1、第 1 页，共 18 页 2021 年河南省年河南省“顶尖计划顶尖计划”高考数学第三次考试试卷（理科）高考数学第三次考试试卷（理科） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 3 2:3的虚部为( ) A. 1 13 B. 9 13 C. 1 13 D. 6 13 2. 已知集合 = * | 2+， = *|2 4 = 0+，则 = ( ) A. *2+ B. *2,0，1，2+ C. *0,1，2+ D. *2,1，2+ 3. 已知两条不同的直线 l，m 和平面， ，则/是/的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4
2、. 若抛物线2= 2( 0)上的点(3,0)到焦点的距离是点 A到 y轴距离的 3 倍，则 0等于( ) A. 62 B. 6 C. 122 D. 12 5. 函数() = 2 + 2的图象在点(5 12 ,(5 12)处的切线方程为( ) A. + 5 12 3 2 = 0 B. 5 12 + 3 2 = 0 C. + + 5 12 3 2 = 0 D. + 5 4 + 3 2 = 0 6. 已知函数() = 2(2 + ) + (0 0, 0)的右焦点 F作 x轴的垂线，与双曲线 C及其一条渐近线在第一象 限分别交于 A，B 两点，且 = 2 (为坐标原点)，则该双曲线的离心率是_ 16.
3、 正方体 1111的棱长为 3，1/平面，/平面，则正方体在平面内的正投影面积为 _ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列*+的前 n 项和为= 1 8 2 + 7 8. ()求*+的通项公式； ()求数列*sin( 2 )+前 2021项之和 第 3 页，共 18 页 18. 如图， 四棱台 1111的上、 下底面均为菱形、 1平面 ABCD， = 60，1 = 1 = 45， = 211= 2 ()证明：平面1 平面1； ()求直线1与平面1所成角的正弦值 19. 某工厂的某种产品成箱包装每箱 100 件，每箱产品在交付用户之前至多要作两轮检验，先从这箱产品
4、 中随机抽取 10 件作初检，根据初检结果决定是否再抽取 10件进行复检.如检验出不合格品，则更换为 合格品， 每件产品的检验费用为 50 元， 若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付 200 元赔偿费用 ()假设某箱产品中仅有 2件不合格品，求这 2 件不合格品在初检时都被抽到的概率 ()若初检时检验出( 且0 10)件不合格品，则认为该箱剩余的每件产品为不合格品的概幸 均为 10，且各件产品是否为不合格品相互独立.以一箱产品的检验费用和赔偿费用之和的期望值为决策 依据，分析 x为何值时，不需要进行复检 第 4 页，共 18 页 20. 已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1
5、( 0)的右焦点为(,0)( 0)，离心率为 3 2 ，经过 F 且垂直于 x轴的直 线交于第一象限的点 M，O为坐标原点，且| = 13 2 ()求椭圆的方程； ()设不经过原点 O 且斜率为1 2的直线交椭圆于 A，B两点，A，B关于原点 O对称的点分别是 C，D， 试判断四边形 ABCD的面积有没有最大值.若有，请求出最大值；若没有，请说明理由 21. 已知函数() = 2;2+ ()讨论函数()的单调性； ()对任意 0，求证：() ( + ) 22. 在极坐标系中，已知曲线 C： = 2 1; ()若0 1，曲线 C 与极轴所在直线交于 A，B两点，且| = 42，求 a的值； ()
6、若 = 1， 直线1， 2经过极点且相互垂直， 1与C交于P， Q两点， 2与C交于M， N两点， 求| + | 的最小值 第 5 页，共 18 页 23. 已知函数() = |2 1| + | + 1| ()解关于 x 的不等式() 0)上的点(3,0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍， 可得3 + 2 = 9， 解 得 = 12，所以抛物线方程为：2= 24，抛物线2= 2( 0)上的点(3,0)， 可得0 2 = 24 3，解得0= 62 故选：A 利用抛物线的定义，转化求解 p，得到抛物线方程，然后求解即可 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，
7、是基础题 5.【答案】A 【解析】解：() = 2 + 2的导数为() = 2 22， 可得图象在点(5 12 ,(5 12)处的切线的斜率为2 2 5 6 = 1， 切点为(5 12 , 5 6 3 2 )， 则切线的方程为 (5 6 3 2 ) = 5 12， 即为 + 5 12 3 2 = 0 故选：A 求得()的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线的方程 本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求得导数是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于基础 题 6.【答案】C 第 7 页，共 18 页 【解析】解： ()有相邻的两个零点 12和 3 4 ， = 12: 3 4
8、 2 = 5 12是()图像的一条对称轴， 2 5 12 + = 2 + , ， = 3， 又 0 0时，()单调递增， 对任意的 ,0, + 1-，均有( + ) (2)， 故| + | |2|， 即| + | 2， 由区间的定义可知， 1， 若 + 0，则 + 2，即 ， 由于 x 的最大值 + 1，故 显然不恒成立， 若 + 0，则 + 2，即 1 3， 所以 + 1 1 3， 解得 3 4， 故 b的最大值 3 4 故选：B 由已知结合偶函数对称区间上单调性相反及已知函数在 0时的单调性可转化已知不等式，进而可求 本题主要考查了函数的奇偶函数的对称性及不等式恒成立求解参数范围，体现了转
9、化思想的应用，属于中 档题 第 10 页，共 18 页 12.【答案】C 【解析】解：建立如图所示的直角坐标系， 则( 3 2,0)，( 3 2,0)，(,)， 因为 = 2， 所以( + 3 2) 2+ 2 = 2( 3 2) 2+ 2， 化简得，( 5 2) 2 + 2= 4，去掉(1 2,0)，( 9 2,0)， 即 C 的轨迹是以(5 2,0)为圆心，以 2为半径的圆， 三角形面积的最大值为 = 1 2 3 2 = 3 所以0 0, 0)的半焦距为 c， 由题意可得 l： = ，(,0)，渐近线方程为 = ， 则(, 2 )，(, )， 又 = 2 ， (,0) = (2, 22 )
10、(, ) = (, 22; )， 即22 = 0，则 = 2， 2= 42= 4(2 2)，可得2 = 3， 则双曲线的离心率为 = = 23 3 故答案为：23 3 第 12 页，共 18 页 先设双曲线的半焦距为 c，分别表示 A，B 的坐标，再由 = 2 ，可得 = 2，结合隐含条件即可 求得双曲线的离心率 本题考查双曲线的方程和性质，考查运算求解能力和方程思想，属于基础题 16.【答案】66 【解析】解：如图，作面，满足1/平面，/平面， 则正方体 1111在面的正投影为一个六边形，所以根据对称性， 正方体的 6 个顶点中 A、B、1、1、1、D， 在平面内的投影点与六边形 EHNFM
11、G对应，其它六个顶点投影恰是六边形的六个顶点， 六边形的对角线 EF是1在射影 = 33， BD 与 B1D1 在平面上的射影为：32，E到 GH的距离为 3， 所以正六边形的面积为2 1 2 32 3 + 3 32 = 66 故答案为：66 画出几何体的在平面的射影图形，判断图形的形状，然后求解射影的面积 本题考查直线与平面平行的判断，所以面的面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是 难题 17.【答案】解：()= 1 8 2 + 7 8，可得 = 1时，1 = 1= 3 4； 2时，= ;1= 1 8 2 + 7 8 + 1 8( 1) 2 7 8( 1) = 1 4， 上式
12、对 = 1也成立 第 13 页，共 18 页 所以= 1 4， ； ()sin( 2 ) = (1 4)sin( 2 )， 则1sin 2 + 2 + 3sin 3 2 + 42 = 1 3= 1 2， 5sin 5 2 + 63 + 7sin 7 2 + 84 = 5 7= 1 2， . 根据正弦函数的周期性可得， 1sin 2 + 2+.+2021sin 2021 2 = 1 2 505 + 1 2021 4 = 1007 4 【解析】()由数列的递推式： = 1时，1= 1， 2时，= ;1，计算可得所求通项公式； ()每隔 4项，求数列*sin( 2 )+的和，结合正弦函数的周期性，计
13、算可得所求和 本题考查数列的递推式的运用，以及数列的求和方法，注意周期性的运用，考查转化思想和运算能力，属 于中档题 18.【答案】()证明：作 1于 E，连接 DE、BD， 因为四边形 ABCD是菱形，且 = 60， = 2，所以 = 2， 因为 = ， = ， 1 = 1 = 45， 所以 ， 所以 = = 40 = 2， 于是2+ 2= 2， 所以 ， 因为为平面1与平面1所成二面角的平面角， 所以平面1 平面1； ()解：连接 AC，交 BD于 O，连接 AO，11， 因为在四棱台 1111中， = 211= 2， 所以 = 1 2 = 11，又因为/11， 所以四边形11为平行四边形
14、，所以1/1， 因为1平面 ABCD，所以1 平面 ABCD， 于是1 ，1 ， 因为上、下底面均为菱形，所以 ， 所以 OA、OB、1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱台高为 h， 由已知得 = (3,1，0)，1 = (3,0，)， 第 14 页，共 18 页 1 = | | |1 | 45，所以3 = 2 3 +2 2 2 ，解得 = 6 2 ， 1 = (3,0， 6 2 )， 设平面1的法向量为 = (,y，)， = 3 + = 0 1 = 3 + 6 2 = 0，令 = 1， = (1,3,2)， 所以直线1与平面1所成角的正弦值为 |1 | |1 | | = 23 3
15、2 6 = 2 3 【解析】()只须证明平面1与平面1所成二面角的平面角为90即可；()用向量数量积计算直线 与平面成角的正弦值 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题 19.【答案】解：()从 100件产品中抽取 10件，2 件不合格品被抽到的概率为： = 98 8 2 2 100 10 = 1 110 ()若不进行复检，令 Y 表示剩余的 90件产品中的不合格品数，则(90, 10)， 则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和1= 50 10 + 200 = 500 + 200， (1) = (500 + 200) = 500 + 200() = 500 + 180
16、0； 若进行复检，令 Z表示剩余 80 减产品中的不合格品数，则(80, 10)， 则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和2= 50 20 + 200 = 1000 + 200， (2) = (1000 + 200) = 1000 + 200() = 1000 + 1600， 当(1) (2)时，不需要进行复检， 由500 + 1800 1000 + 1600，得 2.5， 即当 = 0，1，2 时，不需要进行复检 【解析】()由古典概型的概率公式计算即可得解； ()分别求出不进行复检和进行复检，一箱产品的检验费用和赔偿费用之和1，2的期望值，当 (1) 0，解得2 0，解得2 0恒成立，故()在
17、 R 上单调递增， 当 0，解得： 2 + ln( 2 )， 令() 0，解得： 2 + ln( 2 )， 故()在(,2 + ln( 2)上单调递减，在(2 + ln( 2),+)上单调递增； 综上：当 0时，()在 R 上单调递增， 当 ( + )，即证2;2+ ( + )， 即证2;2 ，又 0，故2 2 ，即证 2 2 0， 令() = 2 2 ，则() = 2(;1);2 22 ， 令() = 2( 1) 2，则() = 2 2， 而()在(0,+)递增，且(1) = 2 2 0， 故存在唯一的实数0 (1,2)，使得(0) = 0， 故()在(0,0)上单调递减，在(0,+)上单调
18、递增， (0) = 2 0时， 2，当() 0时，0 0， 综上： 2 2 0，即() ( + ) 【解析】()求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； ()问题转化为证明 2 2 0，令() = 2 2 ，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即 可 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想， 是难题 22.【答案】解：()设极点为 O，令 = 0，得| = 1= 2 1;，令 = ，得| = 2 = 2 1:， 第 17 页，共 18 页 则| = | + | = 2 1; + 2 1: = 42， 解得 = 2 2
19、( = 2舍去)； ()设直线1： = ( )，则2： = + 2 ( )， 则| = 2 1;cos + 2 1:cos = 4 1;cos2 = 4 sin2， 用 + 2替换，得| = 4 sin2(: 2) = 4 cos2， | + | = 4 sin2 + 4 cos2 = 4 sin2cos2 = 16 sin22， 当 = 4时，| + |取最小值 16 【解析】()在给出的极坐标方程中分别取 = 0与，即可求得 A与 B 的极径，作和后由| = 42求 a 的值； ()设直线1： = ( )，则2： = + 2 ( )，代入曲线的极坐标方程分别求得|与|，作 和后利用三角函数
20、求最值 本题考查简单曲线的极坐标方程，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是基础题 23.【答案】解：()由() 8，即|2 1| + | + 1| 8 等价为 1 1 2 1 8或 1 1 2 1 2 + + 1 1 2 2 1 + + 1 8 ， 解得 8 3 1或1 1 2或 1 2 8 3， 可得原不等式的解集为( 8 3, 8 3)； ()当 = 0时，不等式显然成立； 当 0时，不等式() |可化为 () | = |2;1|:|:1| | ， 而 |2;1|:|:1| | = | 1 2| + | 1 + 1| | 1 2 1 1| = 3，当且仅当(1 2)(1 + 1) 0，即1 1 2时，取 得等号 故 |2;1|:|:1| | 的最小值为 3 所以 k 的取值范围是(,3- 第 18 页，共 18 页 【解析】()由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； ()讨论当 = 0时不等式显然成立，当 0时，运用参数分离和绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立 思想，可得所求范围 本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和 运算能力、推理能力，属于中档题
