 2，在平
17、面直角坐标系中，二次函数 的函数表达式是， 点 M 是二次函数图象上一点， 且点 M的横坐标为 m， 二次函数是关 于点 M 的伴随函数 9 若， 求的函数表达式 点，在二次函数的图象上，若，a的取值范围为_ 过点 M 作轴， 如果，线段 MN 与的图象交于点 P，且 MP：3，求 m 的值 如图 3，二次函数的图象在 MN 上方的部分记为，剩余的部分沿 MN 翻折得到，由和所组成 的图象记为 .以、为顶点在 x 轴上方作正方形直接写出正方形 ABCD 与 G有三个公共点 时 m 的取值范围 17平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的横坐标分别为 a、a+2，二次函数 y=x2+（m2）x
18、+2m 的图象经 过点 A、B，且 a、m 满足 2am=d（d 为常数） （1）若一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A、B 两点 当 a=1、d=1 时，求 k 的值； 若 y 随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围； （2）当 d=4 且 a2、a4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （3）点 A、B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A、B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C、D，线段 CD 的长 度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由 18如图 1，已知抛物线 L1：y=x2+2x+3与 x轴交于 A，B 两点（点 A在点 B的
19、左侧） ，与 y轴交于点 C， 在 L1上任取一点 P，过点 P 作直线 lx轴，垂足为 D，将 L1沿直线 l翻折得到抛物线 L2，交 x轴于点 M， N（点 M 在点 N 的左侧） 10 （1）当 L1与 L2重合时，求点 P 的坐标； （2）当点 P 与点 B重合时，求此时 L2的解析式；并直接写出 L1与 L2中，y均随 x的增大而减小时的 x的 取值范围； （3）连接 PM，PB，设点 P（m，n） ，当 n= m时，求PMB 的面积 19如图，平面直角坐标系中，直线 l：y= x+m交 x轴于点 A，二次函数 y=ax23ax+c（a0，且 a、c是常 数）的图象与 x 轴交 于
20、A、B 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，与直线 l交于点 D，已知 CD 与 x轴平行，且 SACD：SABD=3：5 （1）求点 A的坐标； （2）求此二次函数的解析式； （3）点 P 为直线 l上一动点，将线段 AC绕点 P 顺时针旋转（0 360）得到线段 AC（点 A， A是对应点，点 C，C是对应点） 请问：是否存在这样的点 P，使得旋转后点 A和点 C分别落在直线 l 和 抛物线 y=ax23ax+c的图象上？若存在，请直接写出点 A的坐标；若不存在，请说明理由来源:Z.X.X.K 20在平面直角坐标系中，已知二次函数 y=k（xaxb） ，其中 ab （1）若此二次函数图象经过点（0，k） ，试求 a，b满足的关系式 （2）若此二次函数和函数 y=x22x的图象关于直线 x=2对称，求该函数的表达式 （3）若 a+b=4，且当 0x3 时，有 1y4，求 a 的值
