1、2021 年江苏省南通市中考数学一模试卷年江苏省南通市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）4 的相反数是（ ） A B C4 D4 2 （3 分）下列计算，正确的是（ ） Aa3+2a3a4 Ba4aa3 Ca2a3a6 D （a2）3a6 3 （3 分）2017 年南通地区生产总值约为 7700
2、 亿元，将 7700 亿用科学记数法表示为（ ） A7.7108 B7.7109 C7.71010 D7.71011 4 （3 分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，BCDE，若A35，E60，则C 等于（ ） A60 B35 C25 D20 6 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，则 tanABO 的 值为（ ） A B C D2 7（3 分） 用一个圆心角为 120， 半径为 6 的扇形做成一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面圆的半径为 （ ） A2 B6 C2 D3 8 （3 分）若关于 x
3、 的不等式组的解集为 x3，则 k 的取值范围为（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 9 （3 分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在 500 米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路 程 y（单位：米）与时间 t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息， 有下列说法： 甲队比乙队提前 0.5 分到达终点 当划行 1 分钟时，甲队比乙队落后 50 米 当划行分钟时，甲队追上乙队 当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是 300 米 其中错误的是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，点 D 为半圆 AB 的中点，CD 交 AB 于
4、点 E，若 AC 8，BC6，则 BE 的长为（ ） A4.25 B C3 D4.8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 24 分。不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题分。不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题 卡相应卡相应的位置上）的位置上） 11 （3 分）若35，则 的补角为 度 12 （3 分）因式分解 2a3b8ab3 13 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 14 （3 分）已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OAB 是等边三角形，若 AB3，则平 行四边形 ABCD 的面积
5、为 15 （3 分）已知一组数据 3，4，6，x，9 的平均数是 6，那么这组数据的方差等于 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 是线段 AB 的中点，点 E 是线段 BC 上的一个动点， 若 AC6，BC8，则 DE 长度的取值范围是 17 （3 分）如图，点 A（1，n）和点 B 都在反比例函数 y （x0）的图象上，若OAB90， 则 k 的值是 18 （3 分）若 xm 和 xm4 时，多项式 ax2+bx+4a+1 的值相等，且 m2当1x2 时，存在 x 的值，使多项式 ax2+bx+4a+1 的值为 3，则 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（
6、本大题共 10 小题，共计小题，共计 96 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、 证明过程或文字说明）证明过程或文字说明） 19 （10 分） （1）计算：+2sin60； （2）先化简，再求值：，其中 x1 20 （8 分）如图，一枚运载火箭从地面 A 处发射当火箭到达 B 点时，从位于地面 D 处的雷达站测得 BD 的距离是 4km，仰角为 30；当火箭到达 C 点时，测得仰角为 45，这时，C 点距离雷达站 D 有多远 （结果保留根号）？ 21 （9 分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，
7、学生会随机调查了部分学生在这 次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成 5 组，A：0.5x1，B：1x1.5，C： 1.5x2，D：2x2.5，E：2.5x3，制作成两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）学生会随机调查了 名学生； （2）补全频数分布直方图； （3）若全校有 900 名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于 2.5 小时的学生有多少人？ 22 （8 分）在不透明的袋子中有四张标着数字 1，2，3，4 的卡片随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽 出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率 23 （8 分）打折前，买 20 件
8、 A 商品和 30 件 B 商品要用 2200 元，买 50 件 A 商品和 10 件 B 商品要用 2900 元若打折后，买 40 件 A 商品和 40 件 B 商品用了 3240 元，比不打折少花多少钱？ 24 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，AB，DC 的延长线交于点 E （1）求证：AC 平分DAB； （2）若 BE3，CE3，求图中阴影部分的面积 25 （8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是平面内异于点 A 的任意一点，以线段 AE 为边作正方形 AEFG，连接 EB， GD （1）如图 1，求证 E
9、BGD； （2）如图 2，若点 E 在线段 DG 上，AB5，AG3，求 BE 的长 26 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m20 （1）求证：无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设 x2+mx+m20 的两个实数根为 x1，x2，若 yx12+x22+4x1x2，求出 y 与 m 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若1m2 时，求 y 的取值范围 27 （13 分）如图 1，ABC 中，ACB90，AC4cm，BC6cm，D 是 BC 的中点点 E 从 A 出发， 以 acm/s（a0）的速度沿 AC 匀速向点 C 运动，点 F 同时以 1
10、cm/s 的速度从 C 出发，沿 CB 匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点 E 作 AC 的垂线，交 AD 于点 G， 连接 EF，FG设它们运动的时间为 t 秒（t0） （1）当 t2 时，ECFBCA，求 a 的值； （2）当 a时，以点 E、F、D、G 为顶点的四边形是平行四边形，求 t 的值； （3）当 a2 时，是否存在某个时间 t，使DFG 是直角三角形？若存在，请求出 t 的值；若不存在， 请说明理由 28 （14 分）定义：形如 y|G|（G 为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数 例如，函数 y|x1|，y，y|x2+2x+3|都
11、是绝对值函数 绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将 y|x|写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： （1）将函数 y|x1|写成分段函数的形式； （2）如图 1，函数 y|x1|的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与函数的图象交于 B，C 两点，过 点 B 作 x 轴的平行线分别交函数，y|x1|的图象于 D，E 两点求证ABECDE； （3）已知函数 y|x2+2x+3|的图象与 y 轴交于 F 点，与 x 轴交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左边） ， 点 P 在函数 y|x2+2x+3|的图象上（点 P 与点 F 不重合） ，PHx 轴，垂足为 H若PMH 与MOF 相似
12、，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 2021 年江苏省南通市中考数学一模试卷年江苏省南通市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）4 的相反数是（ ） A B C4 D4 【解答】解：4 的相反数是 4 故选：C 2 （3 分）下列计算，正确的是（ ） Aa
13、3+2a3a4 Ba4aa3 Ca2a3a6 D （a2）3a6 【解答】解：A、a3+2a，无法计算，故此选项错误； B、a4aa3，正确； C、a2a3a5，故此选项错误； D、 （a2）3a6，故此选项错误； 故选：B 3 （3 分）2017 年南通地区生产总值约为 7700 亿元，将 7700 亿用科学记数法表示为（ ） A7.7108 B7.7109 C7.71010 D7.71011 【解答】解：7700 亿用科学记数法表示为 7.71011， 故选：D 4 （3 分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（ ） A B C D 【解答】解：A、圆柱体的左视图是矩形，不符合题意；
14、B、球的左视图是圆，符合题意； C、直三棱柱的左视图是矩形且中间有一条纵向的实线，不符合题意； D、圆锥的左视图是三角形，不符合题意； 故选：B 5 （3 分）如图，BCDE，若A35，E60，则C 等于（ ） A60 B35 C25 D20 【解答】解：BCDE， ECBE60； A35， CCBEC603525， 故选：C 6 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，则 tanABO 的 值为（ ） A B C D2 【解答】解：当 x0 时，yx+11， 点 A 的坐标为（0，1） ， OA1 当 y0 时，有x+10， 解得：x2， 点
15、B 的坐标为（2，0） ， OB2 tanABO 故选：A 7（3 分） 用一个圆心角为 120， 半径为 6 的扇形做成一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面圆的半径为 （ ） A2 B6 C2 D3 【解答】解：扇形的弧长4， 圆锥的底面半径为 422 故选：A 8 （3 分）若关于 x 的不等式组的解集为 x3，则 k 的取值范围为（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 【解答】解：不等式整理得：， 由不等式组的解集为 x3， 得到 k 的范围是 k1， 故选：C 9 （3 分）端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在 500 米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路 程 y（单位：米）与时
16、间 t（单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息， 有下列说法： 甲队比乙队提前 0.5 分到达终点 当划行 1 分钟时，甲队比乙队落后 50 米 当划行分钟时，甲队追上乙队 当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是 300 米 其中错误的是（ ） A B C D 【解答】解：观察图象可知：甲队比乙队提前 0.5 分到达终点，故正确； 由题意 y甲200 x，y乙， 当 x1 时，y甲200，25020050， 当划行 1 分钟时，甲队比乙队落后 50 米，故正确， 由，解得， 当划行分钟时，甲队追上乙队，两队划行的路程都是米，故正确，错误， 故选：D 10 （3 分）如图，AB 为
17、O 的直径，C 为O 上一点，点 D 为半圆 AB 的中点，CD 交 AB 于点 E，若 AC 8，BC6，则 BE 的长为（ ） A4.25 B C3 D4.8 【解答】解：连接 OD，作 CHAB 于 H，如图， AB 为O 的直径， ACB90， AB10， CHABACBC， CH， 在 RtBCH 中，BH， 点 D 为半圆 AB 的中点， ODAB， ODCH， CHEDOE， EH：OECH：OD：524：25， OEEH， EH+EH+5， EH， BEEH+BH+ 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 24 分
18、。不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题分。不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题 卡相应的位置上）卡相应的位置上） 11 （3 分）若35，则 的补角为 145 度 【解答】解：18035145， 则 的补角为 145， 故答案为：145 12 （3 分）因式分解 2a3b8ab3 2ab（a+2b） （a2b） 【解答】解：原式2ab（a24b2）2ab（a+2b） （a2b） ， 故答案为：2ab（a+2b） （a2b） 13 （3 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x0 且 x1 【解答】解：根据题意得：x0 且 x10， 解得：x0 且 x1 故答案为：x0 且 x
19、1 14 （3 分）已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OAB 是等边三角形，若 AB3，则平 行四边形 ABCD 的面积为 9 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AOB 是等边三角形， OAOBOCOD， ACBD， 平行四边形 ABCD 是矩形 在 RtABC 中，由题意可知，AC6，AB3 则 BC3， 平行四边形 ABCD 的面积 S339 故答案为 9 15 （3 分）已知一组数据 3，4，6，x，9 的平均数是 6，那么这组数据的方差等于 5.2 【解答】解：数据 3，4，6，x，9 的平均数是 6， （3+4+6+x+9）6， 解得：x8， s
20、2（36）2+（46）2+（66）2+（86）2+（96）25.2， 故答案为：5.2 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 是线段 AB 的中点，点 E 是线段 BC 上的一个动点， 若 AC6，BC8，则 DE 长度的取值范围是 3DE5 【解答】解：当 E 与 C 或重合时，DE 最长， 在 RtABC 中，AB， 点 D 是线段 AB 的中点， CD5， 当 DEBC 时，DE 最短，DE， 所以 DE 长度的取值范围是 3DE5， 故答案为：3DE5 17 （3 分）如图，点 A（1，n）和点 B 都在反比例函数 y （x0）的图象上，若OAB90， 则 k 的值
21、是 2 【解答】解：如图，过 A 作 ACx 轴，过 B 作 BDAC 于 D，则ACOBDA90，OC1，AC n， BAO90， CAO+BACABD+BAC90， CAODBA， AOCBAD， ，即， AD，BD， B（1+，n） ， k1n（1+） （n） ， 解得 n2 或 n0.5（舍去） ， k122， 故答案为：2 18 （3 分）若 xm 和 xm4 时，多项式 ax2+bx+4a+1 的值相等，且 m2当1x2 时，存在 x 的值，使多项式 ax2+bx+4a+1 的值为 3，则 a 的取值范围是 【解答】解：xm 和 xm4 时，多项式 ax2+bx+4a+1 的值相等
22、，且 m2， 令 yax2+bx+4a+1 时的对称轴是直线 x2， a0 时，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， a0 时，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小， 当1x2 时，存在 x 的值，使多项式 ax2+bx+4a+1 的值为 3， 当 a0 时，ab+4a+134a+2b+4a+1，由2，解得，； 当 a0 时，ab+4a+134a+2b+4a+1，由2，此时无解， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共计小题，共计 96 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、 证明
23、过程或文字说明）证明过程或文字说明） 19 （10 分） （1）计算：+2sin60； （2）先化简，再求值：，其中 x1 【解答】解： （1）原式41+2+2 5+ 5； （2）原式 （x1） （） （x1） （x1） （x1） ， 当 x1 时， 原式2 20 （8 分）如图，一枚运载火箭从地面 A 处发射当火箭到达 B 点时，从位于地面 D 处的雷达站测得 BD 的距离是 4km，仰角为 30；当火箭到达 C 点时，测得仰角为 45，这时，C 点距离雷达站 D 有多远 （结果保留根号）？ 【解答】解：在 RtABD 中，cosBDA， AD4（km） ； 在 RtACD 中，cosCDA
24、， CD（km） C 点距离雷达站 D 是km 21 （9 分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这 次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成 5 组，A：0.5x1，B：1x1.5，C： 1.5x2，D：2x2.5，E：2.5x3，制作成两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）学生会随机调查了 50 名学生； （2）补全频数分布直方图； （3）若全校有 900 名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于 2.5 小时的学生有多少人？ 【解答】解： （1）学生会调查的学生人数为 1020%50（人）
25、 ， 故答案为：50； （2）1.5x2 的人数为 5040%20 人， 1x1.5 的人数为 50（3+20+10+4）13 人， 补全图形如下： （3）90072（人） ， 答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于 2.5 小时的学生有 72 人 22 （8 分）在不透明的袋子中有四张标着数字 1，2，3，4 的卡片随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽 出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中两次抽到的数字之和为奇数有 8 种， 所以两次抽到的数字之和为奇数的概率为 23 （8 分）打折前，买 20 件 A 商品和
26、 30 件 B 商品要用 2200 元，买 50 件 A 商品和 10 件 B 商品要用 2900 元若打折后，买 40 件 A 商品和 40 件 B 商品用了 3240 元，比不打折少花多少钱？ 【解答】解：设 A 商品打折前的单价为 x 元/件，B 商品打折前的单价为 y 元/件， 根据题意得：， 解得：， 40 x+40y3240360 答：打折后，买 40 件 A 商品和 40 件 B 商品用了 3240 元，比不打折少花 360 元 24 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，AB，DC 的延长线交于点 E （1）求证：A
27、C 平分DAB； （2）若 BE3，CE3，求图中阴影部分的面积 【解答】解： （1）连接 OC，如图， CD 与O 相切于点 C， COCD， ADCD， ADCO， DACACO， OAOC， ACOCAO， DACCAO， 即 AC 平分DAB； （2）设O 半径为 r， 在 RtOEC 中，OE2+EC2OC2， r2+27（r+3）2，解得 r3， OC3，OE6， cosCOE， COE60， S阴影SCOES扇形COB33 25 （8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是平面内异于点 A 的任意一点，以线段 AE 为边作正方形 AEFG，连接 EB， GD （1）如图
28、 1，求证 EBGD； （2）如图 2，若点 E 在线段 DG 上，AB5，AG3，求 BE 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形， ABAD，AGAE，BADGAE90， BAEDAG， 在AGD 和AEB 中， ， AGDAEB（SAS） ， EBGD； （2）解：作 AHDG 于 H， 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形， ADAB5，AEAG3 由勾股定理得：EG6， AHGHEG3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， DH4， BEDGDH+GH3+47 26 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m20
29、（1）求证：无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设 x2+mx+m20 的两个实数根为 x1，x2，若 yx12+x22+4x1x2，求出 y 与 m 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若1m2 时，求 y 的取值范围 【解答】 （1）证明：m24（m2）（m2）2+40， 无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （2）解：设 x2+mx+m20 的两个实数根为 x1、x2， x1+x2m，x1x2m2， yx12+x22+4x1x2（x1+x2）2+2x1x2（m）2+2（m2）m2+2m4 （3）解：ym2+2m4（m+1）25， 顶点（1，5）
30、又1m2，当 x1 时，y最小值5； 当 x2 时，y最大值4 5y4 27 （13 分）如图 1，ABC 中，ACB90，AC4cm，BC6cm，D 是 BC 的中点点 E 从 A 出发， 以 acm/s（a0）的速度沿 AC 匀速向点 C 运动，点 F 同时以 1cm/s 的速度从 C 出发，沿 CB 匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点 E 作 AC 的垂线，交 AD 于点 G， 连接 EF，FG设它们运动的时间为 t 秒（t0） （1）当 t2 时，ECFBCA，求 a 的值； （2）当 a时，以点 E、F、D、G 为顶点的四边形是平行四边形，求
31、t 的值； （3）当 a2 时，是否存在某个时间 t，使DFG 是直角三角形？若存在，请求出 t 的值；若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）t2， CF2 厘米，AE2a 厘米， EC（42a ） 厘米， ECFBCA （2 分） （4 分） （2）由题意，AE厘米，CD3 厘米，CFt 厘米 EGCD， AEGACD ， EG （5 分） 以点 E、F、D、G 为顶点的四边形是平行四边形， EGDF 当 0t3 时， （7 分） 当 3t6 时， 综上，或（9 分） （3）点 D 是 BC 中点， CDBC3， 在 RtACD 中，根据勾股定理得，AD5， 由题意，AE2t 厘米，C
32、Ft 厘米， 由（2）知，AEGACD， ， AG厘米，EG，DF3t 厘米，DG5（厘米） 若GFD90，则 EGCF，t t0， （舍去） （11 分） 若FGD90，则ACDFGD ， t （13 分） 综上：t，DFG 是直角三角形 28 （14 分）定义：形如 y|G|（G 为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数 例如，函数 y|x1|，y，y|x2+2x+3|都是绝对值函数 绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将 y|x|写成分段函数的形式： 探索并解决下列问题： （1）将函数 y|x1|写成分段函数的形式； （2）如图 1，函数 y|x1|的图象与 x 轴交于点 A（1，0
33、） ，与函数的图象交于 B，C 两点，过 点 B 作 x 轴的平行线分别交函数，y|x1|的图象于 D，E 两点求证ABECDE； （3）已知函数 y|x2+2x+3|的图象与 y 轴交于 F 点，与 x 轴交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左边） ， 点 P 在函数 y|x2+2x+3|的图象上（点 P 与点 F 不重合） ，PHx 轴，垂足为 H若PMH 与MOF 相似，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 【解答】解： （1）； （2）函数 y|x1|与函数的图象交于 B，C，过点 B 作 x 轴的平行线分别交函数，y |x1|的图象于 D，E 两点 根据条件得各点坐标为：B（3
34、，2） ，C（2，3） ，E（1，2） ，D（3，2） BE3（1）4，DE1（3）2，AE，CE， 在AEB 和CED 中，AEBCED， PMBPNA （3）P 的坐标为（6，21） ， （，） ， （，） 当 x0 时，y|x2+2x+3|3，F（0，3） 当 y0 时，|x2+2x+3|0，x11，x23，M（1，0） ，N（3，0） 由题意得 y|x2+2x+3|， 设 P 的横坐标为 x， 当 x1 时，由题意得 P（x，x22x3） ， 若PMHFMO， 解得 x11（舍去） ，x20（舍去） 若PMHMFO， 解得 当1x3 时，由题意得 P（x，x2+2x+3） ， 若PMHMFO， 解得 P 的坐标为（，） 若PMHMFO， 解得 x11（舍去） ，x20（舍去） 当 x3 时，由题意 P（x，x22x3） ， 若PMHFMO， 解得 x11（舍去） ，x26 P 的坐标为（6，21） 若PMHMF， 解得 P 的坐标为（，） 综上：P 的坐标为（6，21） ， （，） ， （，）
