1、2021 年广东省广州市越秀区年广东省广州市越秀区二校联考二校联考中考数学二模试卷中考数学二模试卷 一、选择题。 （本大题共一、选择题。 （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的）求的） 1下列各数中，是无理数的是（ ） A B3.14 C D 2下列分式中，最简分式是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） A （2a3）24a6 Ba2a3a6 C3a+a23a3 D （ab）2a2b2 4下列说法中，其中不正确的有（ ） 如果 xy，那么 a2的算术平方根
2、是 a， 同旁内角互补，两直线平行； 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 5如图，AB 是O 的直径，点 C、D、E 在O 上若BCD100，则AED 的度数为（ ） A10 B15 C20 D25 6如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ） A B C D 7下列函数中，y 的值随着 x 逐渐增大而减小的是（ ） Ay2x Byx2 Cy Dy1x 8设 a，b 是方程 x2+x20220 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（ ） A2019 B2020 C2021 D2022 9如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A 在
3、反比例函数 y上，顶点 B 在反比例函数 y上，点 C 在 x 轴的正半轴上，则平行四边形 OABC 的面积是（ ） A B4 C6 D 10如图，已知O 的半径为 3，弦 CD4，A 为O 上一动点（点 A 与点 C、D 不重合） ，连接 AO 并延 长交 CD 于点 E，交O 于点 B，P 为 CD 上一点，当APB120时，则 APBP 的最大值为（ ） A4 B6 C8 D12 二、填空题。 （本大题共二、填空题。 （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11因式分解：ax2ay2 12如果不等式组的解集是 xa4，则 a 的取值范围是 13如图，一
4、直线经过原点 O，且与反比例函数 y相交于点 A，点 B，过点 A 作 ACy 轴，垂足为 C连 接 BC则ABC 面积为 14如图，直线 ykx+b（k0）经过点 A（3，1） ，当 kx+bx 时，x 的取值范围为 15 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 其意思为： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形 能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步 16如图，在扇形 BOC 中，BOC60，点 D 为弧 BC 的中点，点 E 为半径 OB 上一动点，若 OB1， 则阴影部分
5、周长的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 9 道题，共道题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （4 分）解方程 x2+6x+10 18 （4 分）如图，在O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 ABCD求证：CEBE 19 （6 分） 共享经济已经进入人们的生活 小沈收集了自己感兴趣的 4 个共享经济领域的图标， 共享出行、 共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相 同） 现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多
6、少？ （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图 的方法求抽到的两张卡片恰好是 “共享出行” 和 “共享知识” 的概率 （这四张卡片分别用它们的编号 A、 B、C、D 表示） 20 （6 分）如图，已知菱形 ABCD 的对称中心是坐标原点 O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 y （k 0）的图象与 AD 边交于 E（4，） ，F（m，2）两点 （1）求 k，m 的值； （2）写出函数 y图象在菱形 ABCD 内 x 的取值范围 21 （8 分）已知：如图所示，在ABC 中，B90，AB5cm，BC7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向
7、 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，当其中一点到达终点 后，另外一点也随之停止运动 （1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 4cm2？ （2）在（1）中，PQB 的面积能否等于 7cm2？请说明理由 22 （10 分）如图，某校有一教学楼 AB，其上有一避雷针 AC 为 2 米，教学楼后面有一小山，其坡（坡面 为 EF）的坡度为 i1：，山坡上有一休息亭 E 供爬山人员休息，测得山坡脚 F 与教学搂的水平距离 BF 为 9 米，与休息亭的距离 FE 为 10 米，从休息亭 E 测得教
8、学楼上避雷针顶点 C 的仰角为 30 （1）求 EF 的坡角； （2）教学楼 AB 的高度 （结果保留根号） 23 （10 分） 已知O， 请作出O 的内接等腰直角三角形 ABC， C90 在O 上任取一点 P （异于 A、 B、C 三点） ，连接 PA、PB、PC 依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明 24 （12 分）定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个 三角形为“智慧三角形” 理解： （1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使AB
9、C 为“智慧三角形” （画 出点 C 的位置，保留作图痕迹） ； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CFCD，试判断AEF 是 否为“智慧三角形” ，并说明理由； 运用： （3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 y3 上的一点，若在O 上存 在一点 P，使得OPQ 为“智慧三角形” ，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 P 的坐标 25（12 分） 在平面直角坐标系中， 直线 yx+2 与 x 轴交于点 B， 与 y 轴交于点 C， 抛物线 yx2+bx+c 的对称轴是直线 x与 x 轴的交点为点
10、A，且经过点 B、C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 为抛物线对称轴上一动点，当|BMCM|的值最小时，求出点 M 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 N，过点 N 作 NHx 轴于点 H，使得以点 B、N、H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题。 （本大题共一、选择题。 （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的）求的） 1下列各数中，是无理数的是（ ） A B
11、3.14 C D 【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案 【解答】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、3.41 是有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、属于无理数，故本选项符合题意； 故选：D 2下列分式中，最简分式是（ ） A B C D 【分析】直接利用分式的基本性质分别化简得出答案 【解答】解：A、，故不是最简分式，不合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故不是最简分式，不合题意； D、，故不是最简分式，不合题意； 故选：B 3下列运算正确的是（ ） A （2a3）24a6 Ba2a3a6 C3a+a23a3 D
12、（ab）2a2b2 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解：（2a3）24a6，故选项 A 正确； a2a3a5，故选项 B 错误； 3a+a2不能合并，故选项 C 错误； （ab）2a22ab+b2，故选项 D 错误； 故选：A 4下列说法中，其中不正确的有（ ） 如果 xy，那么 a2的算术平方根是 a， 同旁内角互补，两直线平行； 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】直接利用平行线的判定，等式的性质和算术平方根的定义进而分析得出答案 【解答】解：如果 xy（a0） ，那么，故此选项不正确； 当 a
13、0 时，a2的算术平方根是 a，故此选项不正确； 同旁内角互补，两直线平行，故此选项正确； 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项不正确； 本题不正确的有 3 个， 故选：D 5如图，AB 是O 的直径，点 C、D、E 在O 上若BCD100，则AED 的度数为（ ） A10 B15 C20 D25 【分析】连接 BE，如图，利用圆内接四边形的性质计算出BED80，再根据圆周角定理得到AEB 90，然后利用互余计算出BED 的度数 【解答】解：连接 BE，如图， 四边形 BCDE 为O 的内接四边形， BCD+BED180， BED18010080， AB 是O 的直径， AEB90
14、， AED90BED908010 故选：A 6如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ） A B C D 【分析】根据三视图画法，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，进而得出答案 【解答】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示， 从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线， 因此选项 C 中的图形符合题意； 故选：C 7下列函数中，y 的值随着 x 逐渐增大而减小的是（ ） Ay2x Byx2 Cy Dy1x 【分析】反比例函数的增减性都有限制条件（即范围） ，一次函数当一次项系数为负数时，y 随着 x 增大 而减小 【解答】解：A、函数 y2x 的图象是 y
15、随着 x 增大而增大，故本选项错误； B、函数 yx2的对称轴为 x0，当 x0 时 y 随 x 增大而减小故本选项错误； C、函数，当 x0 或 x0，y 随着 x 增大而增大故本选项错误； D、函数 y1x 的图象是 y 随着 x 增大而减小，故本选项正确； 故选：D 8设 a，b 是方程 x2+x20220 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（ ） A2019 B2020 C2021 D2022 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出 a2+a2022、a+b1，将其代入 a2+2a+b （a2+a）+（a+b）中即可求出结论 【解答】解：a，b 是方程 x2+x202
16、20 的两个实数根， a2+a2022，a+b1， a2+2a+b（a2+a）+（a+b）202212021 故选：C 9如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A 在反比例函数 y上，顶点 B 在反比例函数 y上，点 C 在 x 轴的正半轴上，则平行四边形 OABC 的面积是（ ） A B4 C6 D 【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数 k 的几何意义即可求得 【解答】解：如图作 BDx 轴于 D，延长 BA 交 y 轴于 E， 四边形 OABC 是平行四边形， ABOC，OABC， BEy 轴， OEBD， RtAOERtCBD（HL） ， 根据系数 k 的几何意
17、义，S矩形BDOE5，SAOE， 四边形 OABC 的面积54， 故选：B 10如图，已知O 的半径为 3，弦 CD4，A 为O 上一动点（点 A 与点 C、D 不重合） ，连接 AO 并延 长交 CD 于点 E，交O 于点 B，P 为 CD 上一点，当APB120时，则 APBP 的最大值为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】延长 AP 交O 于 T，连接 BT设 PCx构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可 【解答】解：延长 AP 交O 于 T，连接 BT设 PCx AB 是直径， ATB90， APB120， BPT60， PTPBcos60PB， PAPB2PAPT2PCP
18、D2x （4x）2（x2）2+8， 20， x2 时，PAPB 的最大值为 8， 故选：C 二、填空题。 （本大题共二、填空题。 （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11因式分解：ax2ay2 a（x+y） （xy） 【分析】首先提取公因式 a，再利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：ax2ay2a（x2y2）a（x+y） （xy） 故答案为：a（x+y） （xy） 12如果不等式组的解集是 xa4，则 a 的取值范围是 a3 【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可 【解答】解：解这个不等式组为 xa4， 则 3a+2a4
19、， 解这个不等式得 a3 故答案 a3 13如图，一直线经过原点 O，且与反比例函数 y相交于点 A，点 B，过点 A 作 ACy 轴，垂足为 C连 接 BC则ABC 面积为 3 【分析】首先由反比例函数系数 k 的几何意义，可知AOC 的面积等于，然后根据反比例函数与正比 例函数的图象特征，可知 A、B 两点关于原点对称，则 O 为线段 AB 的中点，故BOC 的面积AOC 的面积，从而求出ABC 面积 【解答】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于 A、B 两点， A、B 两点关于原点对称， OAOB， BOC 的面积AOC 的面积， A 是反比例函数 y图象上的点，且 ACy 轴于点 C
20、， AOC 的面积|k|， BOC 的面积AOC 的面积， ABC 面积BOC 的面积+AOC 的面积3， 故答案为 3 14如图，直线 ykx+b（k0）经过点 A（3，1） ，当 kx+bx 时，x 的取值范围为 x3 【分析】根据直线 ykx+b（k0）经过点 A（3，1） ，正比例函数 yx 也经过点 A 从而确定不等式的 解集 【解答】解：正比例函数 yx 也经过点 A， kx+bx 的解集为 x3， 故答案为：x3 15 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 其意思为： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）
21、长为 12 步，问该直角三角形 能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步 【分析】如图 1，根据正方形的性质得：DEBC，则ADEACB，列比例式可得结论；如图 2，同 理可得正方形的边长，比较可得最大值 【解答】解：如图 1，四边形 CDEF 是正方形， CDED，DECF， 设 EDx，则 CDx，AD12x， DECF， ADEC，AEDB， ADEACB， ， ， x， 如图 2，四边形 DGFE 是正方形， 过 C 作 CPAB 于 P，交 DG 于 Q， 设 EDx， SABCACBCABCP， 12513CP， CP， 同理得：CDGCAB， ， ， x， 该直角三角
22、形能容纳的正方形边长最大是（步） ， 故答案为： 16如图，在扇形 BOC 中，BOC60，点 D 为弧 BC 的中点，点 E 为半径 OB 上一动点，若 OB1， 则阴影部分周长的最小值为 + 【分析】利用轴对称的性质，得出当点 E 移动到点 E时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧 CD 的长与 CD的长度和，分别进行计算即可 【解答】解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D，连接 DC 交 OB 于点 E，连接 ED、OD， 此时 EC+ED 最小，即：EC+EDCD， 由题意得，CODDOBBOD30， COD90， CD， 的长 l， 阴影部分周长的最小值为+ 故答案为：+ 三
23、、解答题（共三、解答题（共 9 道题，共道题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （4 分）解方程 x2+6x+10 【分析】配方法求解可得 【解答】解：x2+6x1， x2+6x+91+9，即（x+3）28， x+32， 则 x32 18 （4 分）如图，在O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 ABCD求证：CEBE 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到C B，根据等腰三角形的判定定理证明结论 【解答】证明：ABCD， ， ，即， CB， CEBE 19 （6 分） 共享经济已经进入
24、人们的生活 小沈收集了自己感兴趣的 4 个共享经济领域的图标， 共享出行、 共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相 同） 现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？ （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图 的方法求抽到的两张卡片恰好是 “共享出行” 和 “共享知识” 的概率 （这四张卡片分别用它们的编号 A、 B、C、D 表示） 【分析】 （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好
25、是“共享出行”和“共享知识”的结 果数为 2，根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是； （2）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有 2 个， 抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为 20 （6 分）如图，已知菱形 ABCD 的对称中心是坐标原点 O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 y （k 0）的图象与 AD 边交于 E（4，） ，F（m，2）两点 （1）求 k，m 的值； （2）写出函数 y图象在菱形 ABCD 内 x 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法即可解
26、决问题； （2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可； 【解答】解： （1）点 E（4，）在 y上， k2， 反比例函数的解析式为 y， F（m，2）在 y上， m1 （2）函数 y图象在菱形 ABCD 内 x 的取值范围为：4x1 或 1x4 21 （8 分）已知：如图所示，在ABC 中，B90，AB5cm，BC7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，当其中一点到达终点 后，另外一点也随之停止运动 （1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几
27、秒后，PBQ 的面积等于 4cm2？ （2）在（1）中，PQB 的面积能否等于 7cm2？请说明理由 【分析】 （1）经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于 4cm2，根据点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速 度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，表示出 BP 和 BQ 的长可列方程求解； （2）看PBQ 的面积能否等于 7cm2，只需令2x（5x）7，化简该方程后，判断该方程的与 0 的关系，大于或等于 0 则可以，否则不可以 【解答】解： （1）设经过 x 秒以后PBQ 面积为 4cm2，根据题意得（5x）2x4， 整理得：
28、x25x+40， 解得：x1 或 x4（舍去） 答：1 秒后PBQ 的面积等于 4cm2； （2）仿（1）得（5x）2x7 整理，得 x25x+70，因为 b24ac25280， 所以，此方程无解 所以PBQ 的面积不可能等于 7cm2 22 （10 分）如图，某校有一教学楼 AB，其上有一避雷针 AC 为 2 米，教学楼后面有一小山，其坡（坡面 为 EF）的坡度为 i1：，山坡上有一休息亭 E 供爬山人员休息，测得山坡脚 F 与教学搂的水平距离 BF 为 9 米，与休息亭的距离 FE 为 10 米，从休息亭 E 测得教学楼上避雷针顶点 C 的仰角为 30 （1）求 EF 的坡角； （2）教学
29、楼 AB 的高度 （结果保留根号） 【分析】 （1）过 E 作 ENBF 于 N，EMBC 于 M，由坡度的定义得 tanEFN，求解即可； （2） 由含 30角的直角三角形的性质得 ENEF5 （米） ， FNFN5（米） ， 再证四边形 MENB 是矩形，得 BMEN5（米） ，MEBNBF+FN（9+5）米，然后由含 30角的直角三角形的性 质得 CM（3+5）米，则 AMCMAC（3+3）米，求解即可 【解答】解： （1）过 E 作 ENBF 于 N，EMBC 于 M，如图所示： ENF90，EF10 米，EF 的坡度为 i1：tanEFN， tanEFN， EFN30， 即 EF 的
30、坡角为 30； （2）ENF90，EFN30， ENEF5（米） ，FNFN5（米） ， MBNEMBENB90， 四边形 MENB 是矩形， BMEN5（米） ，MEBNBF+FN（9+5）米， 在 RtCME 中，CME90，CEM30， CMME（3+5）米， AMCMAC（3+3）米， ABAM+BM（3+8）米， 即教学搂 AB 的高度为（3+8）米 23 （10 分） 已知O， 请作出O 的内接等腰直角三角形 ABC， C90 在O 上任取一点 P （异于 A、 B、C 三点） ，连接 PA、PB、PC 依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 请判断 PA、PB、P
31、C 的关系，并给出证明 【分析】作直径 AB，过点 O 作 OCAB 交O 于 C，连接 AC，BC，ABC 即为所求作 当 P，C 在 AB 的两侧时，结论：PA+PBPC过点 C 作 CQPB 于 Q，CTPA 交 PA 的延长线于 T证明四边形 CTPQ 是正方形，ATBQ，推出 PA+PB2PTPC当 P，C 在 AB 的同侧时，如图 备用图，同法可证，PBPAPC 【解答】解：如图，ACB 即为所求作 当 P，C 在 AB 的两侧时，结论：PA+PBPC 理由：过点 C 作 CQPB 于 Q，CTPA 交 PA 的延长线于 T ACCB， ， CPTCPQ， TCQP90，PCPC，
32、 PCTPCQ（AAS） ， CTCQ，PTPQ， APBTCQP90， 四边形 CTPQ 是矩形， CTCQ， 四边形 CTPQ 是正方形， PCPT， CTACQB90，CACB， RtCTARtCQB（HL） ， ATBQ， PA+PBPTAT+PQ+BQ2PTPC 当 P，C 在 AB 的同侧时，见备用图，同法可证，|PBPA|PC 24 （12 分）定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个 三角形为“智慧三角形” 理解： （1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使ABC 为“智慧三角形” （画
33、 出点 C 的位置，保留作图痕迹） ； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CFCD，试判断AEF 是 否为“智慧三角形” ，并说明理由； 运用： （3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 y3 上的一点，若在O 上存 在一点 P，使得OPQ 为“智慧三角形” ，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 P 的坐标 【分析】 （1）连接 AO 并且延长交圆于 C1，连接 BO 并且延长交圆于 C2，即可求解； （2）设正方形的边长为 4a，表示出 DF、CF 以及 EC、BE 的长，然后根据勾股定理列式表示出
34、 AF2、 EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF 是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF 为“智慧 三角形” ； （3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短 时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为 3，根据勾股定理可求另一 条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点 P 的横坐标，再根据勾股定理可求点 P 的纵坐标，从 而求解 【解答】解： （1）如图 1 所示： （2）AEF 是“智慧三角形” ， 理由如下：设正方形的边长为 4a， E 是 BC 的中点， BEEC2a， CD：FC4：1， F
35、Ca，DF4aa3a， 在 RtABE 中，AE2（4a）2+（2a）220a2， 在 RtECF 中，EF2（2a）2+a25a2， 在 RtADF 中，AF2（4a）2+（3a）225a2， AE2+EF2AF2， AEF 是直角三角形， 斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半， AEF 为“智慧三角形” ； （3）如图 3 所示： 由“智慧三角形”的定义可得OPQ 为直角三角形， 根据题意可得一条直角边 OP1， PQ 最小时，POQ 的面积最小， 即 OQ 最小， 由垂线段最短可得斜边最小为 3， 由勾股定理可得 PQ2， 根据面积得，OQPMOPPQ， PM123， 由勾股定理可求得
36、 OM， 故点 P 的坐标（，） ， （，） 25（12 分） 在平面直角坐标系中， 直线 yx+2 与 x 轴交于点 B， 与 y 轴交于点 C， 抛物线 yx2+bx+c 的对称轴是直线 x与 x 轴的交点为点 A，且经过点 B、C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 为抛物线对称轴上一动点，当|BMCM|的值最小时，求出点 M 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 N，过点 N 作 NHx 轴于点 H，使得以点 B、N、H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出|BMCM|最小
37、时，BMCM，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出ACBBHN90，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得 出结论 【解答】解： （1）针对于 yx+2，令 x0，则 y2， C（0，2） ， 令 y0，则 0 x+2， x4， B（4，0） ， 点 C 在抛物线 yx2+bx+c 上， c2， 抛物线的解析式为 yx2+bx+2， 点 B（4，0）在抛物线上， 8+4b+20， b， 抛物线的解析式为 yx2+x+2； （2）|BMCM|最小， |BMCM|0， BMCM， BM2CM2， 设 M（，m） ， B（4，0） ，C（0，2） ， BM2（4）2+m2，C
38、M2（）2+（m2）2， （4）2+m2（）2+（m2）2， m0， M（，0） ； （3）存在，理由： 由（1）知，抛物线的解析式为 yx2+x+2， 令 y0，则 0 x2+x+2， x4 或 x1， A（1，0） ， B（4，0） ，C（0，2） ， BC220，AC25，AB225， CB2+AC2AB2， ABC 是直角三角形，且ACB90， NHx 轴， BHN90ACB， 设 N（n，n2+n+2） ， HN|n2+n+2|，BH|n4|， 以点 B、N、H 为顶点的三角形与ABC 相似， BHNACB， ， ， n5 或 n3 或 n4（舍） ， N（5，18）或（3，2） ， BHNBCA， ， ， n0 或 n4（舍）或 n2， N（0，2）或（2，3） ， 即满足条件的点 N 的坐标为（5，18）或（2，3）或（0，2）或（3，2）
