1、2021 年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）根据公布数据显示，2020 年扬州市户籍人口约 4550000 人数据“4550000”用科学记数法表示 为（ ） A4.55106 B4.55107 C0.455107 D455104 2 （3 分）下列各式中，计算结果为 a6的是（ ） Aa2a3 Ba3+a3 Ca12a2 D （a2）3 3 （3 分）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数
2、53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为 1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ） A20 B300 C500 D800 4 （3 分）如图所示物体的俯视图是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，数轴上的 A、B 两点所表示的数分别为 a、b，则下列各数中，最大的是（ ） A Ba+b Ca+b2 Dab 6 （3 分）如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，A60，则B 等于（ ） A30 B50 C60 D70 7 （3 分）如图，在ABC 中，ABC90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到AED，使点 B 的对应点 E 落在 AC 上，连接 CD，则C
3、DE 的度数不可能为（ ） A15 B20 C30 D45 8 （3 分）如图，点 A 是反比例函数 y图象上一动点，连接 AO 并延长交图象另一支于点 B又 C 为 第一象限内的点，且 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y的图象上运动则CAB 的正切 值为（ ） A2 B3 C2 D2 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 10 （3 分）甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了 10 次，平均成绩均为 7.5 米，方差分别为 s甲 2 0.2，S乙 20.08，成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙
4、” ） 11 （3 分）分解因式： （a+b）24ab 12 （3 分）已知关于 x 的方程 x（x2）+3m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围 是 13 （3 分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 x（kg）与其运费 y（元）由如图所示的一次函数 图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为 kg 14 （3 分）已知圆锥的底面圆半径是 3，母线长是 5，则它的侧面展开图的面积是 15 （3 分）如果一个多边形的每个内角都等于 140，那么关于这个多边形是 边形 16 （3 分）如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20 厘米， 钟面数
5、字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 P若点 P 的坐标为 （a+2b，a+1） ，则 a+b 18 （3 分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没 有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96 分）分） 19 （8 分） （1）计算： （） 1+|1 |tan30；
6、（2）化简： （a） 20 （8 分）解不等式组：，并求它的整数解的和 21 （8 分）今年 3 月，中共中央、国务院印发关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见 ，强调劳动 教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，要把劳动教育纳入人才培养全过程市教体局为了了解 某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据 绘制成如下两幅统计图请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）样本容量为 ； （2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 天； （3）若该市共有九年级学生 4500 人，估计九年级学生劳动实践天数不少于 5 天的共有多少人 22
7、 （8 分）甲、乙两所医院分别有一男一女共 4 名医护人员支援湖北武汉抗击疫情 （1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选 1 名，则所选的 2 名医护人员性别相同的概率 是 ； （2） 若从支援的 4 名医护人员中随机选 2 名，用列表或画树状图的方法求出这 2 名医护人员来自同一所 医院的概率 23 （10 分）某校九年级两个班在“慈善一日捐”活动中各捐款 1800 元已知 2 班比 1 班人均捐款多 4 元， 2 班的人数比 1 班的人数少 5 人， 请你根据上述信息提出一个用分式方程解决的问题， 并写出解题过程 24 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 是 CD 中点
8、，连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 E，连接 AC， DE （1）求证：四边形 ACED 为平行四边形 （2）若 AB1，DE，求点 D 到 AC 的距离 25 （10 分）已知：如图，在ABC 中，ABBC，D 是 AC 中点，BE 平分ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 B、E 两点，交 BD 于点 G，交 AB 于点 F （1）求证：AC 与O 相切； （2）当 BD2，sinC时，求O 的半径 26 （10 分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相 似（不全等） ，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对
9、角线” 理解： （1） 如图 1， ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上， 若四边形 ABCD 是以 AC 为 “相似对角线” 的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点 D（保留画图痕迹，找出 3 个即可） ； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平分ABC请问 BD 是 四边形 ABCD 的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ，EFHHFG30连接 EG，若EFG 的面积为 6，求 FH 的长 27 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yax2+bx+c 的
10、图象经过点 A（0，4）和 B（2，2） （1）求 c 的值，并用含 a 的式子表示 b； （2）当2x0 时，若二次函数满足 y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围； （3）直线 AB 上有一点 C（m，5） ，将点 C 向右平移 4 个单位长度，得到点 D，若抛物线与线段 CD 只 有一个公共点，求 a 的取值范围 28 （12 分） 如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4， 以 A 为圆心，3 为半径的圆弧交边 AB、AD 于点 E， F， 交对角线 BD 于点 G、H，点 P 为弧上的一个动点，过点 P 作 PMBC 于 M，作 PNCD 于 N设 PMm，PNn （1）如
11、图 2，当点 p 运动至 G 位置时，求 m+n 的值； （2）若四边形 PMCN 的面积为 3.5，求四边形 PMCN 的周长； （3）求四边形 PMCN 面积的最小值，并说明此时点 P 的位置 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）根据公布数据显示，2020 年扬州市户籍人口约 4550000 人数据“4550000”用科学记数法表示 为（ ） A4.55106 B4.55107 C0.455107 D455104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时
12、，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：45500004.55106 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2 （3 分）下列各式中，计算结果为 a6的是（ ） Aa2a3 Ba3+a3 Ca12a2 D （a2）3 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则 逐一判断即可 【解答】解：A、a2a3
13、a5，故本选项不合题意； B、a3+a32a3，故本选项不合题意； C、a12a2a10，故本选项不合题意； D、 （a2）3a6，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关 键 3 （3 分）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为 1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ） A20 B300 C500 D800 【分析】随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据
14、此求解即可 【解答】解：观察表格发现：随着试验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到 0.5 附近， 所以抛掷硬币的次数为 1000，则“正面朝上”的频数最接近 10000.5500 次， 故选：C 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率， 难度不大 4 （3 分）如图所示物体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据组合体的排放顺序可以得到正确的答案 【解答】解：从上面看该组合体的俯视图是一个矩形，并且被两条棱隔开， 故选：C 【点评】本题考查几何体的三种视图，比较简单解决此题既要有丰富的数学知识，又要有一定的生活 经验 5 （3 分）如图
15、，数轴上的 A、B 两点所表示的数分别为 a、b，则下列各数中，最大的是（ ） A Ba+b Ca+b2 Dab 【分析】根据有理数的运算结果进行判断 【解答】解：方法一： 由数轴可得：b0a， 取 a0.2，b0.8，则 0.25，a+b0.2+（0.8）0.6，a+b20.2+（0.8） 20.2+0.640.84，ab0.2（ 0.8）0.2+0.81， 最大的是 1，故选项 D 正确， 方法二： 由数轴可得：b0a， 因为0，a+b0，a+b20，ab0，而 aba+b2， 所以 ab 最大， 故选：D 【点评】此题主要考查了有理数的加减、乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 6
16、（3 分）如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，A60，则B 等于（ ） A30 B50 C60 D70 【分析】连接 BD求出ABD，再证明CBDABD 即可解决问题 【解答】解：连接 BD AB 是直径， BDA90， A+ABD90， A60， ABD30， ， ABDCBD30， CBA60， 故选：C 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型 7 （3 分）如图，在ABC 中，ABC90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到AED，使点 B 的对应点 E 落在 AC 上，连接 CD，则CDE 的度数不可能为（
17、） A15 B20 C30 D45 【分析】由旋转的性质可得CADCAB，CAAD，BAED90，由等腰三角形的性质可求 CDE90ACD，即可求解 【解答】解：ABC90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到AED， CADCAB，CAAD，BAED90， ACD， CDE90ACD， CAD90， CDE 不可能为 45， 故选：D 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键 8 （3 分）如图，点 A 是反比例函数 y图象上一动点，连接 AO 并延长交图象另一支于点 B又 C 为 第一象限内的点，且 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y的图象上
18、运动则CAB 的正切 值为（ ） A2 B3 C2 D2 【分析】连接 OC，过点 A 作 AEy 轴于点 E，过点 C 作 CFx 轴于点 F，如图所示：根据轴对称的性 质得到 AOBO根据等腰三角形的性质得到 COAB根据相似三角形的性质得到，得 到 AE，CF，即可得到结论 【解答】解：连接 OC，过点 A 作 AEy 轴于点 E，过点 C 作 CFx 轴于点 F，如图所示： 由直线 AB 与反比例函数 y的对称性可知 A、B 点关于 O 点对称， AOBO 又ACBC， COAB AOE+EOC90，EOC+COF90， AOECOF， 又AEO90，CFO90， AOECOF， ，
19、AEOE|1|1，CFOF8， AE，CF， ， 2（负值舍去） ， CAB 的正切值为2， 故选：C 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、 反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质， 解题的关键是求出 CFOF8本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三 角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 9 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 2x40，可求 x 的范围 【解答】解：根据题
20、意得 2x40 解得 x2 故答案为：x2 【点评】此题主要考查函数自变量范围的确定：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 10 （3 分）甲、乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了 10 次，平均成绩均为 7.5 米，方差分别为 s甲 2 0.2，S乙 20.08，成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙” ） 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案 【解答】解：S甲 20.2，S 乙 20.08， S甲 2S 乙 2， 成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏 离平均数越大，即波动越大，数
21、据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏 离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 11 （3 分）分解因式： （a+b）24ab （ab）2 【分析】首先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解： （a+b）24ab a2+2ab+b24ab a2+b22ab （ab）2 故答案为： （ab）2 【点评】此题主要考查了完全平方公式分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键 12 （3 分）已知关于 x 的方程 x（x2）+3m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 m 【分析】 先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到 （2）
22、243m0， 然后解不等式即可 【解答】解：方程化为 x22x+3m0， 根据题意得（2）243m0， 解得 m 故答案为 m 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无 实数根 13 （3 分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 x（kg）与其运费 y（元）由如图所示的一次函数 图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为 20 kg 【分析】根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求 y0 时，x 对应的值即可 【解答】解：设 y 与
23、 x 的函数关系式为 ykx+b， 由题意可知： ， 解得：， 所以函数关系式为 y30 x600， 当 y0 时，即 30 x6000，所以 x20 故答案为：20 【点评】此题主要考查了一次函数的图象及一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解 题关键 14 （3 分）已知圆锥的底面圆半径是 3，母线长是 5，则它的侧面展开图的面积是 15 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：圆半径是 3，则底面周长6，侧面展开图的面积6515 【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解 15 （3 分）如果一个多边形的每个内角都等于 140，那么关于这个多边形是 九 边形
24、【分析】根据多边形的内角和定理：180 （n2）求解即可 【解答】解：由题意可得：180 （n2）140n， 解得 n9 故多边形是九边形 故答案为：九 【点评】主要考查了多边形的内角和定理n 边形的内角和为：180 （n2） 此类题型直接根据内角 和公式计算可得 16 （3 分）如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20 厘米， 钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为 20 厘米 【分析】依题意可知该三角形为直角三角形，其中有一锐角为 30，又知其中一直角边是 10，再利用锐 角三角函数的正切值解决问题 【解答】解：设长方形长的一半为 x tan
25、30， x， 长方形长为 20cm 【点评】本题主要是和生活实际相联系，注意观察得到相应的结论 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 P若点 P 的坐标为 （a+2b，a+1） ，则 a+b 【分析】由题意知点 P 在第二象限角平分线上，即可得 a+2b+a+10，从而得出答案 【解答】解：由题意知，点 P 在第二象限角平分线上， a+2b+a+10， 则 a+b， 故答案为： 【点评】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握角平分线的尺规作图及
26、第二象限角平分线上点的坐标 特点是解题的关键 18 （3 分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没 有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 【分析】等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意， 得 （a+b） 2b （b+a+b） ， 设 a1， 求出 b ， 进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比 【解答】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 设 a1， 根据题意，得（a+b）2b（b+a+b） ， a1， b2b10， 解得 b或（负值舍
27、去） ， b， 正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： （a+b） ：2b（1+） ： （2） 故答案为： 【点评】 本题考查了图形的剪拼、 等腰三角形的性质、 正方形的性质， 解决本题的关键是利用转化思想 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96 分）分） 19 （8 分） （1）计算： （） 1+|1 |tan30； （2）化简： （a） 【分析】 （1）根据负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案 （2）根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式4+（1）3 4+13 （2）原式 1a 【点评】本题考查实数的运算和分式的运算，解
28、题的关键还是熟练运用实数与分式的运算法则，本题属 于基础题型 20 （8 分）解不等式组：，并求它的整数解的和 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，进而求其整数解，最后求它的整 数解的和即可 【解答】解：由得 x2 由得 x1 不等式组的解集为2x1 不等式组的整数解的和为1+0+10 【点评】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取 较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 21 （8 分）今年 3 月，中共中央、国务院印发关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见 ，强调劳动 教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，
29、要把劳动教育纳入人才培养全过程市教体局为了了解 某市九年级学生假期参加劳动实践天数的情况，随机抽取该市部分九年级学生进行调查，并将调查数据 绘制成如下两幅统计图请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）样本容量为 200 ； （2）补全条形统计图，九年级学生劳动实践天数的中位数是 5 天； （3）若该市共有九年级学生 4500 人，估计九年级学生劳动实践天数不少于 5 天的共有多少人 【分析】 （1）根据 3 天的人数和所占的百分比求出样本容量； （2）根据中位数的定义直接得出答案； （3）用总人数乘以劳动实践天数不少于 5 天的人数所占的百分比即可 【解答】解： （1）6030%200（人
30、） ， 则样本容量为 200； 故答案为：200； （2）共抽取了 200 人，处于中间位置的是第 100 和 101 个数的平均数， 九年级学生劳动实践天数的中位数是5（天） ； 故答案为：5； （3）根据题意得： 4500（110%15%）3375（天） ， 答：九年级学生劳动实践天数不少于 5 天的共有 3375 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小 22 （8 分）甲、乙两所医院分别有一男一女共 4 名医护人员支援湖北武汉抗击
31、疫情 （1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选 1 名，则所选的 2 名医护人员性别相同的概率是 ； （2） 若从支援的 4 名医护人员中随机选 2 名，用列表或画树状图的方法求出这 2 名医护人员来自同一所 医院的概率 【分析】 （1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得 出答案； （2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）根据题意画图如下： 共有 4 种等可能的情况数，其中所选的 2 名医护人员性别相同的有 2 种， 则所选的 2 名医护人员性别相同的概率是； 故答案为：； （2）将甲、乙两
32、所医院的医护人员分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2（注：1 表示男医护人员，2 表示女 医护人员） ，树状图如图所示： 共有 12 种等可能的结果，满足要求的有 4 种 则 P（2 名医生来自同一所医院的概率） 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是 不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 23 （10 分）某校九年级两个班在“慈善一日捐”活动中各捐款 1800 元已知 2 班比 1 班人均捐款多 4 元， 2 班的人数比 1 班的人
33、数少 5 人， 请你根据上述信息提出一个用分式方程解决的问题， 并写出解题过程 【分析】问题：两班各有多少人？ 设 2 班有 x 人，则 1 班有（x+5）人，根据人均捐款金额捐款总额人数，结合 2 班比 1 班人均捐款多 4 元，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【解答】问题：两班各有多少人？ 解：设 2 班有 x 人，则 1 班有（x+5）人， 依题意得：4， 依题意得：x2+5x22500， 解得：x145，x250 经检验，x145，x250 是原方程的解，x145 符合题意，x250 不符合题意，舍去， x+550（人） 答：1 班有 50 人，2 班有 45
34、人 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 24 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 是 CD 中点，连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 E，连接 AC， DE （1）求证：四边形 ACED 为平行四边形 （2）若 AB1，DE，求点 D 到 AC 的距离 【分析】 （1）由 ASA 即可证明ADFECF，得出 ADCE，即可得出结论； （2）作 DGAC 于 G，由矩形的性质得出ADC90，CDAB1，由平行四边形的性质得 ACDE ，由勾股定理求出 AD2，由面积法求出 DG 即可 【解答】 （1）证明：F 是 CD 中点， DFCF
35、， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，即 ADCE ADFECF， 在ADF 和ECF 中， ADFECF（ASA） ， ADCE， 四边形 ACED 为平行四边形 （2）解：作 DGAC 于 G，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， ADC90，CDAB1， 由（1）得：四边形 ACED 为平行四边形， ACDE， 由勾股定理得：AD2， DGAC， ADC 的面积ACDGADCD， DG， 即点 D 到 AC 的距离为 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知 识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 25 （10 分）
36、已知：如图，在ABC 中，ABBC，D 是 AC 中点，BE 平分ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 B、E 两点，交 BD 于点 G，交 AB 于点 F （1）求证：AC 与O 相切； （2）当 BD2，sinC时，求O 的半径 【分析】连接 OE，通过证明 OEBD 证明 OEAC，得出 AC 与O 相切；通过证明CA，解直 角三角形 AOE 求 OE 的长，即半径的长度 【解答】 （1）证明：如图，连接 OE ABBC 且 D 是 BC 中点 BDAC BE 平分ABD ABEDBE OBOE OBEOEB OEBDBE OEBD OEAC AC 与O 相切 （
37、2）解：BD2，sinC，BDAC BC4 AB4 设O 的半径为 r，则 AO4r ABBC CA sinAsinC AC 与O 相切于点 E， OEAC sinA r 【点评】考查了切线的判定、圆的性质以及解直角三角形的简单应用 26 （10 分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相 似（不全等） ，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解： （1） 如图 1， ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上， 若四边形 ABCD 是以 AC 为 “相似对角线” 的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点 D（保留画图痕迹，找出 3 个
38、即可） ； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平分ABC请问 BD 是 四边形 ABCD 的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ，EFHHFG30连接 EG，若EFG 的面积为 6，求 FH 的长 【分析】 （1）先求出 AB，BC，AC，再分情况求出 CD 或 AD，即可画出图形； （2）先判断出A+ADB140ADC，即可得出结论； （3）先判断出FEHFHG，得出 FH2FEFG，再判断出 EQFE，继而求出 FGFE24，即 可得出结论 【解答】解： （1）如图 1 所示
39、AB，BC2，ABC90，AC5， 四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形， 当ACD90时，ACDABC 或ACDCBA， 或， 或， CD2.5 或 CD10， 同理：当CAD90时，AD2.5 或 AD10， 如图中，D1，D2，D3，D4即为所求 （2）如图 2，当 ABBD 时，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ，当 ABBD 时，BD 不是四边形 ABCD 的“相似对角线” ， 理由如下： ABC80，BD 平分ABC， ABDDBC40， A+ADB140， ADC140， BDC+ADB140 ABDC， 当 ABBD 时，ABDDBC， BD 是四边
40、形 ABCD 的“相似对角线” ； 当 ABBD 时，ABDDBC， BD 不是四边形 ABCD 的“相似对角线” ； （3）如图 3， FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ， EFH 与HFG 相似 又EFHHFG， FEHFHG， ， FH2FEFG， 过点 E 作 EQFG 垂足为 Q， 可得， ， ， FGFE24， FH2FGFE24， 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判 断两三角形相似是解本题的关键 27 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（0，4）和 B（2，2）
41、 （1）求 c 的值，并用含 a 的式子表示 b； （2）当2x0 时，若二次函数满足 y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围； （3）直线 AB 上有一点 C（m，5） ，将点 C 向右平移 4 个单位长度，得到点 D，若抛物线与线段 CD 只 有一个公共点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）把点 A（0，4）和 B（2，2）分别代入 yax2+bx+c，即可求解； （2）当 a0 时，依题意抛物线的对称轴需满足2；当 a0 时，依题意抛物线的对称轴需满 足0，即可求解； （3）当 a0 时，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a7）在 D 点的下方， 即可求
42、解；当 a0 时，若抛物线的顶点在线段 CD 上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解 【解答】解： （1）把点 A（0，4）和 B（2，2）分别代入 yax2+bx+c 中，得 c4，4a2b+c2 b2a3； （2）当 a0 时，依题意抛物线的对称轴需满足2， 解得a0 当 a0 时，依题意抛物线的对称轴需满足0， 解得 0a a 的取值范围是a0 或 0a； （3）设直线 AB 的表达式为：ymx+n，则，解得：， 故直线 AB 表达式为 y3x4，把 C（m，5）代入得 m3 C（3，5） ，由平移得 D（1，5） 当 a0 时，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点（如图 1） ，
43、yax2+bx+cax2+（2a3）x4，当 x1 时，y3a7， 则抛物线上的点（1，3a7）在 D 点的下方， a+2a345 解得 a4 0a4； 当 a0 时，若抛物线的顶点在线段 CD 上， 则抛物线与线段只有一个公共点（如图 2） ， 即 解得（舍去）或 综上，a 的取值范围是 0a4 或 a3 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画 图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解 28 （12 分） 如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4， 以 A 为圆心，3 为半径的圆弧交边 AB、AD 于点 E， F， 交对角线 BD
44、 于点 G、H，点 P 为弧上的一个动点，过点 P 作 PMBC 于 M，作 PNCD 于 N设 PMm，PNn （1）如图 2，当点 p 运动至 G 位置时，求 m+n 的值； （2）若四边形 PMCN 的面积为 3.5，求四边形 PMCN 的周长； （3）求四边形 PMCN 面积的最小值，并说明此时点 P 的位置 【分析】 （1）利用正方形的性质可得DBCCDB45，PMBC，则PMB 为等腰直角三角形， BMPMm；利用四边形 PMCN 为矩形，可得 CMPNn，于是 m+nBC4； （2）延长 MP，NP，交正方形的边 AB，AD 于 Q，R，连接 AP，则得 AQ4m，PQ4n利用勾
45、 股定理可得 AQ2+PQ2AP2，则可得到关于 m，n 的关系式，将 mn3.5 代入，利用配方法得到关于 m+n 的式子，四边形 PMCN 的周长可求； （3）利用（2）中的方法，求出四边形 PMCN 面积关于（m+n）的关系式，利用二次函数的性质可得四 边形 PMCN 面积的最小值 【解答】解（1）如图 2， 四边形 ABCD 是正方形， DBCCDB45 PMBC， PMB 为等腰直角三角形 BMPMm PMBC，PNDC，C90， 四边形 PMCN 为矩形 CMPNn CM+BMBC4， m+n4 同理，当点 P 运动至 H 位置时，m+n4 （2）延长 MP，NP，交正方形的边 A
46、B，AD 于 Q，R，连接 AP，如图 1， PMBC，PNCD，四边形 ABCD 为正方形， 四边形 PRAQ 为矩形 AQPR4m，PQ4n AQ2+PQ2AP2， （4m）2+（4n）232 168m+m2+168n+n29 （m+n）22mn8（m+n）+329 四边形 PMCN 的面积为 3.5， mn3.5 （m+n）28（m+n）7+3290 （m+n4）20 m+n4 四边形 PMCN 的周长2（m+n）8 （3）如图 1，由（2）知： （4m）2+（4n）232 即：168m+m2+168n+n29 m2+n28（m+n）+230 m2+2mn+n28（m+n）+232mn 2mn（m+n）28（m+n）+23 S矩形PMCNmn， （ ， 当 m+n4 时，S矩形PMCN有最小值为 由（1）知，当 m+n4 时，点 p 运动至 G、H 位置 此时点 P 的位置在 G 或 H 处 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，与圆有关的计 算，配方法，二次函数的性质在直角三角形中利用勾股定理列出关于 m，n 的关系式和恰当的使用配 方法是解题的关键
