1、 2021 年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 （4 分）9 的平方根为（ ） A3 B3 C3 D 2 （4 分）如图所示的几何体，其左视图是（ ） A B C D 3 （4 分）2020 年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的 9899 万农村贫困人口全部脱贫，其中 9899 万用科学记数法表示为（ ） A9
2、89.9105 B98.99106 C9.899107 D0.9899108 4 （4 分）如图，直线 l1l2，等腰直角ABC 的两个顶点 A、B 分别落在直线 l1、l2上，ACB90，若 115，则2 的度数是（ ） A35 B30 C25 D20 5 （4 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 6 （4 分）某校举行“弘扬传统文化”诗词背诵活动，为了解学生一周诗词背诵数量，随机抽取 50 名学生 进行一周诗词背诵数量调查，依据调查结果绘制了折线统计图下列说法正确的是（ ） A一周诗词背诵数量的众数是 6 B一周诗词背诵数量的中位数是 6 C一周诗词背
3、诵数量从 5 到 10 首人数逐渐下降 D一周诗词背诵数量超过 8 首的人数是 24 7 （4 分）下列运算正确的是（ ） A （3a3）29a6 Ba2a4a8 C2a2+a3a3 D （a+b）2a2+b2 8 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点都在格点上，如果将ABC 先沿 x 轴翻折，再向右 平移 3 个单位长度，得到ABC，那么点 B 的对应点 B的坐标为（ ） A （2，3） B （4，3） C （1，3） D （4，0） 9 （4 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck0 Dk1 且
4、k0 10 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，CACB4，分别以 A、B、C 为圆心，以AC 为半径画 弧，三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是（ ） A84 B8 C162 D82 11 （4 分）如图 1，某小区入口处安装“曲臂杆” ，OAAB，OA1 米，点 O 是臂杆转动的支点，点 C 是 曲臂杆两段的连接点，曲臂杆 CD 部分始终与 AB 平行如图 2，曲臂杆初始位置时 O、C、D 三点共线， 当曲臂杆升高到 OE 时，AOE121，点 E 到 AB 的距离是 1.7 米，当曲臂杆升高到 OF 时，AOF 156，则点 F 到 AB 的距离是（结果精确到 0.1 米，
5、参考数据：sin310.5，sin660.9） （ ） A2.0 米 B2.3 米 C2.4 米 D2.6 米 12 （4 分）定义：对于二次函数 yax2+（b+1）x+b2（a0） ，若存在自变量 x0，使得函数值等于 x0成 立，则称 x0为该函数的不动点，对于任意实数 b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数 a 的取值范围 为（ ） A0a2 B0a2 C2a0 D2a0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，直接填写答案分，直接填写答案.） 13 （4 分）分解因式：a22ab 14 （4 分）在一个不透明的袋子中装有
6、 2 个红球和 5 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球， 则摸出白球的概率是 15 （4 分）代数式与代数式的值相等，则 x 16 （4 分）如图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，若 CD4，则 AB 的长为 17 （4 分）如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平 方米的矩形草坪 ABCD该矩形草坪 BC 边的长是 米 18 （4 分）正方形 ABCD
7、中，AB2，E 为 AB 的中点，将ADE 沿 DE 折叠得到FDE，FHBC，垂足 为 H，则 FH 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19 （6 分）计算： 0 20 （6 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解 21 （6 分）如图，在ABCD 中，AEBD，CFBD，垂足分别为 E、F求证：DEBF 22 （8 分） 某学校八年级共 300 名男生， 为了解该年级男生的身高情况， 随机抽取若干男生进行身高测量， 将所得数据（精确到 1cm）整理、统计如下： 15
8、6 158 160 158 166 163 165 164 167 170 177 165 177 167 166 168 162 168 166 164 169 162 167 171 173 176 172 162 161 174 157 168 168 169 172 171 163 174 163 178 根据数据绘制了表格和统计图 身高（cm） 频数 频率 155x160 4 0.1 160 x165 10 0.25 165x170 14 0.35 170 x175 a 175x180 b 合计 40 1 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）统计表中的 a ，b ； （2）请补
9、全频数分布直方图； （3）根据抽样调查结果，请你估计八年级男生的身高在 165cm170cm 之间的人数约有多少人？ 23 （8 分）如图，已知ABC 的边 AB 是O 的切线，切点为 E，AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 F，CB 交O 于 D，连接 CE，DE，EF，且 DEEF （1）求证：ABBC； （2）若 BC3，sinA，求 AF 的长 24 （10 分）某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后， 统计发现，若 2 盆 A 种盆景和 1 盆 B 种盆景共获利润 340 元；如果 3 盆 A 种盆景和 2 盆 B 种盆景共获利 润 560
10、元 （1）每盆 A 种盆景、B 种盆景的利润各是多少元？ （2）为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植 A 种、B 种盆景的总数量 100 盆，若要 求第二期 A 种盆景的数量不超过 B 种盆景数量的 3 倍，当 A 种、B 种盆景各多少盆时，总利润最高，最 高利润是多少？ 25 （10 分）已知点 A（0，4） ，将点 A 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，对应点 B 恰 好落在反比例函数 y（k0）的图象上过点 B 的直线 l 的表达式为 ymx+n，与反比例函数图象的 另一个交点为点 C，分别交 x 轴、y 轴于点 D、点 E （1）求反比例函数表达式
11、； （2）若线段 BC2CD，求BOD 的面积； （3）在（2）的条件下，点 P 为反比例函数图象上 B、C 之间的一点（不与 B、C 重合） ，PMx 轴交直 线 l 于点 M，PNy 轴交直线 l 于点 N，请分析 EMDN 是否为定值，并说明理由 26 （12 分）在ABC 中，BAC 为锐角，ABAC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D （1）如图 1，当ABC 是等腰直角三角形时，直接写出线 AB，AC，CD 之间的数量关系； （2）BC 的垂直平分线交 AD 的延长线于点 E，交 BC 于点 F，连接 EC，EB 如图 2，若ABE60，判断 AB，AC，CE 之间又怎样的数量关
12、系并证明； 如图 3，若 AB+ACAE，求BAC 的度数 27 （12 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 CM 是抛物线 任意一点，过点 M 作直线 lx 轴，交 x 轴于点 E，设 M 的横坐标为 m（0m3） （1）求抛物线的解析式及 tanOBC 的值； （2）当 m1 时，P 是直线 l 上的点且在第一象限内，若ACP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，连接 BC，连接 AM 交 y 轴于点 N，交 BC 于点 D，连接 BM，设BDM 的面积为 S1， CDN 的面积为 S2，求 S1S2的最大值
13、 2021 年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1 （4 分）9 的平方根为（ ） A3 B3 C3 D 【解答】解：9 的平方根有：3 故选：C 2 （4 分）如图所示的几何体，其左视图是（ ） A B C D 【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形 故选：
14、A 3 （4 分）2020 年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的 9899 万农村贫困人口全部脱贫，其中 9899 万用科学记数法表示为（ ） A989.9105 B98.99106 C9.899107 D0.9899108 【解答】解：9899 万989900009.899107， 故选：C 4 （4 分）如图，直线 l1l2，等腰直角ABC 的两个顶点 A、B 分别落在直线 l1、l2上，ACB90，若 115，则2 的度数是（ ） A35 B30 C25 D20 【解答】解：ABC 是等腰直角三角形， CAB45， l1l2， 23， 115， 2451530， 故选：B 5
15、（4 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：B 6 （4 分）某校举行“弘扬传统文化”诗词背诵活动，为了解学生一周诗词背诵数量，随机抽取 50 名学生 进行一周诗词背诵数量调查，依据调查结果绘制了折线统计图下列说法正确的是（ ） A一周诗词背诵数量的众数是 6 B一周诗词背诵数量的中位数是 6 C一周诗词背诵数量从 5 到
16、10 首人数逐渐下降 D一周诗词背诵数量超过 8 首的人数是 24 【解答】 解： 因为 5 出现了 13 次， 出现的次数最多， 所以一周诗词背诵数量的众数是 5， 故选项 A 错误， 不符合题意； 一周诗词背诵数量最中间的两个数字都为 6，所以该组数据的中位数为 6，故选项 B 正确，符合题意； 从折线图可以看出，一周诗词背诵数量从 5 到 7 首人数逐渐下降，从 7 到 9 首人数逐渐上升，从 9 到 10 首人数逐渐下降，故选项 C 错误，不符合题意； 一周诗词背诵数量超过 8 首的人数是 6+28，故选项 D 错误，不符合题意 故选：B 7 （4 分）下列运算正确的是（ ） A （3
17、a3）29a6 Ba2a4a8 C2a2+a3a3 D （a+b）2a2+b2 【解答】解： （3a3）29a6，故 A 项符合题意； a2a4a6，故 B 项不符合题意； 2a2与 a 不是同类项，因此无法通过加法合并，故 C 选项不符合题意； （a+b）2a2+2ab+b2；故 D 项不符合题意； 故选：A 8 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点都在格点上，如果将ABC 先沿 x 轴翻折，再向右 平移 3 个单位长度，得到ABC，那么点 B 的对应点 B的坐标为（ ） A （2，3） B （4，3） C （1，3） D （4，0） 【解答】解：由坐标系可得 B（1，3） ，
18、 将ABC 先沿 x 轴翻折得到 B 点对应点为（1，3） ，再向右平移 3 个单位长度，点 B 的对应点 B的 坐标为（1+3，3） ， 即（2，3） ， 故选：A 9 （4 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck0 Dk1 且 k0 【解答】解：由题意知 k0，4+4k0 解得 k1 且 k0 故选：D 10 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，CACB4，分别以 A、B、C 为圆心，以AC 为半径画 弧，三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是（ ） A84 B8 C162 D82 【解答】解：C9
19、0，CACB4， AC2，SABC448， 三条弧所对的圆心角的和为 180， 三个扇形的面积和2， 三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积SABC三个扇形的面积和82 故选：D 11 （4 分）如图 1，某小区入口处安装“曲臂杆” ，OAAB，OA1 米，点 O 是臂杆转动的支点，点 C 是 曲臂杆两段的连接点，曲臂杆 CD 部分始终与 AB 平行如图 2，曲臂杆初始位置时 O、C、D 三点共线， 当曲臂杆升高到 OE 时，AOE121，点 E 到 AB 的距离是 1.7 米，当曲臂杆升高到 OF 时，AOF 156，则点 F 到 AB 的距离是（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin3
20、10.5，sin660.9） （ ） A2.0 米 B2.3 米 C2.4 米 D2.6 米 【解答】解：如图，过点 E,F 分别作 EGOD,FHOD,于点 G,H, OAAB,ODAB, OAOD, AOD90, AOE121，AOF156， EOG1219031,FOH1569066, 点 E 到 AB 的距离是 1.7 米，OA1 米, EG1.710.7(米） ， 在 RtOEG 中， EGOEsinEOG, OE1.4(米） ， OEOF, 在 RtOFH 中， FHOFsinFOH1.4sin661.40.91.26(米） ， FH+OA1.26+12.262.3(米） 点 F
21、到 AB 的距离是 2.3 米 故选：B 12 （4 分）定义：对于二次函数 yax2+（b+1）x+b2（a0） ，若存在自变量 x0，使得函数值等于 x0成 立，则称 x0为该函数的不动点，对于任意实数 b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数 a 的取值范围 为（ ） A0a2 B0a2 C2a0 D2a0 【解答】由题意可知方程 xax2+（b+1）x+b2（a0） ，恒有两个不相等的实数解， 则b24a（b2）b24ab+8a0，对任意实数 b 恒成立， 把 b24ab+8a 看作关于 b 的二次函数， 则有1（4a）248a16a232a16a（a2）0，令 16a（a2）0， 解得
22、 a0 或 a2， 当 a2 时，16a0，a20，即 16a（a2）0， 当 a0 时，16a0，a20，即 16a（a2）0， 0a2 时，16a0，a20，即 16a（a2）0， 即 16a（a2）0 的解集， 解得 0a2， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，直接填写答案分，直接填写答案.） 13 （4 分）分解因式：a22ab a（a2b） 【解答】解：a22aba（a2b） ， 故答案为：a（a2b） 14 （4 分）在一个不透明的袋子中装有 2 个红球和 5 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个
23、球， 则摸出白球的概率是 【解答】解：由概率的计算公式可得： P(摸到白球)， 故答案为 15 （4 分）代数式与代数式的值相等，则 x 1 【解答】解：根据题意得：， 去分母得：2（x2）3(x1)， 解得：x1， 经检验 x1 是方式方程的根 故答案为：1 16 （4 分）如图，在ABC 中，C90，B30，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，若 CD4，则 AB 的长为 8 【解答】解：由作图可知，AD 平分CAB， CADDAB， C90，B30，
24、 CAB903060， CADCAB30， ACCD4， AB2AC8， 故答案为：8 17 （4 分）如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平 方米的矩形草坪 ABCD该矩形草坪 BC 边的长是 12 米 【解答】解：设 BC 边的长为 x 米，则 ABCD米， 根据题意得：x120， 解得：x112，x220， 2016， x220 不合题意，舍去， 故答案为：12 18 （4 分）正方形 ABCD 中，AB2，E 为 AB 的中点，将ADE 沿 DE 折叠得到FDE，FHBC，垂足 为 H，则 FH 【解答】解：如图，过点 F 作
25、 MNBC，交 AB 于 M，交 CD 于 N， 四边形 ABCD 是正方形， BC90， MNBC， AMFB90，DNFC90， EMFDNF90， 由折叠得：ADDF2，AEEF，AEFD90， EFM+DFNDFN+NDF90， EFMNDF， EMFFND， ， 正方形 ABCD 中，AB2，E 为 AB 的中点， AEBEEF1， 设 FHBMx，则 EM1x，FN2EM2（1x）22x， FM2FN2（22x）2x， 在 RtEMF 中，由勾股定理得：FM2EM2+FM2， 12（1x）2+（2x）2， 解得：x10，x2， FH 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大
26、题共 9 个小题，共个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19 （6 分）计算： 0 【解答】解：原式2+631+1 2+63+1 6 20 （6 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解 【解答】解：解不等式得，x3， 解不等式得，x1， 所以不等式组的解集为3x1， 所以原不等式组的整数解是2、1 21 （6 分）如图，在ABCD 中，AEBD，CFBD，垂足分别为 E、F求证：DEBF 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ADBC， ADECBF， AEBD，CFBD， AEDCFB90， 在ADE 和
27、CBF 中， , ADECBF（AAS）, DEBF 22 （8 分） 某学校八年级共 300 名男生， 为了解该年级男生的身高情况， 随机抽取若干男生进行身高测量， 将所得数据（精确到 1cm）整理、统计如下： 156 158 160 158 166 163 165 164 167 170 177 165 177 167 166 168 162 168 166 164 169 162 167 171 173 176 172 162 161 174 157 168 168 169 172 171 163 174 163 178 根据数据绘制了表格和统计图 身高（cm） 频数 频率 155x16
28、0 4 0.1 160 x165 10 0.25 165x170 14 0.35 170 x175 a 175x180 b 合计 40 1 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）统计表中的 a 0.2 ，b 4 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）根据抽样调查结果，请你估计八年级男生的身高在 165cm170cm 之间的人数约有多少人？ 【解答】解： （1）由统计图的数据可得， 170 x175 这一组的频数为 8，a8400.2，b4， 故答案为：0.2，4； （2）由（1）知，170 x175 这一组的频数为 8，175x180 这一组的频数为 4， 补全的补全频数分布直方图如右图
29、所示； （3）3000.35105（人） ， 答：估计八年级男生的身高在 165cm170cm 之间的约有 105 人 23 （8 分）如图，已知ABC 的边 AB 是O 的切线，切点为 E，AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 F，CB 交O 于 D，连接 CE，DE，EF，且 DEEF （1）求证：ABBC； （2）若 BC3，sinA，求 AF 的长 【解答】解： （1）如图，连接 OE, AB 是O 的切线,切点为 E, OEAB, OEA90, EFED, FCEDCE, OEOC, FCEOEC, OECB, BOEA90, ABBC (2)设O 的半径 OCOEOFr, BC3，s
30、inA，B90, AC5, 在直角三角形 AOE 中， sinA, 解得：r， AF52r52 24 （10 分）某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后， 统计发现，若 2 盆 A 种盆景和 1 盆 B 种盆景共获利润 340 元；如果 3 盆 A 种盆景和 2 盆 B 种盆景共获利 润 560 元 （1）每盆 A 种盆景、B 种盆景的利润各是多少元？ （2）为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植 A 种、B 种盆景的总数量 100 盆，若要 求第二期 A 种盆景的数量不超过 B 种盆景数量的 3 倍，当 A 种、B 种盆景各多少盆时，总
31、利润最高，最 高利润是多少？ 【解答】解： （1）设每盆 A 种盆景的利润分别为 x 元，每盆 B 种盆景的利润各 y 元， 由题意得： 解得：, 答:每盆 A 种盆景的利润为 120 元，每盆 B 种盆景的利润为 100 元； （2）设第二期 A 种盆景 m 盆，B 种盆景 n 盆,利润为 Q 由题意得：, 由可得：m100n 代入， 得：, 200, Q 随 n 的增大而减小， 当 n25 时，Q 最大， n25（盆） ，m1002575（盆）时，Qmax2025+1200011500(元） ， 答：第二期 A 种盆景 75 盆，B 种盆景 25 盆,利润 Q 最大，最大总利润是 1150
32、0 元 25 （10 分）已知点 A（0，4） ，将点 A 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，对应点 B 恰 好落在反比例函数 y（k0）的图象上过点 B 的直线 l 的表达式为 ymx+n，与反比例函数图象的 另一个交点为点 C，分别交 x 轴、y 轴于点 D、点 E （1）求反比例函数表达式； （2）若线段 BC2CD，求BOD 的面积； （3）在（2）的条件下，点 P 为反比例函数图象上 B、C 之间的一点（不与 B、C 重合） ，PMx 轴交直 线 l 于点 M，PNy 轴交直线 l 于点 N，请分析 EMDN 是否为定值，并说明理由 【解答】解： （1）将点 A
33、（0，4）先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得 B(1，6)， 点 B 恰好落在反比例函数 y（k0）的图象上 6， k6， 反比例函数表达式为 y； （2）如图 1，过点 B 作 BFx 轴于点 F，过点 C 作 CGx 轴于点 G， CGDBFD90， CDGBDF， CDGBDF， ， BC2CD，BC+CDBD， BD3CD， ， B(1，6)， BF6，OF1， CGBF62， 将 y2 代入 y，得 2， x3， C(3，2)， 将 B(1，6)，C(3，2)代入 ymx+n， 得：， 解得：， 直线 l 的表达式为 y2x+8， 令 y0，得：2x+80，
34、解得：x4， D(4，0)， OD4， SBODODBF4612； （3）如图 2，由（2）知，直线 BC 的解析式为 y2x+8， 令 x0，得 y8， E(0，8)， 设 P(t，)，且 t0， PMx 轴，PNy 轴， M(t，2t+8)，N(4，)， EMt，DN， EMDNt15， EMDN 为定值 26 （12 分）在ABC 中，BAC 为锐角，ABAC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D （1）如图 1，当ABC 是等腰直角三角形时，直接写出线 AB，AC，CD 之间的数量关系； （2）BC 的垂直平分线交 AD 的延长线于点 E，交 BC 于点 F，连接 EC，EB 如图 2
35、，若ABE60，判断 AB，AC，CE 之间又怎样的数量关系并证明； 如图 3，若 AB+ACAE，求BAC 的度数 【解答】解： （1）ABAC+CD，理由如下： 过 D 作 DEAB 于 E，如图 1 所示： ABC 是等腰直角三角形，BAC 为锐角，ABAC， ACB90，B45， DCAC， AD 平分BAC，DCAC， DCDE， 在 RtACD 和 RtAED 中， ， RtACDRtAED（HL） ， ACAE， DEAB，B45， BDE 为等腰直角三角形， BEDEDC， ABAE+EBAC+CD； （2）ABAC+CE，证明如下： 在线段 AB 上截取 AHAC，连接 EH
36、，如图 2 所示： AD 平分BAC， CAEBAE， 在ACE 和AHE 中， ， ACEAHE（SAS） ， CEHE， EF 垂直平分 BC， CEBE， 又ABE60， EHB 是等边三角形， BHHE， ABAH+HBAC+CE； 在线段 AB 上截取 AHAC，连接 EH，过 E 作 EMAB 于点 M，如图 3 所示： 同得：ACEAHE（SAS） ， CEHE， EHB 是等腰三角形， EMAB， HMBM， AC+ABAH+ABAMHM+AM+MB2AM， AC+ABAE， AMAE， 在 RtAEM 中，cosEAM， EAB30， CAB2EAB60 27 （12 分）如
37、图 1，抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 CM 是抛物线 任意一点，过点 M 作直线 lx 轴，交 x 轴于点 E，设 M 的横坐标为 m（0m3） （1）求抛物线的解析式及 tanOBC 的值； （2）当 m1 时，P 是直线 l 上的点且在第一象限内，若ACP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，连接 BC，连接 AM 交 y 轴于点 N，交 BC 于点 D，连接 BM，设BDM 的面积为 S1， CDN 的面积为 S2，求 S1S2的最大值 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2） ， 则 y
38、a（x+1） （x3）ax22ax3a， 则3a3，解得 a1， 故抛物线的表达式为 yx2+2x+3； （2）当 m1 时，则直线 l 为抛物线的对称轴， 如图 1，连接 AC，设点 P（1，m） ， 当APC 为直角时， 则 CN1，PN3m，AE1(1)2，PEm， 过点 C 作 CNME 于点 N， NPC+APE90，APE+PAE90， NPCPAE， tanNPCtanPAE，即， ，解得 m1 或 2， 故点 P 的坐标为（1，1）或（1，2） ； 当ACP为直角时， 同理可得：点 P的坐标为（1，） ； 当CAP为直角时， 同理可得，点 P的坐标为（1，） ， 综上，点 P 的坐标为（1，1）或（1，2）或（1，）或（1，） ； （3）设点 M 的坐标为（m，m2+2m+3） ， 由点 A、M 的坐标得，直线 AM 的表达式为 y（3m） （x+1） ， 则点 N 的坐标为（0，3m） ， 设四边形 ONDB 的面积为 S， 则 S+S1SABMSAONABMEAOON （3+1）（m2+2m+3）1（3m） 2m2+m+； 则 S+S2SBOCOBOC， 则 S1S2（S+S1）（S+S2）2m2+m， 20，故 S1S2有最大值 当 m时，S1S2的最大值为
