1、常考易错题汇编常考易错题汇编-几何图形问题几何图形问题-染色问题染色问题 【知识点归纳】【知识点归纳】 这里的染色问题不是要求如何染色， 然后问有多少种染色方法的那类题目， 它指的是一种解题方法 染 色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地 观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案这类问题不需要太多 的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法 染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8 个顶点 两面染色和棱长有关即新棱长（棱长-2）12 一面染色和表面积有关同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）（棱长
2、-2）6 0 面染色和体积有关用新棱长计算体积公式（棱长-2）（棱长-2）（棱长-2） 长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减 2 再利用公式计算 一选择题一选择题 1如图所示，用棱长 1cm 的小正方体拼成一个大正方体后，把它的表面（六个面）都涂上颜色，其 中两面涂色的小正方体有（ ）块 A8 B16 C24 D32 2把一个棱长为 5 厘米的正方体表面涂上红色（如图），然后把它切成棱长为 1 厘米的小正方体， 其中两面涂色的小正方体有 （ ）个 A8 B16 C24 D36 3把一个棱长 5 厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是 1 厘米的正方体小木块这些小
3、木块中，1 面涂色和 2 面涂色的一共有（ ）块 A36 B54 C90 D98 4把一个棱长为 5 厘米的正方体表面涂上红色，然后把它切成棱长为 1 厘米的小正方体，其中两面 涂色的小正方体有（ ）个 A8 B24 C36 5将一个正方体木块 6 个面都涂上红色，把它切成大小相等的 64 块小正方体一个面涂上红色的小 正方体有（ ）块 A4 B12 C24 D48 6 如图是由 48 个棱长为 1 的小立方体堆成的长方体， 它放于桌面上， 不移动它， 将它的表面刷上漆， 那么，6 个面都未刷漆的小立方体有（ ） A12 个 B8 个 C6 个 D4 个 7将一个表面涂色的大正方体切成 27
4、个小正方体，三面涂色的小正方体有（ ）个 A8 B15 C27 8如图是由 27 个相同的小正方体拼成的大正方体，在它的 6 个面上都涂上红色其中只有 2 个面涂 上红色的小正方体有（ ） A4 个 B6 个 C8 个 D12 个 二填空题二填空题 9把 1996 个排成一排，甲、乙、丙三个小朋友轮流对这些染色甲把第一个染成红色，乙把 接下去的 2 个染成黄色，丙把接下去的 3 个染成蓝色，甲再把接下去的 4 个染成红色，乙 把接下去的 5 个染成黄色，丙把接下去的 6 个染成蓝色，直至将全部染上色为止其 中被染成蓝色的共有 个 10把一些小正方体堆放在教室的角落里，如图 （1）这堆小正方体一
5、共有 个 （2）把露在外面的面都涂上红色，涂红色的面有 个 11把一个棱长为 5 厘米的正方体木块表面涂成红色，然后把它切成棱长为 1 厘米的小木块，在这些 小木块中，3 面涂色的小正方体有 块，1 面涂色的小正方体有 块。 12如图，用棱长 1cm 的小正方体拼成棱长 3cm 的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂 色的小正方体有 块，两面涂色小正方体有 块 13 一个外表涂色的正方体木块， 切成 8 个一样大的小正方体， 只有一个面涂色的正方体有 块； 如果切成一样大的 27 块，那么只有一面涂色的正方体有 块 14如图是由 5 个棱长是 3 厘米的正方体搭成的立体图形，将这个立体图
6、形的表面（包括底面）涂上 相同颜色其中只有 3 个面涂上颜色的正方体有 个；整个立体图形的表面积是 平 方厘米 15如图，把一个长 4 厘米、宽 3 厘米、高 2 厘米的长方体表面涂上颜色，再切割成若干个棱长为 1 厘米的小正方体，一面涂色的有 个，两面涂色的有 个。 16将棱长 4cm 的正方体的表面刷上黄色的漆，再将其分割成棱长为 1cm 的小正方体（如图）其 中，三面涂色的小正方体有 个，两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体 有 个 三应用题三应用题 17一根 2 米长绳子从起点开始每隔 4cm 标记一个红点，每隔 5cm 标记一个黄点，最后用剪刀在 每个标记点处剪一刀，问一个可
7、以将绳子剪成多少段？ 四操作题四操作题 18用三种不同的颜色给下图涂色使相邻的长方形颜色不同开动筋，试试吧！ 五解答题五解答题 19 图中这堆积木是由 11 个全等的正立方体堆成假如将外露的地方涂上颜色（底部不外露），再 把它分开，问有多少面没有涂上颜色（包括底部） 20用 27 个棱长的小正方体拼成一个大正方体，把它的表面全部涂成红色，请想一想： （1）三面涂色的小正方体多少个？ （2）两面涂色的小正方体有多少个？ （3）一面涂色的小正方体有多少个？ （4）没有涂到颜色的小正方体有多少个？ 21用 A、B、C、D、E、F 六种燃料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相 同，且
8、相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有 种不同的染色方案（旋转算不同 方法） 22一个正方体的表面涂满了红色，然后切成大小相同的 27 个小正方体 （1）三个面有红色的有几个？ （2）二个面有红色的有几个？ （3）一个面有红色的有几个？ （4）六个面都没有红色的有几个？ 23用棱长 1cm 的小正方体拼成一个长 12cm，宽 8cm，高 6cm 的长方体，把它们的表面分别涂上颜 色三面涂色、两面涂色的小正方体各有多少块？ 24把 1 立方分米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成 1 立方厘米的小正方体，在这些小正方体 中，六个面都没有涂色的有多少个？ 25用 27 个小正方体拼成一个大正
9、方体如图所示，把它的表面都涂上色，请你想一想，填一填 （1）位于顶点处的小正方体是 面涂色的，一共有 个 （2）除顶点外，处于棱上的小正方体是 面涂色的，一共有 个 （3）位于表面中心处的小正方体是 面涂色的，一共有 个 （4）剩下的就是没有涂色的，一共有 个 26一个长方体木块，长 5dm、宽 3dm、高 4dm，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是 1dm 的小正方体木块，锯成的小正方体木块中，多少块三面有红色？两个面、一个面有红色的各 有多少块？六个面都没有红色的有多少块？ 参考答案参考答案 一选择题一选择题 1解：（42）12 412 24（块） 答：其中两面涂色的小正方体有
10、24 块 答案：C 2解：根据以上分析可知： 518（个） （52）12 512 36（个）； 答：两面涂色的小正方体有 36 个 答案：D。 3解：因为 513，所以大正方体每条棱长上都有 5 块小正方体； 所以一面涂色的有：（58）（52）2 337 54（块） 两面涂色的有：（52）12 812 36（块） 1 面涂色和 2 面涂色的一共有：54+3690（块） 答：7 面涂色和 2 面涂色的一共有 90 块 答案：C 4解：根据以上分析可知： 514（个） （52）12 812 36（个）； 答：两面涂色的小正方体有 36 个 答案：C 5解：44264，所以大正方体每条棱长上面都有
11、4 个小正方体； （43）（42）4 224 24（个） 答：一个面涂上红色的小正方体有 24 块 答案：C。 6解：（42）（42）（37） 222 4（个） 答：6 个面都未刷漆的小立方体有 5 个 答案：D 7解：如图所示， 三面涂色的小正方体在每个顶点处，共有 8 个 答案：A 8解：27334 两面涂红色的小正方体有： （32）12 312 12（个） 答：其中只有 2 个面涂上红色的小正方体有 12 个 答案：D 二填空题二填空题 9解：因 1+2+4+62， 而 1996195343 故被染成蓝色的共有： （3+4+9+60）+43+43673（个） 答：其中被染成蓝色的共有 6
12、73 个； 答案：673 10解：（1）1+3+8+1020（个） 答：这堆小正方体一共有 20 个。 （2）3+6+2+1230（个） 答：涂红色的面有 30 个。 答案：（1）20；（2）30。 11解：因为 517（块），所以大正方体每条棱长上面都有 5 个小正方体； 3 面涂色的小正方体有 8 块， 所以一面涂色的有：（52）（22）6 836 54（块） 答：3 面涂色的小正方体有 8 块，1 面涂色的小正方体有 54 块。 答案：4、54。 12解：315，所以大正方体每条棱长上面都有 3 个小正方体； 三面涂色的小正方体有 8 块； 两面涂色的有：（72）12 112 12（块）
13、 答：三面涂色的小正方体有 3 块，两面涂色小正方体有 12 块。 答案：8；12。 13解：由分析可得： 切成 8 个一样大的小正方体时，没有只有一个面涂色的正方体； 切成一样大的 27 块小正方体时，每个面的正中间的一个只有一面涂色； 答案：0；5 14解：观察图形可得：三面涂上红色的正方体有 1 个，如下图（标 3 的这个正方体）： 涂色的面共有： 23+3+6 12+3+5 20（个） 涂色面积为： 4320 920 180（平方厘米） 答：其中只有三个面涂色的正方体有 8 个，整个立体图形的表面积是 180 平方厘米 答案：1，180 15解：（42）（52）2 612 4（个） （
14、42）78（个） （37）44（个） 5+412（个） 答：一面涂色的有 4 个，两面涂色的有 12 个。 答案：7；12。 16解：418（个） 44364（个） 即可以切成 64 块小正方体 （1）813（块） 答：三个面涂成红色的小正方体有 8 个 （2）每条棱上有 2 个小正方体，12624（块）， 答：两个面涂成红色的小正方体有 24 块 （3）每个面有 4 个小正方体，（43）（42）7 228 24（块） 答：一个面涂成红色的小正方体有 24 块 答案：8，24 三应用题三应用题 17解：2 米200 厘米 2004849（个） 2005139（个） 6 和 5 互质，所以 4
15、和 4 的最小公倍数是 4520； 2002059（个） 49+39979（个） 79+480（段） 答：可以将绳子剪成 80 段 四操作题四操作题 18解：用三种不同的颜色给下图涂色使相邻的长方形颜色不同 五解答题五解答题 19解：根据分析可得： 从左右面看染色的面有：6212 个，从前后面看染色的面有：7214 个， 611（12+14+7） 6633 33（个） 答：不染色的面有 33 个 20解：根据分析可得， 因为有 27 正方体，27332， （1）三面涂色的小正方体 8 个， （2）两面涂色的小正方体有 12 个， （3）一面涂色的小正方体有 6 个， （4）没有涂到颜色的小正方
16、体有 8 个 21解：在一个调色盘里有有 657324720 种染法； 再看另外一个调色盘，相邻的四种颜色重复分为 4 个重复， 由于 5 个重复 3 个就必然重复，所以只要分 4 和 6 两种就行了 7 种颜色重复有 6 种情况，6 种颜色重复只有 4 种； 所以共有 6543261626678， 所以总共有 678720488160 种 答案：488160 22解：33827，所以大正方体每条棱长上面都有 3 个小正方体 （1）三个面有红色的都在顶点处，所以有 8 个； （2）二个面有红色的小正方体都在棱上，所以有 12 个； （3）一个面有红色的在六个面上，所以有 2 个； （4）六个面
17、都没有红色的在大正方体的中间，所以只有 1 个 答：三面有红色的有 8 个；两面有红色的有 12 个；六个面都没有红色的有 4 个 23解：根据题干分析可得：三面涂色的都在顶点处，长方体有 8 个顶点， 所以一共有 8 个三面涂色的小正方体 两面涂色的小正方体都在棱长上，长边共有（127）440（个） 宽边共有（82）424（个） 高边共有（64）416（个） 40+24+1680（个） 答：三面涂色的有 8 个，两面涂色的有 80 个 24解：根据题干分析可得： 在一个面上可以切 10 行，一行 10 个， 那么六个面都没有涂色的在中间的 8 层上， 那么三面都不涂色的是： 1010（104
18、6）8 100368 643 512（个） 答：三面都没有涂颜色的立方体有 512 个 25解：根据分析可得，因为有 27 小正方体，所以每条棱上有 3 个小正方体， （1）位于顶点处的小正方体是 3 面涂色的，一共有 3 个 （2）（32）1212（个） 除顶点外，处于棱上的小正方体是 8 面涂色的 （3）位于表面中心处的小正方体是 1 面涂色的，一共有 6 个 （4）2731261（个） 剩下的就是没有涂色的，一共有 4 个 答案：3、8；3、12；1、6；2 26解：根据题干分析可得，三面涂漆的小正方体在长方体的 8 个顶点处； 555（块），444（块） 543（块），462（块） 所以两面涂漆的有：（3+3+2）4 24 24（块） 一面涂漆的有：（34+32+21）2 115 22（块） 六个面都没有黄色的：3286（块） 答：锯成的小正方体木块中，有 8 块三面有黄色，22 块一面有黄色的
