1、第 1 页，共 19 页 2021 年黑龙江省佳木斯高考数学三模试卷（理科）年黑龙江省佳木斯高考数学三模试卷（理科） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 = *|2 2 ，则下列说法是正确的是( ) A. 1 C. 2 3 2 3 D. 1 3 0, 0)的两条渐近线与抛物线2= 43的准线分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点， 的面积为3，则双曲线的离心率为( ) A. 39 6 B. 23 3 C. 2 D. 13 11. 将函数()的图象向左平移 3个单位长度， 再将所得函数图象上的所有点的 横坐标变为原来的3 2倍，得到函数() = ( + )( 0
2、, 0,| )的图象.已知函数()的部分图象如图所示，则下列关于函数()的说法 正确的是( ) A. ()的最小正周期为 3 B. ()在区间, 9 , 3-上单调递减 C. ()的图象关于直线 = 9对称 D. ()的图象关于点( 9 ,0)成中心对称 12. 蹴鞠(如图所示)，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最 早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动， 类似今日的足球.2006年 5 月 20日， 蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入 第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠内切于三棱锥 ， 面 ABC， ， = 4， = 3， =
3、 4，则该蹴鞠的体积为( ) A. 4141 6 B. 9 16 C. 9 4 D. 4 二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 第 3 页，共 19 页 13. 已知圆 C 的圆心坐标是(0,)，若直线2 + 3 = 0与圆 C 相切于点(2,7)，则圆 C的标准方程为 _ 14. 在 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， = 3 4 ， = 210，D为 BC中点， = 25 5 ， 求 AD的长度为_ 15. 下列说法正确的有_ 统计中用相关系数 r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱.线性相关系数 r越大，两个变量的线性 相关性越强；反之，线性相关性越弱 在线性回
4、归模型中，计算相关指数2 0.6，表明解释变量解释了60%预报变量的变化 为了了解本校高三学生 1159 名学生的三模数学成绩情况，准备从中抽取一个容量为 50 的样本，现 采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除 9个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每 个个体被抽到的概率分别是 9 1159和 1 23 随机变量(,2)，则当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖” 身高 x 和体重 y 的关系可以用线性回归模型 = + + 来表示，其中 e叫随机误差，则它的均值 () = 0 16. 若两曲线 = 2+ 1与 = + 1存在公切线，则正实数 a 的取值范围是_ 三、解答题（
5、本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知等差数列*+满足1+ 2= 4，4+ 5+ 6= 27 (1)求数列*+的通项公式； (2)若= 2，求数列*+的前 n项和 18. 如图，正三棱柱 111的底面边长是 2，侧棱长是3，D 是 AC 的中点 ()求证：1/平面1； ()求二面角 1 的余弦值 第 4 页，共 19 页 19. 已知函数() = 1 2 2 + ( + 1) + ( 0) (1)讨论()的单调性； (2)当 0时，证明() 2 3 2 20. 我国探月工程嫦娥五号探测器于 2020年 12 月 1日 23 时 11分降落在月球表面预选着陆区， 在顺利完成 月面自
6、动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样 和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设 计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学 生测试的评分数据按照,30,40)，,40,50)，,50,60)，,60,70)，,70,80)，,80,90)，,90,100-分组，绘制成 评分频率分布直方图，如下： (1)在测试评分不低于 80分的 12 名学生中随机选取 3人作为航空航天知识宣传大使，记这 3名学生中 测试评分不低于 90 分的人数为 X，求 X 的分布列
7、； (2)为激励学生关注科技，该校科技社团预在高一学年 1000名学生中，举办航天知识大赛，计划以知识 问答试卷形式，以分数高低评比等级，一等奖、二等奖奖励为航天模型，三等奖无奖品，且一等奖奖 品价值为二等奖的二倍，每个等级都颁发相应证书.奖品费用需社团自行联系商家赞助，已筹集到赞助 费 6000元.现以问卷调查结果的频率估计竞赛结果，以在测试评分不低于 90 分频率记为一等奖获奖概 第 5 页，共 19 页 率， 不低于80分不足90分频率记为二等奖获奖概率， 不低于70分不足80分频率记为三等奖获奖概率， 若要求赞助费尽量都使用，试估计二等奖奖品的单价应为多少元？ 21. 曲线上动点 M到
8、(2,0)和到(2,0)的斜率之积为 1 4 (1)求曲线的轨迹方程； (2)若点(0,0)(0 0)为直线 = 4上任意一点，PA，PB 交椭圆于 C，D两点，求四边形 ACBD面 积的最大值 第 6 页，共 19 页 22. 已知曲线1： = 2 + = 1 (为参数)，2： = 2 = sin (为参数且0 0， 0，() = () | + 1|的最大值 m，1 + 1 = ，求2+ 2的最小值 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解： = *| 1 1 ，A 错误， B：当 = ， = 2时，则 = 0， = 1，B错误， C： = (2 3) 为减函数，又 ， (2 3)
9、(2 3) ，2 3 2 3， 2 3 1 3，D错误 故选：C 通过举实例判断 ABD，通过构造函数判断 B，利用指数函数的单调性判断 C 本题考查不等式大小的比较，涉及举实例，指数函数的单调性，属于中档题 4.【答案】D 【解析】解：设废水中最原始的该重金属含量为 a，则经过 x 次该装置过滤后， 该重金属含量为 (1 20%)= (4 5) ， 由题意知 (4 5) 0.04，所以(4 5) 4;2 4;5 = 22;2 32;1 14.4， 所以 x 取最小整数为 15 故选：D 设废水中最原始的该重金属含量为 a，由条件可得 (1 20%)= (4 5) ，然后求出 x 的取值范围，
10、再确 定至少需要经过该装置的次数 本题考查了函数模型的实际应用，考查运算能力，属于基础题 第 8 页，共 19 页 5.【答案】A 【解析】解：单位向量 ， 的夹角为120，设 = 3 + 2 则| | =9 2+ 12 + 4 2= 13 + 12 1 1 (1 2) = 7 故选：A 直接利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可 本题考查向量的数量积的求法以及向量的模的运算法则的应用，是基础题 6.【答案】A 【解析】解：m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面， 对于 A，若 ， ， ，则直线 m与 n 相交垂直或异面垂直，故 A 正确； 对于 B，若 ， ， ，则直线 m与 n
11、 相交、平行或异面，故 B错误； 对于 C，若 ，/， ，则直线 m与 n 相交、平行或异面，故 C错误； 对于 D，若/，/，/，则直线 m与 n 平行或异面，故 D错误 故选：A 对于 A，若 ， ， ，则直线 m与 n 相交垂直或异面垂直；对于 B，直线 m与 n相交、平行或 异面；对于 C，直线 m与 n 相交、平行或异面；对于 D，直线 m与 n 平行或异面 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，涉及逻辑推理等数学 学科核心素养，属于中档题 7.【答案】A 【解析】解：因为 = 3 5， ( 2 ,)， 所以 = 1 cos2 = 4 5， = c
12、os = 4 3， 则tan( 4) = ;1 1:tan = 7 故选：A 由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角差的正切公式即可求解 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化 思想，属于基础题 第 9 页，共 19 页 8.【答案】B 【解析】解：第一次输入 = ， = 1 执行循环体， = 2 1， = 2， 执行循环体， = 2(2 1) 1 = 4 3， = 3， 执行循环体， = 2(4 3) 1 = 8 7， = 4 3， 输出8 7的值为 0，解得： = 7 8， 故选：B 求出对应的函数关系，由题输出的结果
13、的值为 0，由此关系建立方程求出自变量的值即可 解答本题的关键是根据所给的框图得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值本题是算法框图考试常 见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案 9.【答案】C 【解析】解：因为 = ()为奇函数，即() = ()， 因为对任意 ，( + 2) = () = ()， 所以( + 4) = ()， 当 ,0,1-时，() = log2( + )， 所以(0) = log2 = 0， 所以 = 1，则(2021) = (505 4 + 1) = (1) = log22 = 1 故选：C 由已知可求函数的周期性，然后结合已知函数的奇函数性
14、质可求 本题主要考查了利用函数的奇偶性及周期性求解函数值，体现了转化思想的应用，属于中档题 10.【答案】C 【解析】解：双曲线 2 2 2 2 = 1( 0, 0)， 双曲线的渐近线方程是 = ， 又抛物线2= 43的准线方程为 = 3， 双曲线 2 2 2 2 = 1的两条渐近线与抛物线2= 43的准线分别交于 A，B两点， 第 10 页，共 19 页 ，B两点的横坐标分别是 = 3和 = 3， 的面积为3， 1 2 23 3 = 3， = 3， = 2+ 2= 2， = = 2 故选：C 由已知条件推导出 A，B两点的横坐标分别是 = 3和 = 3，由 的面积为3，求出 = 3， = 2
15、，由此能求出双曲线的离心率 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用 11.【答案】D 【解析】解：根据()的部分图象，可得 = 2，1 2 2 = 5 12 + 12， = 2 结合五点法作图，可得2 ( 12) + = 2， = 2 3 ， 故() = 2(2 + 2 3 ). 由题意，把()的图象上的所有点的横坐标变为原来的2 3倍，再向右平移 3个单位， 可得() = 2(3 + 2 3 ) = 2(3 3)的图象， 故()的最小正周期为2 3 ，故 A错误； 在区间, 9 , 3-上，3 3 ,0, 2 3 -，()没有单调性，故 B错误
16、； 令 = 9，求得() = 0，不是最值，()的图象不关于直线 = 9对称，故 C错误； 令 = 9，求得() = 0，故()的图象关于( 9 ,0)对称，故 D正确， 故选：D 由题意由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得()的解析式，再 利用函数 = ( + )的图象变换规律， 得到()的解析式， 再利用正弦函数的周期性以及图象的对称 性，得出结论 本题主要考查由函数 = ( + )的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出的值，函数 = ( + )的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中 第 11 页，共 1
17、9 页 档题 12.【答案】B 【解析】解：如图， 面 ABC， 平面 ABC， ， 又 ，且 = ， 平面 SAB，可得 ， = 4， = 3， = 4， 三棱锥 的体积 = 1 3 1 2 3 4 4 = 8； 表面积 = 1 2 3 4 + 1 2 3 4 + 1 2 5 4 + 1 2 4 5 = 32 设三棱锥内切球的半径为 R，由等体积法可得：1 3 32 = 8， 得 = 3 4 内切球的体积为 = 4 3 ( 3 4) 3 = 9 16 故选：B 由题意画出图形，利用等体积法求出三棱锥内切球的半径，再由球的体积公式求解 本题考查多面体的内切球，训练了利用等体积法求多面体内切球的
18、半径，考查运算求解能力，是基础题 13.【答案】2+ ( 8)2= 5 第 12 页，共 19 页 【解析】解：如图所示， 由圆心(0,)与切点 A的连线与切线垂直，得;7 0;2 = 1 2，解得 = 8 所以圆心为(0,8)，半径为 = (2 0)2+ (7 8)2= 5 所以圆 C 的标准方程为2+ ( 8)2= 5 故答案为：2+ ( 8)2= 5 由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得 m，再求半径，即可写出圆的方程 本题考查了圆的标准方程求法与应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题 14.【答案】26 【解析】 【分析】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及
19、同角平方关系的应用，属于中档题 先结合同角平方关系求出 sinB， 然后结合两角和正弦公式求 sinA， 由正弦定理求 a， 然后结合余弦定理可求 【解答】 解：因为 = 25 5 ， 所以 = 5 5 ， = sin( + ) = + = 5 5 ( 2 2 ) + 2 2 25 5 = 10 10 ， 由正弦定理得 = ， 所以 = 22， 因为 D为 BC的中点， = 2， 中，由余弦定理得2= 2+ 2 2 = 26， 第 13 页，共 19 页 所以 = 26 故答案为： 26 15.【答案】 【解析】解：统计中用相关系数 r 来衡量两个变量之间的线性关系的强弱， 线性相关系数|越大
20、，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故错误； 在线性回归模型中，相关系数 r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱， 相关指数2 0.6，表明解释变量解释了60%预报变量的变化，故正确； 为了了解本校高三学生 1159 名学生的三模数学成绩情况， 准备从中抽取一个容量为 50 的样本，现采用系统抽样的方法， 需要从总体中剔除 9 个个体， 在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是 9 1159和 50 1159，故错误； 随机变量(,2)，则当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，故错误； 随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足() = 0，故
21、正确； 综上可知正确， 故答案为： 统计中线性相关系数|越大，两个变量的线性相关性越强，可判断； 在线性回归模型中，明确相关指数2 0.6的含义可判断； 采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除部分个体，掌握每个个体被剔除与抽到的概率可判断； 随机变量(,2)，则当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，可判定； 随机误差满足() = 0，可判断 本题考查命题的真假判断与应用，考查概率与统计中相关问题，熟练掌握线性回归方程及正态分布、系统 抽样等知识是解决问题的关键，属于中档题 16.【答案】(0,2- 【解析】解：设公切线与曲线 = 2+ 1和 = + 1的交点分别为(1,1 2 + 1
22、)，(2,2+ 1)，其中 2 0， 对于 = 2+ 1， = 2，所以与曲线 = 2+ 1相切的切线方程为： (1 2 + 1) = 21( 1)， 即 = 21 1 2 + 1， 第 14 页，共 19 页 对于 = + 1， = ， 所以与曲线 = + 1相切的切线方程为 (2+ 1) = 2 ( 2)，即 = 2 + 1 + 2， 所以21 = 2 1 1 2 = 1 + 2 ，即有 2 42 2= 2 ， 由 0，可得 = 42 42， 记() = 42 42( 0)，() = 8 4 8 = 4(1 2)， 当 0，即()在(0,)上单调递增，当 时，() 0，即()在(,+)上单
23、调 递减， 所以()= () = 2，又 0时，() 0， +时，() ， 所以0 2 故答案为：(0,2- 分别设切点(1,1 2 + 1)，(2,2+ 1)，求得导数和切线的方程，根据切线重合得到 a 的表达式 = 42 42，利用导数求出该式的取值范围，进而得到 a 的取值范围 本题考查导数的运用：求函数的切线方程和单调性、求函数的最值，考查方程思想和运算能力，是中档题 17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列*+的公差为 d， 则21 + = 4 31+ 12 = 27 1 = 1 = 2 ， = 1 + 2( 1) = 2 1 (2)= 2 ， = 2 ， 1 = 2;1= 4，
24、数列*+为等比数列，且首项为 2，公比为 4， = 2(1;4) 1;4 = 22+1;2 3 【解析】 (1)先根据题意设等差数列*+的公差为 d， 然后根据已知条件列出关于首项1与公差 d的方程组， 解出1与 d的值，即可计算出数列*+的通项公式 (2)根据第(1)题的结果计算出数列*+的通项公式，即可判别出数列*+是以 2为首项，4为公比的等比数 列，再根据等比数列的求和公式即可计算出前 n项和 本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及等比数列的判别和求和考查了方程思想， 转化与化归思想， 定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题 18.【答案】证明：()设1与1相交于点 P，连
25、接 PD，则 P 为1中点， 第 15 页，共 19 页 为 AC中点， /1， 又 平面1， 1/平面1(5分) 解：()取 AB 中点为 O，11中点为 E点，由于 为等边三角形所以 ， 又因为是正三棱柱，所以平面 ABCC，且平面 平面11= ， 则 平面11 以 O 为原点 OA为 x轴，OE为 y轴，OC为 z 轴，建立空间直角坐标系 显然平面11的法向量为 = (0,0,1)， 设平面1的法向量为 = (,)， 1 = (2,3,0)， = (3 2,0, 3 2 )， 1 = 0 = 0 = (3,2,3) cos = 3 4 所求二面角 1 的余弦值为3 4(12分) 【解析】
26、()设1与1相交于点 P，连接 PD，则/1，由此能证明1/平面1 ()取 AB 中点为 O，11中点为 E，以 O为原点 OA 为 x 轴，OE为 y 轴，OC为 z轴，建立空间直角坐标 系 .利用向量法能求出二面角 1 的余弦值 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合 理运用 19.【答案】解：(1)() = + ( + 1) + 1 = (:1)(:1) ( 0)， 当 0时，() 0，()在(0,+)上单调递增， 当 0，令() 0，解得：0 1 ， 令() 1 ， 故()在(0, 1 )递增，在( 1 ,+)递减， 综上：当 0时
27、，()在(0,+)上单调递增， 当 0时，()在(0, 1 )递增，在( 1 ,+)递减 第 16 页，共 19 页 (2)证明：由(1)知，当 0)，则() = 1; ， 令() 0，解得：0 1，令() 1， 故()在(0,1)递增，在(1,+)递减， 故()的最大值是(1) = 0，故() 0即 1， 故ln( 1 ) 1 1， 故()= 1 1 2 + ln( 1 ) 1 1 2 1 1 = 2 3 2， 故当 0)， 则直线 AP的方程为 = 6( + 2)， 即 = 6 2，代入椭圆的方程可得： (6 2)2+ 42= 4， 化简得(9 + 2)2 6 = 0， 所以 = 0或 =
28、 6 9:2， 所以1= 6 9:2， 同理可得2= ;2 1:2， 所以四边形= + = 1 2| |1 2| = 2( 6 9 + 2 2 1 + 2) = 16 3+ 3 4+ 102+ 9 = 16 + 3 2+ 10 + 9 2 = 16 :3 (:3 ) 2:4， 令 = + 3 ， 0，其中 23， 则四边形= 16 2:4 = 16 :4 ， 第 18 页，共 19 页 令() = 16 2:4 = 16 :4 ， 23， ()在,23,+)上单调递减， 所以()最大值为(23) = 16 23: 4 23 = 23 所以四边形 ACBD 面积的最大值23 【解析】(1)设点(
29、,)，根据题可得 :2 ;2 = 1 4，化简得曲线的轨迹方程 (2)设(1,1)，(2,2)，(4,)(不妨设 0)，写出直线 AP 的方程并联立椭圆的方程，解得1，同理可 得2， 再计算得四边形= 16 :3 (:3 ) 2:4， 令 = + 3 ， 0， 其中 23， 结合函数的单调性， 即可得出答案 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题 22.【答案】解：(1)曲线1： = 2 + = 1 (为参数)，转换为普通方程为( 2)2+ ( + 1)2= 1 曲线2： = 2 = sin (为参数且0 0) (2)由于2上的点 P 对应的参数 = 2
30、，所以(0,1)， 点(2 + , 1)， 所以 PQ 的中点坐标为(1 + 2 , 2 )， 直线3： = 4 ( )转换为直角坐标方程为 = 0， 所以 = |1: 2 ; 2 | 2 = | 2 2 sin( 4) 1|， 当sin( 4) = 1时， = 2;1 2 【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离和三角函数的值的应用求出结果 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函 数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 23.【答案】解：(1)函数()
31、 = |2 + 2| | 2| = + 4, 2 3,1 2 4, 2时，不等式() 6即为 + 4 6，解得 2，所以 2； 第 19 页，共 19 页 当1 2时，不等式() 6即为3 6，解得 2，所以 = 2； 当 1时，不等式() 6即为 4 6，解得 10，所以 10 综上所述，不等式() 6的解集为*| 10或 2+； (2)() = () | + 1| = | + 1| | 2| |( + 1) ( 2)| = 3， 所以()的最大值为 = 3， 则1 + 1 = 3， 故2+ 2= (2+ 2) 1 9 (1 + 1 ) 2 = 1 9 (2 + 2 2 + 2 2 + 2
32、+ 2 ) 1 9 (2 + 2 2 2 2 2 + 22 2 ) = 8 9， 当且仅当 2 2 = 2 2且 2 = 2 ，即 = = 2 3时取等号， 故2+ 2的最小值为8 9 【解析】 (1)先利用绝对值的定义将函数()化为分段函数， 然后再分情况讨论， 分别求解不等式() 6， 即可得到答案； (2)利用绝对值不等式的性质，求出()的最大值，则得到 m的值，再利用“1”的代换以及基本不等式求 解最值即可 本题考查了含有绝对值函数的应用，基本不等式求解最值的应用，对于含有绝对值的问题，一般会利用绝 对值的定义，将函数转化为分段函数问题进行研究，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题