1、专题专题 31 31 一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质 一、选择题一、选择题 1. 在平面直角坐标系中，将函数 3yx 的图象向上平移 6 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴的交点坐标 为 A(2，0) B(2，0) C(6，0) D(6，0) 【答案】【答案】B 【解析】根据函数图象平移规律，可知 3yx 向上平移 6 个单位后得函数解析式应为36yx， 此时与x轴相交，则0y ， 360 x，即2x， 点坐标为(2，0)， 故选 B 2. 若0ab且ab，则函数y axb的图象可能是 A B C D 【答案】【答案】A 【解析】0ab，且ab， a0，b0 函数y axb 的图象
2、经过第一、三、四象限 故选 A 3. 已知一次函数 y=(k+1)x+b 的图象如图所示，则 k 的取值范围是 Ak0 Bk-1 Ck-1 【答案】【答案】B 【解析】观察图象知：y 随 x 的增大而减小， k+10， 解得：k-1， 故选 B 4. 如果函数y kxb(k，b是常数)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是 A0k 且0b B0k 且0b C0k 且0b D0k 且0b 【答案】【答案】A 【解析】ykxb(k，b是常数)的图象不经过第二象限， 当00kb，时成立； 当00kb，时成立； 综上所述，0k 且0b， 故选 A 5. 在坐标平面上，某个一次函数的图象经过(5
3、，0)、(10，10)两点，则此函数图象还会经过下列哪点( ) A. (1 7，9 4 7) B. ( 1 8，9 5 8) C. ( 1 9，9 7 9) D. ( 1 10，9 9 10) 【答案】【答案】C 【解析】设该一次函数的解析式为 ykxb(k0)，将点(5，0)、(10，10)代入到 ykxb 中 得， 05kb 1010kb，解得 k2 b10 ，该一次函数的解析式为 y2x10.A.y2 1 7109 5 79 4 7，该点 不在直线上； B.y2 1 8109 3 49 5 8， 该点不在直线上； C.y2 1 9109 7 9， 该点在直线上； D.y2 1 10 10
4、94 59 9 10，该点不在直线上 6. 如图， 一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)， 过点P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为 8，则该直线的函数表达式是 A 4yx B4yx C 8yx D8yx 【答案】【答案】A 【解析】如图，过P点分别作PDx轴，PC y 轴，垂足分别为D、C， 设P点坐标为, x y， P点在第一象限，PDy，PCx， 矩形PDOC的周长为 8， 2()8xy，4xy， 即该直线的函数表达式是4yx ， 故选 A 7. 已知一次函数 ykx5 和 ykx7，假设 k0 且 k0，则这两个一次函数图象的
5、交点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】【答案】A 【解析】根据题意画出两个函数的图象，大致图象如解图所示，这两个一次函数图象的交点 在第一象限 【一题多解】由题意得 ykx5 ykx7，解得 x 2 kk y7k5k kk ，即为交点坐标，k0，k0，kk0，7k5k 0，x0，y0，这两个一次函数图象的交点在第一象限 8. 甲、乙施工队分别从两端修一段长度为 380 米的公路在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天， 之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务下表是根据每天工程进度绘制而成的 下列说法错误的是 A甲队每天修路 20 米 B
6、乙队第一天修路 15 米 C乙队技术改进后每天修路 35 米 D前七天甲、乙两队修路长度相等 【答案】【答案】D 【解析】由题意可得， 甲队每天修路：160 14020(米)，故选项 A 正确； 乙队第一天修路：35 20 15(米)，故选项 B 正确； 乙队技术改进后每天修路：215 160 2035(米)，故选项 C 正确； 前 7 天，甲队修路：20 7140 米，乙队修路：270 140 130米，故选项 D 错误， 故选 D 9. 如图，在 Rt ABO 中，OBA=90 ，A(4，4)，点 C 在边 AB 上，且= ，点 D 为 OB 的中点，点 P 为 边 OA 上的动点，当点
7、P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为 ( ) A.(2，2) B. C. D.(3，3) 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工 量/米 35 70 105 140 160 215 270 325 380 【答案】【答案】 C 解析由题可知:A(4， 4)， D(2， 0)， C(4， 3)， 点 D 关于 AO 的对称点 D坐标为(0， 2)， 设 lDC:y=kx+b， 将 D(0，2)，C(4，3)代入，可得 y= x+2，解方程组得 P.故选 C. 10. 一次函数 y4 3xb 与 y 4 3x1 的图象之间的距离等于 3，则
8、 b 的值为( ) A. 2 或 4 B. 2 或4 C. 4 或6 D. 4 或 6 【答案】【答案】D 【解析】直线 y4 3x1 与 x 轴的交点 A 的坐标为( 3 4 ，0)，与 y 轴的交点 C 的坐标为(0， 1)，OA3 4，OC1，直线 y 4 3xb 与直线 y 4 3x1 的距离为 3，可分为两种情况：(1)如解图，点 B 的坐标为(0，b)，则 OBb，BCb1，易证 OACDBC，则OA DB AC BC ，即 3 4 3 12（3 4） 2 b1 ， 解得 b4；(2)如解图，点 F 的坐标为(0，b)，则 CFb1，易证 OACECF，则OA EC AC CF ，
9、即 3 4 3 12（3 4） 2 b1 ，解得 b6，故 b4 或 6. 二、填空题二、填空题 11. 如图，直线 y=kx+b(k0)经过点 A(3，1)，当 kx+b3 解析当 x=3 时， x= 3=1， 点 A 在一次函数 y= x 的图象上，且一次函数 y= x 的图象经过第一、三象限，当 x3 时，一次函数 y= x 的图象在 y=kx+b 的图象上方，即 kx+b0，30，所以图象过第一、第二和第三象限，故不经过第四象限 13. 在平面直角坐标系内，一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的图象如图所示，则关于 x，y 的方程组 11 22 yk xb yk xb 的
10、解是_ 【答案】【答案】 2 1 x y 【解析】一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的图象的交点坐标为(2，1)， 关于 x，y 的方程组 11 22 yk xb yk xb 的解是 2 1 x y 故答案为： 2 1 x y 14. 如图，直线 ()0ykxb k 经过点3,1A，当 1 3 kxbx时，x的取值范围为_ 【答案】【答案】3x 【解析】正比例函数 1 3 yx 也经过点A， 1 3 kxbx的解集为3x ， 故答案为：3x 15. 如图， 直线 yxb 与直线 ykx6 交于点 P(3， 5)， 则关于 x 的不等式 xbkx6 的解集是_ 【答案】【答案】x
11、3 【解析】由题可知，当 x3 时，xbkx6，在点 P 左边即 x3 时，xbkx6，在 点 P 右边即 x3 时，xbkx6，故答案为 x3. 第 10 题解图 16. 若点M(k1， k1)关于y轴的对称点在第四象限内， 则一次函数y(k1)xk的图象不经过 第_ 象限 【答案】【答案】一 【解析】依据题意，M 关于 y 轴对称点在第四象限，则 M 点在第三象限，即 k10，k10, 解得 k1.一次函数 y(k1)xk 的图象过第二、三、四象限，故不经过第一象限 17. 将函数 y2xb(b 为常数)的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后， 所得的折线是函数 y|2x b
12、|(b为常数)的图象， 若该图象在直线y2下方的点的横坐标x满足0x3， 则b的取值范围为_ 【答案】【答案】4b2 【解析】先求出直线 y2 与 y|2xb|的交点的横坐标，再由已知条件列出关于 b 的不等式组， 便可求出结果 由 y2 y|2xb|， 得 y2 y2xb或 y2 y2xb， 解得 x 2b 2 或 x2b 2 ， 0x3， 2b 2 0 ，解得4b2. 18. 如图所示，已知点 C(1，0)，直线 yx7 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，D，E 分别是 AB，OA 上 的动点，则 CDE 周长的最小值是_ 【答案】【答案】10 【解析】作点 C 关于 y 轴的对称点 C1
13、(1，0)，点 C 关于直线 AB 的对称点 C2，连接 C1C2 交 OA 于点 E，交 AB 于点 D，则此时 CDE 的周长最小，且最小值等于 C1C2的长OAOB7，CB 6，ABC45 .AB 垂直平分 CC2，CBC290 ，C2的坐标为(7，6)在 Rt C1BC2中，C1C2 C1B2C2B2 826210.即 CDE 周长的最小值是 10. 三、解答题三、解答题 19. 如图所示，已知正比例函数yx和3yx，过点2 0A，作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分 别交与B C，两点，求三角形OBC的面积（其中O为坐标原点） 。 【答案】【答案】4 【解析】由题意，2 0A （
14、 ，），ACx轴 将2x 分别代入3yxyx、得，2 22 6BC， ， 624BC 11 424 22 OBC SBC OA 20.如图，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A甲从中山路上点B出 发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行设出发minx时，甲、 (2,0) C B A y=3x y=x x y O 乙两人与点A的距离分别为 1 my、 2 my已知 1 y、 2 y与x之间的函数关系如图所示 (1)求甲、乙两人的速度； (2)当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？ 【答案】【答案】 (1)设甲、乙两人的速度分别为m/ mi
15、na， m/ minb ，甲从 B 到 A 用时为 p 分钟，则： 1 1200(0) 1200() axxp y axxp ， 2 ybx， 由图知：3.75x或7.5时， 12 yy， 则有 12003.753.75 7.512007.5 ab ab ，解得 240 80 a b ， p=1200 240=5， 答：甲的速度为240 m/ min，乙的速度为80 m/ min (2)设甲、乙之间距离为d， 则 222 (1200240 )(80 )dxx 2 9 64000()144000 2 x， 当 9 2 x 时， 2 d的最小值为144000，即d的最小值为120 10， 答：当
16、9 2 x 时，甲、乙两人之间的距离最短 21. 如图，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 m y x (x0)交于点 B(2，1)过点( ,1)P p p(p1)作 x 轴的 平行线分别交曲线 m y x (x0)和 m y x (x0)于 M、N 两点 （1）求 m 的值及直线 l 的解析式； （2）若点 P 在直线 y2 上，求证： PMBPNA； （3）是否存在实数 p，使得 S AMN4S AMP？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明 理由 【答案】【答案】 （1）因为点 B(2，1)在双曲线 m y x 上，所以 m2设直线 l 的解析式为ykxb，代入
17、点 A(1，0)和点 B(2，1)，得 0, 21. kb kb 解得 1, 1. k b 所以直线 l 的解析式为1yx （2）由点( ,1)P p p(p1)的坐标可知，点 P 在直线1yx上 x 轴的上方如图 2，当 y2 时，点 P 的 坐标为(3，2)此时点 M 的坐标为(1，2)，点 N 的坐标为(1，2) 由 P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知 PMB 为等腰直角三角形 由 P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知 PNA 为等腰直角三角形 所以 PMBPNA 图 2 图 3 图 4 （3） AMN 和 AMP 是两个同高的三角形，底
18、边 MN 和 MP 在同一条直线上 当 S AMN4S AMP时，MN4MP 如图 3，当 M 在 NP 上时，xMxN4(xPxM)因此 222 ()4 (1)x xxx 解得 113 2 x 或 113 2 x （此时点 P 在 x 轴下方，舍去） 此时 113 2 p 如图 4，当 M 在 NP 的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此 222 ()4(1)x xxx 解得 15 2 x 或 15 2 x （此时点 P 在 x 轴下方，舍去） 此时 15 2 p 考点伸展考点伸展 在本题情景下， AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图 5，AMN90 ，此时点 M 的坐标为（1，2）
19、 ，点 P 的坐标为（3，2） 情形二，如图 6，MAN90 ，此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90 的情况 图 5 图 6 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=kx+1(k0)与直线 x=k，直线 y=-k 分别交于点 A，B，直线 x=k 与直 线 y=-k 交于点 C. (1)求直线 l 与 y 轴的交点坐标. (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段 AB，BC，CA 围成的区域(不含边界)为 W. 当 k=2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数. 【答案】【答案】 解:(1)令 x=0，则 y=1， 直线 l 与 y 轴交点坐标为(0，
20、1). (2)当 k=2 时，直线 l:y=2x+1， 把 x=2 代入直线 l，则 y=5，A(2，5). 把 y=-2 代入直线 l 得:-2=2x+1， x=- ， B - ，-2 ，C(2，-2)， 区域 W 内的整点有(0，-1)，(0，0)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)共 6 个点. 23. 在平面直角坐标系中，直线 1 6 2 yx 与x轴、y轴分别交于B、C两点， 直接写出B、C两点的坐标； 直线yx与直线 1 6 2 yx 交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时 间为t秒（即OPt）过点P作PQx轴交直线BC于点Q，若点P在线段
21、OA上运动时（如图） ，过P、 Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之间的函数关系式，并 求出S的最大值；若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时,过P、Q、O三 点的圆与x轴相切. 【答案】【答案】 y xO QP NM C B A 12006BC， ， 点P在yx上，OPt 点P坐标为 22 22 tt ，点 2 122 2 Qtt ， 3 22 12 22 PQOBONMBtPNt， 2 3 6 2 2 Stt ， 当2 2t 时， max 12S 若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与x轴相切，则圆心
22、在y轴 上， 且y轴垂直平分PQ，45POC, 45QOC， 2 12 2 OBONQNOMt， COBQNB，COBQNB， 1 2 QNCO NBOB ，2QNNBNOOB， 2 212 2 tt，12 2t ， 当12 2t 时，过P、Q、O三点的圆与x轴相切 24. 在平面直角坐标系中，直线 1 6 2 yx 与x轴、y轴分别交于B、C两点， 直接写出B、C两点的坐标； 直线yx与直线 1 6 2 yx 交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时 间为t秒（即OPt）过点P作PQx轴交直线BC于点Q，若点P在线段OA上运动时（如图） ，过P、 Q分别作x轴的垂线
23、，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之间的函数关系式，并 求出S的最大值；若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时,过P、Q、O三 点的圆与x轴相切. 【答案】【答案】 12006BC， ， 点P在yx上，OPt 点P坐标为 22 22 tt ，点 2 122 2 Qtt ， 3 22 12 22 PQOBONMBtPNt， 2 3 6 2 2 Stt ， 当2 2t 时， max 12S 若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与x轴相切，则圆心在y轴 上， 且y轴垂直平分PQ，45POC, 45QOC， 2 12 2 OBONQNOMt， COBQNB，COBQNB， 1 2 QNCO NBOB ，2QNNBNOOB， 2 212 2 tt，12 2t ， 当12 2t 时，过P、Q、O三点的圆与x轴相切 y xO QP NM C B A
