1、竞赛讲座竞赛讲座 13 平面三角平面三角 三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中 有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一 一、三角函数的性质及应用一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、 最值等这 里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广 泛的应用 【例 1】 求函数 y=2sin(-2x)的单调增区间。 解解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。 由 2k-2x+2k+，kZ Z， 得 k-xk-，kZ Z。 即原函数的单调增区间为：k-，k-（kZ Z）
2、。 【例 2】 若 （0，），比较 sin(cos)，cos(sin)，cos 这三者之间 的大小。 解：解：在（0，）中，sinxxtgx，而 0cosx1，sin(cos) cos。 在（0，）中，y=cosx 单调递减，cos cos(sin)。 sin(cos) cos0，f（）cos（sin）= cos 1 0，0 sin。 =sin(ctg) ctg。 作出函数 y=ctgx 在（0，）上的图象，可看出：。 证明：证明：01， 0sin1-=，k=2，3，n。 (coscos cos) 2( )()()( ) =() 2， coscos cos。 二、三角恒等变换二、三角恒等变换
3、众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练 地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征， 从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。 【例 1】（1）已知 cos= -，sin(+)= ，且 0，求 sin 的值。 （2）已知 sin(-)= ，求的值。 提示：提示：（1）sin=。 （2）sin2=1-2 sin 2( -)=；=。 【说明】三角变换重在角的变换。 【例 2】求 coscoscoscos的值。 解法解法 1 1：利用公式 coscos2cos4cos2 n= ，得 coscoscoscos= -，coscoscoscos=
4、。 又 coscos=，cos=， coscoscoscos=。 解法解法 2 2：coscoscoscos = =。 解法解法 3 3：利用公式 coscos(+)cos(-)= cos3，取 =、。 【例 3】求 cos 420+cos440+cos480的值。 解：解：由倍角公式得 cos 4=( ) 2= (1+2cos2+cos 22)= +cos2+cos4， cos 420+cos440+cos480= 3+(cos40+ cos80+ cos160) +(cos80+ cos160+ cos320)= +(cos40+ cos80+ cos160) = +(2cos60 cos
5、20- cos20)= 。 【例 4】若 sin+cos=，cos+sin=，求 sincos 的值。 解：解：令 =-，则 (1)(2)得 tg=， cos(+)=， sincos=sinsin= - cos(+)+ cos(-) = -。 【例 5】已知 f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数，0，求 。 解法一：解法一：由偶函数的定义，可得(cos+sin)sinx=0 对任意 xR 成立。 cos+sin=0，2 sin(+)=0， +=k，而 0，=。 解法二：解法二：由 f(-)=f()，得 =，然后验证 f(x)是偶函数。 【例 7】方程 sinx+cosx+a=0 在
6、（0，2）内有相异两根 、，求实数 a 的取 值范围，以及 + 的值。 解：解：sinx+cosx+a=0，sin (x+)= -。 令 t= x+，则 t(，)，sint= -。 作出函数 y= sint，t(,)的图象： 由图象可以看出：当-1 -1 且-即-2a-或-a2 时，sint= - 有相异两根 t1、t2，原方程有相异两根 、，并且 当-2a-时，t1+t2=(+)+(+)=，+=； 当-a2 时，t1+t2=(+)+(+)=3，+=。 【例 8】 已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0， 求 s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz 的值。 解
7、：解：由已知得， (1) 2+(2)2得 cos(x-y)= - ， 同理，cos(y-z)= -，cos(z-x)= -。 x，y，z 中任意两角的终边夹角为，不妨设 x=y+2m,mZ Z，y=z+2n,nZ Z， x= z+2(m+n)， x+y+z= 3z+2(m+2n+1)， s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz = tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz = tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz = tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z) =0。 【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便： sinsin(+)sin(-)=sin3， coscos(+)cos(-)= cos3， tgtg(+)tg(-)=tg3。 如 sin10sin50sin70=sin(310)= 。
