1、2020-2021 学年重庆市沙坪坝区八年级 （下） 第一次月考数学试卷 （学年重庆市沙坪坝区八年级 （下） 第一次月考数学试卷 （3 月份）月份） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A，B， C，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑 1 （4 分）下列各式是分式的是（ ） A Ba2bc C D 2 （4 分）若分式有意义，则 a 的
2、取值范围是（ ） Aa1 且 a1 Ba1 且 a1 Ca1 Da1 3 （4 分）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ） Amn2+2mnmn（n+2） B （x+y） （xy）x2y2 Cx2+4x+5（x+2）2+1 Da3+a2a3（1+） 4 （4 分）下列说法中不正确的是（ ） A平行四边形的对角相等 B菱形的邻边相等 C平行四边形的对角线互相平分 D菱形的对角线互相垂直且相等 5 （4 分）多项式 x3+6x2y+9xy2与 x3y9xy3的公因式是（ ） Ax（x+3y）2 Bx（x+3y） Cxy（x+3y） Dx（x3y） 6 （4 分）若 4x2（k2）x+25
3、 是一个完全平方式，则 k 的值为（ ） A18 B8 C18 或 22 D8 或 12 7 （4 分）在 x3+5x2+7x+k 中，若有一个因式为（x+2） ，则 k 的值为（ ） A2 B2 C6 D6 8 （4 分）如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于 O 点， E， F 分别是 AB， BC 边上的中点， 连接 EF 若 EF2，BD8，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A8 B8 C16 D8 9 （4 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 9，面积为 18，P、E 分别为线段 BD、BC 上的动点，则 PE+PC 的最小值为（ ） A B2 C3 D9 10 （4
4、 分）将若干个小菱形按如图的规律排列：第（1）个图形有 1 个小菱形，第（2）个图形有 3 个小菱 形，第（3）个图形有 6 个小菱形，则第（20）个图形有（ ）个小菱形 A190 B200 C210 D220 11 （4 分）甲、乙两车从 A 地出发匀速驶向 B 地甲先出发 1 小时后，乙再沿相同路线出发在整个行驶 过程中，甲、乙两车之间的距离 s（km）与甲车行驶的时间 t（h）的函数关系如图所示给出下列说法： 甲的速度为80km/h； 乙的速度为100km/h； 甲车从A地到B地， 共用时14h； AB两地相距1200km； 当甲车出发经过 10h 与 13h，甲乙两车相距 100km其
5、中说法正确的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 12 （4 分）已知关于 x 的不等式组有解，且关于 y 的分式方程4有正整数解， 则所有满足条件的整数 a 的值的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横 线上线上 13 （3 分）当 x 时，分式的值为 0 14 （3 分）若关于 x 的分式方程+1 有增根，则 a 15 （3 分）多项式 a22ab+2b26b+27 的最小值为 1
6、6 （3 分）2021 年重庆“体考”预计在四月份进行，某班为了解同学们每周参加体育锻炼的时间，随机调 查了 10 名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 4 5 6 7 人数 1 4 3 2 则这 10 名同学每周参加体育锻炼时间的平均数是 小时 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，B 点坐标为（10，4） ，将矩形沿直线 EF 翻折， 使得点A正好与BC边上的点D （2， 4） 重合， 则点B的对应点G的纵坐标为 18 （3 分）为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了 2330 支钢笔，1060 本 笔记本和若干套尺规套装，小区工作
7、人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包 裹里有 25 支钢笔，10 本笔记本和 4 套尺规套装，一个乙类包裹里有 16 支钢笔，8 本笔记本和 7 套尺规 套装，一个丙类包裹里有 20 支钢笔，6 本笔记本和 3 套尺规套装已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为 正整数，并且甲类的个数低于 28 个，乙类个数低于 106 个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为 套 三、计算题： （本大题共三、计算题： （本大题共 2 个小题，个小题，19 题题 12 分，分，20 题题 10 分，共分，共 22 分）解答时每小题必须给出必要的演算分）解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，
8、请将解答书写在答题卡中对应的位置上过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 19 （12 分）因式分解： （1）2m24m； （2）a2（xy）+9（yx） ； （3）x46x2+8； （4） （x2+x） （x2+x8）+16 20 （10 分）解方程： （1）； （2）+2 四、解答题： （本大题共四、解答题： （本大题共 5 个小题，个小题，21 题题 8 分，分，21-24 题每小题题每小题 8 分，分，25-26 题每小题题每小题 8 分，共分，共 62 分）解答分）解答 时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上时每小题必须给出必要的演算
9、过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 21 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ADAB （1）用尺规作图的方法，作出 AB 边的中垂线，交 AB 边于点 E、BC 边于点 F（要求：保留作图痕迹， 不写作法，要下结论） ； （2）连接 AF，若BAD140，求DAF 的度数 22 （10 分）小融同学根据学习函数的经验，对函数 ym|x1|+x+n 的图象与性质进行了探究下表是小融 探究过程中的部分信息： x 3 2 1 0 1 2 3 y 2 1 0 1 2 a 4 请按要求完成下列各小题： （1）该函数的解析式为 ，a 的值为 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中
10、，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）结合函数的图象，解决下列问题： 写出该函数的一条性质： ； 如图，在同一坐标系中是一次函数 yx1 的图象，根据图象回答，当 m|x1|+x+nx1 时，自变量 x 的取值范围为 23 （10 分）若一个正整数 a 可以表示为 a（b+1） （b2） ，其中 b 为大于 2 的正整数，则称 a 为“十字 数” ，b 为 a 的“十字点” 例如 28（6+1）（62）74 （1） “十字点”为 7 的“十字数”为 ；130 的“十字点”为 ； （2）若 b 是 a 的“十字点” ，且 a 能被（b1）整除，其中 b 为大于 2 的正
11、整数，求 a 的值； （3）m 的“十字点”为 p，n 的“十字点”为 q，当 mn18 时，求 p+q 的值 24 （10 分） 开学初， 南开中学在某旗舰店购进一定数量的连通管与机械天平， 购买连通管花费了 1200 元， 购买机械天平花费了 900 元，且购买连通管数量是购买机械天平数量的 2 倍，已知购买一个机械天平比 购买一个连通管多花 10 元 （1）求购买一个连通管、一个机械天平各需多少元？（请列分式方程作答） （2）学期末，为了补充实验器材的损耗，学校决定再次购进连通管与机械天平共 50 个，恰逢原旗舰店 对两种商品的售价进行调整，其中连通管售价比第一次购买时提高了 10%，机
12、械天平按第一次购买时售 价的 9 折出售，若此次购买连通管与机械天平的总费用不超过 1262 元，则此次最多可购买多少个机械天 平？ 25 （12 分）如图 1，已知直线 l1：yx+5 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 l2与 y 轴交于点 C（0， 1） ，与直线 l1交于点 D（2，t） （1）求直线 l2的解析式； （2）如图 2，若点 P 在直线 l1上，过点 P 作 PQy 轴交 l2于点 Q，交 x 轴于点 G，使 SPCG2SQCG， 求此时 P 点的坐标； （3） 将直线 l1： yx+5 向左平移 10 个单位得直线 l3交 x 轴于点 E， 点 F 是点
13、C 关于原点的对称点 过 点 F 作直线 l4x 轴在直线 l4上是否存在动点 M，使得MCE 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 26 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为边作 RtABD，ADB90，ABD30，AC 与 BD 交于点 E （1）如图 1，若CAB30，AD2，求 CE 的长度； （2）如图 2，若CAB45，延长 DA 至点 F，连接 CF 交 BD 于点 H，若点 H 为 CF 的中点，证明： DHAF； （3）如图 3，若CAB60，AB2，将ADB 绕点 A 逆时针旋转得到AMN，连接 CN，取 CN 的 中点
14、G，连接 BG在AMN 旋转过程中，当 BGCN 最大时，直接写出ANC 的面 积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A，B， C，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑 1 （4 分）下列各式是分式的是（ ） A Ba2bc C D 【解答】解：A、是多项式，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本
15、选项不符合题意； C、是单项式，故本选项不符合题意； D、是分式，故本选项符合题意 故选：D 2 （4 分）若分式有意义，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 且 a1 Ba1 且 a1 Ca1 Da1 【解答】解：由题意得：得 a210， 解得：a1 且 a1， 故选：B 3 （4 分）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ） Amn2+2mnmn（n+2） B （x+y） （xy）x2y2 Cx2+4x+5（x+2）2+1 Da3+a2a3（1+） 【解答】解：A从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； B从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C从左
16、到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A 4 （4 分）下列说法中不正确的是（ ） A平行四边形的对角相等 B菱形的邻边相等 C平行四边形的对角线互相平分 D菱形的对角线互相垂直且相等 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，对角相等， 选项 A，C 不符合题意， 菱形的四边相等，对角线互相垂直平分， 选项 B 不符合题意，选项 D 符合题意， 故选：D 5 （4 分）多项式 x3+6x2y+9xy2与 x3y9xy3的公因式是（ ） Ax（x+3y）2 Bx（x+3y） Cxy（x+3y）
17、Dx（x3y） 【解答】解：x3+6x2y+9xy2x（x2+6xy+9y2）x（x+3y）2， x3y9xy3xy（x29y2）xy（x+3y） （x3y） ， 多项式 x3+6x2y+9xy2与多项式 x3y9xy3的公因式是 x（x+3y） 故选：B 6 （4 分）若 4x2（k2）x+25 是一个完全平方式，则 k 的值为（ ） A18 B8 C18 或 22 D8 或 12 【解答】解：4x2（k2）x+25 是一个完全平方式， k220， 解得：k22 或 k18， 故选：C 7 （4 分）在 x3+5x2+7x+k 中，若有一个因式为（x+2） ，则 k 的值为（ ） A2 B2
18、 C6 D6 【解答】解：在 x3+5x2+7x+k 中，有一个因式为（x+2） ， 把 x2 代入 x3+5x2+7x+k0 得：8+2014+k0， 解得：k2， 故选：A 8 （4 分）如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于 O 点， E， F 分别是 AB， BC 边上的中点， 连接 EF 若 EF2，BD8，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A8 B8 C16 D8 【解答】解：E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，EF2， AC2EF4， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OAAC2，OBBD4， AB2， 菱形 ABCD 的周长为 8 故选：D 9 （4 分
19、）如图，菱形 ABCD 的边长为 9，面积为 18，P、E 分别为线段 BD、BC 上的动点，则 PE+PC 的最小值为（ ） A B2 C3 D9 【解答】解：如图，连接 AP，过点 A 作 AHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形， A，C 关于 BD 对称， PAPC， PE+PCAP+PE， AP+PEAH， S菱形ABCDBCAH， AH2， PE+PC2， PE+PC 的最小值为 2， 故选：B 10 （4 分）将若干个小菱形按如图的规律排列：第（1）个图形有 1 个小菱形，第（2）个图形有 3 个小菱 形，第（3）个图形有 6 个小菱形，则第（20）个图形有（ ）个小菱形 A1
20、90 B200 C210 D220 【解答】解：第（1）个图形有 1 个小菱形， 第（2）个图形有 2213 个小菱形， 第（3）个图形有 32（1+2）6 个小菱形， ， 则第（n）个图形有 n2（12+3+ n1）个小菱形， 当 n20 时，210 个小菱形， 故选：C 11 （4 分）甲、乙两车从 A 地出发匀速驶向 B 地甲先出发 1 小时后，乙再沿相同路线出发在整个行驶 过程中，甲、乙两车之间的距离 s（km）与甲车行驶的时间 t（h）的函数关系如图所示给出下列说法： 甲的速度为80km/h； 乙的速度为100km/h； 甲车从A地到B地， 共用时14h； AB两地相距1200km；
21、 当甲车出发经过 10h 与 13h，甲乙两车相距 100km其中说法正确的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【解答】解：根据乙出发前两人相距 80km 可得甲的速度为：80（km/h） ， 故正确； （v乙v甲）（51）80， （v乙80）480， v乙100（km/h） ， 故正确； 当乙车到达 B 地行驶的时间为：+（51）12， A、B 两地的距离为：Sv乙121200（km） ， t甲15（h） ， 故错误； 由知，A、B 两地相距 1200km， 故正确； 甲车出发经过 10h 时，甲乙两车相距： （v乙v甲）（105）（10080）5100（km） ， 当甲车
22、出发经过 10h 与 13h 时，甲乙两车相距：1608013（5+8）100（km） ， 故正确， 所以正确的说法有：共 4 个， 故选：C 12 （4 分）已知关于 x 的不等式组有解，且关于 y 的分式方程4有正整数解， 则所有满足条件的整数 a 的值的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解： 解不等式得 x2， 解不等式得 x1， 不等式组有解， 12， 解得 a9， 解分式方程4得 y， 方程的解为正数， 0 且3， a且 a3， a9 且 a3， 满足使方程的解为正整数的整数 a 的值有 0，6 两个 故选：A 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题
23、，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横 线上线上 13 （3 分）当 x 时，分式的值为 0 【解答】解：由题意得，2x10，x+10， 解得，x， 则当 x时，此分式的值为零 故答案为： 14 （3 分）若关于 x 的分式方程+1 有增根，则 a 2 【解答】解：方程两边都乘以（x1）得：a2+x1， 解得：xa1， 方程有增根， x10， x1， a11， a2 故答案为：2 15 （3 分）多项式 a22ab+2b26b+27 的最小值为 18 【解答】解：原式a22ab+b2+b26b+9
24、+18 （ab）2+（b3）2+18 （ab）20， （b3）20 原式0+0+18 原式18 故答案为：18 16 （3 分）2021 年重庆“体考”预计在四月份进行，某班为了解同学们每周参加体育锻炼的时间，随机调 查了 10 名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 4 5 6 7 人数 1 4 3 2 则这 10 名同学每周参加体育锻炼时间的平均数是 5.6 小时 【解答】解：这 10 名同学每周参加体育锻炼时间的平均数是5.6（小时） ， 故答案为：5.6 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，B 点坐标为（10，4） ，将矩形沿直线 EF 翻折，使得点
25、A 正好与 BC 边上的点 D（2，4）重合，则点 B 的对应点 G 的纵坐标为 （，） 【解答】解：过点 G 作 GMCB 于点 M， B 点坐标为（10，4） ，D（2，4） ， CD2，CB10，OCAB4， BD1028， 由折叠可得 DGAB4，BEGE，DGEB90， 设 GE 为 x，则 DE8x， DG2+GE2DE2， 42+x2（8x）2， 解得 x3， GE3，DE5， SDGEDEGM， GM， DM， CM2+， 点 G 的纵坐标为+4， 点 B 的对应点 G 的坐标为 （，） 故答案为（，） 18 （3 分）为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募
26、集了 2330 支钢笔，1060 本 笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包裹进行发放，一个甲类包 裹里有 25 支钢笔，10 本笔记本和 4 套尺规套装，一个乙类包裹里有 16 支钢笔，8 本笔记本和 7 套尺规 套装，一个丙类包裹里有 20 支钢笔，6 本笔记本和 3 套尺规套装已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为 正整数，并且甲类的个数低于 28 个，乙类个数低于 106 个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为 835 套 【解答】解：设甲类包裹有 x 个，乙类包裹有 y 个，丙类包裹有 z 个，根据题意，得： ， 2，得 5x+8z210， 解得：x42， 将
27、x42代入，得： 2（2108z）+8y+6z1060， 解得：y80+， ， x28，y106， ， 解得：， z 为正整数， z 的取值范围为：9z20 的整数， 又x、y 均为整数， 8z 与 5z 既为 5 的倍数，又为 4 的倍数， z20， 当 z20 时，x4210，y80+105， 所有包裹里尺规套装的总套数为： 410+7105+320835（套） 故答案为：835 三、计算题： （本大题共三、计算题： （本大题共 2 个小题，个小题，19 题题 12 分，分，20 题题 10 分，共分，共 22 分）解答时每小题必须给出必要的演算分）解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推
28、理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 19 （12 分）因式分解： （1）2m24m； （2）a2（xy）+9（yx） ； （3）x46x2+8； （4） （x2+x） （x2+x8）+16 【解答】解： （1）原式2m（m2） ； （2）原式a2（xy）9（xy） （xy） （a29） （xy） （a+3） （a3） ； （3）原式（x2）22x23+321 （x23）212 （x23+1） （x231） （x22） （x24） （x22） （x+2） （x2） ； （4）原式（x2+x）28（x2+x）+16 （x2+x4）2 20
29、（10 分）解方程： （1）； （2）+2 【解答】解： （1）方程两边都乘以 x（x+1）得：6xx+5， 解得：x1， 检验：当 x1 时，x（x+1）0， x1 是原方程的根； （2）原方程变形为：+2， 方程两边都乘以（x+1） （x1）得：4x+2（x21）2x（x1） ， 解得：x1， 检验：当 x1 时， （x+1） （x1）0， x1 是原方程的增根，原方程无解 四、解答题： （本大题共四、解答题： （本大题共 5 个小题，个小题，21 题题 8 分，分，21-24 题每小题题每小题 8 分，分，25-26 题每小题题每小题 8 分，共分，共 62 分）解答分）解答 时每小题必
30、须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 21 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ADAB （1）用尺规作图的方法，作出 AB 边的中垂线，交 AB 边于点 E、BC 边于点 F（要求：保留作图痕迹， 不写作法，要下结论） ； （2）连接 AF，若BAD140，求DAF 的度数 【解答】解： （1）如图，EF 为所作； （2）解：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC， B+DAB180， B18014040， EF 垂直平分 AB， FAFB， FABB40， DAFDABFA
31、B14040100 22 （10 分）小融同学根据学习函数的经验，对函数 ym|x1|+x+n 的图象与性质进行了探究下表是小融 探究过程中的部分信息： x 3 2 1 0 1 2 3 y 2 1 0 1 2 a 4 请按要求完成下列各小题： （1）该函数的解析式为 y2|x1|+x3 ，a 的值为 1 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）结合函数的图象，解决下列问题： 写出该函数的一条性质： 函数有最小值2 ； 如图，在同一坐标系中是一次函数 yx1 的图象，根据图象回答，当 m|x1|+x+nx1 时，自变量 x 的取值范围
32、为 0 x2 【解答】解： （1）把点（1，0）和（0，1）代入 ym|x1|+x+n 得， 解得， 该函数的解析式为 y2|x1|+x3， 把 x2 代入 y2|x1|+x3 得，y2+231， a1， 故答案为 y2|x1|+x3，1； （2）描点、连线画出函数图象如图： （3）结合函数的图象， 写出该函数的一条性质：函数有最小值2； 故答案为函数有最小值2； 根据图象可知，m|x1|+x+nx1 时，自变量 x 的取值范围为 0 x2， 故答案为 0 x2 23 （10 分）若一个正整数 a 可以表示为 a（b+1） （b2） ，其中 b 为大于 2 的正整数，则称 a 为“十字 数”
33、，b 为 a 的“十字点” 例如 28（6+1）（62）74 （1） “十字点”为 7 的“十字数”为 40 ；130 的“十字点”为 12 ； （2）若 b 是 a 的“十字点” ，且 a 能被（b1）整除，其中 b 为大于 2 的正整数，求 a 的值； （3）m 的“十字点”为 p，n 的“十字点”为 q，当 mn18 时，求 p+q 的值 【解答】解： （1）十字点为 7 的十字数 a（7+1） （72）8540， 130（12+1） （122）1310， 130 的十字点为 12 故答案为：40，12； （2）b 是 a 的十字点， a（b+1） （b2） （b2 且为正整数） ， a
34、（b1+2） （b11）（b1）2+（b1）2， a 能被（b1）整除， （b1）能整除 2， b11 或 b12， b2， b3， a（3+1） （32）4 （3）m 的十字点为 p， m（p+1） （p2） （p2 且为正整数） ， n 的十字点为 q， n（q+1） （q2） （q2 且为正整数） ， mn18， （p+1） （p2）（q+1） （q2）18， p2p2q2+q+218， （p+q） （pq）（pq）18， （p+q1） （pq）18， mn180，p2，q2 且 p、q 为正整数， pq，p+q4， p+q13， 183629181， 或或， 解得：（不合题意，舍去）
35、，或，或， p+q10 或 19 24 （10 分） 开学初， 南开中学在某旗舰店购进一定数量的连通管与机械天平， 购买连通管花费了 1200 元， 购买机械天平花费了 900 元，且购买连通管数量是购买机械天平数量的 2 倍，已知购买一个机械天平比 购买一个连通管多花 10 元 （1）求购买一个连通管、一个机械天平各需多少元？（请列分式方程作答） （2）学期末，为了补充实验器材的损耗，学校决定再次购进连通管与机械天平共 50 个，恰逢原旗舰店 对两种商品的售价进行调整，其中连通管售价比第一次购买时提高了 10%，机械天平按第一次购买时售 价的 9 折出售，若此次购买连通管与机械天平的总费用不
36、超过 1262 元，则此次最多可购买多少个机械天 平？ 【解答】解： （1）设购买一个连通管需要 x 元，则购买一个机械天平需要（x+10）元， 由题意得， 2， 解得 x20， 经检验 x20 是原方程的解，符合题意， 此时 x+1020+1030， 答：购买一个连通管需要 20 元，购买一个机械天平需要 30 元 （2）设购买 a 个机械天平， 由题意得， 3090%a+20（1+10%） （50a）1262， 解得 a32， a 为整数， a 最大为 32， 答：最多购买 32 个机械天平 25 （12 分）如图 1，已知直线 l1：yx+5 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
37、直线 l2与 y 轴交于点 C（0， 1） ，与直线 l1交于点 D（2，t） （1）求直线 l2的解析式； （2）如图 2，若点 P 在直线 l1上，过点 P 作 PQy 轴交 l2于点 Q，交 x 轴于点 G，使 SPCG2SQCG， 求此时 P 点的坐标； （3） 将直线 l1： yx+5 向左平移 10 个单位得直线 l3交 x 轴于点 E， 点 F 是点 C 关于原点的对称点 过 点 F 作直线 l4x 轴在直线 l4上是否存在动点 M，使得MCE 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）D（2，t）在直线 l1：yx+5 上， t2
38、+53， D（2，3） ， 设直线 l2的解析式为 ykx+b， 将点 C，D 代入得， 解得， 所以，直线 l2的解析式为 y2x1； （2）设 P（a，5a） ， PQ轴， G（a，0） ，Q（a，2a1） ， 分两种情况： 如图，点 P、Q 在 x 轴两侧， SPCGPG|a|，SQCGGQ|a|且 SPCG2SQCG， PG2QG， 5a2（12a） ， 解得：a1， P 点的坐标为（1，6） ； 如图，点 P、Q 都在 x 轴上方， SPCGPG|a|，SQCGGQ|a|且 SPCG2SQCG， PG2QG， 5a2（12a） ， 解得：a， P 点的坐标为（，） ； 综上，P 点的
39、坐标为（1，6）或（，） ； （3）存在，理由如下： 对于直线 l1：yx+5， 当 x0 时，y5；当 y0 时，x5 A（5.0） ，B（0.5） ， 将直线 l1： yx+5 向左平移 10 个单位得直线 l3交 x 轴于点 E， 点 F 是点 C 关于原点的对称点点 C （0，1） ， E5.0） ，N（05） ，F（0，1） ， 如图， 将直线 l1：yx+5 向左平移 10 个单位得直线 l3， 直线 l3：yx5， 又F（0.1） l4的解析式为：y1， 设 M（a.1） ，则 MC，ME，CE， 当MCE 为等腰三角形，有： MEMC 时， 解得，a，即 M（，1） ， CEM
40、C 时， 解得：a或 a， 即 M（，1） M（，1） ， MECE 时， 解得，a0 或 a10（此时三点共线，不构成三角形，舍去） ， 即 M（0，1） ， 综上，点 M 的坐标为：M（，1）或 M（，1）或 M（，1）或 M（0，1） 26 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为边作 RtABD，ADB90，ABD30，AC 与 BD 交于点 E （1）如图 1，若CAB30，AD2，求 CE 的长度； （2）如图 2，若CAB45，延长 DA 至点 F，连接 CF 交 BD 于点 H，若点 H 为 CF 的中点，证明： DHAF； （3）如图 3，若CAB60，AB2
41、，将ADB 绕点 A 逆时针旋转得到AMN，连接 CN，取 CN 的 中点 G，连接 BG在AMN 旋转过程中，当 BGCN 最大时，直接写出ANC 的面 积 【解答】解： （1）如图 1，过点 E 作 EFAB，垂足为 F， EBAEAB30，AD2， EAEB，AFFB，ABADsin304， 设 BCx，则 AC2x， ABx， 即x4， 解得 x4， BC4， EBAEAB30， EBCECB60， CBE 是等边三角形， CEBC4； （2）过点 C 作 CQFD，交 BD 于点 Q， DFHQCH，FDHCQH， 又FHCH， DFHQCH（ASA） ， DHHQ，FDCQ， AB
42、D30， DABQBC60，QCB30， ABDBCQ， CAB45BCA， BACB， BADCBQ（ASA） ， ADBQ，BDCQ， BDFD， BDBQFDAD， 即 DQAF， DH+HQAF， 2DHAF， DHAF； （3）根据题意，ADB 绕点 A 逆时针旋转过程中从 BGCN 到 BGCN 再到 BGCN 再到 BG CN 如此循环， 可见当 BGCN 时，BGCN 有最大值为 0， 即当 A、B、N 三点共线时，BGCN 有最大值， 如图 3，ADB 在初始位置时， SANCSABCABBC22tan60， 如图 32，ADB 旋转 180时， 由旋转知，ANAB， SANCANBCABBC22tan60， 故当 BGCN 最大时，ANC 的面积为
