1、2021 年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的每小题只有一个选项是符合题意的 1 （3 分）的相反数是（ ） A B C D 2 （3 分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ） A B C D 3 （3 分）如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 M，N 两点，将一个含有 45角的直角三角尺按如 图所示的方式摆放，若EMB75，则PNM 等于（ ） A15 B25 C30 D45 4 （3
2、分）下列从左到右的变形，错误的是（ ） Am+n（m+n） Bab（a+b） C （mn）3（nm）3 D （yx）2（xy）2 5 （3 分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过 A（a，3） ，B（4，b）两点，则 a，b 一定 满足的关系式为（ ） Aab1 Ba+b7 Cab12 D 6 （3 分）如图，在 55 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上若将OAB 绕 点 O 逆时针旋转 90， 得到OAB， A、 B 的对应点分别为 A、 B， 则 A、 B之间的距离为 （ ） A2 B5 C D 7 （3 分）在平面直角坐标系中，将直线 ykx6
3、沿 x 轴向左平移 3 个单位后恰好经过原点，则 k 的值为 （ ） A2 B2 C3 D3 8 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，过矩形的对称中心 O 的直线 EF，分别与 AD、BC 交 于点 E、F，且 FC2若 H 为 OE 的中点，连接 BH 并延长，与 AD 交于点 G，则 BG 的长为（ ） A8 B C3 D2 9 （3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，BCOA，连接 BO 并延长，交O 于点 D，连接 AC，DC若 A25，则D 的大小为（ ） A25 B30 C40 D50 10 （3 分）已知抛物线 yx2+（m+1）x+m，当 x1 时，y0，且
4、当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减 小，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm3 C1m3 D3m4 二二.填空题（共填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）比较大小： 4 12 （3 分）如图，P 为正五边形 ABCDE 的边 AE 上一点，过点 P 作 PQBC，交 DE 于点 Q，则EPQ 的 度数为 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，边长为 5 的正方形 ABCD 斜靠在 y 轴上，顶点 A（3，0）反比例 函数 y图象经过点 C，将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转一定角度后，得正方形 AB1C1D1，且 B1
5、恰 好落在 x 轴的正半轴上，此时边 B1C1交反比例图象于点 E，则点 E 的纵坐标是 14 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，连接 AC，O 是 AC 的中点，M 是 AD 上一点，且 MD 1，P 是 BC 上一动点，则 PMPO 的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）解不等式组： 16 （5 分）解方程：1 17 （5 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，请利用尺规作图法，在 AB，AC 边上分别求作点 E、点 F，使 四边形 AEDF 是菱形 （保留作图痕迹，不写作法） 1
6、8 （5 分）如图，ACBC，DCEC，ACBC，DCEC，AE 与 BD 交于点 F 求证：AEBD 19 （7 分）某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源”的知识竞赛活动，为了了解全年级 500 名学生此次 参加竞赛的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图 组别 分数（分） 频数 A 60 x70 a B 70 x80 10 C 80 x90 14 D 90 x100 18 （1）求 a 的值； （2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在哪个组别？ （3）估计该校九年级竞赛成绩达到 80 分及以上的学生有多少人？ 20 （7 分）深圳市某学校数学探究小组利用无
7、人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人 机在离地面 30 米的点 D 处，操控者站在点 A 处，无人机测得点 A 的俯角为 30，测得教学楼楼顶点 C 处的俯角为 45，又经过人工测量得到操控者和教学楼 BC 的距离为 57 米，求教学楼 BC 的高度 （ 1.7） 21 （7 分）小蕾家与外婆家相距 270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到 A 服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到 A 服务区，爸爸驾车到 A 服务区接小蕾回家两人 在 A 服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以 60km/h 的速度返回家中返回途中，小蕾 与自己家
8、的距离 y（km）和时间 x（h）之间的关系大致如图所示 （1）求小蕾从外婆家到 A 服务区的过程中，y 与 x 之间的函数关系式； （2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？ 22 （7 分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境为了检查垃圾 分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的 A，B，C， D 四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查 （1）甲组抽到 A 小区的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率 23 （8 分）如图，在ABC 中，C90，点 O 在 AB
9、 上，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 AC、AB 分 别交于点 D、E，且CBDA （1）判断直线 BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 AD：AO10：7，BC2，求 BD 的长 24 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 L 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，C（1，2） （1）求抛物线 L 的表达式； （2）连接 AC、BC以点 D（1，2）为位似中心，画ABC，使它与ABC 位似，且相似比为 2， A、B、C分别是点 A、B、C 的对应点试判定是否存在满足条件的点 A、B在抛物线 L 上？ 若存在，求点 A、B的坐标；若不存在，请说明理由 25 （12 分）
10、问题提出 （1）如图，在ABC 中，ABAC10，BC12，点 O 是ABC 的外接圆的圆心，则 OB 的长为 问题探究 （2）如图，已知矩形 ABCD，AB4，AD6，点 E 为 AD 的中点，以 BC 为直径作半圆 O，点 P 为 半圆 O 上一动点，求 E、P 之间的最大距离； 问题解决 （3）某地有一块如图所示的果园，果园是由四边形 ABCD 和弦 CB 与其所对的劣弧场地组成的，果园 主人现要从入口 D 到上的一点 P 修建一条笔直的小路 DP 已知 ADBC， ADB45， BD120 米，BC160 米，过弦 BC 的中点 E 作 EFBC 交于点 F，又测得 EF40 米修建小
11、路平均每米需 要 40 元（小路宽度不计） ，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多 要花费多少元？ 2021 年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷年陕西省宝鸡市金台区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一个选项是符合题意的每小题只有一个选项是符合题意的 1 （3 分）的相反数是（ ） A B C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：的相反数是： 故选：D 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键 2 （3
12、 分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：该几何体的主视图为： 故选：A 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 3 （3 分）如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 M，N 两点，将一个含有 45角的直角三角尺按如 图所示的方式摆放，若EMB75，则PNM 等于（ ） A15 B25 C30 D45 【分析】根据平行线的性质得到DNMBME75，由等腰直角三角形的性质得到PND45， 即可得到结论 【解答】解：ABCD， DNMBME75，
13、PND45， PNMDNMDNP30， 故选：C 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 4 （3 分）下列从左到右的变形，错误的是（ ） Am+n（m+n） Bab（a+b） C （mn）3（nm）3 D （yx）2（xy）2 【分析】根据添括号法则，幂的乘方的定义，完全平方公式判断即可 【解答】解：A、m+n（mn） ，原变形错误，故本选项符合题意； B、ab（a+b） ，原变形正确，故本选项不符合题意； C、 （mn）3（mn） （nm）2（nm） （nm）2（nm）3，原变形正确，故本选项不符 合题意； D、 （yx）2y22xy+x2（
14、xy）2，原变形正确，故本选项不符合题意 故选：A 【点评】本题主要考查了完全平方公式以及添括号法则，完全平方公式： （ab）2a22ab+b2；括号 前是“+” ，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“” ，添括号后，括号里的各项都改变 符号 5 （3 分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过 A（a，3） ，B（4，b）两点，则 a，b 一定 满足的关系式为（ ） Aab1 Ba+b7 Cab12 D 【分析】设该正比例函数是 ykx（k0） ，将 A、B 两点的坐标分别代入，通过整理求得 a，b 一定满足 的关系式 【解答】解：设该正比例函数是 ykx（k0） ，则
15、联立得到 ab12 故选：C 【点评】考查了待定系数法求正比例函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐 标都满足函数关系式 ykx（k0） 6 （3 分）如图，在 55 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上若将OAB 绕 点 O 逆时针旋转 90， 得到OAB， A、 B 的对应点分别为 A、 B， 则 A、 B之间的距离为 （ ） A2 B5 C D 【分析】由旋转的性质作出AOB，连接 AB，由勾股定理可求解 【解答】解：如图，由旋转的性质作出AOB，连接 AB， 每个小正方形的边长均为 1， AB， 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，勾
16、股定理，确定点 B的位置是本题的关键 7 （3 分）在平面直角坐标系中，将直线 ykx6 沿 x 轴向左平移 3 个单位后恰好经过原点，则 k 的值为 （ ） A2 B2 C3 D3 【分析】根据平移规律得到平移后的直线为 yk（x+3）6，然后把（0，0）代入解得即可 【解答】解：将直线 ykx6 沿 x 轴向左平移 3 个单位后得到 yk（x+3）6， 经过原点， 0k（0+3）6，解得 k2， 故选：B 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键 8 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，过矩形的对称中心 O 的直线 EF，分别与 AD、BC
17、 交 于点 E、F，且 FC2若 H 为 OE 的中点，连接 BH 并延长，与 AD 交于点 G，则 BG 的长为（ ） A8 B C3 D2 【分析】由矩形的中心对称性质可得 AEFC2，OEOF，由矩形的性质可得 ADBC，即 EGBF， 从而可判定EHGFHB，根据相似三角形的性质可得比例式，将相关线段的长代入计算可得 AG 的 长，而 AB6，则可由勾股定理求得 BG 的长 【解答】解：在矩形 ABCD 中，直线 EF 过矩形的对称中心 O， EF 把矩形分割成的两部分图形一样， AEFC2，OEOF， H 为 OE 的中点， HEOH， HF3EH， 四边形 ABCD 为矩形， AD
18、BC，即 EGBF， EHGFHB， ， BFBCFC826， EG2， AG4， AB6， 由勾股定理得：BG2 故选：D 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及 定理是解题的关键 9 （3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，BCOA，连接 BO 并延长，交O 于点 D，连接 AC，DC若 A25，则D 的大小为（ ） A25 B30 C40 D50 【分析】由平行线的性质得ACBA25，由平行线的性质和圆周角定理得BAOB2ACB 50，由圆周角定理得BCD90，再由直角三角形的性质即可得出答案 【解答】解：BCOA， ACBA25，B
19、AOB2ACB50， BD 是O 的直径， BCD90， D90B905040， 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和平行线 的性质是解题的关键 10 （3 分）已知抛物线 yx2+（m+1）x+m，当 x1 时，y0，且当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减 小，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm3 C1m3 D3m4 【分析】根据“当 x1 时，y0，且当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减小”列出不等式组并解答 【解答】解：依题意得： 解得1m3 故选：C 【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象与系数的关
20、系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性 和增减性 二二.填空题（共填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）比较大小： 4 【分析】根据底数越大幂越大，可得答案； 【解答】解：因为4，所以4 故答案为： 【点评】本题考查了实数大小比较，利用底数越大幂越大是解题关键 12 （3 分）如图，P 为正五边形 ABCDE 的边 AE 上一点，过点 P 作 PQBC，交 DE 于点 Q，则EPQ 的 度数为 36 【分析】连接 AD，由正五边形的性质可得BBAEEEDCC108，AEDE，由等腰 三角形的性质可求EADEDA36，可证 ADPQ，由平行线的性
21、质可求解 【解答】解：连接 AD， 五边形 ABCDE 是正五边形， BBAEEEDCC108，AEDE， EADEDA36， BAD72， BAD+ABC180， BCAD， PQBC， ADPQ， EPQEAD36， 故答案为：36 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决 问题是本题的关键 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，边长为 5 的正方形 ABCD 斜靠在 y 轴上，顶点 A（3，0）反比例 函数 y图象经过点 C，将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转一定角度后，得正方形 AB1C1D1，且 B1恰 好落在 x 轴的正半
22、轴上，此时边 B1C1交反比例图象于点 E，则点 E 的纵坐标是 （8，） 【分析】过点 C 作 y 轴垂线交于点 F，通过求证CFDDOA 求出点 C 的坐标进而求出反比例函数解 析式，再通过旋转找到 OB1的值即 E 点的横坐标，代入解析式中即可求出 E 点坐标 【解答】解：过点 C 作 y 轴垂线交于点 F，如图所示： 在 RtDOA 中，DO， DCF+CDF90，ADO+CDF90， DCFADO， 又CFDDOA90， CFDDOA， 又1， CFDDOA， CFDO4，FDOA3， OF7， C 的坐标为（4，7） ， k4728， 反比例函数解析式为：y， 又正方形 ABCD
23、绕点 A 顺时针旋转一定角度后，得正方形 AB1C1D1， OB15+38， 当 x8 时，y， 故点 E 坐标为（8，） ， 故答案为（8，） 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，结合已知条件利用待定系数法求出反比例函数解析 式是解题关键 14 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，连接 AC，O 是 AC 的中点，M 是 AD 上一点，且 MD 1，P 是 BC 上一动点，则 PMPO 的最大值为 【分析】连接 MO 并延长交 BC 于 P，则此时，PMPO 的值最大，且 PMPO 的最大值OM，根据全 等三角形的性质得到 AMCP3，OMOP，求得 PB1，过
24、M 作 MNBC 于 N，得到四边形 MNCD 是矩形，得到 MNCD，CNDM，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：在矩形 ABCD 中，AD4，MD1， AM3， 连接 MO 并延长交 BC 于 P， 则此时，PMPO 的值最大，且 PMPO 的最大值OM， AMCP， MAOPCO， AOMCOP，AOCO， AOMCOP（ASA） ， AMCP3，OMOP， PB1， 过 M 作 MNBC 于 N， 四边形 MNCD 是矩形， MNCD，CNDM， PN4112， MP， OM， 故答案为： 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确 的
25、作出辅助线是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）解不等式组： 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集中的公共部分确定出不等式组的解集 【解答】解：， 由得：x5， 由得：x4， 不等式组的解集为4x5 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键 16 （5 分）解方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：5x8（x29）（3x） （x3） ， 去括号得：5x8x2+9x
26、2+6x9， 移项合并得：x10， 解得：x10， 经检验，x10 是原方程的根 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 17 （5 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，请利用尺规作图法，在 AB，AC 边上分别求作点 E、点 F，使 四边形 AEDF 是菱形 （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作 AD 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 F，则可证明 AD 和 EF 互相垂直平方，于是可判断四 边形 AEDF 是菱形 【解答】解：如图，四边形 AEDF 为所作 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几
27、何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了菱形的判定 18 （5 分）如图，ACBC，DCEC，ACBC，DCEC，AE 与 BD 交于点 F 求证：AEBD 【分析】先证明ACEBCD，由 SAS 证明DCBECA，由全等三角形的性质可得出 AEBD 【解答】证明：ACBC，DCEC， ACBDCE90， ACEBCD， 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD（SAS） ， AEBD 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全 等的条件，灵活运用所
28、学知识解决问题 19 （7 分）某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源”的知识竞赛活动，为了了解全年级 500 名学生此次 参加竞赛的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图 组别 分数（分） 频数 A 60 x70 a B 70 x80 10 C 80 x90 14 D 90 x100 18 （1）求 a 的值； （2）所抽取的参赛学生成绩的中位数落在哪个组别？ （3）估计该校九年级竞赛成绩达到 80 分及以上的学生有多少人？ 【分析】（1） 由 D 组人数及其所占百分比可得总人数， 再用总人数乘以 A 所占的百分比即可求出 a 的值； （2）根据中位数的定义
29、直接求解即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得 【解答】解： （1）本次调查一共随机抽取的学生有 1836%50（人） ， 则 a5016%8； （2）所抽取的学生成绩按从小到大的顺序排列，第 25、26 个数据都在 C 组， 则中位数落在 C 组； （3）500320（人） ， 所以该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上（含 80 分）的学生约有 320 人 【点评】本题考查的是频数（率）分布表和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得 到必要的信息是解决问题的关键频数（率）分布表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接 反映部分占总体的百分比大小 20 （7 分）深圳市某学
30、校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人 机在离地面 30 米的点 D 处，操控者站在点 A 处，无人机测得点 A 的俯角为 30，测得教学楼楼顶点 C 处的俯角为 45，又经过人工测量得到操控者和教学楼 BC 的距离为 57 米，求教学楼 BC 的高度 （ 1.7） 【分析】 过点 D 作 DEAB 于 E， 过点 C 作 CFDE 于 F， 根据正切的定义求出 AE， 根据题意求出 BE， 根据等腰直角三角形的性质求出 DF，结合图形计算，得到答案 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于 E，过点 C 作 CFDE 于 F， 由题意得 AB57 米，DE30
31、 米，DAB30，DCF45， 在 RtADE 中，tanDAE， AE51（米） ， AB57 米， BEABAE6（米） ， CBBE，FEBE，CFEF， 四边形 BCFE 为矩形， CFBE6（米） ， 在 RtDFC 中，CDF45， DFCF6（米） ， BCEFDEDF24（米） 答：教学楼 BC 的高度约为 24 米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键 21 （7 分）小蕾家与外婆家相距 270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到 A 服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到
32、 A 服务区，爸爸驾车到 A 服务区接小蕾回家两人 在 A 服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以 60km/h 的速度返回家中返回途中，小蕾 与自己家的距离 y（km）和时间 x（h）之间的关系大致如图所示 （1）求小蕾从外婆家到 A 服务区的过程中，y 与 x 之间的函数关系式； （2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？ 【分析】 （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，利用待定系数法解答即可； （2）根据“时间路程速度” ，求出从 A 服务区到家的时间即可解答 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，根据题意得： ， 解得， y
33、与 x 之间的函数关系式为 y90 x+270（0 x2） ； （2）把 x2 代入 y90 x+270，得 y180+27090， 从 A 服务区到家的时间为：90601.5（小时） ， 2.5+1.54（小时） ， 答：小蕾从外婆家回到自己家共用了 4 小时 【点评】本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法 求出函数关系式 22 （7 分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境为了检查垃圾 分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的 A，B，C， D 四个小区进行检查，并且每个小区
34、不重复检查 （1）甲组抽到 A 小区的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2） 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到 A 小区， 同时乙组抽到 C 小区的情况数， 然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）共有 A，B，C，D，4 个小区， 甲组抽到 A 小区的概率是， 故答案为： （2）根据题意画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的结果数为 1， 甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率为 【点评】此题考
35、查的是树状图法求概率树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比 23 （8 分）如图，在ABC 中，C90，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 AC、AB 分 别交于点 D、E，且CBDA （1）判断直线 BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 AD：AO10：7，BC2，求 BD 的长 【分析】 （1）连接 OD，求出ADO+CDB90，求出ODB90，根据切线的判定得出即可； （2）连接 DE，求出ADEBCD，得出比例式，代入求出即可 【解答】 （1）直线 BD 与O 的位置关系是相切， 证明：连接 OD， C9
36、0， CBD+CDB90， ODOA， AADO， ACBD， ADO+CDB90， ODB1809090， 即 ODBD， 直线 BD 与O 的位置关系是相切； （2）解：连接 DE， AE 为直径， ADE90， C90， ADEC， ACBD， ADEBCD， ， AD：AO10：7，BC2， ， 解得：BD2.8 【点评】本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，能综合运用 定理进行推理是解此题的关键 24 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 L 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，C（1，2） （1）求抛物线 L 的表达式； （2）连接 AC、B
37、C以点 D（1，2）为位似中心，画ABC，使它与ABC 位似，且相似比为 2， A、B、C分别是点 A、B、C 的对应点试判定是否存在满足条件的点 A、B在抛物线 L 上？ 若存在，求点 A、B的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）抛物线 L 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，则设 L：ya（x+1） （x3） ，将点 C 的坐标代 入上式即可求解； （2）分ABC在ABC 下方、ABC在ABC 上方两种情况，通过画图即可求解 【解答】解： （1）抛物线 L 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ， 设 L：ya（x+1） （x3） （a0） 又C（1，2）在 L 上， a yx
38、2x （2）如图，L：yx2x， D（1，2）在 L 的对称轴 x1 上 ABC与ABC 位似，位似中心为 D（1，2） ，且相似比为 2 当ABC在ABC 下方时， 显然，点 A、B不会在抛物线 L 上； 当ABC在ABC 上方时， 如上图，AB2AB8 点 A、B的横坐标分别为 5，3 设对称轴 x1 分别与 AB、AB的交点为 E、E 由题意，可知 DE2 点 E 的对应点 E（1，6） 点 A、B的纵坐标均为 6 A（5，6） ，B（3，6） 当 x5 时，y5256 点 B（3，6）在抛物线 L 上同理，可得 A（5，6）也在抛物线 L 上 存在点 A（5，6） ，B（3，6）在抛物
39、线 L 上 【点评】 本题考查的是二次函数综合运用， 涉及到三角形相似等， 解题的关键是正确画图， 确定AB C的位置 25 （12 分）问题提出 （1）如图，在ABC 中，ABAC10，BC12，点 O 是ABC 的外接圆的圆心，则 OB 的长为 问题探究 （2）如图，已知矩形 ABCD，AB4，AD6，点 E 为 AD 的中点，以 BC 为直径作半圆 O，点 P 为 半圆 O 上一动点，求 E、P 之间的最大距离； 问题解决 （3）某地有一块如图所示的果园，果园是由四边形 ABCD 和弦 CB 与其所对的劣弧场地组成的，果园 主人现要从入口 D 到上的一点 P 修建一条笔直的小路 DP 已
40、知 ADBC， ADB45， BD120 米，BC160 米，过弦 BC 的中点 E 作 EFBC 交于点 F，又测得 EF40 米修建小路平均每米需 要 40 元（小路宽度不计） ，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多 要花费多少元？ 【分析】 （1）若 AO 交 BC 于 K，则 AK8，在 RtBOK 中，设 OBx，可得 x262+（8x）2，解方 程可得 OB 的长； （2）延长 EO 交半圆于点 P，可求出此时 E、P 之间的最大距离为 OE+OP 的长即可； （3）先求出所在圆的半径，过点 D 作 DGBC，垂足为 G，连接 DO 并延长交于点 P，
41、则 DP 为 入口 D 到上一点 P 的最大距离，求出 DP 长即可求出修建这条小路花费的最多费用 【解答】解： （1）如图，若 AO 交 BC 于 K， 点 O 是ABC 的外接圆的圆心，ABAC， AKBC，BK， AK， 在 RtBOK 中，OB2BK2+OK2，设 OBx， x262+（8x）2， 解得 x， OB； 故答案为： （2）如图，连接 EO，延长 EO 交半圆于点 P，可求出此时 E、P 之间的距离最大， 在是任意取一点异于点 P 的 P，连接 OP，PE， EPEO+OPEO+OPEP，即 EPEP， AB4，AD6， EO4，OPOC， EPOE+OP7， E、P 之间
42、的最大距离为 7 （3）作射线 FE 交 BD 于点 M， BECE，EFBC，是劣弧， 所在圆的圆心在射线 FE 上， 假设圆心为 O，半径为 r，连接 OC，则 OCr，OEr40，BECE， 在 RtOEC 中，r2802+（r40）2， 解得：r100， OEOFEF60， 过点 D 作 DGBC，垂足为 G， ADBC，ADB45， DBC45， 在 RtBDG 中，DGBG， 在 RtBEM 中，MEBE80， MEOE， 点 O 在BDC 内部， 连接 DO 并延长交于点 P，则 DP 为入口 D 到上一点 P 的最大距离， 在上任取一点异于点 P 的点 P，连接 OP，PD， DPOD+OPOD+OPDP，即 DPDP， 过点 O 作 OHDG，垂足为 H，则 OHEG40，DHDGHGDGOE60， 20， DPOD+r20+100， 修建这条小路最多要花费 40元 【点评】本题是圆的综合题，考查了外心的定义、垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识， 解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题
