1、第 1 页,共 19 页 2021 年黑龙江省佳木斯高考数学三模试卷(理科)年黑龙江省佳木斯高考数学三模试卷(理科) 一、单选题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 已知集合 = *|2 2 ,则下列说法是正确的是( ) A. 1 C. 2 3 2 3 D. 1 3 0, 0)的两条渐近线与抛物线2= 43的准线分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 的面积为3,则双曲线的离心率为( ) A. 39 6 B. 23 3 C. 2 D. 13 11. 将函数()的图象向左平移 3个单位长度, 再将所得函数图象上的所有点的 横坐标变为原来的3 2倍,得到函数() = ( + )( 0
2、, 0,| )的图象.已知函数()的部分图象如图所示,则下列关于函数()的说法 正确的是( ) A. ()的最小正周期为 3 B. ()在区间, 9 , 3-上单调递减 C. ()的图象关于直线 = 9对称 D. ()的图象关于点( 9 ,0)成中心对称 12. 蹴鞠(如图所示),又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等,蹴有用脚蹴、踢的含义,鞠最 早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动, 类似今日的足球.2006年 5 月 20日, 蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入 第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠内切于三棱锥 , 面 ABC, , = 4, = 3, =
3、 4,则该蹴鞠的体积为( ) A. 4141 6 B. 9 16 C. 9 4 D. 4 二、单空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 第 3 页,共 19 页 13. 已知圆 C 的圆心坐标是(0,),若直线2 + 3 = 0与圆 C 相切于点(2,7),则圆 C的标准方程为 _ 14. 在 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, = 3 4 , = 210,D为 BC中点, = 25 5 , 求 AD的长度为_ 15. 下列说法正确的有_ 统计中用相关系数 r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱.线性相关系数 r越大,两个变量的线性 相关性越强;反之,线性相关性越弱 在线性回
4、归模型中,计算相关指数2 0.6,表明解释变量解释了60%预报变量的变化 为了了解本校高三学生 1159 名学生的三模数学成绩情况,准备从中抽取一个容量为 50 的样本,现 采用系统抽样的方法,需要从总体中剔除 9个个体,在整体抽样过程中,每个个体被剔除的概率和每 个个体被抽到的概率分别是 9 1159和 1 23 随机变量(,2),则当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“矮胖” 身高 x 和体重 y 的关系可以用线性回归模型 = + + 来表示,其中 e叫随机误差,则它的均值 () = 0 16. 若两曲线 = 2+ 1与 = + 1存在公切线,则正实数 a 的取值范围是_ 三、解答题(
5、本大题共 7 小题,共 82.0 分) 17. 已知等差数列*+满足1+ 2= 4,4+ 5+ 6= 27 (1)求数列*+的通项公式; (2)若= 2,求数列*+的前 n项和 18. 如图,正三棱柱 111的底面边长是 2,侧棱长是3,D 是 AC 的中点 ()求证:1/平面1; ()求二面角 1 的余弦值 第 4 页,共 19 页 19. 已知函数() = 1 2 2 + ( + 1) + ( 0) (1)讨论()的单调性; (2)当 0时,证明() 2 3 2 20. 我国探月工程嫦娥五号探测器于 2020年 12 月 1日 23 时 11分降落在月球表面预选着陆区, 在顺利完成 月面自
6、动采样之后,成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道,这是我国首次实现月球无人采样 和地外天体起飞,对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况,设 计了一份调查问卷,从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试,记录了他们的分数,将收集到的学 生测试的评分数据按照,30,40),,40,50),,50,60),,60,70),,70,80),,80,90),,90,100-分组,绘制成 评分频率分布直方图,如下: (1)在测试评分不低于 80分的 12 名学生中随机选取 3人作为航空航天知识宣传大使,记这 3名学生中 测试评分不低于 90 分的人数为 X,求 X 的分布列
7、; (2)为激励学生关注科技,该校科技社团预在高一学年 1000名学生中,举办航天知识大赛,计划以知识 问答试卷形式,以分数高低评比等级,一等奖、二等奖奖励为航天模型,三等奖无奖品,且一等奖奖 品价值为二等奖的二倍,每个等级都颁发相应证书.奖品费用需社团自行联系商家赞助,已筹集到赞助 费 6000元.现以问卷调查结果的频率估计竞赛结果,以在测试评分不低于 90 分频率记为一等奖获奖概 第 5 页,共 19 页 率, 不低于80分不足90分频率记为二等奖获奖概率, 不低于70分不足80分频率记为三等奖获奖概率, 若要求赞助费尽量都使用,试估计二等奖奖品的单价应为多少元? 21. 曲线上动点 M到
8、(2,0)和到(2,0)的斜率之积为 1 4 (1)求曲线的轨迹方程; (2)若点(0,0)(0 0)为直线 = 4上任意一点,PA,PB 交椭圆于 C,D两点,求四边形 ACBD面 积的最大值 第 6 页,共 19 页 22. 已知曲线1: = 2 + = 1 (为参数),2: = 2 = sin (为参数且0 0, 0,() = () | + 1|的最大值 m,1 + 1 = ,求2+ 2的最小值 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解: = *| 1 1 ,A 错误, B:当 = , = 2时,则 = 0, = 1,B错误, C: = (2 3) 为减函数,又 , (2 3)
9、(2 3) ,2 3 2 3, 2 3 1 3,D错误 故选:C 通过举实例判断 ABD,通过构造函数判断 B,利用指数函数的单调性判断 C 本题考查不等式大小的比较,涉及举实例,指数函数的单调性,属于中档题 4.【答案】D 【解析】解:设废水中最原始的该重金属含量为 a,则经过 x 次该装置过滤后, 该重金属含量为 (1 20%)= (4 5) , 由题意知 (4 5) 0.04,所以(4 5) 4;2 4;5 = 22;2 32;1 14.4, 所以 x 取最小整数为 15 故选:D 设废水中最原始的该重金属含量为 a,由条件可得 (1 20%)= (4 5) ,然后求出 x 的取值范围,
10、再确 定至少需要经过该装置的次数 本题考查了函数模型的实际应用,考查运算能力,属于基础题 第 8 页,共 19 页 5.【答案】A 【解析】解:单位向量 , 的夹角为120,设 = 3 + 2 则| | =9 2+ 12 + 4 2= 13 + 12 1 1 (1 2) = 7 故选:A 直接利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可 本题考查向量的数量积的求法以及向量的模的运算法则的应用,是基础题 6.【答案】A 【解析】解:m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面, 对于 A,若 , , ,则直线 m与 n 相交垂直或异面垂直,故 A 正确; 对于 B,若 , , ,则直线 m与 n
11、 相交、平行或异面,故 B错误; 对于 C,若 ,/, ,则直线 m与 n 相交、平行或异面,故 C错误; 对于 D,若/,/,/,则直线 m与 n 平行或异面,故 D错误 故选:A 对于 A,若 , , ,则直线 m与 n 相交垂直或异面垂直;对于 B,直线 m与 n相交、平行或 异面;对于 C,直线 m与 n 相交、平行或异面;对于 D,直线 m与 n 平行或异面 本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,涉及逻辑推理等数学 学科核心素养,属于中档题 7.【答案】A 【解析】解:因为 = 3 5, ( 2 ,), 所以 = 1 cos2 = 4 5, = c
12、os = 4 3, 则tan( 4) = ;1 1:tan = 7 故选:A 由已知利用同角三角函数基本关系式可求,的值,进而根据两角差的正切公式即可求解 本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化 思想,属于基础题 第 9 页,共 19 页 8.【答案】B 【解析】解:第一次输入 = , = 1 执行循环体, = 2 1, = 2, 执行循环体, = 2(2 1) 1 = 4 3, = 3, 执行循环体, = 2(4 3) 1 = 8 7, = 4 3, 输出8 7的值为 0,解得: = 7 8, 故选:B 求出对应的函数关系,由题输出的结果
13、的值为 0,由此关系建立方程求出自变量的值即可 解答本题的关键是根据所给的框图得出函数关系,然后通过解方程求得输入的值本题是算法框图考试常 见的题型,其作题步骤是识图得出函数关系,由此函数关系解题,得出答案 9.【答案】C 【解析】解:因为 = ()为奇函数,即() = (), 因为对任意 ,( + 2) = () = (), 所以( + 4) = (), 当 ,0,1-时,() = log2( + ), 所以(0) = log2 = 0, 所以 = 1,则(2021) = (505 4 + 1) = (1) = log22 = 1 故选:C 由已知可求函数的周期性,然后结合已知函数的奇函数性
14、质可求 本题主要考查了利用函数的奇偶性及周期性求解函数值,体现了转化思想的应用,属于中档题 10.【答案】C 【解析】解:双曲线 2 2 2 2 = 1( 0, 0), 双曲线的渐近线方程是 = , 又抛物线2= 43的准线方程为 = 3, 双曲线 2 2 2 2 = 1的两条渐近线与抛物线2= 43的准线分别交于 A,B两点, 第 10 页,共 19 页 ,B两点的横坐标分别是 = 3和 = 3, 的面积为3, 1 2 23 3 = 3, = 3, = 2+ 2= 2, = = 2 故选:C 由已知条件推导出 A,B两点的横坐标分别是 = 3和 = 3,由 的面积为3,求出 = 3, = 2
15、,由此能求出双曲线的离心率 本题考查双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用 11.【答案】D 【解析】解:根据()的部分图象,可得 = 2,1 2 2 = 5 12 + 12, = 2 结合五点法作图,可得2 ( 12) + = 2, = 2 3 , 故() = 2(2 + 2 3 ). 由题意,把()的图象上的所有点的横坐标变为原来的2 3倍,再向右平移 3个单位, 可得() = 2(3 + 2 3 ) = 2(3 3)的图象, 故()的最小正周期为2 3 ,故 A错误; 在区间, 9 , 3-上,3 3 ,0, 2 3 -,()没有单调性,故 B错误
16、; 令 = 9,求得() = 0,不是最值,()的图象不关于直线 = 9对称,故 C错误; 令 = 9,求得() = 0,故()的图象关于( 9 ,0)对称,故 D正确, 故选:D 由题意由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得()的解析式,再 利用函数 = ( + )的图象变换规律, 得到()的解析式, 再利用正弦函数的周期性以及图象的对称 性,得出结论 本题主要考查由函数 = ( + )的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出的值,函数 = ( + )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于中 第 11 页,共 1
17、9 页 档题 12.【答案】B 【解析】解:如图, 面 ABC, 平面 ABC, , 又 ,且 = , 平面 SAB,可得 , = 4, = 3, = 4, 三棱锥 的体积 = 1 3 1 2 3 4 4 = 8; 表面积 = 1 2 3 4 + 1 2 3 4 + 1 2 5 4 + 1 2 4 5 = 32 设三棱锥内切球的半径为 R,由等体积法可得:1 3 32 = 8, 得 = 3 4 内切球的体积为 = 4 3 ( 3 4) 3 = 9 16 故选:B 由题意画出图形,利用等体积法求出三棱锥内切球的半径,再由球的体积公式求解 本题考查多面体的内切球,训练了利用等体积法求多面体内切球的
18、半径,考查运算求解能力,是基础题 13.【答案】2+ ( 8)2= 5 第 12 页,共 19 页 【解析】解:如图所示, 由圆心(0,)与切点 A的连线与切线垂直,得;7 0;2 = 1 2,解得 = 8 所以圆心为(0,8),半径为 = (2 0)2+ (7 8)2= 5 所以圆 C 的标准方程为2+ ( 8)2= 5 故答案为:2+ ( 8)2= 5 由题意画出图形,利用圆心与切点的连线与切线垂直求得 m,再求半径,即可写出圆的方程 本题考查了圆的标准方程求法与应用问题,也考查了数形结合思想,是基础题 14.【答案】26 【解析】 【分析】 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,和差角公式及
19、同角平方关系的应用,属于中档题 先结合同角平方关系求出 sinB, 然后结合两角和正弦公式求 sinA, 由正弦定理求 a, 然后结合余弦定理可求 【解答】 解:因为 = 25 5 , 所以 = 5 5 , = sin( + ) = + = 5 5 ( 2 2 ) + 2 2 25 5 = 10 10 , 由正弦定理得 = , 所以 = 22, 因为 D为 BC的中点, = 2, 中,由余弦定理得2= 2+ 2 2 = 26, 第 13 页,共 19 页 所以 = 26 故答案为: 26 15.【答案】 【解析】解:统计中用相关系数 r 来衡量两个变量之间的线性关系的强弱, 线性相关系数|越大
20、,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱,故错误; 在线性回归模型中,相关系数 r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱, 相关指数2 0.6,表明解释变量解释了60%预报变量的变化,故正确; 为了了解本校高三学生 1159 名学生的三模数学成绩情况, 准备从中抽取一个容量为 50 的样本,现采用系统抽样的方法, 需要从总体中剔除 9 个个体, 在整体抽样过程中,每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是 9 1159和 50 1159,故错误; 随机变量(,2),则当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,故错误; 随机误差是衡量预报精确度的一个量,它满足() = 0,故
21、正确; 综上可知正确, 故答案为: 统计中线性相关系数|越大,两个变量的线性相关性越强,可判断; 在线性回归模型中,明确相关指数2 0.6的含义可判断; 采用系统抽样的方法,需要从总体中剔除部分个体,掌握每个个体被剔除与抽到的概率可判断; 随机变量(,2),则当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,可判定; 随机误差满足() = 0,可判断 本题考查命题的真假判断与应用,考查概率与统计中相关问题,熟练掌握线性回归方程及正态分布、系统 抽样等知识是解决问题的关键,属于中档题 16.【答案】(0,2- 【解析】解:设公切线与曲线 = 2+ 1和 = + 1的交点分别为(1,1 2 + 1
22、),(2,2+ 1),其中 2 0, 对于 = 2+ 1, = 2,所以与曲线 = 2+ 1相切的切线方程为: (1 2 + 1) = 21( 1), 即 = 21 1 2 + 1, 第 14 页,共 19 页 对于 = + 1, = , 所以与曲线 = + 1相切的切线方程为 (2+ 1) = 2 ( 2),即 = 2 + 1 + 2, 所以21 = 2 1 1 2 = 1 + 2 ,即有 2 42 2= 2 , 由 0,可得 = 42 42, 记() = 42 42( 0),() = 8 4 8 = 4(1 2), 当 0,即()在(0,)上单调递增,当 时,() 0,即()在(,+)上单
23、调 递减, 所以()= () = 2,又 0时,() 0, +时,() , 所以0 2 故答案为:(0,2- 分别设切点(1,1 2 + 1),(2,2+ 1),求得导数和切线的方程,根据切线重合得到 a 的表达式 = 42 42,利用导数求出该式的取值范围,进而得到 a 的取值范围 本题考查导数的运用:求函数的切线方程和单调性、求函数的最值,考查方程思想和运算能力,是中档题 17.【答案】解:(1)由题意,设等差数列*+的公差为 d, 则21 + = 4 31+ 12 = 27 1 = 1 = 2 , = 1 + 2( 1) = 2 1 (2)= 2 , = 2 , 1 = 2;1= 4,
24、数列*+为等比数列,且首项为 2,公比为 4, = 2(1;4) 1;4 = 22+1;2 3 【解析】 (1)先根据题意设等差数列*+的公差为 d, 然后根据已知条件列出关于首项1与公差 d的方程组, 解出1与 d的值,即可计算出数列*+的通项公式 (2)根据第(1)题的结果计算出数列*+的通项公式,即可判别出数列*+是以 2为首项,4为公比的等比数 列,再根据等比数列的求和公式即可计算出前 n项和 本题主要考查等差数列的基本量的运算,以及等比数列的判别和求和考查了方程思想, 转化与化归思想, 定义法,以及逻辑推理能力和数学运算能力,属中档题 18.【答案】证明:()设1与1相交于点 P,连
25、接 PD,则 P 为1中点, 第 15 页,共 19 页 为 AC中点, /1, 又 平面1, 1/平面1(5分) 解:()取 AB 中点为 O,11中点为 E点,由于 为等边三角形所以 , 又因为是正三棱柱,所以平面 ABCC,且平面 平面11= , 则 平面11 以 O 为原点 OA为 x轴,OE为 y轴,OC为 z 轴,建立空间直角坐标系 显然平面11的法向量为 = (0,0,1), 设平面1的法向量为 = (,), 1 = (2,3,0), = (3 2,0, 3 2 ), 1 = 0 = 0 = (3,2,3) cos = 3 4 所求二面角 1 的余弦值为3 4(12分) 【解析】
26、()设1与1相交于点 P,连接 PD,则/1,由此能证明1/平面1 ()取 AB 中点为 O,11中点为 E,以 O为原点 OA 为 x 轴,OE为 y 轴,OC为 z轴,建立空间直角坐标 系 .利用向量法能求出二面角 1 的余弦值 本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合 理运用 19.【答案】解:(1)() = + ( + 1) + 1 = (:1)(:1) ( 0), 当 0时,() 0,()在(0,+)上单调递增, 当 0,令() 0,解得:0 1 , 令() 1 , 故()在(0, 1 )递增,在( 1 ,+)递减, 综上:当 0时
27、,()在(0,+)上单调递增, 当 0时,()在(0, 1 )递增,在( 1 ,+)递减 第 16 页,共 19 页 (2)证明:由(1)知,当 0),则() = 1; , 令() 0,解得:0 1,令() 1, 故()在(0,1)递增,在(1,+)递减, 故()的最大值是(1) = 0,故() 0即 1, 故ln( 1 ) 1 1, 故()= 1 1 2 + ln( 1 ) 1 1 2 1 1 = 2 3 2, 故当 0), 则直线 AP的方程为 = 6( + 2), 即 = 6 2,代入椭圆的方程可得: (6 2)2+ 42= 4, 化简得(9 + 2)2 6 = 0, 所以 = 0或 =
28、 6 9:2, 所以1= 6 9:2, 同理可得2= ;2 1:2, 所以四边形= + = 1 2| |1 2| = 2( 6 9 + 2 2 1 + 2) = 16 3+ 3 4+ 102+ 9 = 16 + 3 2+ 10 + 9 2 = 16 :3 (:3 ) 2:4, 令 = + 3 , 0,其中 23, 则四边形= 16 2:4 = 16 :4 , 第 18 页,共 19 页 令() = 16 2:4 = 16 :4 , 23, ()在,23,+)上单调递减, 所以()最大值为(23) = 16 23: 4 23 = 23 所以四边形 ACBD 面积的最大值23 【解析】(1)设点(
29、,),根据题可得 :2 ;2 = 1 4,化简得曲线的轨迹方程 (2)设(1,1),(2,2),(4,)(不妨设 0),写出直线 AP 的方程并联立椭圆的方程,解得1,同理可 得2, 再计算得四边形= 16 :3 (:3 ) 2:4, 令 = + 3 , 0, 其中 23, 结合函数的单调性, 即可得出答案 本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,解题中需要一定的计算能力,属于中档题 22.【答案】解:(1)曲线1: = 2 + = 1 (为参数),转换为普通方程为( 2)2+ ( + 1)2= 1 曲线2: = 2 = sin (为参数且0 0) (2)由于2上的点 P 对应的参数 = 2
30、,所以(0,1), 点(2 + , 1), 所以 PQ 的中点坐标为(1 + 2 , 2 ), 直线3: = 4 ( )转换为直角坐标方程为 = 0, 所以 = |1: 2 ; 2 | 2 = | 2 2 sin( 4) 1|, 当sin( 4) = 1时, = 2;1 2 【解析】(1)直接利用转换关系,在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换; (2)利用点到直线的距离和三角函数的值的应用求出结果 本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式,三角函 数的性质,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题 23.【答案】解:(1)函数()
31、 = |2 + 2| | 2| = + 4, 2 3,1 2 4, 2时,不等式() 6即为 + 4 6,解得 2,所以 2; 第 19 页,共 19 页 当1 2时,不等式() 6即为3 6,解得 2,所以 = 2; 当 1时,不等式() 6即为 4 6,解得 10,所以 10 综上所述,不等式() 6的解集为*| 10或 2+; (2)() = () | + 1| = | + 1| | 2| |( + 1) ( 2)| = 3, 所以()的最大值为 = 3, 则1 + 1 = 3, 故2+ 2= (2+ 2) 1 9 (1 + 1 ) 2 = 1 9 (2 + 2 2 + 2 2 + 2
32、+ 2 ) 1 9 (2 + 2 2 2 2 2 + 22 2 ) = 8 9, 当且仅当 2 2 = 2 2且 2 = 2 ,即 = = 2 3时取等号, 故2+ 2的最小值为8 9 【解析】 (1)先利用绝对值的定义将函数()化为分段函数, 然后再分情况讨论, 分别求解不等式() 6, 即可得到答案; (2)利用绝对值不等式的性质,求出()的最大值,则得到 m的值,再利用“1”的代换以及基本不等式求 解最值即可 本题考查了含有绝对值函数的应用,基本不等式求解最值的应用,对于含有绝对值的问题,一般会利用绝 对值的定义,将函数转化为分段函数问题进行研究,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于中档题