1、 2019-2020 学年学年太原市小店区太原市小店区高三 （上） 第二次月考数学试卷 （文科）高三 （上） 第二次月考数学试卷 （文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知，则 tan（ ） A B2 C D2 2 （5 分）下列函数中存在最大值的是（ ） Ayx32x2 By2x2x43 Cyx43x2 D 3 （5 分）函数 f（x）sin（2x）的最小正周期为（ ） A4 B2 C D 4 （5 分）已知 a 为函数
2、 f（x）x312x 的极小值点，则 a（ ） A4 B2 C4 D2 5 （5 分）记 cos（80）k，那么 tan280（ ） A B C D 6 （5 分）函数 yxcosxsinx 在下面哪个区间上是增函数（ ） A （，） B （，2） C （ ，） D （ 2，3） 7 （5 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） Af（x）3cosx Bf（x）x3+x2 Cf（x）1+sin2x Df（x）ex+x 8 （5 分）若 sin，则 cos2（ ） A B C D 9 （5 分）在ABC 中，AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足，
3、则（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx（0）最小正周期为 ，则函数 f（x）的图象（ ） A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 C关于点（，0）对称 D关于点（，0）对称 11 （5 分）已知曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的切线方程为 x+y50，则 f（5）与 f（5）分别是 （ ） A B C D 12 （5 分）若 P 是函数 f（x）xlnx 图象上的动点，点 A（0，1） ，则直线 AP 斜率的取值范围是（ ） A1，+） B0，1 C （，e D （， 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
4、分 13 （5 分）函数的振幅是 14 （5 分）函数 f（x）xnex（nN*）的导函数是 f（x） 15 （5 分）已知非零向量满足且，则向量的夹角为 16（5 分） 已知非零实数 ， 满足 tanxx， 且|， 则 （+） sin （） （） sin （+） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 （）求 sin（+）的值； （）若角 满足，求 cos 的值 18 （12 分）已知向量 （）求向量的模的最大值； （）设，且，若 是三角
5、形的一个内角，求 19 （12 分）已知函数 （）求曲线 yf（x）在点处的切线的纵截距； （）求函数 f（x）在区间上的值域 20 （12 分）已知函数在上单调递减，且 满足 （1）求 的值； （2）将 yf（x）的图象向左平移个单位后得到 yg（x）的图象，求 g（x）的解析式 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx， （aR） （）当 a1 时，求 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）在区间（0，e）上的最大值为3，求 a 的值 请考生在（请考生在（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个）两题中任选一题作答注意：
6、只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个 题目计分，作答时请用题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程. 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的 正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的普通方程； （）若 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知 a、b、c 均为正实数 （）若
7、ab+bc+ca3，求证：a+b+c3 （）若 a+b1，求证： 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知，则 tan（ ） A B2 C D2 【分析】由已知利用平方关系求得 cos，再由商的关系求 tan 【解答】解：， cos， 则 tan 故选：A 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，是基础的计算题 2 （5 分）下列函数中存在最大值的是（ ） Ayx32x2 By2x2x43
8、Cyx43x2 D 【分析】分别求导，根据导函数的正负判断函数的增减，进而判断是否存在最大值； 【解答】解：A，y2x（x2） ，x（，0） ， （2，+）单调递增，x（0，2）单调递减，不存在 最大值； B，y4x（x1） （x+1） ，x（，0） ， （0，1）单调递增，x（1，0） ， （1，+）单调递减， 又 f（1）2，f（1）2，当 x1 或 1 时取得最大值； C，y4x（x） （x+） ，x（，0） ， （，+）单调递增，x（，） ， （0，） 单调递减，不存在最大值； D，y，x（1，+）单调递增，x（0，1）单调递减，不存在最大值； 故选：B 【点评】考查函数的求导，函数单
9、调性，极值，最值； 3 （5 分）函数 f（x）sin（2x）的最小正周期为（ ） A4 B2 C D 【分析】直接利用三角函数的正确公式求解即可 【解答】解：函数 f（x）sin（2x）的最小正周期为： 故选：C 【点评】本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，是基本知识的考查 4 （5 分）已知 a 为函数 f（x）x312x 的极小值点，则 a（ ） A4 B2 C4 D2 【分析】可求导数得到 f（x）3x212，可通过判断导数符号从而得出 f（x）的极小值点，从而得出 a 的值 【解答】解：f（x）3x212； x2 时，f（x）0，2x2 时，f（x）0，x2 时，f（x）0
10、； x2 是 f（x）的极小值点； 又 a 为 f（x）的极小值点； a2 故选：D 【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数 的图象 5 （5 分）记 cos（80）k，那么 tan280（ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值 【解答】解：cos（80）k，sin（80）， 那么 tan280tan（80）， 故选：B 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题 6 （5 分）函数 yxcosxsinx 在下面哪个区间上是增函数（ ） A （，） B （，2）
11、C （ ，） D （ 2，3） 【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区 间上是增函数 【解答】解：ycosxxsinxcosxxsinx 欲使导数为正，只需 x 与 sinx 符号总相反， 分析四个选项知，B 选项符合条件， 故选：B 【点评】考查判断函数单调性的方法一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性比较 简便 7 （5 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） Af（x）3cosx Bf（x）x3+x2 Cf（x）1+sin2x Df（x）ex+x 【分析】分别对每个选项的函数求
12、导，再判断函数的奇偶性即可 【解答】解：函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则导函数为偶函数， 对于 A：f（x）3sinx，为奇函数， 对于 B：f（x）3x2+2x，该函数为非奇非偶函数， 对于 C：f（x）2cos2x，为偶函数， 对于 D：f（x）ex+1，该函数为非奇非偶函数， 故选：C 【点评】本题考查了导数的运算法则和函数的奇偶性，属于基础题 8 （5 分）若 sin，则 cos2（ ） A B C D 【分析】cos212sin2，由此能求出结果 【解答】解：sin， cos212sin212 故选：B 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，
13、考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，是基础题 9 （5 分）在ABC 中，AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足，则（ ） A B C D 【分析】 根据题意画出示意图， 则， 所以 ， 【解答】解：由图可知， ， 因为+（）， 故选：A 【点评】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx（0）最小正周期为 ，则函数 f（x）的图象（ ） A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 C关于点（，0）对称 D关于点（，0）对称 【分析】 利用辅助角化简， 根据最小正周期为 ， 可得 2， 即可判断函数 f （x） 的对称轴或对称中心 【解答】解
14、：函数 f（x）sinx+cosx2sin（x） ， 最小正周期为 ， 可得 2， 那么 f（x）2sin（2x） ， 令 2xk， 那么：x， 当 k1 时，可得 x， 函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键 11 （5 分）已知曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的切线方程为 x+y50，则 f（5）与 f（5）分别是 （ ） A B C D 【分析】利用函数的切线方程求出斜率得到 f（5） ，通过切点在切线上求解 f（5）即可 【解答】解：因为曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的
15、切线方程为 x+y50， 所以切线的斜率为：1，可得 f（5）1； 切点在切线上，可得 f（5）550， 故选：D 【点评】本题考查曲线的切线方程的应用，函数的导数的应用，考查计算能力 12 （5 分）若 P 是函数 f（x）xlnx 图象上的动点，点 A（0，1） ，则直线 AP 斜率的取值范围是（ ） A1，+） B0，1 C （，e D （， 【分析】 设函数 f （x） xlnx 图象上的动点 P （x0， y0） ， 利用斜率公式表达直线 AP 斜率 k； 令 h（x）；求函数 h（x）的最值可得 k 的范围 【解答】解：P 是函数 f（x）xlnx 图象上的动点，点 A（0，1）
16、， 设 P（x0，y0） ，x00， 则：y0 x0lnx0，则直线 AP 斜率 k； 令 h（x）；求函数 h（x）的最值可得 k 的范围， h（x）； 当 x1 时，h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增； 当 0 x1 时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减； 所以函数 h（x）的最小值为：h（1）1； 所以：h（x）1， 即：k1，直线 AP 斜率的取值范围是1，+） 故选：A 【点评】 本题考查函数的导数应用， 函数的单调性以及分类讨论思想， 转化思想的应用， 考查计算能力 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）
17、函数的振幅是 2 【分析】化函数为正弦型函数，从而求得函数的振幅是多少 【解答】解：函数 （sin2x+cos2x）+（cos2x+sin2x） sin2x+cos2x 2（sin2x+cos2x） 2sin（2x+） ， 所以函数 y 的振幅是 2 故答案为：2 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题 14 （5 分）函数 f（x）xnex（nN*）的导函数是 f（x） （n+x）xn 1ex 【分析】根据导数的运算法则和基本导数运算公式即可求出 【解答】解：f（x）nxn 1ex+nxnex（n+x）xn1ex， 故答案为： （n+x）xn 1ex 【点评】本题考查了导
18、数的运算法则和基本导数运算公式，属于基础题 15 （5 分）已知非零向量满足且，则向量的夹角为 【分析】直接由向量垂直可得数量积为 0，代入，得 cos则向量的 夹角可求 【解答】解：，且， ， 即+， 则 2cos+， 得 cos 向量的夹角为 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题 16 （5 分）已知非零实数 ， 满足 tanxx，且|，则（+）sin（）（）sin（+） 0 【分析】由题意可得 tan，tan，把（+）sin（）（）sin（+）展开两角和与差 的正弦，再把 tan，tan 代入化简得答案 【解答】解：由题意，tan，tan，
19、 （+）sin（）（）sin（+） （+） （sincoscossin）（） （sincos+cossin） 2sincos2cossin 2tansincos2tancossin 2sinsin2sinsin0 故答案为：0 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查数学转化思想方法，是基础题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 （）求 sin（+）的值； （）若角 满足，求 cos 的值 【分析】 （）由题意利用任意角的三角
20、函数的定义，诱导公式，求得 sin（+）的值 （）若角 满足，则可得 cos（+）的值，再利用两角差的余弦公式求得 cos cos（+）的值 【解答】 解：（） 角 的顶点与原点 O 重合， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 它的终边过点， |OP|1， sin（+）sin； （）角 满足，则 cos（+）且 cos， 当 cos（+） 时，coscos（+）cos（+） cos+sin（+）sin+ ， 当 cos（+） 时，coscos（+）cos（+） cos+sin（+）sin+ 综上，cos，或者 cos 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三
21、角公式，属 于中档题 18 （12 分）已知向量 （）求向量的模的最大值； （）设，且，若 是三角形的一个内角，求 【分析】 （）求出向量，再利用三角函数的性质计算| + |的最大值； （）根据得出 （ + ）0，列方程求出 的三角函数值，根据 是三角形的一个内角 求出 的值 【解答】解： （）向量（1+cos，sin） ， （1+cos）2+sin212cos+122cos， 当 cos1 时，取得最大值为 2+24， | + |的最大值为 2； （）当时， （，） ， 又，则 （ + ）0， 即（1+cos）+sin0， cos+sin， cos（）， 又 是三角形的一个内角，（0，） ，
22、 （，） ， ， 解得 【点评】本题考查了三角函数的化简与求职问题，也考查了平面向量的模长计算问题，是基础题 19 （12 分）已知函数 （）求曲线 yf（x）在点处的切线的纵截距； （）求函数 f（x）在区间上的值域 【分析】 （1）求出函数 f（x）的导数 f（x） ，再求出斜率和点 M 的坐标，写出切线方程，再得纵截距； （2）g（x）xcosxsinx，求导得 g（x）单调递减，得 f（x）0，得 f（x）的单调递减，求出 f（x） 的最值，再求值域 【解答】解：f（x）， （）， f（x）在点 M 处的切线方程为， 当 x0 时，得函数 f（x）的纵截距 y； （）令 g（x）xco
23、sxsinx，得 g（x）xsinx， 当时，g（x）0，g（x）单调递减， g（x）g（）10， 当时，f（x）0，f（x）在区间上单调递减， 又，f（）0， f（x）的值域为 【点评】本题主要考查导数在研究单调性时得应用，属于基础题 20 （12 分）已知函数在上单调递减，且 满足 （1）求 的值； （2）将 yf（x）的图象向左平移个单位后得到 yg（x）的图象，求 g（x）的解析式 【分析】 （1）利用辅助角公式进行化简，结合条件求出 的值即可 （2）利用三角函数的图象平移关系进行化简求解即可 【解答】解： （1）f（x）sin （2x+ ）+cos（2x+）2sin （2x+） yf
24、（x）图象关于 x对称， 则当 x时，2+k+， 即 k， 当 k0 时，此时 f（x）2sin2x 在上单调递增，不满足条件舍去 当 k1 时，此时 f（x）2sin2x 在上单调递减满足条件 ， 故 （2）由（1）可知 f（x）2sin 2x，将 f（x）2sin 2x 向左平移个单位得到 g（x） ， g（x）2sin2（x+）2sin（2x+）2sin（2x） 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合辅助角公式求出 的值以及利用三角函数的平移关 系是解决本题的关键 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx， （aR） （）当 a1 时，求 f（x）的单调区间； （）若函数
25、 f（x）在区间（0，e）上的最大值为3，求 a 的值 【分析】 （1）当 a1 时，f（x），根据导数的符号即可得出 f（x）的单调区间； （2）函数的定义域为（0，+） ，求导得 f（x），可知当 a0 时，f（x）单调递增，此时无最 大值，当 a0 时，f（x）在（0，）上单调递增，在，+）上单调递减，所以可得 ，然后求出 a 的值 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）， 当 f（x）0 即 x1 时，f（x）单调递减，当 f（x）0 即 0 x1 时，f（x）单调递增， f（x）的单调递增区间为（0，1） ，单调递减区间为（1，+） ； （2）函数的定义域为（0，+） ，f（x）
26、， 当 a0 时，f（x）单调递增，此时无最大值， 当 a0 时，f（x）在（0，）上单调递增，在，+）上单调递减， 所以， ， 解得 ae2， 综上：ae2 【点评】本题主要考查导数在研究函数的单调性和最值时的应用，属于基础题 请考生在（请考生在（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个 题目计分，作答时请用题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程.
27、22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的 正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的普通方程； （）若 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 【分析】 （）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解： （）曲线 C 的极坐标方程为，整理得（cos）2+3212， 转换为直角坐标方程为 4x2+3y212，即 直线 l 的参数方程
28、为（t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2xy60 （）椭圆转换为参数方程为（ 为参数） 所以点 P（）到直线 2xy60 的距离 d ， 当时， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公 式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知 a、b、c 均为正实数 （）若 ab+bc+ca3，求证：a+b+c3 （）若 a+b1，求证： 【分析】 （）要证原不等式成立，运用两边平方和不等式的性质，即可得到证明； （）运用分析
29、法证明要证 a+b+c3，只需证明（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca9 即可 【解答】证明： （）a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，三式相加可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca（ab+bc+ca）+2（ab+bc+ca） 3（ab+bc+ca）9， 又 a，b，c 均为正整数，a+b+c3 成立 （） ：a、b 为正实数，a+b1，a2+2ab+b21， （+） （+）5+9， 当且仅当，即 ab时， “”成立 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用综合法证明，结合均值不等式和不等式的性质，考查推理能 力，属于中档题
