1、2019 年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）比 0 小 1 的有理数是（ ） A1 B1 C0 D2 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Am6m2m3 B3m22m2m2 C （3m2）39m6 Dm2m2m2 3 （3 分）如图，ABCD，射线 AE 交 CD 于点 F，若1115，则2 的度数是（ ） A55 B65 C75 D85 4 （3 分）中国企业 2016 年已经在“一带一路”沿线国家建立了 56 个经贸合作区，直接为东道国增加了 180 000 个就业岗
2、位将 180 000 用科学记数法表示应为（ ） A18104 B1.8105 C1.8106 D18105 5 （3 分）我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：） ，这组数据 的平均数和众数分别是（ ） A7，6 B6，5 C5，6 D6，6 6 （3 分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200 元，按标价的五 折销售，仍可获利 20 元，则这件商品的进价为（ ） A120 元 B100 元 C80 元 D60 元 7 （3 分）如图，已知：在O 中，OABC，AOB70，则ADC 的度数为（ ） A70 B45 C
3、35 D30 8 （3 分）若等腰三角形中相等的两边的长为 10cm，第三边长为 16cm，则第三边的高为（ ） A12cm B10cm C8cm D6cm 9 （3 分）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ） A800+1200 B160+1700 C3200+1200 D800+3000 10 （3 分）定义a，b，c为函数 yax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为m1，1+m，2m的函数的 一些结论：当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（1，8） ；当 m1 时，函数图象截 x 轴所得的 线段长度大于 3；当 m0 时，函数在 x时，y 随 x 的增大而减
4、小；不论 m 取何值，函数图象经 过两个定点其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 11 （3 分）分解因式：4ax2ay2 12 （3 分）计算：|1| 13 （3 分）如图，在ABC 中，M、N 分别为 AC，BC 的中点若 SCMN1，则 S四边形ABNM 14 （3 分）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 435 元，其中篮球的单价比足球的单价多 3元， 求篮球的单价和足球的单价 设篮球的单价为x元， 足球的单价为y元， 依题意， 可列方程组为 15（3 分） 已知A
5、BCDEF， A52， B67， BC15cm， 则F 度， EF cm 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴的负半轴、y 轴的正半轴上， 点 B 在第二象限将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于点 M若经过点 M 的反比例函数 y（x0）的图象交 AB 于点 N，S矩形OABC32，tanDOE ，则 BN 的长为 二、解答题（共二、解答题（共 102 分）分） 17 （10 分）先化简，再求值：，其中 x2 18 （10 分）如图，已知MAN，点 B 在射线 AM 上
6、（）尺规作图： （i）在 AN 上取一点 C，使 BCBA； （ii）作MBC 的平分线 BD， （保留作图痕迹，不写作法） （）在（）的条件下，求证：BDAN 19 （10 分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动” ，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球 等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 m 名学生（每名学生必选且只能选择 这五项活动中的一种） 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）m ，n （2）补全上图中的条形统计图 （3）若全校共有 2000 名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球 （4）在抽查的 m 名学生中，有小薇、小燕、小红、小
7、梅等 10 名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、 小燕、 小红、 小梅这 4 名女生中， 选取 2 名参加全市中学生女子羽毛球比赛， 请用列表法或画树状图法， 求同时选中小红、小燕的概率 （解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母 A、B、C、D 代表） 20 （10 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+2k+20 （1）若 k0，求方程的解； （2）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有两个实数根 21 （10 分）热气球的探测器显示，从热气球底部 a 处看一栋高楼顶部的俯角为 30，看这栋楼底部俯角 为 60，热气球 a 处与地面距离为 420 米，求这栋楼的高度 2
8、2 （12 分）为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果 树苗共 45 棵，其中 A 种树苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间存 在如图所示的函数关系 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种树苗的数量，请设计购买方案，使 总费用最低，并求出最低费用 23 （12 分）四边形 ABCD 的对角线交于点 E，有 AEEC，BEED，以 AB 为直径的半圆过点 E，圆心为 O （1）利用图 1，求证：四边形 ABCD 是菱形 （2）如图 2
9、，若 CD 的延长线与半圆相切于点 F，已知直径 AB8 连结 OE，求OBE 的面积 求扇形 AOE 的面积 24 （14 分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交 点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角 形的“內似线” （1）等边三角形“內似线”的条数为 ； （2）如图，ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 上，且 BDBCAD，求证：BD 是ABC 的“內似线” ； （3）在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，E、F 分别在边 AC、BC 上，且 EF 是ABC 的“內 似线” ，求
10、EF 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）比 0 小 1 的有理数是（ ） A1 B1 C0 D2 【分析】直接利用有理数的加减运算得出答案 【解答】解：由题意可得：011， 故比 0 小 1 的有理数是：1 故选：A 【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Am6m2m3 B3m22m2m2 C （3m2）39m6 Dm2m2m2 【分析】分别利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式乘以单项 式运算法则分别分
11、析得出答案 【解答】解：A、m6m2m4，故此选项错误； B、3m22m2m2，正确； C、 （3m2）327m6，故此选项错误； D、m2m2m3，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项、积的乘方运算、单项式乘以单项式等知 识，熟练应用相关运算法则是解题关键 3 （3 分）如图，ABCD，射线 AE 交 CD 于点 F，若1115，则2 的度数是（ ） A55 B65 C75 D85 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出2 的度数 【解答】解：ABCD， 1+AFD180， 1115， AFD65， 2 和
12、AFD 是对顶角， 2AFD65， 故选：B 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补 4 （3 分）中国企业 2016 年已经在“一带一路”沿线国家建立了 56 个经贸合作区，直接为东道国增加了 180 000 个就业岗位将 180 000 用科学记数法表示应为（ ） A18104 B1.8105 C1.8106 D18105 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：1800001.8105 故选：B 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，
13、其中 1|a|10，确定 a 与 n 的值是解题的关键 5 （3 分）我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下：4，6，6，5，7，6，8（单位：） ，这组数据 的平均数和众数分别是（ ） A7，6 B6，5 C5，6 D6，6 【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数 【解答】解：平均数为：6， 数据 6 出现了 3 次，最多， 故众数为 6， 故选：D 【点评】此题考查了加权平均数和众数的定义，属基础题，难度不大 6 （3 分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200 元，按标价的五 折销售，仍可获利 20 元，则这件商品的进价为
14、（ ） A120 元 B100 元 C80 元 D60 元 【分析】设该商品的进价为 x 元/件，根据“标价（进价+利润）折扣”即可列出关于 x 的一元一次 方程，解方程即可得出结论 【解答】解：设该商品的进价为 x 元/件， 依题意得： （x+20）200， 解得：x80 该商品的进价为 80 元/件 故选：C 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20）200本题属于基础 题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键 7 （3 分）如图，已知：在O 中，OABC，AOB70，则ADC 的度数为（ ） A70 B45 C35 D30 【分析
15、】先根据垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出结论 【解答】解：OABC，AOB70， ， ADCAOB35 故选：C 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 8 （3 分）若等腰三角形中相等的两边的长为 10cm，第三边长为 16cm，则第三边的高为（ ） A12cm B10cm C8cm D6cm 【分析】首先根据题意画出图形，然后由等腰三角形的性质，求得 BD 的长，再利用勾股定理，求得第 三边的高 【解答】解：如图，过点 A 作 ADBC 于点 D， ABAC10cm， BDCDBC168（cm）
16、， AD6（cm） 故选：D 【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键 9 （3 分）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ） A800+1200 B160+1700 C3200+1200 D800+3000 【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的 数据，根据体积公式计算即可 【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为 20，高为 8，长方体的长为 30，宽为 20，高为 5， 故该几何体的体积为：1028+30205800+3000，
17、 故选：D 【点评】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱 的底面直径和高是解本题的关键 10 （3 分）定义a，b，c为函数 yax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为m1，1+m，2m的函数的 一些结论：当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（1，8） ；当 m1 时，函数图象截 x 轴所得的 线段长度大于 3；当 m0 时，函数在 x时，y 随 x 的增大而减小；不论 m 取何值，函数图象经 过两个定点其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】把 m3 代入m1，1+m，2m，求得a，b，c，求得解析式，利用顶点坐
18、标公式解答即 可； 首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； 当 X 大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以 y 随 x 增大而减小正确； 根据特征数的特点，直接得出 x 的值，进一步验证即可解答 【解答】解：因为函数 yax2+bx+c 的特征数为m1，1+m，2m； 当 m3 时，y2x2+4x62（x+1）28，顶点坐标是（1，8） ；此结论正确； 当 m1 时，令 y0，有（m1）x2+（1+m）x2m0，解得，x11，x2， |x2x1|3，所以当 m1 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3，此结论正确； 当 m0 时，y（m1）x2+（1+m）x2m 是一个开口
19、向下的抛物线，其对称轴是：x， 在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大， 因为当 m0 时， ， 即对称轴在 x右边， 可能大于， 所以在 x时，y 随 x 的增大而减小，此结论错误， 当 x1 时，y（m1）x2+（1+m）x2m0 即对任意 m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的： 当 x2 时，y（m1）x2+（1+m）x2m6，即对任意 m，函数图象都经过一个点（2，6） ， 此结论正确 根据上面的分析，是正确的 故选：C 【点评】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，抛物线与 x 轴的交点情况，两点间的距离公式，以及二 次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是和点的坐标特征
20、是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 11 （3 分）分解因式：4ax2ay2 a（2x+y） （2xy） 【分析】首先提取公因式 a，再利用平方差进行分解即可 【解答】解：原式a（4x2y2） a（2x+y） （2xy） ， 故答案为：a（2x+y） （2xy） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后 再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 12 （3 分）计算：|1| 1 【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而合并同类二次根式即可 【解答】解：|1| 12 1
21、 故答案为：1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键 13 （3 分）如图，在ABC 中，M、N 分别为 AC，BC 的中点若 SCMN1，则 S四边形ABNM 3 【分析】证明 MN 是ABC 的中位线，得出 MNAB，且 MNAB，证出CMNCAB，根据面积 比等于相似比平方求出CMN 与CAB 的面积比，继而可得出CMN 的面积与四边形 ABNM 的面积 比最后求出结论 【解答】解：M，N 分别是边 AC，BC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MNAB，且 MNAB， CMNCAB， （）2， ， S四边形ABNM3SCMN313 故答案为：3 【点评】本题考
22、查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明 三角形相似是解决问题的关键 14 （3 分）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 435 元，其中篮球的单价比足球的单价多 3 元，求篮球的单价和足球的单价设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为 【分析】根据题意可得等量关系：4 个篮球的花费+5 个足球的花费435 元，篮球的单价足球的 单价3 元，根据等量关系列出方程组即可 【解答】解：设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，由题意得： ， 故答案为： 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是
23、正确理解题意，找出题目中的等量 关系 15 （3 分） 已知ABCDEF，A52， B67，BC15cm， 则F 61 度，EF 15 cm 【分析】根据全等三角形的性质即可求出推出各个边和角的量，做题时要找准对应边、角 【解答】解：ABCDEF， EFBC15cm， AD，BE， CF180AB180526761 故填 61，15 【点评】本题考查了全等三角形的性质；做题时只要找对各个对应边和角，就能得到答案，也是正确解 答本题的关键 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴的负半轴、y 轴的正半轴上， 点 B 在第二象限将矩形 OABC 绕点
24、 O 顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于点 M若经过点 M 的反比例函数 y（x0）的图象交 AB 于点 N，S矩形OABC32，tanDOE ，则 BN 的长为 3 【分析】利用矩形的面积公式得到 ABBC32，再根据旋转的性质得 ABDE，ODOA，接着利用正 切的定义得到 tanDOE，所以 DE2DE32，解得 DE4，于是得到 AB4，OA8，同样 在 RtOCM 中利用正切定义得到 MC2，则 M（2，4） ，易得反比例函数解析式为 y，然后确 定 N 点坐标，最后计算 BN 的长 【解答】解：S矩形OABC32， ABBC32， 矩形
25、 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到矩形 ODEF， ABDE，ODOA， 在 RtODE 中，tanDOE，即 OD2DE， DE2DE32，解得 DE4， AB4，OA8， 在 RtOCM 中，tanCOM， 而 OCAB4， MC2， M（2，4） ， 把 M（2，4）代入 y得 k248， 反比例函数解析式为 y， 当 x8 时，y1，则 N（8，1） ， BN413 故答案为 3 【点评】本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋 转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180也考查了反比例函数
26、图 象上点的坐标特征和解直角三角形 二、解答题（共二、解答题（共 102 分）分） 17 （10 分）先化简，再求值：，其中 x2 【分析】原式先计算除法运算，再计算减法运算得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 （x+1）， 当 x2 时，原式2 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 （10 分）如图，已知MAN，点 B 在射线 AM 上 （）尺规作图： （i）在 AN 上取一点 C，使 BCBA； （ii）作MBC 的平分线 BD， （保留作图痕迹，不写作法） （）在（）的条件下，求证：BDAN 【分析】 （） （i）以 B 点为圆
27、心，BA 为半径画弧交 AN 于 C 点； （ii）利用基本作图作 BD 平分MBC； （）先利用等腰三角形的性质得ABCA，再利用角平分线的定义得到MBDCBD，然后根 据三角形外角性质可得MBDA，最后利用平行线的判定得到结论 【解答】 （）解： （i）如图，点 C 为所作； （ii）如图，BD 为所作； （）证明：ABAC， ABCA， BD 平分MBC， MBDCBD， MBCA+BCA， 即MBD+CBDA+BCA， MBDA， BDAN 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已 知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点
28、作已知直线的垂线） 19 （10 分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动” ，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球 等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 m 名学生（每名学生必选且只能选择 这五项活动中的一种） 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）m 100 ，n 5 （2）补全上图中的条形统计图 （3）若全校共有 2000 名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球 （4）在抽查的 m 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等 10 名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、 小燕、 小红、 小梅这 4 名女生中， 选取 2 名参加全市中学生女子羽毛球比
29、赛， 请用列表法或画树状图法， 求同时选中小红、小燕的概率 （解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母 A、B、C、D 代表） 【分析】 （1）篮球 30 人占 30%，可得总人数，由此可以计算出 n； （2）求出足球人数100302010535 人，即可解决问题； （3）用样本估计总体的思想即可解决问题 （4）画出树状图即可解决问题 【解答】解： （1）由题意 m3030%100，排球占5%， n5， 故答案为 100，5 （2）足球100302010535 人， 条形图如图所示， （3）若全校共有 2000 名学生，该校约有 2000400 名学生喜爱打乒乓球 （4）画树状图得：
30、一共有 12 种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， P（B、C 两人进行比赛） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小同时考查了概率公式 20 （10 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+2k+20 （1）若 k0，求方程的解； （2）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有两个实数根 【分析】 （1）将 k0 代入方程，因式分解法求解可得； （2）计算出根的判别式的值即可判断 【解答】解： （1）当 k0 时
31、，方程为 x23x+20， 则（x1） （x2）0， 所以 x10 或 x20， 解得：x1 或 x2； （2）（k+3）241（2k+2） k2+6k+98k8 k22k+1 （k1）20， 方程总有 2 个实数根 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两 个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 21 （10 分）热气球的探测器显示，从热气球底部 a 处看一栋高楼顶部的俯角为 30，看这栋楼底部俯角 为 60，热气球 a 处与地面距离为 420 米，求这栋楼的高度 【分析】过 A 作 AEBC，交 CB 的
32、延长线于点 E，先解 RtACD，求出 CD 的长，则 AECD，再解 RtABE，求出 BE 的长，然后根据 BCADBE 即可得到这栋楼的高度 【解答】解：过 A 作 AEBC，交 CB 的延长线于点 E， 在 RtACD 中， CAD30，AD420 米， CDADtan30420140（米） ， AECD140米 在 RtABE 中， BAE30，AE140米， BEAEtan30140140（米） ， BCADBE420140280（米） ， 答：这栋楼的高度为 280 米 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线 转化为直角三角形进行
33、计算 22 （12 分）为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果 树苗共 45 棵，其中 A 种树苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间存 在如图所示的函数关系 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种树苗的数量，请设计购买方案，使 总费用最低，并求出最低费用 【分析】 （1）根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标分段利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据 B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量可得出关于 x 的
34、一元一次不等式组，解不 等式组求出 x 的取值范围，再根据“所需费用为 WA 种树苗的费用+B 种树苗的费用”可得出 W 关于 x 的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为：ykx+b， 当 0 x20 时，把（0，0） ， （20，160）代入 ykx+b 中， 得：，解得：， 此时 y 与 x 的函数关系式为 y8x； 当 20 x 时，把（20，160） ， （40，288）代入 ykx+b 中， 得：，解得：， 此时 y 与 x 的函数关系式为 y6.4x+32 综上可知：y 与 x 的函数关系式为 y （2）B 种苗的数量不
35、超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量， ， 22.5x35， 设总费用为 W 元，则 W6.4x+32+7（45x）0.6x+347， k0.6， W 随 x 的增大而减小， 当 x35 时，W 总费用最低，W最低0.635+347326（元） 【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解题的关键 是： （1）分段，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据数量关系找出 W 关于 x 的函数关系式本题 属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数 解析式是关键 23 （12 分）四边形 ABCD 的对角线交
36、于点 E，有 AEEC，BEED，以 AB 为直径的半圆过点 E，圆心为 O （1）利用图 1，求证：四边形 ABCD 是菱形 （2）如图 2，若 CD 的延长线与半圆相切于点 F，已知直径 AB8 连结 OE，求OBE 的面积 求扇形 AOE 的面积 【分析】 （1）首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形 ABCD 是平行四边形，进而利 用菱形的判定方法得出答案； （2）首先求出ABD 的面积进而得出 SOBESABD； 首先求出扇形 AOE 的圆心角，进而利用扇形面积求出答案 【解答】 （1）证明：AEEC，BEED， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB 为直径，且过点
37、E， AEB90，即 ACBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形； （2）解：连结 OF， DC 的延长线于半圆相切于点 F， OFCF， FCAB， OF 即为ABD 中 AB 边上的高， SABDABOF8416， 点 O 是 AB 中点，点 E 是 BD 的中点， SOBESABD4； 过点 D 作 DHAB 于点 H， ABCD，OFCF， FOAB， FFOBDHO90， 四边形 OHDF 为矩形，即 DHOF4， 在 RtDAH 中，sinDAB， DAH30， D 点 O，E 分别为 AB，BD 中点， OEAD， EOBDAH30， AOE180EO
38、B150， S扇形AOE 【点评】此题主要考查了圆的综合以及菱形、矩形的判定方法、扇形面积求法等知识，正确掌握菱形的 判定与性质是解题关键 24 （14 分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交 点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角 形的“內似线” （1）等边三角形“內似线”的条数为 3 ； （2）如图，ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 上，且 BDBCAD，求证：BD 是ABC 的“內似线” ； （3）在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，E、F 分别在边 AC、BC 上，且 EF
39、是ABC 的“內 似线” ，求 EF 的长 【分析】 （1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案； （2）由等腰三角形的性质得出ABCCBDC，AABD，证出BCDABC，再由三角形 的外角性质证出 BD 平分ABC 即可； （3）分两种情况：当时，EFAB，由勾股定理求出 AB5，作 DNBC 于 N，则 DNAC，DN 是 RtABC 的内切圆半径，求出 DN（AC+BCAB）1，由几何平分线定 理得出，求出 CE，证明CEFCAB，得出对应边成比例求出 EF； 当时，同理得：EF即可 【解答】 （1）解：等边三角形“內似线”的条数为 3 条；理由如下： 过等边三角形的内心分
40、别作三边的平行线，如图 1 所示： 则AMNABC，CEFCBA，BGHBAC， MN、EF、GH 是等边三角形 ABC 的內似线” ； 故答案为：3； （2）证明：ABAC，BDBCAD， ABCCBDC，AABD， BCDABC， 又BDCA+ABD， ABDCBD， BD 平分ABC， 即 BD 过ABC 的内心， BD 是ABC 的“內似线” ； （3）解：设 D 是ABC 的内心，连接 CD， 则 CD 平分ACB， EF 是ABC 的“內似线” ， CEF 与ABC 相似； 分两种情况：当时，EFAB， ACB90，AC4，BC3， AB5， 作 DNBC 于 N，如图 2 所示： 则 DNAC，DN 是 RtABC 的内切圆半径， DN（AC+BCAB）1， CD 平分ACB， ， DNAC， ，即， CE， EFAB， CEFCAB， ，即， 解得：EF； 当时，同理得：EF； 综上所述，EF 的长为 【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三 角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度
