1、2018 年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）的倒数是（ ） A B2 C D2 2 （3 分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图，点 ABC 在D 上，ABC70，则ADC 的度数为（ ） A110 B140 C35 D130 4 （3 分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（ ） A7，8 B7，
2、6 C6，7 D7，4 5 （3 分）如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 6 （3 分）如图所示，直线 ABCD 于点 O，直线 EF 经过点 O，若126，则2 的度 数是（ ） 第 2 页（共 27 页） A26 B64 C54 D以上答案都不对 7 （3 分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是 93 分，其中数学 97 分，化学 89 分，那么物理成绩是（ ） A91 分 B92 分 C93 分 D94 分 8 （3 分）如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别为 a、b，下列式子成立的是（ ） Aab0 Ba+b0 C （b1）
3、 （a+1）0 D （b1） （a1）0 9 （3 分）下列三个命题中，是真命题的有（ ） 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 A3 个 B2 个 C1 个 D4 个 10 （3 分）如图，点 A，B 为直线 yx 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲 线 y（x0）于 C，D 两点若 BD3AC，则 9OC2OD2的值为（ ） A16 B27 C32 D48 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （
4、3 分）若 a3ama9，则 m 12 （3 分）因式分解：x34x 第 3 页（共 27 页） 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，BC8 且 cosB，则 AB 14 （3 分）如图，点 D、E 分别是ABC 的边 AC、BC 上的点，ADDE，ABBE，A 80，则BED 15 （3 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转至DEC，使点 D 落在 BC 的延长线上，已 知A27，B40，则ACE 16 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点 A 在点 （3， 0） 和 （2， 0） 之间， 其部分图象如图 8， 则下列 4 个结论
5、： b24ac0； 2a b0；a+b+c0；点 M（x1，y1） 、N（x2，y2）在抛物线上，若 x1x2，则 y1 y2，其中正确的是 三、解答题（本大三、解答题（本大题共题共 9 小题，满分小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解方程：1 18 （9 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB5、AO3，求 菱形的面积 第 4 页（共 27 页） 19 （10 分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有 A、B、C、 D、 E 等著名景点， 该市旅游部
6、门统计绘制出 2017 年 “五一” 长假期间旅游情况统计图， 根据以下信息解答下列问题： （1）2017 年“五一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中 A 景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图 （2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计 2018 年“五一”节将有 80 万游客选 择该市旅游，请估计有多少万人会选择去 E 景点旅游？ （3）甲、乙两个旅行团在 A、B、D 三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？ 请用画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果 20 （10 分）已知 A （xy） （1）化简 A； （2）若 x26xy+9y20，求 A 的
7、值 21 （12 分）如图，ABC 是等边三角形，D 为 BC 的中点， （1）尺规作图： （保留作图痕迹，不写作法） ； 过点 B 作 AC 的平行线 BH； 过 D 作 BH 的垂线，分别交 AC，BH，AB 的延长线于 E，F，G （2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论 第 5 页（共 27 页） 22 （12 分）某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类 的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3 个温馨提示牌和 4 个垃圾箱共需 580 元，且每个温馨 提示牌比垃圾箱便宜 40 元 （1）问购买 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元？ （2）如果需要
8、购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，费用不超过 8000 元，问最多购买垃 圾箱多少个？ 23 （12 分）如图，直线 y2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数（x0）的图象交于 点 M，过 M 作 MHx 轴于点 H，且 tanAHO2 （1）求 k 的值； （2）点 N（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在 x 轴上是否存在点 P，使 得 PM+PN 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 24 （14 分）二次函数 yx2+px+q 的顶点 M 是直线 y和直线 yx+m 的交点 （1）若直线 yx+m 过点 D（0，3） ，求 M 点的坐标及二次函数 y
9、x2+px+q 的解析式； （2） 试证明无论 m 取任何值， 二次函数 yx2+px+q 的图象与直线 yx+m 总有两个不同 的交点； （3）在（1）的条件下，若二次函数 yx2+px+q 的图象与 y 轴交于点 C，与 x 的右交点 为 A，试在直线 y上求异于 M 的点 P，使 P 在CMA 的外接圆上 25 （14 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E， 且 DC2CECA （1）求证：BCCD； （2）分别延长 AB，DC 交于点 P，过点 A 作 AFCD 交 CD 的延长线于点 F，若 PB OB，CD，求 DF 的长 第 6
10、页（共 27 页） 第 7 页（共 27 页） 2018 年广东省广州市越秀区中考数年广东省广州市越秀区中考数学二模试卷学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）的倒数是（ ） A B2 C D2 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，直接解答即可 【解答】解：（2）1， 的倒数是2， 故选：D 【点评】 本题主要考查倒数的定义， 解决此类题目时， 只要找到
11、一个数与这个数的积为 1， 那么此数就是这个数的倒数，特别要注意：正数的倒数也一定是正数，负数的倒数也一 定是负数 2 （3 分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形
12、是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 3 （3 分）如图，点 ABC 在D 上，ABC70，则ADC 的度数为（ ） 第 8 页（共 27 页） A110 B140 C35 D130 【分析】根据圆周角定理计算即可 【解答】解：由圆周角定理得，ADC2ABC140， 故选：B 【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 4 （3 分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（ ） A7，8 B7，6 C6，7 D7，4 【分析】根据众数和中位数的概念求解 【解答】解：这
13、组数据按照从小到大的顺序排列为：2、4、5、6、7、7、8， 则众数为：7， 中位数为：6 故选：B 【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数； 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数 5 （3 分）如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据俯视图的定义，从上往下看到的几何图形是俯视图即可判断 【解答】解：从几何体上面看，是左边 2 个，右边 1 个正方形 故选：
14、A 第 9 页（共 27 页） 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生 易将三种视图混淆而错误的选其它选项 6 （3 分）如图所示，直线 ABCD 于点 O，直线 EF 经过点 O，若126，则2 的度 数是（ ） A26 B64 C54 D以上答案都不对 【分析】已知1，且DOF 与1 是对顶角，可求DOF，再利用DOF 与2 互余， 求2 【解答】解：126，DOF 与1 是对顶角， DOF126， 又DOF 与2 互余， 290DOF 902664 故选：B 【点评】此题主要考查了垂线的定义和对顶角的性质，难度不大 7 （3 分）某同学参加数学、物理
15、、化学三科竞赛平均成绩是 93 分，其中数学 97 分，化学 89 分，那么物理成绩是（ ） A91 分 B92 分 C93 分 D94 分 【分析】直接利用数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是 93 分，可得出总分，再减去数 学 97 分，化学 89 分，即可得出答案 【解答】解：物理成绩是：933978993（分） 故选：C 【点评】此题主要考查了算术平均数，正确得出总分是解题关键 8 （3 分）如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别为 a、b，下列式子成立的是（ ） 第 10 页（共 27 页） Aab0 Ba+b0 C （b1） （a+1）0 D （b1） （a1）0 【分析】根据 a、
16、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即 可 【解答】解：a、b 两点在数轴上的位置可知：1a0，b1， ab0，a+b0，故 A、B 错误； 1a0，b1， b10，a+10，a10 故 C 正确，D 错误 故选：C 【点评】本题考查的是数轴的特点，根据 a、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范围是 解答此题的关键 9 （3 分）下列三个命题中，是真命题的有（ ） 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 A3 个 B2 个 C1 个 D4 个 【分析】根据矩形的判定方法一一
17、判断即可； 【解答】解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故是假命题； 三个角是直角的四边形是矩形，正确，故是真命题； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故是真命题； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，故是真命题； 故选：A 【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法，属于中考常考题型 10 （3 分）如图，点 A，B 为直线 yx 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲 线 y（x0）于 C，D 两点若 BD3AC，则 9OC2OD2的值为（ ） 第 11 页（共 27 页） A16 B27 C32 D48 【分析】设点 A 的坐标为（m，m）
18、 ，点 B 的坐标为（n，n） ，则点 C 的坐标为（m，） ， 点 D 的坐标为（n，） ，进而可得出 BDn、ACm，结合 BD3AC 可得出 n 3 （m） ， 再利用勾股定理及配方法可得出 9OC2OD29 （m） 2+4 （n ）2+4，代入 n3（m）即可求出结论 【解答】解：设点 A 的坐标为（m，m） ，点 B 的坐标为（n，n） ，则点 C 的坐标为（m， ） ，点 D 的坐标为（n，） ， BDn，ACm， BD3AC， n3（m） 9OC2OD29（m2+）（n2+） ， 9（m）2+4（n）2+4， 9（m）2+369（m）24， 32 故选：C 【点评】本题考查了反比
19、例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以 及勾股定理，利用勾股定理及配方找出 9OC2OD29（m）2+4（n）2+4 是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）若 a3ama9，则 m 6 【分析】根据同底数幂的运算即可求出答案 第 12 页（共 27 页） 【解答】解：由题意可知：3+m9， m6， 故答案为：6 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是正确理解同底数幂的乘法运算，本 题属于基础题型 12 （3 分）因式分解：x34x x（x+2） （x2） 【分析】首先提
20、取公因式 x，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：x34x x（x24） x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解 题关键 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，BC8 且 cosB，则 AB 16 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出B 的度数，再利用直角三角形的性质得出 答案 【解答】解：如图所示： cosB， B60， A30， 则 BCAB8， 故 AB16 故答案为：16 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确得出B 度数是解题关键 14 （3 分）如图，点 D、
21、E 分别是ABC 的边 AC、BC 上的点，ADDE，ABBE，A 80，则BED 80 第 13 页（共 27 页） 【分析】 先利用 SSS证明ABDEBD， 再根据全等三角形对应角相等即可求出BED 【解答】解：在ABD 与EBD 中， ， ABDEBD， BEDA80 故答案为 80 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明出ABDEBD 是解题的关键 15 （3 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转至DEC，使点 D 落在 BC 的延长线上，已 知A27，B40，则ACE 46 【分析】先根据三角形外角的性质求出ACD67，再由ABC 绕点 C 按顺时针方向 旋转至DEC，
22、 得到ABCDEC， 证明BCEACD， 利用平角为 180即可解答 【解答】解：A27，B40， ACDA+B27+4067， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至DEC， ABCDEC， ACBDCE， BCEACD， BCE67， ACE180ACDBCE180676746 故答案为：46 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到 第 14 页（共 27 页） ABCDEC 16 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点 A 在点 （3， 0） 和 （2， 0） 之间， 其部分图象如图 8， 则下列 4 个结
23、论： b24ac0； 2a b0；a+b+c0；点 M（x1，y1） 、N（x2，y2）在抛物线上，若 x1x2，则 y1 y2，其中正确的是 【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数对进行判断；利用抛物线的对称轴方程对进 行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的一个交点点（0，0）和（1，0）之间， 所以 x1 时，y0，则可对进行判断；利用二次函数的性质对进行判断 【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以错误； 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a，所以正确； 抛物线对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0） 之间， 抛物线
24、与 x 轴的一个交点点（0，0）和（1，0）之间， x1 时，y0， a+b+c0，所以正确； 抛物线开口向下， 当 x1x21 时，则 y1y2；当1x1x2时，则 y1y2；所以错误 故答案为 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ， 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号 时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常 第 15 页（共 27
25、页） 数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数 由决定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线 与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解方程：1 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案 【解答】解： （x+3）24（x3）（x3） （x+3） x2+6x+94x+12x29， x15， 检验：x1
26、5 代入（x3） （x+3）0， 原分式方程的解为：x15， 【点评】本题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属 于基础题型 18 （9 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB5、AO3，求 菱形的面积 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可以求菱形 ABCD 的面积 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD， AOB90 ， 又AC2OA6，BD2OB8 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求 BO 的值 是解题的关键 19 （10 分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅
27、游景区有 A、B、C、 第 16 页（共 27 页） D、 E 等著名景点， 该市旅游部门统计绘制出 2017 年 “五一” 长假期间旅游情况统计图， 根据以下信息解答下列问题： （1）2017 年“五一”期间，该市周边景点共接待游客 50 万人，扇形统计图中 A 景 点所对应的圆心角的度数是 108 ，并补全条形统计图 （2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计 2018 年“五一”节将有 80 万游客选 择该市旅游，请估计有多少万人会选择去 E 景点旅游？ （3）甲、乙两个旅行团在 A、B、D 三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？ 请用画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的
28、结果 【分析】 （1）根据 A 景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客 数；先求得 A 景点所对应的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数部分占总体的百 分比360进行计算即可；根据 B 景点接待游客数补全条形统计图； （2）根据 E 景点接待游客数所占的百分比，即可估计 2018 年“五一”节选择去 E 景点 旅游的人数； （3）根据甲、乙两个旅行团在 A、B、D 三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根 据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率 【解答】解： （1）该市周边景点共接待游客数为：1530%50（万人） ， A 景点所对应的圆心角的度数是：30%3
29、60108， B 景点接待游客数为：5024%12（万人） ， 补全条形统计图如下： 第 17 页（共 27 页） 故答案为：50，108； （2）E 景点接待游客数所占的百分比为：100%12%， 2018 年“五一”节选择去 E 景点旅游的人数约为：8012%9.6（万人） ； （3）画树状图可得： 共有 9 种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点 的结果有 3 种， 同时选择去同一个景点的概率 【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及概率的计算的综 合应用，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键当有两个元素时，可用树形 图列举，也可
30、以列表列举解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比 20 （10 分）已知 A （xy） （1）化简 A； （2）若 x26xy+9y20，求 A 的值 【分析】 （1）直接利用分式的基本性质化简得出答案； （2）首先得出 x，y 之间的关系，进而代入求出答案 【解答】解： （1）A （xy） （xy） 第 18 页（共 27 页） ； （2）x26xy+9y20， （x3y）20， 则 x3y0， 故 x3y， 则 A 【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键 21 （12 分）如图，ABC 是等边三角形，D 为 BC 的中点， （1）尺规作图： （保留作图痕迹，不写作法
31、） ； 过点 B 作 AC 的平行线 BH； 过 D 作 BH 的垂线，分别交 AC，BH，AB 的延长线于 E，F，G （2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论 【分析】 （1）根据平行线及垂线的作法画图即可； （2）根据 ASA 定理得出DECDFB 即可 【解答】解： （1）作图如下：如图 1； 如图 2： （2）DECDFB 证明：BHAC， DCEDBF， 第 19 页（共 27 页） 又D 是 BC 中点， DCDB 在DEC 与DFB 中， ， DECDFB（ASA） 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键 22 （12 分）某小区为更好的
32、提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类 的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 3 个温馨提示牌和 4 个垃圾箱共需 580 元，且每个温馨 提示牌比垃圾箱便宜 40 元 （1）问购买 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元？ （2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，费用不超过 8000 元，问最多购买垃 圾箱多少个？ 【分析】 （1）根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案； （2）根据费用不超过 8000 元，可得不等式，根据解不等式，可得答案 【解答】 （1）解：设购买 1 个温馨提示牌需要 x 元，购买 1 个垃圾箱需要 y 元，依题意 得 ， 解得： 答：购买
33、 1 个温馨提示牌需要 60 元，购买 1 个垃圾箱需要 100 元 （2）解：设购买垃圾箱 m 个，则购买温馨提示牌（100m）个，依题意得 60（100m）+100m8000， 解得 m50， 答：最多购买垃圾箱 50 个 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意得出不等关系是解题关键 23 （12 分）如图，直线 y2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数（x0）的图象交于 点 M，过 M 作 MHx 轴于点 H，且 tanAHO2 （1）求 k 的值； 第 20 页（共 27 页） （2）点 N（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在 x 轴上是否存在点 P，使 得
34、PM+PN 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据直线解析式求 A 点坐标，得 OA 的长度；根据三角函数定义可求 OH 的长度，得点 M 的横坐标；根据点 M 在直线上可求点 M 的坐标从而可求 K 的值； （2）根据反比例函数解析式可求 N 点坐标；作点 N 关于 x 轴的对称点 N1，连接 MN1 与 x 轴的交点就是满足条件的 P 点位置 【解答】解： （1）由 y2x+2 可知 A（0，2） ，即 OA2 tanAHO2，OH1 MHx 轴，点 M 的横坐标为 1 点 M 在直线 y2x+2 上， 点 M 的纵坐标为 4即 M（1，4） 点 M
35、在 y上， k144 （2）存在 过点 N 作 N 关于 x 轴的对称点 N1，连接 MN1，交 x 轴于 P（如图所示） 此时 PM+PN 最小 点 N（a，1）在反比例函数（x0）上， a4即点 N 的坐标为（4，1） N 与 N1关于 x 轴的对称，N 点坐标为（4，1） ， N1的坐标为（4，1） 第 21 页（共 27 页） 设直线 MN1的解析式为 ykx+b 由解得 k，b 直线 MN1的解析式为 令 y0，得 x P 点坐标为（，0） 【点评】此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等 24 （14 分）二次函数 yx2+px+q 的顶点 M 是直线 y和直线 yx
36、+m 的交点 （1）若直线 yx+m 过点 D（0，3） ，求 M 点的坐标及二次函数 yx2+px+q 的解析式； （2） 试证明无论 m 取任何值， 二次函数 yx2+px+q 的图象与直线 yx+m 总有两个不同 的交点； （3）在（1）的条件下，若二次函数 yx2+px+q 的图象与 y 轴交于点 C，与 x 的右交点 为 A，试在直线 y上求异于 M 的点 P，使 P 在CMA 的外接圆上 【分析】 （1）根据题意求出 m，解方程组求出 M 点坐标，根据二次函数的性质求出 p、q， 得到二次函数的解析式； （2）根据一元二次方程根的判别式进行判断； （3）根据二次函数的性质求出点 C
37、 的坐标、点 A 的坐标，根据勾股定理求出 CM，根据 勾股定理的逆定理判断CMA 是直角三角形，根据三角形的外接圆的性质计算 【解答】解： （1）把 D（0，3）坐标代入直线 yx+m 中， 得 m3，从而得直线 yx3， 由 M 为直线 y与直线 yx3 的交点， 第 22 页（共 27 页） 得， 解得， 得 M 点坐标为 M（2，1） ， M 为二次函数 yx2+px+q 的顶点， 其对称轴为 x2， 由对称轴公式：x，得2， p4； 由1， 1， 解得，q3 二次函数 yx2+px+q 的解析式为：yx24x+3； （2）M 是直线 y和 yx+m 的交点， ， 解得， M 点坐标为
38、 M（，） ， 、， 解得，p，q+， 由，得 x2+（p1）x+qm0， （p1）24（qm） （1）24（+m）10， 第 23 页（共 27 页） 二次函数 yx2+px+q 的图象与直线 yx+m 总有两个不同的交点； （3）由（1）知，二次函数的解析式为：yx24x+3， 当 x0 时，y3 点 C 的坐标为 C（0，3） ， 令 y0，即 x24x+30， 解得 x11，x23， 点 A 的坐标为 A（3，0） ， 由勾股定理，得 AC3 M 点的坐标为 M（2，1） ， 过 M 点作 x 轴的垂线，垂足的坐标应为（2，0） ， 由勾股定理得，AM， 过 M 点作 y 轴的垂线，垂
39、足的坐标应为（0，1） ， 由勾股定理，得 CM2 AC2+AM220CM2， CMA 是直角三角形， CM 为斜边，CAM90 直线 y与CMA 的外接圆的一个交点为 M，另一个交点为 P， 则CPM90即CPM 为 Rt， 设 P 点的横坐标为 x，则 P（x，） 过点 P 作 x 轴垂线， 过点 M 作 y 轴垂线，两条垂线交于点 E，则 E（x，1） 过 P 作 PFy 轴于点 F，则 F（0，） 在 RtPEM 中，PM2PE2+EM2 （+1）2+（2x）25x+5 在 RtPCF 中，PC2PF2+CF2x2+（3+）2 +3x+9 在 RtPCM 中，PC2+PM2CM2， 第
40、 24 页（共 27 页） 得+3x+9+5x+520， 化简整理得 5x24x120， 解得 x12，x2 当 x2 时，y1，即为 M 点的横、纵坐标 P 点的横坐标为，纵坐标为， P（，） 【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、一元二次方程 根的判别式是解题的关键 25 （14 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E， 且 DC2CECA （1）求证：BCCD； （2）分别延长 AB，DC 交于点 P，过点 A 作 AFCD 交 CD 的延长线于点 F，若 PB OB，CD，求 DF 的长 【分析】 （1）求出CD
41、ECAD，CDBDAC 得出结论 第 25 页（共 27 页） （2）连接 OC，先证 ADOC，由平行线分线段成比例性质定理求得 PC，再由 割线定理 PCPDPBPA 求得半径为 4，根据勾股定理求得 AC，再证明AFD ACB，得，则可设 FDx，AF，在 RtAFP 中，利用 勾股定理列出关于 x 的方程，求解得 DF 【解答】 （1）证明：DC2CECA， ， DCEACD， CDECAD， CDBDAC， 四边形 ABCD 内接于O， BCCD； （2）解：方法一：如图，连接 OC， BCCD， DACCAB， 又AOCO， CABACO， DACACO， ADOC， ， PBOB
42、，CD， 第 26 页（共 27 页） PC4 又PCPDPBPA 4 （4+2）OB3OB OB4，即 AB2OB8，PA3OB12， 在 RtACB 中， AC2， AB 是直径， ADBACB90 FDA+BDC90 CBA+CAB90 BDCCAB， FDACBA， 又AFDACB90， AFDACB 在 RtAFP 中，设 FDx，则 AF， 在 RtAPF 中有， 求得 DF 方法二；连接 OC，过点 O 作 OG 垂直于 CD， 易证PCOPDA，可得， PGOPFA，可得， 第 27 页（共 27 页） 可得，由方法一中 PC4代入， 即可得出 DF 【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合 运用能力，关键是找准对应的角和边求解
