1、专练 18 函数中的相似问题 1.如图，抛物线 交x轴于A ， B两点，交y轴于点C ， 直线BC的表达式为y=-x+3 (1)求抛物线的表达式； (2)动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC ， DB ， 设 BCD的面积为S ， 求S的最大 值； (3)当点 D 为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点 Q ， 使得以 A ， C ， Q 为顶点的三角形与 BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：把 代入 ， 得： ， 把 代入 ， 得： ， ， ， 将 ， 代入 ， 得： 解得 ， 抛物线的表达式为 ； (2)解：设 ，则 ， ， ，
2、 当 时，S 有最大值，最大值为 (3)解： ， 又 ， ， ， ， ， 如图所示：连接 AC ， ， ， ， 又 ， 当 Q 的坐标为 时， 过点 C 作 ，交 x 轴与点 Q 为直角三角形， ， 又 ， ， 即 ， 解得： 过点 A 作 ，交 y 轴与点 Q 为直角三角形， ， 又 ， ，即 ， 解得： ， 综上所述：当 Q 的坐标为 或 或 时，以 A，C，Q 为顶点的三角形与 相似 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，AD6，若 OA、OB 的长是关于 x 的一元二 次方程 的两个根，且 OAOB. (1)求 OA、OB 的长； (2)若点 E 为 x 轴上的
3、点，且 S AOE ，求经过 D、E 两点的直线解析式，并判断 AOE 与 AOD 是否 相似； (3)若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？ 若存在，直接写出 F 点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：解一元二次方程 得 ， OAOB OA4，OB3； (2)解：设 E(x，0)，由题意得 解得 E( ，0)或( ，0)， 四边形 ABCD 是平行四边形， 点 D 的坐标是(6，4) 设经过 D、E 两点的直线的解析式为 若图象过点( ，0)，(6，4) 则 ，解得 此时函数解析式为 若图象过点( ，0)，
4、(6，4) 则 ，解得 此时函数解析式为 在 AOE 与 DAO 中， ， 又AOE=OAD=90 AOEDAO； (3)解：OB=OC=3， AO 平分BAC， AC、AF 是邻边，点 F 在射线 AB 上时，AF=AC=5， 所以点 F 与 B 重合， 即 F(-3，0)； AC、AF 是邻边，点 F 在射线 BA 上时，M 应在直线 AD 上，且 FC 垂直平分 AM， 点 F(3，8)； AC 是对角线时，作 AC 垂直平分线 L， AC 解析式为 ， 则直线 L 过( ，2)，且 k 值为 (平面内互相垂直的两条直线 k 值乘积为-1)， L 解析式为 ，联立直线 L 与直线 AB
5、求交点， F( ， )； AF 是对角线时，过 C 做 AB 垂线，垂足为 N，根据等积法求出 ，勾股定理得 做 A 关于 N 的对称点即为 F， ， 过 F 做 y 轴垂线，垂足为 G， F( ， )； 综上所述，满足条件的点有四个：(-3，0)，(3，8)，( ， )，( ， ) 3.如图，过点 的直线 与 轴交于点 过点 的另一直线 与 轴交于点 ，点 是射线 上的一个动点，过 作 轴于点 ，设 (1)求直线 的函数解析式 (2)当点 在线段 上运动时，设 面积为 ，求 与 之间的函数关系式(要求写出 自变量 的取值范围) (3)当点 在射线 上运动时，是否存在这样的 值，使以 ， ，
6、的顶点的三角形与 相似？若存在，直接写出所有满足条件的 值所对应的 点坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解： ， ， 设 ，将 ， 代入上式得： 解得 ， ， 函数解析式为 (2)解：由 ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 与 轴交于点 ，得 当 在 、 之间时(如图 1) ， 当 在 、 之间时(如图 2)， (3)解：存在 的值，使以 、 、 为顶点的三角形与 相似 当 在 、 之间时， ， ， 当 时， 即 解得： ，则 当 时， 即 解得： ， 则 当 在 、 之间时，则 同理可得： ， 或者 ， 当 在 的右侧时， ，则 ， 4.如图，平面直角坐标系中，直线
7、分别与 x 轴，y 轴交于 B、A 两点 (1)求 A、B 两点的坐标 (2)直线 与 交于点 C，与 x 轴交于点 D，与 y轴交于点 F， 且 ， 求 的解析式 (3)解答下列问题 如图，在(2)的条件下，点 H 在 上，连接 ， ，将线段 绕点C逆时针旋转至 ，连接 ，当 时，求 的长 直线 与 y 轴交于点 P，G 为直线 上一动点，当以 G、P、A 为顶点的三角形与 相似时， 直接写出 G 点的坐标 【答案】 (1)解：令 ，得 ， ； 令 ，得 ， (2)解：如图，作 于 E 点， 则 ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 把点 C 的坐标代入 得： ，解得
8、 ， ， ， 设 的解析式为 ， ，解得 ， 的解析式为 (3)解： ， ， ， ， 即 ， 由(2)得： ， ， 由(1)得： ， ， ， ， 作 轴交于点 N， 轴交于点 y，作 轴交 HD 于点 E，交 x 轴于点 J，交 KL于点 Q， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， BD=22， N 是 BD 的中点， ， ， ，且 ， ， ， 在 与 中， ， ， KQ=CJ=8，CQ=BJ=16， KL=11，FL=12， 由得 K(11，8)， 设 的解析式为： ， ， 解得： ， ， 令 ， ， ， 由得， 为等腰三角形， ， 与 相似，则 也为等腰三角形， ， 当
9、 时， 过 G1 点作 轴于 S 点， 设 ， ， ， 或 (舍去)， ； 当 时， A、P 的中点坐标为 ， 令 y= ，则 ， 解得：x= ， ； 当 时， 点在 轴右侧， ， ， ， 即此时不存在一点 G 使以 为顶点的三角形与 相似 综上， ， 5.如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对 称轴为直线 x ，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m (1)求抛物线的表达式； (2)当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； (3)
10、抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与 相似？若存在，求出m的值；若 不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：设 OBt，则 OA2t，则点 A、B 的坐标分别为(2t，0)、(t，0)， 则 x (2tt)，解得：t1， 故点 A、B 的坐标分别为(2，0)、(1，0)， 则抛物线的表达式为：ya(x2)(x+1)ax2+bx+2， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； (2)解：对于 yx2+x+2，令 x0，则 y2，故点 C(0，2)， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx+2， 设点 D 的横坐标为 m，则点 D(m，m2+m+2)，则
11、点 F(m，m+2)， 则 DFm2+m+2(m+2)m2+2m， 10，故 DF 有最大值，此时 m1，点 D(1，2)； (3)解：存在，理由： 点 D(m，m2+m+2)(m0)，则 ODm，DEm2+m+2， 以点 O，D，E 为顶点的三角形与 BOC 相似， 则 或 ，即 2 或 ，即 2 或 ， 解得：m1 或2(舍去)或 或 (舍去)， 故 m1 或 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，批物线yx24xa(a0)与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点(点 E 在点 F 的右侧)，顶点为 M.直线 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，与直线 AM 交于点 D. (1)求抛物线的
12、对称轴； (2)在 y 轴右侧的抛物线上存在点 P，使得以 P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求 a 的值； (3)如图，过抛物线顶点 M 作 MNx 轴于 N，连接 ME，点 Q 为抛物线上任意一点，过点 Q 作 QGx 轴 于G，连接QE.当a5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与 MNE相似(不含全等)？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：yx24xa(x2)2a4， 抛物线的对称轴为直线 x2； (2)解：由 y(x2)2a4 得：A(0，a)，M(2，a4)， 由 y xa 得 C(0，a)， 设直线 AM 的解析式为 y
13、kxa， 将 M(2，a4)代人 ykxa 中，得 2kaa4， 解得 k2， 直线 AM 的解析式为 y2xa， 联立方程组得 ，解得 ， D( a， a)， a0， 点 D 在第二象限， 又点 A 与点 C 关于原点对称， AC 是以 P、A、C、D 为顶点的平行四边形的对角线，则点 P 与点 D 关于原点对称， 即 P( a， a)， 将点 P( a， a)代入抛物线 yx24xa，解得 a 或 a0(舍去)， a ； (3)解：存在， 理由如下：当 a5 时，yx24x5(x2)29，此时 M(2，9)， 令 y0，即(x2)290，解得 x11，x25， 点 F(1，0)E(5，0)
14、， ENFN3 MN9， 设点 Q(m，m24m5)，则 G(m，0)， EG|m5|QG|m24m5|， 又 QEG 与 MNE 都是直角三角形，且MNEQGE90 ， 如图所示，需分两种情况进行讨论： i)当 时，即 ， 解得 m2 或 m4 或 m5(舍去)； 当 m2 时点 Q 与点 M 重合，不符合题意，舍去， 当 m4 时，此时 Q 坐标为点 Q1(4，27)； ii)当 时，即 ， 解得 m - 或 m 或 m5(舍去)， 当 m - 时，Q 坐标为点 Q2( - ， - )， 当 m ，Q 坐标为点 Q3( ， )， 综上所述，点 Q 的坐标为(4，27)或( ， )或( ，
15、). 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 与 x 轴、y 轴的交点分别为 ， 抛物线 过 B ， C 两点，动点 M 从点 D 开始以每秒 5 个单位长度的速度沿 的方向运动到达 C 点后停止运动动点 N 从点 O 以每秒 4 个单位长度的速度沿 方向 运动，到达C点后，立即返回，向 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 上反复运动， 当点 M 停止运动时，点 N 也停止运动，设运动时间为 (1)求抛物线的解析式； (2)求点 D 的坐标； (3)当点 M ， N 同时开始运动时，若以点 M ， D ， C 为顶点的三角形与以点 B ， O ， N 为顶 点的三角形相似，求 t
16、的值； (4)过点 D 与 x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点 Q ， 将线段 沿过点 B 的直线翻折，点 A 的对 称点为 ，求 的最小值 【答案】 (1)将 代入 得 ，解得 抛物线的解析式为： (2)作 于点 E (3)若点 M 在 DA 上运动时， 当 ，则 ，即 不成立，舍去 当 ，则 ，即 ，解得： 若点 M 在 BC 上运动时， 当 ，则 ，即 当 时， ，解得 (舍去) 当 时， ，无解； 当 ，则 ，即 当 时， ，解得 (舍去) 当 时， ，解得 综上所示：当 时， ； 时 (4)作点 D 关于 x 轴的对称点 F，连接 QF 交 x 轴于点 N 点 D ， 点 由 得
17、对称轴为 点 故 的最小值为 8.在平面直角坐标系 中，把与 x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线 的顶点为D，交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线 与 是 “共根抛物线”，其顶点为 P. (1)若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式； (2)当 的值最大时，求点 P 的坐标； (3)设点Q是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 与 相似，求其“共根抛物 线” 的顶点 P 的坐标. 【答案】 (1)解：当 时， ，解得 ， . 、 、 . 由题意得，设 对应的函数表达式为 ， 又 经过点 ， ， . 对应的函数表达式为 . (2)解： 、
18、 与 轴交点均为 、 ， 、 的对称轴都是直线 . 点 在直线 上. . 如图 1，当 A、C、P 三点共线时， 的值最大， 此时点 P 为直线 与直线 的交点. 由 、 可求得，直线 对应的函数表达式为 . 点 . (3)解： 由题意可得， ， ， ， 因为在 中， ，故 . 由 ，得顶点 . 因为 的顶点 P 在直线 上，点 Q 在 上， 不可能是直角. 第一种情况：当 时， 如图 2，当 时，则得 . 设 ，则 ， . 由 得 ，解得 . 时，点 Q 与点 P 重合，不符合题意， 舍去，此时 . 如图 3，当 时，则得 . 设 ，则 . . 由 得 ，解得 (舍)，此时 . 第二种情况：
19、当 时， 如图 4，当 时，则得 . 过 Q 作 交对称轴于点 M， . .由图 2 可知 ， . ，又 ，代入得 . 点 ， 点 . 如图 5，当 时，则 . 过 Q 作 交对称轴于点 M， ，则 . 由图 3 可知 ， ， ， ， . 又 ，代入得 . 点 ， 点 ， 综上所述， 或 或 或 . 9.如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左边)，与 y 轴交于点 C.直线 经过 B、C 两点. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线 及x轴分别交于点D、M. ， 垂足为 N.设 . 点P在抛物线上运动，若P、D、M三点
20、中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写 出符合条件的 m 的值； 当点 P 在直线 下方的抛物线上运动时，是否存在一点 P，使 与 相似.若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)解：由直线 经过 B、C 两点得 B(4，0)，C(0，-2) 将 B、C 坐标代入抛物线得 ，解得 ， 抛物线的解析式为： ； (2)解： ，垂足为 N. P(m， )，D(m， )， 分以下几种情况： M 是 PD 的中点时，MD=PM，即 0-( )= 解得 ， (舍去)； P 是 MD 的中点时，MD=2MP，即 =2( ) 解得 ， (舍去)； D 是 MP
21、 的中点时，2MD=MP，即 =2( ) 解得 ， (舍去)； 符合条件的 m 的值有-2， ，1； 抛物线的解析式为： ， A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-2) AO=1，CO=2，BO=4， ，又 =90 ， ， ， 与 相似 ， ， ， 点 P 的纵坐标是-2，代入抛物线 ，得 解得： (舍去)， ， 点 P 的坐标为：(3，-2) 10.如图，二次函数yax2bx4的图象与x轴交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶 点为 D，其对称轴与线段 BC 交于点 E垂直于 x 轴的动直线 l 分别交抛物线和线段 BC 于点 P 和点 F，动 直线 l 在抛物线的对
22、称轴的右侧(不含对称轴)沿 x 轴正方向移动到 B 点 (1)求出二次函数 yax2bx4 和 BC 所在直线的表达式； (2)在动直线 l 移动的过程中，试求使四边形 DEFP 为平行四边形的点 P 的坐标； (3)连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形 与 DCE 相似，如果存在，求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：由题意，将 A(-10)，B(40)代入 ，得 ，解得 ， 二次函数的表达式为 ， 当 时，y=4， 点 C 的坐标为(0，4)，又点 B 的坐标为(4，0)， 设线段 BC 所在直线的表达式
23、为 ， ，解得 ， BC 所在直线的表达式为 ； (2)解：DEx 轴，PFx 轴， DEPF， 只要 DE=PF，此时四边形 DEFP 即为平行四边形 由二次函数 y=- +3 +4=( - ) 2+ ，得 D 的坐标为( ， )， 将 代入 ，即 y=- +4= ，得点 E 的坐标为( ， )， DE= - = ， 设点 P 的横坐标为 t，则 P(t，-t2+3t+4)，F(t，-t+4)， PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t， 由 DE=PF，得-t2+4t= ， 解之，得 t1= (不合题意，舍去)，t2= ， 当 t= 时，-t2+3t+4=-( )2+3 +4=
24、， P 的坐标为( ， )； (3)解：由(2)知，PFDE， CED=CFP， 又PCF 与DCE 有共同的顶点 C，且PCF 在DCE 的内部， PCFDCE， 只有当PCF=CDE 时， PCFCDE， 由 D ( ， )，C(0，4)，E( ， )，利用勾股定理，可得 CE= ，DE= ， 由(2)以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(t，-t+4)， CF= ， PCFCDE， ，即 ， t0， ( )=3， t= ， 当 t= 时，-t2+3t+4=-( )2+3 +4= 点 P 的坐标是( ， ) 11.如图所示，抛物线 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，
25、点 M 为抛物线的顶 点 (1)求点 C 及顶点 M 的坐标 (2)若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 、 求 面积的最大值及此时点 N 的坐标 (3)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形 是平行四边形若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理由 (4)直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)解：令 中 x=0，此时 y=-3，故 C 点坐标为(0,-3)， 又二次函数的顶点坐标为
26、 ，代入数据解得 M 点坐标为 ， 故答案为：C 点坐标为(0，-3)， M 点坐标为(1，-4)； (2)解：过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，连接 BN，CN，如下图所示： 令 中 y=0，解得 B(3,0)，A(-1,0)， 设直线 BC 的解析式为： ，代入 C(0,-3)，B(3,0)， ，解得 ，即直线 BC 的解析式为： ， 设 N 点坐标为( )，故 Q 点坐标为 ，其中 ， 则 ，其中 分别表示 Q,C,B 三点的横坐标， 且 ， ， 故 ，其中 ， 当 时， 有最大值为 ， 此时 N 的坐标为( )， 故答案为： 有最大值为 ，N 的坐标为( )； (3)
27、解：设 D 点坐标为(1,t)，G 点坐标为( )，且 B(3,0)，C(0,-3) 分类讨论： 情况：当 DG 为对角线时，则另一对角线是 BC，由中点坐标公式可知： 线段 DG 的中点坐标为 ，即 ， 线段 BC 的中点坐标为 ，即 ， 此时 DG 的中点与 BC 的中点为同一个点， 故 ，解得 ， 检验此时四边形 DCGB 为平行四边形，此时 G 坐标为(2，-3)； 情况：当 DB 为对角线时，则另一对角线是 GC，由中点坐标公式可知： 线段 DB 的中点坐标为 ，即 ， 线段 GC 的中点坐标为 ，即 ， 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， 故 ，解得 ， 检验此时四边形
28、 DCBG 为平行四边形，此时 G 坐标为(4，5)； 情况：当 DC 为对角线时，则另一对角线是 GB，由中点坐标公式可知： 线段 DC 的中点坐标为 ，即 ， 线段 GB 的中点坐标为 ，即 ， 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， 故 ，解得 ， 检验此时四边形 DGCB 为平行四边形，此时 G 坐标为(-2，1)； 综上所述，G 点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)； (4)解：连接 AC，OP，如下图所示， 设 MC 的解析式为：y=kx+m，代入 C(0,-3)，M(1，-4) 即 ，解得 MC 的解析式为： ，令 ，求得 E 点坐标为(-3,0)， OE
29、=OB=3，且 OC=OC， CE=CB，即B=E， 设 P(x,-x-3)，又P 点在线段 EC 上，-3x0， 则 ， ， 由题意知： PEO 相似 ABC， 分类讨论： 情况： ，解得 ，满足-3x0，此时 P 的坐标为 ； 情况： ，解得 ，满足-3x0，此时 P 的坐标为 综上所述，P 点的坐标为 或 12.如图，已知抛物线 经过两点 ， ， 是抛物线与 y 轴的交点. (1)求抛物线的解析式； (2)点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为S，求S关于m的函数表 达式(指出自变量 的取值范围)和 的最大值； (3)点 M 在抛物线上运动，点 N 在 y 轴上运动，
30、是否存在点 M、点 使得 ，且 与 相似，如果存在，请求出点 M 和点 N 的坐标. 【答案】 (1)解：将 、 代入 ， 得： ，解得： ， 抛物线的解析式为 (2)解：过点 P 作 轴，交 于点 F，如图 1 所示. 当 时， ， 点 C 的坐标为 . 设直线 的解析式为 ， 将 、 代入 ，得： ，解得： ， 直线 的解析式为 . 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ， ， ， 当 时， 面积取最大值，最大值为 . 点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， (3)解：存在点 M、点 N 使得 ，且 与 相似. 如图 2， ，当点 M 位于点 上方，过点 M 作 轴于点 D， ， ， ， 若 与 相似，则 与 相似， 设 ， ， ， ， 当 时， ， ， 解得， ， ， 此时 ， ， 当 时， ， ， 解得 ， ， ， 此时 . 如图 3，当点 M 位于点 C 的下方， 过点 M 作 轴于点 E， 设 ， ， ， ， 同理可得： 或 ， 与 相似， 解得 或 ， ， 或 ， 此时 点坐标为 或 . 综合以上得， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ，使得 ，且 与 相似.
