初二数学讲义直升班 第5讲 平行四边形(教师版)

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1、平行四边形平行四边形 模块一 平行四边形的性质 模块二 平行四边形的判定及综合 一、平行四边形的定义和表示:一、平行四边形的定义和表示: 平行四边形平行四边形: 两组对边分别平行的四边形叫 做平行四边形 (如图) ,记作“ABCD” 平行四边形的表示平行四边形的表示: 一般按一定的方向依次 表示各顶点, 如右图的平行四边形不能表示 成ACBD,也不能表示成ADBC ABCD ADBC 四边形 ABCD 叫 做平行四边形 二、平行四边形的性质:二、平行四边形的性质: 平行四边形的对边平行且相等 四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD , AD BC 平行四边形的对角相等; 四边形 ABCD

2、为平行四边形 AC ,BD 平行四边形的对角线互相平分 四边形 ABCD 为平行四边形 OAOC,OBOD 平行四边形是中心对称图形, 对称中心 就是两条对角线的交点; 连接四边上任意 一点和平行四边形的对称中心, 与另一条 边相交于一点, 则这两个点关于平行四边 形的对称中心对称; 并且这条线段将平行 四边形面积分成相等的两部分 四边形 ABCD 为平行四边形, E、 F 在 AD,BC 上,且线段 EF 过 点OOEOF; 四边形四边形ABFECDEF SS 平行四边形中重要结论: AOBBOCDOCDOA SSSS AOBCOD AODCOB ABCCDA BCDDAB A B C D

3、D C B A O D C B A F E A B C D O A B C D O C A D B 平行四边形的面积 ACBD SADEC= ; 平行四边形面积=底高 三、平行四边形的判定:三、平行四边形的判定: 定义:两组对边分别平行的 四边形是平行四边形 ADBC ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 = ABCD ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形 ABCD ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对角分别相等的四边形 是平行四边形 AC BD 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分

4、的四边形是 平行四边形 OAOCAC OBODBD 四边形 ABCD 是平行四边形 模块一模块一 平行四边形的性质平行四边形的性质 (1)如图 1-1,ABCD的周长为 20cm,AE 平分BAD,若cmCE ,则 AB 的长度是_ (2) (棕北半期)如图 1-2,ABCD的对角线 AC、BD 相交于 O 点,点 E、F 分别是线段 AO、BO 的中点, 若 cmACBD ,OAB的周长为 18cm,则EF _ (3)如图 1-3,在ABCD中,DBDC,A ,CEBD于 E,则BCE_ (4)如图 1-4,ABCD与DCFE的周长相等,且60BAD,110F,则DAE的度数为_ 图 1-1

5、 图 1-2 图 1-3 图 1-4 D C B A A B C D A B C D A B C D O B C D A 例题 1 A B C D E A B C D E F B A D C E A BC D O E F A BC D E (1)4cm; (2)3cm; (3)四边形 ABCD 是平行四边形,ADCB ,又DBDC DBCDCB ,又CEBD, BCE (4)ABCD与DCFE的周长相等,且CDCD, ADDE, DAEDEA, 60BAD,110F, 120ADC,110CDEF, 360120110130ADE, DAE 【教师备课提示】【教师备课提示】这 4 个题主要是考

6、查平行四边形的性质,难度由基础到中等,孩子们在学习基础的同时也可 以进行稍微深入的理解 (1) 如图,ABCD中, P 是四边形内任意一点,ABP,BCP,CDP,ADP 的面积分别为S,S,S,S,则一定成立的是( ) ASSSS BSSSS CSSSS DSSSS (2)如图,ABCD中,平行于边的两条线段 EF,GH 把ABCD分成四部分,分别记这四部分的面积为S, S,S和S,则下列等式一定成立的是( ) ASS BSSSS CSSSS DSSSS (3)现有如图的铁片,其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形,工人师傅想用一条直线 将其分割成面积相等的两部分,请你帮助师

7、傅设计三种不同的分割方案 (1)设 AB、CD 间距离为h,AD、BC 间的距离为h, ,SSAB hSSAD h , 又 ABCD SAB hAD h Y 选 D (2)设 CD、EF 间的距离为h,EF、AB 间的距离为h,由 SSh SSh , SSSS 选 D (3)答案不惟一 备用备用备用 例题 2 S4S3 S2 S1 H G F E D C BA S4 S3 S2 S1 P D C BA 【教师备课提示】【教师备课提示】在讲完(1)的时候,老师可以根据孩子的实际情况补充当 P 点在平行四边形外部的时候的 情况 (西川 20142015 期中)如图,已知四边形 ABDE 是平行四边

8、形,C 为边 BD 延长线上一点,连接 AC、CE, 使 AB=AC (1)求证:BADAEC; (2)若B=30 ,ADC=45 ,BD=10,求平行四边形 ABDE 的面积 (1)证明: ABAC,BACB , 又四边形 ABDE 是平行四边形, AE/BD,AEBD, ACBCAEB , SAS)(BADACE; (2)过 A 作AGBC,垂足为 G设AGx, 在RtAGD中, 45ADC, AGDGx, 在RtAGB中, 30B, BGx, 又10BD BGDGBD, 即,xx , 解得AGx , S平行四边形ABDE =BDAG=10 ( )= 【教师备课提示】【教师备课提示】学校主

9、要会把平行四边形的性质结合面积的计算来考查,所以通过这题让孩子们理解通过作 高求平行四边形面积 方法3方法2方法1 例题 3 A C D E B G A C D E B 已知在ABCD中,AEBC于 E,DF 平分ADC交线段 AE 于 F (1)如图 4-1,若AEAD,ADC ,请直接写出线段 CD 与+AFBE之间所满足的关系; (2)如图 4-2,若AEAD,你在(1)中得到的结论是否仍然成立,若成立,对你的结论加以证明 若不成 立,请说明理由 图 4-1 图 4-2 (1)CDAFBE (2) (1)中的结论仍然成立 证明:延长 EA 到 G,使得AGBE,连接 DG 四边形 ABC

10、D 是平行四边形, ABCD,AB/CD,ADBC AEBC于点 E, 90AEBAEC 90AEBDAG 90DAG AEAD, ABEDAG 12 ,DGAB 903GFD DF 平分ADC, 34 B ,BADC ,又 , GDF GDFGFD DGGF CDGFAFAGAFBE 即CDAFBE 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是平行四边形和全等综合,主要是通过平行四边形来复习孩子们对于全等的感觉,也 慢慢培养孩子的综合能力 例题 4 4 3 2 1 G D A F C E B B AD F EC B AD F EC 模块二 平行四边形的判定及综合 对于下列说法,正确的请给出证明,

11、错误的请举出反例 (1)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形 (2)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 (3)一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 (4)一组对边相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 (5)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形 (1)正确如图 1 所示,设 AB/CD,AC ,此时A与D互补,B和C互补,从而BD,故四 边形 ABCD 是平行四边形 (2)错误如图 2 所示,在四边形 ABCD 中,ADBC,ABDC,但四边形 ABCD 不是平行四边 形 (3)错误如图 3 所示,ABCADC ,OBOD

12、,但四边形 ABCD 不是平行四边形 (4)错误如图 4 所示,在四边形 ABCD 中,ADBC,AOOC,但四边形 ABCD 不是平行四边 形 (构造办法:作平行四边形AB CD,在 DB 上取点 B 或延长 DB 至点 B,使BCB C,连接 AB 即得) (5)错误如图 5 所示,作等腰三角形 ABE,在底边 BE 上取一点 C(C 不是 BE 的中点) ,作ACE 关于 AC 的垂直平分线 l 对称的CAD, 则在四边形 ABCD 中,BD,ABCD, 但四边形 ABCD 不是平行四边形(BCCE,CEAD,BCAD) 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 l E D CB A 例题

13、 5 已知四边形 ABCD, 从下列条件中: AD/BC; AB/CD; A B C D; A D B C; AC ; BD; 任取其中两个,可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD”这一结论的情况有 ( ) A4 种 B9 种 C13 种 D15 种 B 【教师备课提示】【教师备课提示】通过这道题加深孩子们对于平行四边形判定条件的理解 在ABCD中,E、F 在 BD 上,且BEDF,点 G、H 分别在 AD、BC 上,且AGCH,GH 与 BD 交于点 O, 求证:EG/HF,EGHF 连接 GF、EH, 四边形 ABCD 为平行四边形, AD/BC,ADBC, OGDOHB ,O

14、DGOBH , AGCH,GDHB, OGDOHB, OGOH,ODOB, DFBE,OFOE, 四边形 EHFG 为平行四边形, EG/HF,EGHF 如图,四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 P,过点 P 作直线交 AD 于点 E,交 BC 于点 F若PEPF,且 APAECPCF求证:四边形 ABCD 是平行四边形 N M A E D P C F B 例题 6 例题 7 例题 8 A BC D E F H G O A BC D E F H G O A D P C E F B 延长 PA、PC,使AMAE、CFCN 连接 MF、EN、ME、NF APAECPCF,PMPN 四边

15、形 MFNE 是平行四边形 MENF,AMECNF AEAM,CNCF AMECNF,AMCN APCP,PADPCB , APDCPB,PDPB 四边形 ABCD 是平行四边形 1在ABCD中,若周长为 54cm,cmABBC ,则AB _cm 2在平行四边形 ABCD 中,:ABC ,则D等于( ) A B C D 3在平行四边形 ABCD 中,点A、A、A、A和C、C、C、C分别为 AB 和 CD 的五等分点,点B、B 和D、D分别是 BC 和 DA 的三等分点, 已知四边形A B C D 的面积 1, 则平行四边形 ABCD 面积为 ( ) A2 B C D15 116;2C;3C 4

16、 (西川期中改编)如图,在ABCD中,ADAB ,F 是 AD 的中点,作CEAB,垂足 E 在线段 AB 上, 连接 EF、CF,则下列结论中一定成立的是_ (把所有正确结论的序号都填在横线上) DCFBCD ;EFCF; BECCEF SS ;DFEAEF ;提示:延长 EF,CD 交于点 G 即可 演练 1 演练 2 A BC D E F G A BC D E F 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是一道考试 B 填的改编题,比较综合,主要考察平行四边形和全等的综合,老师可以 根据时间决定评讲的详略 5 在ABCD中, E 是 AD 边上的中点, 连接 BE, 并延长 BE 交 CD

17、 的延长线于点 F 已知AB ,A, BF ;则FD _, ABCD S=_ (1)证明: 在平行四边形 ABCD 中,E 是 AD 边上的中点, AEED,ABEF, (AAS)ABEDFE, FDAB; (2)过 B 点作BGDA交 DA 的延长线于 G 点 A =BAG BG ,AG 又=BF ,则5BE GEBEBG ()ADAEGEAG ABCD SADBG 6如图,过平行四边形 ABCD 对角线的交点 O 作直线 EF 交 AD、BC 分别于 E、F,又 G、H 分别为 OD、OB 的中点,求证:四边形 EHFG 为平行四边形 易证EOFO,HOGO, 四边形 EHFG 为平行四边

18、形 演练 3 演练 4 A BC D E F A BC D E F G B AED F C H G O 7如图,在平行四边形 ABCD 中,AEBC,CFAD,DNBM求证:EF 与 MN 互相平分 连接 MF、FN、EN、ME, AEBC,CFAD, AE/CF, ABCD 是平行四边形, AD/BC, AECF 是平行四边形,从而AECF RtRt(HL)ABECDF,BEDF 又由已知BMDN, 所以(SAS)BEMDFN,MENF 又因为AFCE,AMCN,MAFNCE , 所以(SAS)MAFNCE, 所以MFNE, 由得四边形 ENFM 是平行四边形,故对角线 EF 与 MN 互相

19、平分 F E N M A BC D 演练 5 一天,平行四边形和三角形在公园碰面了。三角形提议说: “咱们两个比本领吧。 ” “比就比,Who 怕 who 啊”平行四边形说道。 三角形顶起了一块大石头,稳稳地站在那里。平行四边形四边形也把大石头顶了起来,但一会儿就被压变 形了。三角形说: “我的稳定性强吧,你看看那房顶上的金字架、支撑照相机的三角架和自行车上的三角架都是 按照我不易变形的特点制作的。 ”平行四边形听了,顿时茅塞顿开: “我的特点是容易变形,如:公司、学校的 伸缩门,就是按照我的特点做的。 ” 尽管三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性,但是在我们的生活中很常见,那就都有存在的价值。 知 识 链 接

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