1、2019-2020 学年学年太原市小店区太原市小店区高三上高三上第一次月考数学试卷（第一次月考数学试卷（9 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有_项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x23x0，Bx|yln（x2），则 AB（ ） A （2，+） B （2，3） C （3，+） D （，2） 2 （5 分）下列函数与 yx 有相同图象的一个函数是（ ） Ay（）2 By Cy（a0 且 a1） Dylogaax 3 （5 分）设函数，
2、则 f（f（2） ）的值为（ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分）函数 f（x）e xx 的零点所在的区间是（ ） A （1，） B （，0） C （0，） D （，1） 5 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）的大致图象为（ ） A B C D 6 （5 分）已知命题 p：xR，x22xsin+10；命题 q：，R，sin（+）sin+sin，则下列命题 中的真命题为（ ） A （p）q B（pq） C （p）q Dp（q） 7 （5 分）知，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 8 （5 分）设集合 A，B，则 AB 是 ABA 成立的（
3、） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）若函数 f（x）满足 f（x）x3f（1） x2x，则 f（1）的值为（ ） A0 B2 C1 D1 10 （5 分）曲线 y2xlnx 在 xe 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A B Ce2 D2e2 11 （5 分）已知函数 ，其中 f（x）为函数 f（x）的导数，则 f（2018）+f（2018） +f（2019）f（2019）（ ） A2 B2019 C2018 D0 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且当 x0 时，f（x）若 对任意的 xm，
4、m+1，不等式 f（1x）f（x+m）恒成立，则实数 m 的最大值是（ ） A1 B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）幂函数 f（x）的图象过点，则 14 （5 分）命题“xR，f（x） g（x）0”的否定是 15 （5 分）已知函数 f（x）是定义域为（，+）的偶函数，且 f（x1）为奇函数，当 x0，1时，f （x）1x3，则 f（） 16 （5 分）已知函数 f（x）lnx+x3与 g（x）x3ax 的图象上存在关于原点对称的对称点，则实数 a 的 取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三
5、、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）设集合 Ax|a2x2a+3，xR，Bx|x26x+50 （1）若 ABB，求实数 a 的取值范围； （2）若 AUB，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）给出下列两个命题：命题 p：函数 yloga（12x）在定义域上单调递增；命题 q：不等式（a 2）x2+2（a2）x40 的解集为（，+） 若“p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，求 a 的取值范围 19 （12 分）已知某公司生产某产品的年固定成本为 100 万元，每生产 1 千件需另投入 27 万元，设该公司 一年内生产该产品 x 千件（0 x25
6、）并全部销售完，每千件的销售收入为 R（x）万元，且 （1）写出年利润 f（x） （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润年销售收入 年总成本） 20 （12 分）已知函数 f（x）ax2+mx+m1（a0） （1）若 f（1）0，判断函数 f（x）的零点个数； （2）若对任意实数 m，函数 f（x）恒有两个相异的零点，求实数 a 的取值范围； （3）已知 x1，x2R 且 x1x2，f（x1）f（x2） ，求证：方程 f（x）f（x1）+f（x2）在区间（x1， x2）上有实数根 21 （12 分）已知定义
7、域为 R 的函数是奇函数， （1）求 a，b 的值； （2）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，求 k 的取值范围 22 （10 分）已知函数 f（x）|xa|+2|x+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）设不等式 f（x）|2x+4|的解集为 M，若0，3M，求 a 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有_项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax
8、|x23x0，Bx|yln（x2），则 AB（ ） A （2，+） B （2，3） C （3，+） D （，2） 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x23x0 x|0 x3， Bx|yln（x2）x|x2 ABx|2x3（2，3） 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）下列函数与 yx 有相同图象的一个函数是（ ） Ay（）2 By Cy（a0 且 a1） Dylogaax 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数 【解答】解：对于 A，yx 的定义
9、域为x|x0，与 yx 的定义域 R 不同，不是同一函数； 对于 B，yx 的定义域为x|x0，与 yx 的定义域 R 不同，不是同一函数； 对于 C，yx 的定义域为x|x0，与 yx 的定义域 R 不同，不是同一函数； 对于 D，ylogaaxx 的定义域为 R，与 yx 的定义域 R 相同，对应关系也相同，是同一函数 故选：D 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目 3 （5 分）设函数，则 f（f（2） ）的值为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】求出 f（2）的值，再求出 f（f（2） ）的值即可 【解答】解：f（f（2） ）f（log33）f（1）2
10、e02， 故选：C 【点评】本题考查了函数求值问题，考查指数以及对数的运算，是一道基础题 4 （5 分）函数 f（x）e xx 的零点所在的区间是（ ） A （1，） B （，0） C （0，） D （，1） 【分析】由题意可以画出 ye x 与 yx 的图象，他们的交点就是函数 f（x）e xx 的零点，从而求 解 【解答】解：函数 f（x）e xx，画出 yex 与 yx 的图象，如下图： 当 x时，y， 当 x1 时，y11， 函数 f（x）e xx 的零点所在的区间是（ ，1） 故选：D 【点评】此题主要考函数零点与方程根的关系，利用数形结合求解，是一道好题 5 （5 分）已知函数 f
11、（x），则 f（x）的大致图象为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行排除即可 【解答】解：因为 f（x）f（x） ， 所以函数为奇函数，排除 B 选项， 当 x+时，f（x）+，排除 C，D， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用极限思想以及函数的奇偶性进行排除是解决本题的 关键 6 （5 分）已知命题 p：xR，x22xsin+10；命题 q：，R，sin（+）sin+sin，则下列命题 中的真命题为（ ） A （p）q B（pq） C （p）q Dp（q） 【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可 【解答】解
12、：关于命题 p：xR，x22xsin+10，4sin240，故 p 是真命题， 关于命题 q：，R，sin（+）sin+sin，是真命题， （p）q 是真命题， 故选：C 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及三角函数问题，是一道基础题 7 （5 分）知，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 【分析】利用对数函数的单调性直接求解 【解答】解：1701， 1log1616， a，b，c 的大小关系为 abc 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 8 （5 分）设集合 A，B，则
13、 AB 是 ABA 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据子集的概念，交集的概念以及充要条件的概念，即可找出正确选项 【解答】解：若 AB，则 A 的元素都是集合 B 的元素，ABA； AB 是 ABA 的充分条件； 若 ABA，则 A 的元素都是集合 B 的元素，AB； AB 是 ABA 的必要条件； AB 是 ABA 成立的充要条件 故选：C 【点评】考查子集、交集、充要条件的概念 9 （5 分）若函数 f（x）满足 f（x）x3f（1） x2x，则 f（1）的值为（ ） A0 B2 C1 D1 【分析】先根据 f（x）x3f（1
14、） x2x 求导，再把 x1 代入，求 f（1）的值 【解答】解；求函数 f（x）x3f（1） x2x 的导数，得，f（x）x22f（1）x1， 把 x1 代入，得，f（1）12f（1）1 f（1）0 故选：A 【点评】本题考查了函数的求导公式，属于基础题，做题时不要被 f（x）中的 f（x）所迷惑 10 （5 分）曲线 y2xlnx 在 xe 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A B Ce2 D2e2 【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（e，2e）处的切线方程，只须求出 其斜率的值即可，故先利用导数求出在 xe 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切
15、线的斜 率从而问题解决 【解答】解：y2xlnx， y2（1lnx+x）2+2lnx， y（e）4， 切线方程为 y2e4（xe） ， 此直线与 x 轴、y 轴交点分别为（e，0）和（0，2e） ， 切线与坐标轴围成的三角形面积是 Se2ee2 故选：B 【点评】此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题 11 （5 分）已知函数 ，其中 f（x）为函数 f（x）的导数，则 f（2018）+f（2018） +f（2019）f（2019）（ ） A2 B2019 C2018 D0 【分析】可以求出导函数，进而可判断导函数 f（x）是偶函数，从而得出 f（x）f（x）0
16、； 而化简， 从而得出 f （x） +f （x） 2， 这样即可求出 f （2018） +f （2018） +f （2019） f（2019）2 【解答】解： ，且， f（x）f（x）0，f（x）+f（x）2， f（2018）+f（2018）2，f（2019）f（2019）0， f（2018）+f（2018）+f（2019）f（2019）2 故选：A 【点评】考查基本初等函数和商的导数的求导公式，偶函数、奇函数的定义，分离常数法的运用 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且当 x0 时，f（x）若 对任意的 xm，m+1，不等式 f（1x）f（x+m）恒成立
17、，则实数 m 的最大值是（ ） A1 B C D 【分析】由题意可得 f（x）为偶函数，求得 f（x）在 x0 上连续，且为减函数，f（|1x|）f（|x+m|） ， 即为|x1|x+m|，即有（2x1+m） （m+1）0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值 【解答】解：f（x）f（x） ，可得 f（x）为偶函数， 当 x0 时，f（x）， 可得 0 x1 时，f（x）1x2递减， f（x）（0，1； 当 x1 时，f（x）递减，且 f（1）0，f（x）（，0， f（x）在 x0 上连续，且为减函数， 对任意的 xm，m+1，不等式 f（1x）f（x+m）恒成立， 可得 f（|1x
18、|）f（|x+m|） ， 即为|x1|x+m|， 即有（2x1+m） （m+1）0， 由一次函数的单调性，可得： （2m1+m） （m+1）0，且（2m+21+m） （m+1）0， 即为1m且1m， 即有1m， 则 m 的最大值为， 故选：C 【点评】 本题考查不等式恒成立问题解法， 注意运用偶函数的性质和单调性， 考查转化思想和运算能力， 属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）幂函数 f（x）的图象过点，则 【分析】根据幂函数的概念设 f（x）x，将点的坐标代入即可求得 值，从而求得函数解析式 【解答】解：设 f（x）
19、x， 幂函数 yf（x）的图象过点 （2，） ， 2， 这个函数解析式为 f（x）， f（）， 故答案为： 【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题 14 （5 分）命题“xR，f（x） g（x）0”的否定是 x0R，f（x0）0 或 g（x0）0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解： 因为全称命题的否定是特称命题， 所以： 命题 “xR， f （x） g （x） 0” 的否定是： x0R， f（x0）0 或 g（x0）0 故答案为：x0R，f（x0）0 或 g（x0）0 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定
20、关系，基本知识的考查 15 （5 分）已知函数 f（x）是定义域为（，+）的偶函数，且 f（x1）为奇函数，当 x0，1时，f （x）1x3，则 f（） 【分析】根据题意，由函数的奇偶性的性质可得 f（x）f（2+x）且 f（x）f（x） ，综合可得 f （x）f（x+2） ，变形可得 f（x+4）f（x+2）f（x） ，则函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，据 此可得 f（）f（16）f（）f（）f（） ，结合函数的解析式分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x1）为奇函数，则函数 f（x）关于点（1，0）对称，则有 f（x）f （2+x） ， 又由函数 f（x）为偶函数，则 f（x）
21、f（x） ， 则有 f（x）f（x+2） ，变形可得 f（x+4）f（x+2）f（x） ，则函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， f（）f（16）f（）f（）f（）1（）3； 故答案为： 【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性与对称性的综合应用，关键是分析函数 f（x）的周期，属于基 础题 16 （5 分）已知函数 f（x）lnx+x3与 g（x）x3ax 的图象上存在关于原点对称的对称点，则实数 a 的 取值范围是 ，+） 【分析】由对称性求函数解析式得：设 yh（x）的图象与 yg（x）的图象关于原点对称，由 g（x） x3ax，得 h（x）x3ax，由函数 f（x）lnx+x3与 g（
22、x）x3ax 的图象上存在关于原点对称的对 称点， 利用导数研究函数的值域得： 由 lnxax 有解， 即a有解， 设 F （x） ， 则 F （x） ， 易得 F（x）在（0，e）为增函数，在（e，+）为减函数，所以 F（x）maxF（e），即 F（x）的 值域为（，即实数 a 的取值范围是 a，得解， 【解答】解：设 yh（x）的图象与 yg（x）的图象关于原点对称， 由 g（x）x3ax，得 h（x）x3ax， 由函数 f（x）lnx+x3与 g（x）x3ax 的图象上存在关于原点对称的对称点， 即函数 f（x）lnx+x3与 h（x）x3ax 的图象有交点， 即 lnxax 有解， 即
23、a有解， 设 F（x）， 则 F（x）， 易得 F（x）在（0，e）为增函数，在（e，+）为减函数， 所以 F（x）maxF（e）， 即 F（x）的值域为（， 即a， 即实数 a 的取值范围是 a， 故答案为：，+） 【点评】本题考查了由对称性求函数解析式、利用导数研究函数的值域，属中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）设集合 Ax|a2x2a+3，xR，Bx|x26x+50 （1）若 ABB，求实数 a 的取值范围； （2）若 AUB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）解不等式求出 B，若 AB
24、B，则 BA，即 a21，且 2a+35，解得实数 a 的取值范 围； （2）若 AUB，则 AB，进而可得实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）集合 Ax|a2x2a+3，xR，Bx|x26x+50 x|1x5 若 ABB， 则 BA， 即 a21，且 2a+35， 解得：a1，3， （2）若 AUB，则 AB， 当 A，即 a22a+3 时，满足条件，解得：a5， 当 A，即 a22a+3，a5 时，a21，且 2a+35， 此时不存在满足条件的 a 值， 综相可得：若 AUB，则 a5 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集的混合运算，难度不大，属于基础题 18 （12 分
25、）给出下列两个命题：命题 p：函数 yloga（12x）在定义域上单调递增；命题 q：不等式（a 2）x2+2（a2）x40 的解集为（，+） 若“p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，求 a 的取值范围 【分析】依题意，p 正确的 a 的取值范围为 0a1q 成立即 a2 或2a2由 p 且 q 为假，p 或 q 为真，得 p、q 中一真一假若 p 真 q 假得，a 的取值范围为 ；若 p 假 q 真得，a 的取值范围为（2， 01，2由此能求出 a 的取值范围 【解答】解：依题意，p 正确的 a 的取值范围为 0a1 q 成立即 a2 或 解得2a2 p 且 q 为假，p 或 q
26、 为真，得 p、q 中一真一假 若 p 真 q 假得，a 的取值范围为 ； 若 p 假 q 真得，a 的取值范围为（2，01，2； 综上，a 的取值范围为（2，01，2 【点评】本题考查命题的真假判断，a 的取值范围解题时要注意由 p 且 q 为假，p 或 q 为真，得 p、q 中一真一假 19 （12 分）已知某公司生产某产品的年固定成本为 100 万元，每生产 1 千件需另投入 27 万元，设该公司 一年内生产该产品 x 千件（0 x25）并全部销售完，每千件的销售收入为 R（x）万元，且 （1）写出年利润 f（x） （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时
27、，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润年销售收入 年总成本） 【分析】 （1）当 0 x10 时，； 当 10 x25 时，f（x） xR（x）（100+27x）x2+30 x+75即可得出 （2）利用导数研究函数的单调性即可得出 【解答】解： （1）当 0 x10 时，； （2 分） 当 10 x25 时，f（x）xR（x）（100+27x）x2+30 x+75（4 分） 故，（6 分） （2）当 0 x10 时，由 f（x）81x2（x+9） （x9） ， 得当 x（0，9）时，f（x）0，单调递增； 当 x（9，10）时，f（x）0，单调递减 故； （10 分） 当 10
28、 x25 时，f（x）x2+30 x+75（x15）2+300300， 当且仅当 x15 时，Wmax300（13 分） 综合、知，当 x9 时，W 取最大值 386（15 分） 所以当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大（16 分） 【点评】 本题考查了函数的应用、 利用导数研究函数的单调性极值与最值， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）ax2+mx+m1（a0） （1）若 f（1）0，判断函数 f（x）的零点个数； （2）若对任意实数 m，函数 f（x）恒有两个相异的零点，求实数 a 的取值范围； （3）已知 x1，x2
29、R 且 x1x2，f（x1）f（x2） ，求证：方程 f（x）f（x1）+f（x2）在区间（x1， x2）上有实数根 【分析】 （1）由 f（1）0 可求得 a1，利用因式分解，讨论 m2 与 m 不为 2，分析判断即可； （2）由题意可得可得10 恒成立，即 m24am+4a0 对任意实数 m 恒成立，可得20，即 16a2 16a0，解不等式即可得到所求范围； （3）令 F（x）f（x）f（x1）+f（x2），可证得 F（x1）F（x2）0，由零点存在定理可知方程 f （x）f（x1）+f（x2）在区间（x1，x2）上有实数根 【解答】 （1）解：函数 f（x）ax2+mx+m1（a0）
30、， 且 f（1）0， am+m10，则 a1， f（x）x2+mx+m1（x+1） （x1+m） ， 当 m2 时，此函数 f（x）有一个零点1； 当 m2 时，函数 f（x）有两个零点1，1m； （2）解：对任意实数 m，函数 f（x）恒有两个相异的零点， 可得10 恒成立，即 m24a（m1）0， 即为 m24am+4a0 对任意实数 m 恒成立， 可得20，即 16a216a0， 解得 0a1； （3）证明：令 F（x）f（x）f（x1）+f（x2）， 则 F（x1）f（x1）f（x1）+f（x2） f（x1）f（x2）， F（x2）f（x2）f（x1）+f（x2） f（x2）f（x1）
31、， f（x1）f（x2） F（x1）F（x2）f（x2）f（x1）20， 所以 F（x）0 在（x1，x2）内必有一个实根， 则方程 f（x）f（x1）+f（x2）在区间（x1，x2）上有实数根 【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数零点的判定定理，考查化归思想与构造函数的思想的综合 应用，属于难题 21 （12 分）已知定义域为 R 的函数是奇函数， （1）求 a，b 的值； （2）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，求 k 的取值范围 【分析】 （1）根据奇函数的性质，定义域包括 0，则有 f（0）0，定义域为 R，f（1）f（1）即 可求得 a，b 的值
32、 （2）将 f（t22t）+f（2t2k）0 变形为：f（t22t）+f（2t2k） ，因为 f（x）是奇函数，f（2t2 k）f（k2t2） ，在利用 f（x）减函数解不等式即可 【解答】解： （1）因为 f（x）是奇函数，所以 f（0）0， 即0b1； f（x）； 又定义域为 R，则有 f（1）f（1） ， 可得：a2； 经检验：f（x）是奇函数，满足题意 所以 a，b 的值分别为 2，1 （）由（）知 f（x）+， 易知 f（x）在（，+）上为减函数； 又因 f（x）是奇函数， 从而不等式：f（t22t）+f（2t2k）0 等价于 f（t22t）f（2t2k）f（k2t2） ， 因 f（
33、x）为减函数，f（t22t）f（k2t2） ， 得：t22tk2t2 即对一切 tR 有：3t22tk0，开口向上， 从而判别式4+12k0k 即 k 的取值范围是 【点评】本题考查了函数的基本性质和奇函数的运用能力属于中档题 22 （10 分）已知函数 f（x）|xa|+2|x+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）设不等式 f（x）|2x+4|的解集为 M，若0，3M，求 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的 x 的范围，取并集即可； （2）问题转化为|xa|2 即 x2ax+2 在0，3恒成立，求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）a1 时，f（x）|x1|+2|x+1|， 若 f（x）4， x1 时，x1+2x+24，解得：x1，故 x1， 1x1 时，1x+2x+24，解得：x1，故1x1， x1 时，1x2x24，解得：x，故x1， 综上，不等式的解集是，1； （2）若0，3M， 则问题转化为|xa|+2|x+1|2x+4|在0，3恒成立， 即|xa|2x+42x22， 故2xa2， 故2xa2x 在0，3恒成立， 即 x2ax+2 在0，3恒成立， 故 1a2， 即 a 的范围是1，2 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题
