1、2019-2020 学年学年太原市小店区太原市小店区高三 （上） 第二次月考数学试卷 （理科）高三 （上） 第二次月考数学试卷 （理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知，则 tan2（ ） A2 B2 C D 2 （5 分）函数 f（x）2x3+9x22 在区间4，2上的最大值和最小值分别为（ ） A25，2 B50，14 C50，2 D50，14 3 （5 分）在ABC 中，AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足，则
2、（ ） A B C D 4 （5 分） 曲线 yalnx2 （a0） 在 x1 处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为 4， 则 a 的值为 （ ） A B2 C4 D8 5 （5 分）记 cos（80）k，那么 tan280（ ） A B C D 6 （5 分）由曲线 yx2+2x 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A B C D 7 （5 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） Af（x）3cosx Bf（x）x3+x2 Cf（x）1+sin2x Df（x）ex+x 8 （5 分）若，则 sin2（ ） A B C D 9 （5 分）
3、已知函数 f（x）sinx+cosx（0）最小正周期为 ，则函数 f（x）的图象（ ） A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 C关于点（，0）对称 D关于点（，0）对称 10 （5 分）已知曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的切线方程为 x+y50，则 f（5）与 f（5）分别是 （ ） A B C D 11 （5 分）0 函数在上单调递增，则 的范围是（ ） A B C （0，2 D2，+） 12 （5 分）若 P 是函数 f（x）（x+1）ln（x+1）图象上的动点，已知点 A（1，1） ，则直线 AP 的斜 率的取值范围是（ ） A1，+） B0，1 C （e 1，e D （，e
4、 1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）函数的振幅是 14 （5 分）已知非零向量满足且，则向量的夹角为 15 （5 分）若存在正数 x，使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是 16 （5 分）已知函数 f（x）xtanx，非零实数 ， 是函数 f（x）的两个零点，且|，则（+）sin （）（）sin（+） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） ，xR，且 f（） （1）求 A 的值； （2）若 f（）+f
5、（），（0，） ，求 f（） 18 （12 分）已知向量，对任意 nN*都有 （1）求的最小值； （2）求正整数 m，n，使 19 （12 分）已知函数 （）求曲线 yf（x）在点处的切线的纵截距； （）求函数 f（x）在区间上的值域 20 （12 分）已知函数在上单调递减，且 满足 （1）求 的值； （2）将 yf（x）的图象向左平移个单位后得到 yg（x）的图象，求 g（x）的解析式 21 （12 分）设函数，g（x）是 g（x）的导函数 （）当 x0，2时，解方程 f（x）g（x） ； （）求函数 F（x）f（x）+g（x）的最小值 请考生在（请考生在（22） 、 （） 、 （23）两题
6、中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个 题目计分，作答时请用题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程. 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的 正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的普通方程； （）若 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最大
7、值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知 a、b、c 均为正实数 （）若 ab+bc+ca3，求证：a+b+c3 （）若 a+b1，求证： 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知，则 tan2（ ） A2 B2 C D 【分析】由已知求得 cos2，再由商的关系求解 tan2 【解答】解：，2， 又， cos2 tan2 故选：D 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角
8、三角函数基本关系式的应用，是基础题 2 （5 分）函数 f（x）2x3+9x22 在区间4，2上的最大值和最小值分别为（ ） A25，2 B50，14 C50，2 D50，14 【分析】求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数 f（x）2x3+9x2 2 在区间4，2上的最大值和最小值 【解答】解：函数 f（x）2x3+9x22， f（x）6x2+18x， 当 x4，3） ，或 x（0，2时，f（x）0，函数为增函数； 当 x（3，0）时，f（x）0，函数为减函数； 由 f（4）14，f（3）25，f（0）2，f（2）50， 故函数 f（x）2x3+9x22 在区
9、间4，2上的最大值和最小值分别为 50，2， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，难度中档 3 （5 分）在ABC 中，AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足，则（ ） A B C D 【分析】 根据题意画出示意图， 则， 所以 ， 【解答】解：由图可知， ， 因为+（）， 故选：A 【点评】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题 4 （5 分） 曲线 yalnx2 （a0） 在 x1 处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为 4， 则 a 的值为 （ ） A B2 C4 D8 【分析】根据题意，求出曲线方程的导数，结合导数的几何意义分析可得切线的方程，进而求出切
10、线与 坐标轴的交点， 结合三角形面积公式可得， 计算即可得答案 【解答】解：根据题意，曲线 yalnx2（a0） ，其导数 y，则有 y|x1a， 又由当 x1 时，yaln122，即切点的坐标为（1，2） ， 故 yalnx2（a0）在 x1 处的切线方程为 y（2）a（x1） ，即 ya（x1）2， 当 x0 时，ya2，与 y 轴的交点为（0，a2） ， 当 y0 时，x+1，与 x 轴的交点为（+1，0） ， 则其切线与坐标轴围成的三角形面积为，所以 a2， 故选：B 【点评】本题考查利用导数分析切线的方程，涉及直线与坐标轴的交点，属于基础题 5 （5 分）记 cos（80）k，那么
11、tan280（ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值 【解答】解：cos（80）k，sin（80）， 那么 tan280tan（80）， 故选：B 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题 6 （5 分）由曲线 yx2+2x 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A B C D 【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线 yx2+2x 与 直线 yx 所围成的封闭图形的面积，即可求得结论 【解答】解：由， 可得或 曲线 yx2+2x 与直线 yx 所围成的封闭图形的面
12、积为（x2xx2）dx（x2x3） 故选：A 【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数 7 （5 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） Af（x）3cosx Bf（x）x3+x2 Cf（x）1+sin2x Df（x）ex+x 【分析】分别对每个选项的函数求导，再判断函数的奇偶性即可 【解答】解：函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则导函数为偶函数， 对于 A：f（x）3sinx，为奇函数， 对于 B：f（x）3x2+2x，该函数为非奇非偶函数， 对于 C：f（x）2cos2x，为偶函数， 对于 D：f（x）e
13、x+1，该函数为非奇非偶函数， 故选：C 【点评】本题考查了导数的运算法则和函数的奇偶性，属于基础题 8 （5 分）若，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得 sin2 的值 【解答】解：若sin+cos，平方可得 1+sin2， 则 sin2， 故选：C 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx（0）最小正周期为 ，则函数 f（x）的图象（ ） A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 C关于点（，0）对称 D关于点（，0）对称 【分析】 利用辅助角
14、化简， 根据最小正周期为 ， 可得 2， 即可判断函数 f （x） 的对称轴或对称中心 【解答】解：函数 f（x）sinx+cosx2sin（x） ， 最小正周期为 ， 可得 2， 那么 f（x）2sin（2x） ， 令 2xk， 那么：x， 当 k1 时，可得 x， 函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键 10 （5 分）已知曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的切线方程为 x+y50，则 f（5）与 f（5）分别是 （ ） A B C D 【分析】利用函数的切线方程求出斜率得到 f（5）
15、 ，通过切点在切线上求解 f（5）即可 【解答】解：因为曲线 yf（x）在点（5，f（5） ）处的切线方程为 x+y50， 所以切线的斜率为：1，可得 f（5）1； 切点在切线上，可得 f（5）550， 故选：D 【点评】本题考查曲线的切线方程的应用，函数的导数的应用，考查计算能力 11 （5 分）0 函数在上单调递增，则 的范围是（ ） A B C （0，2 D2，+） 【分析】利用三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性建立不等式关系进行 求解即可 【解答】解：sincossin（x） ， 由上单调递增， ，得 0， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的性质，结合三
16、角函数的倍角公式进行化简是解决本题的关键比较基 础 12 （5 分）若 P 是函数 f（x）（x+1）ln（x+1）图象上的动点，已知点 A（1，1） ，则直线 AP 的斜 率的取值范围是（ ） A1，+） B0，1 C （e 1，e D （，e 1 【分析】设函数 f（x）（x+1）ln（x+1）图象上的动点 P（x0，y0） ，利用斜率公式表达直线 AP 斜率 k 令 h（x），求函数 h（x）的最值可得 k 的范围 【解答】解：P 是函数 f（x）（x+1）ln（x+1）图象上的动点，点 A（1，1） ， 设 P（x0，y0） ，x01， 则：y0（x0+1）ln（x0+1） ，则直线
17、AP 斜率： k 令 h（x），h（x） 当 x0 时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增； 当1x0 时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递减 函数 h（x）的最小值为：h（0）1 h（x）1， 即：k1，直线 AP 斜率的取值范围是1，+） 故选：A 【点评】 本题考查函数的导数应用， 函数的单调性以及分类讨论思想， 转化思想的应用， 考查计算能力， 是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）函数的振幅是 2 【分析】化函数为正弦型函数，从而求得函数的振幅是多少 【解答】解：函数 （sin2x+cos2x）+（
18、cos2x+sin2x） sin2x+cos2x 2（sin2x+cos2x） 2sin（2x+） ， 所以函数 y 的振幅是 2 故答案为：2 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题 14 （5 分）已知非零向量满足且，则向量的夹角为 【分析】直接由向量垂直可得数量积为 0，代入，得 cos则向量的 夹角可求 【解答】解：，且， ， 即+， 则 2cos+， 得 cos 向量的夹角为 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题 15 （5 分）若存在正数 x，使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是 a1 【分析】由不等式将
19、参数 a 进行分离，利用函数的单调性进行求解 【解答】解：由 2x（xa）1，得 x2xa2x1， ， 设，则 f（x）在0，+）上单调递增， 当 x0 时， f（x）f（0）1， 若存在正数 x，使 2x（xa）1 成立， 则 a1 故答案为：a1 【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题 的突破点，考查学生的转化能力，综合性较强 16 （5 分）已知函数 f（x）xtanx，非零实数 ， 是函数 f（x）的两个零点，且|，则（+）sin （）（）sin（+） 0 【分析】先将（+）sin（）（）sin（+）化简得 2（sincoscossi
20、n） ，因为函数 f （x）xtanx，非零实数 ， 是函数 f（x）的两个零点，且|，所以，即 ，得，sinxoscossin0，进而得出结论 【解答】解： （+）sin（）（）sin（+） （+）sincos（+）cossin（）sincos（）cossin 2（sincoscossin） ， 因为函数 f（x）xtanx，非零实数 ， 是函数 f（x）的两个零点，且|， 所以，即， sin，得 cossinsinsin0， sin，得 sincossinsin0， 得，sinxoscossin0， 所以（+）sin（）（）sin（+）0 故答案为：0 【点评】本题考查零点的概念，三角恒等
21、变形，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） ，xR，且 f（） （1）求 A 的值； （2）若 f（）+f（），（0，） ，求 f（） 【分析】 （1）由函数 f（x）的解析式以及 f（），求得 A 的值 （2）由（1）可得 f（x）sin（x+） ，根据 f（）+f（），求得 cos 的值，再由 （0， ） ，求得 sin 的值，从而求得 f（） 的值 【解答】解： （1）函数 f（x）Asin（x+） ，xR，且 f（） Asin（+）AsinA， A （2）由
22、（1）可得 f（x）sin（x+） ， f（）+f（）sin（+）+sin（+）2sincoscos， cos，再由 （0，） ，可得 sin f（）sin（+）sin（）sin 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题 18 （12 分）已知向量，对任意 nN*都有 （1）求的最小值； （2）求正整数 m，n，使 【分析】 （1）设（xn，yn） ，由+ ，可得xn、yn都是公差为 1 的等差数列，求出 （n，n8） ，即可求的最小值； （2）等价于0，可得（m4） （n4）16，即可求出正整数 m，n 【解答】解： （1）设（xn，yn） ，由+ 得 xn
23、、yn都是公差为 1 的等差数列 （3 分） （1，7） ， xnn，ynn8， （n，n8） ， |的最小值为 4.（6 分） （2）由（1）可设（m，m8）（n，n8） 由已知得：0 mn+（m8） （n8）0 （m4） （n4）16.（8 分） m，nN+ 或或或.（12 分） 【点评】本题考查数列与向量的综合，考查等差数列的通项，考查向量的数量积公式，属于中档题 19 （12 分）已知函数 （）求曲线 yf（x）在点处的切线的纵截距； （）求函数 f（x）在区间上的值域 【分析】 （1）求出函数 f（x）的导数 f（x） ，再求出斜率和点 M 的坐标，写出切线方程，再得纵截距； （2）
24、g（x）xcosxsinx，求导得 g（x）单调递减，得 f（x）0，得 f（x）的单调递减，求出 f（x） 的最值，再求值域 【解答】解：f（x）， （）， f（x）在点 M 处的切线方程为， 当 x0 时，得函数 f（x）的纵截距 y； （）令 g（x）xcosxsinx，得 g（x）xsinx， 当时，g（x）0，g（x）单调递减， g（x）g（）10， 当时，f（x）0，f（x）在区间上单调递减， 又，f（）0， f（x）的值域为 【点评】本题主要考查导数在研究单调性时得应用，属于基础题 20 （12 分）已知函数在上单调递减，且 满足 （1）求 的值； （2）将 yf（x）的图象向左
25、平移个单位后得到 yg（x）的图象，求 g（x）的解析式 【分析】 （1）利用辅助角公式进行化简，结合条件求出 的值即可 （2）利用三角函数的图象平移关系进行化简求解即可 【解答】解： （1）f（x）sin （2x+ ）+cos（2x+）2sin （2x+） yf（x）图象关于 x对称， 则当 x时，2+k+， 即 k， 当 k0 时，此时 f（x）2sin2x 在上单调递增，不满足条件舍去 当 k1 时，此时 f（x）2sin2x 在上单调递减满足条件 ， 故 （2）由（1）可知 f（x）2sin 2x，将 f（x）2sin 2x 向左平移个单位得到 g（x） ， g（x）2sin2（x+）
26、2sin（2x+）2sin（2x） 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合辅助角公式求出 的值以及利用三角函数的平移关 系是解决本题的关键 21 （12 分）设函数，g（x）是 g（x）的导函数 （）当 x0，2时，解方程 f（x）g（x） ； （）求函数 F（x）f（x）+g（x）的最小值 【分析】 （）先化简得到或，再得到方程的解； （）先分析函数的最小正周期，再求导得 F（x），再比较极 值点和端点值的大小得解 【解答】解： （）g（x）2cos2x2sin2x，则所解方程即为， ， ， ， 或， 或， 又 x0，2， ； （）由题得，所以函数 F（x）的最小正周期为 2，所以只
27、需考虑 0，2的情况， 由题得， ， 令 F（x）0，则， ， 【点评】本题主要考查三角恒等变换和导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力，属于中档题 请考生在（请考生在（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个 题目计分，作答时请用题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程. 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐
28、标方程为，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的 正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的普通方程； （）若 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 【分析】 （）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解： （）曲线 C 的极坐标方程为，整理得（cos）2+3212， 转换为直角坐标方程为 4x2+3y212，即 直线 l 的参数方程为（t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2xy6
29、0 （）椭圆转换为参数方程为（ 为参数） 所以点 P（）到直线 2xy60 的距离 d ， 当时， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公 式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知 a、b、c 均为正实数 （）若 ab+bc+ca3，求证：a+b+c3 （）若 a+b1，求证： 【分析】 （）要证原不等式成立，运用两边平方和不等式的性质，即可得到证明； （）运用分析法证明要证 a+b+c3，只需证明（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca9 即可 【解答】证明： （）a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca，三式相加可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca（ab+bc+ca）+2（ab+bc+ca） 3（ab+bc+ca）9， 又 a，b，c 均为正整数，a+b+c3 成立 （） ：a、b 为正实数，a+b1，a2+2ab+b21， （+） （+）5+9， 当且仅当，即 ab时， “”成立 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用综合法证明，结合均值不等式和不等式的性质，考查推理能 力，属于中档题
