1、专题训练(四)相似中的综合性问题类型一三角形中的分类讨论题1.如图4-ZT-1,已知P是RtABC的斜边BC上任意一点,过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与ABC相似,那么点D的位置最多有()图4-ZT-1A.2处 B.3处 C.4处 D.5处2.将三角形纸片ABC按图4-ZT-2所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B,折痕为EF.已知AB=AC=8,BC=10.若以B,F,C为顶点的三角形与ABC相似,则BF的长度是()图4-ZT-2A.5 B.409C.247或4 D.5或4093.2019铜山月考 如图4-ZT-3,在ABC中,ACB=90,AC=3,BC
2、=2,以AC为斜边向外作RtACD,当AD为何值时,这两个直角三角形相似.图4-ZT-3类型二四边形中的相似4.如图4-ZT-4,在ABCD中,E是BC上一点,BEEC=23,AE交BD于点F,则BFFD等于()图4-ZT-4A.25 B.35 C.23 D.575.如图4-ZT-5,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3.若在线段AB上取一点P,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似,则这样的点P有()图4-ZT-5A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图4-ZT-6,四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出A
3、BP和ECP相似的是()图4-ZT-6A.APB=EPC B.BAP=CEPC.BPBC=23 D.P是BC的中点7.如图4-ZT-7,将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上,恰好完全重合,BE,CE分别交AD于点F,G,BC=6,AFFGGD=321,则AB的长为()图4-ZT-7A.1 B.2 C.3 D.28.如图4-ZT-8,在ABCD中,过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且AFE=B.(1)求证:ADFDEC;(2)若AB=8,AD=63,AF=43,求AE的长.图4-ZT-8类型三圆中的相似9.如图4-ZT-9所示,AB是半圆O的直径,D
4、,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使ADC与ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是()图4-ZT-9A.ACD=DAB B.AD=DEC.ADAB=CDBD D.AD2=BDCD10.如图4-ZT-10,O是ABC的外接圆,已知AD平分BAC交O于点D,AD=5,BD=2,则DE的长为()图4-ZT-10A.35 B.425 C.225 D.4511.如图4-ZT-11,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD,过点B作BECD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.(1)求证:CODCBE;(2)求半圆O的半
5、径r的长.图4-ZT-11类型四坐标系中的相似12.如图4-ZT-12,在平面直角坐标系中,直线y=-12x+2与y轴、x轴分别交于点A,B,在第二象限内找一点P,使PAO和AOB相似,则符合题意的点P有()图4-ZT-12A.2个 B.3个 C.4个 D.5个13.如图4-ZT-13,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,ADAB=31,则点C的坐标是()图4-ZT-13A.(2,7) B.(3,7) C.(3,8) D.(4,8)14.如图4-ZT-14,直线y=12x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,BOC与BOC是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1
6、3,则点B的对应点B的坐标为.图4-ZT-1415.如图4-ZT-15所示,在平面直角坐标系中,CBOA,OE=2EB,CB=3,OA=6,BA=35,OD=5.求证:ODEOBC.图4-ZT-15教师详解详析1.B解析 截得的小三角形与ABC相似,过P作AC的垂线,作AB的垂线,作BC的垂线,所截得的小三角形均满足题意,则点D的位置最多有3处.故选B.2.D解析 根据折叠得到BF=BF,根据相似三角形的性质得到BFAB=FCBC或BFAB=FCAC.设BF=x,则FC=10-x,即可求出x=409或x=5.3.解:在RtABC中,由勾股定理可得AB=AC2+BC2=13.当ABCACD时,A
7、BAC=ACAD,133=3AD,AD=91313;当ABCCAD时,ABCA=BCAD,133=2AD,AD=61313.综上所述,当AD=91313或AD=61313时,这两个直角三角形相似.4.A解析 BEEC=23,BEBC=25.四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC,BEAD=25,EBFADF,BFDF=BEDA=25.故选A.5.C解析 当DAPCBP时,ADAP=BCBP,将已知数据代入可得AP=145;当DAPPBC时,ADAP=BPBC,将已知数据代入可得AP=1或AP=6.所以这样的点有3个.故选C.6.D7.C解析 四边形ABCD是矩形,AB=CD,AD=B
8、C=6,A=D=90.E=90,EFG+EGF=90,AFB+DGC=90.AFB+ABF=90,ABF=DGC,AFBDCG,AFDC=ABGD.AFFGGD=321,AF=3,GD=1,AB2=AFGD=3,AB=3.故选C.8.解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ADBC,C+B=180,ADF=DEC.AFD+AFE=180,AFE=B,AFD=C.在ADF与DEC中,AFD=C,ADF=DEC,ADFDEC.(2)四边形ABCD是平行四边形,CD=AB=8.由(1)知ADFDEC,ADDE=AFCD,DE=ADCDAF=63843=12.在RtADE中,由勾股定理,
9、得AE=DE2-AD2=122-(63)2=6.9.C10.D解析 AD平分BAC,BAD=DAC.DBC=DAC,DBC=BAD.又ADB=BDE,ABDBED,BD2=ADDE,DE=45.11.解:(1)证明:CD切半圆于点D,OD为O的半径,CDOD,CDO=90.BECD于点E,E=90.又C=C,CODCBE.(2)在RtBEC中,CE=12,BE=9,CB=CE2+BE2=122+92=15.CODCBE,ODBE=COCB,即r9=15-r15,r=458.12.C13.A解析 如图,过点C作CEy轴,垂足为E.OD=2OA=6,OA=3.CED=CDA=90,ECD+CDE=
10、90,CDE+ADO=90,ECD=ADO.CED=DOA=90,CEDDOA,CEDO=DEAO=CDAD.又CD=AB,CE6=DE3=13,CE=2,DE=1,OE=7,点C的坐标为(2,7).14.(-8,-3)或(4,3)解析 直线y=12x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0可得y=1;令y=0可得x=-2,点A和点B的坐标分别为(-2,0),(0,1).BOC与BOC是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为13,OBOB=AOAO=13,OB=3,AO=6,点B的坐标为(-8,-3)或(4,3).故答案为(-8,-3)或(4,3).15.证明:过点B作BGx轴于点G.CBOA,COA=90,OCB=90.又BGx 轴,四边形BCOG为矩形.CB=3,OG=3,GA=OA-OG=6-3=3.在RtAGB中,BG2=AB2-GA2=(3 5)2-32=36,BG=6,OC=6.同理,OB=35,由OE=2BE,得OE=25,BE=5,ODOB=OEOC=53.又DOE=BOC,ODEOBC.
