1、2021 年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二）年江西省初中名校中考数学阶段性测评试卷（二） 一选择题（满分 18 分，每小题 3 分） 1 下列方程是一元二次方程的是（ ） A2x3y+1 B3x+yz Cx25x1 Dx2+20 【考点】一元二次方程的定义 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】C 【分析】一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0 【解答】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意； B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；
2、故选：C 2 下列说法错误的是（ ） A随机事件发生的概率大于或等于 0，小于或等于 1 B可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 C必然事件发生的概率为 1 D一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数 【考点】算术平均数；中位数；概率的意义；利用频率估计概率 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念 【答案】A 【分析】根据概率的意义及中位数的定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、随机事件发生的概率大于 0，小于 1，故原命题错误，符合题意； B、可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，说法正确，不符合题意
3、； C、必然事件发生的概率为 1，正确，不符合题意； D、一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数，正确，不符合题意， 故选：A 3 关于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点（6，2） D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 【考点】反比例函数的性质 【专题】函数思想；反比例函数及其应用；推理能力 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对 C 进行判断；根据反比例函数的性质对 A、B、D 进行 判断 【解答】解：反比例函数 y，k120， A、函数图象分别位于第二、四象限
4、，故本选项说法正确； B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确； C、函数图象经过点（6，2） ，故本选项说法不正确； D、当 k0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，故本选项说法 正确； 故选：C 4 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流 I（A）与电阻 R（）之间的函数关系如图所示，如 果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 9A，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内 AR4 BR4 CR9 DR9 【考点】反比例函数的应用 【专题】反比例函数及其应用；应用意识 【答案】A 【分析】根据函数的图象即可得到结论 【解答】解：由
5、物理知识可知：I， 由图象可知点（9，4）在反比例函数的图象上， 当 I9 时，由 R4， 故选：A 5 如图，ABC 中，CDAB 于 D，下列条件中： 1A，B+290，BAC：ABC：ACB3：4：5，ACBDAD CD，1+2A+B 一定能确定ABC 为直角三角形的条件的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力 【答案】C 【分析】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各选项一一分析可得出答案 【解答】解：A+290，1A， 1+290， 即ABC 为直角三角形，故符合题意； CD
6、2ADDB， ， ADCCDB90， ACDCBD， 1A， A+290， 1+290， 即ACB90，故符合题意； B+290，B+190， 12， 即无法得到两角和为 90，故不符合题意； A：B：C3：4：5，A+B+C180（三角形的内角和是 180） ， A45，B60，C75， ABC 不是直角三角形；故不符合题意； 由三角形的相似无法推出 ACBDADCD 成立，所以ABC 不是直角三角形，故不符合题意 1+2A+B，1+2+A+B180， 1+290， ACB90， ABC 是直角三角形；故符合题意 故一定能确定ABC 为直角三角形的条件有 故选：C 6 如图，抛物线 yax2
7、+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，对称轴为直线 x1结合图象分析下列结论： abc0； 4a+2b+c0； 一元二次方程 ax2+bx+c0 的两根分别为 x13，x21； 2a+c0其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【考点】根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关 系，逐项判断即可 【解答】解：抛物线开口向下，因此 a0，对称轴为 x10，因此 a、b 异号，所以 b0，抛物线与 y 轴交点在正半
8、轴，因此 c0，所以 abc0，故不正确； 当 x2 时，y4a+2b+c0，故正确； 抛物线与 x 轴交点（3，0） ，对称轴为 x1因此另一个交点坐标为（1，0） ，即方程 ax2+bx+c0 的 两根为 x13，x21，故正确； 抛物线与 x 轴交点（1，0） ，所以 ab+c0，又 x1，有 2a+b0，所以 3a+c0，而 a0， 因此 2a+c0，故不正确； 故选：B 二填空题（满分 18 分，每小题 3 分） 7 若2，且 b+d+f4，则 a+c+e 【考点】比例的性质 【答案】见试题解答内容 【分析】根据等比性质，可得答案 【解答】解：2， 由等比性质，得， a+c+e8 故
9、答案为：8 8 如果任意选择一对有序整数（m，n） ，其中|m|1，|n|2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等 的，那么关于 x 的方程 x2+nx+m0 有两个相等实数根的概率是 【考点】根的判别式；列表法与树状图法 【专题】推理填空题；概率及其应用；运算能力；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】首先确定 m，n 的值，推出有序整数对（m，n）共有：3515（种） ，由方程 x2+nx+m0 有 两个相等实数根， 则需n24m0， 有 （0， 0） ， （1， 2） ， （12） 三种可能， 由此可以求出方程 x2+nx+m 0 有两个相等实数根的概率 【解答】解：|m|1，|
10、n|2， m0，1， n0，1，2， 有序整数（m，n）共有 3515（种） ， 方程 x2+nx+m0 有两个相等实数根， 则需：n24m0， 有（0，0） ， （1，2） ， （12）三种可能， 关于 x 的方程 x2+nx+m0 有两个相等实数根的概率是 故答案为 9 设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 【考点】根与系数的关系 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】见试题解答内容 【分析】由于 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到 m+n1，并 且 m2+m10010，然后把 m2+2m+n 可
11、以变为 m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果 【解答】解：m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根， m+n1， 并且 m2+m10010， m2+m1001， m2+2m+nm2+m+m+n100111000 故答案为：1000 10 由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为 12000m2的矩形停车场进行改造，将 该矩形停车场的长减少 20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成 了正方形，则原停车场的长是 m 【考点】一元二次方程的应用 【专题】一元二次方程及应用；应用意识 【答案】120 【分析】设出原来矩形的长，然后表示出
12、原来矩形的宽，根据题意列出方程求解即可 【解答】解：设原矩形的长为 x 米，则宽为（x20）米，根据题意得： x（x20）12000， 解得：x120 或 x100（舍去） ， 故答案为：120 11九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径 5 尺，不知其深，立五尺木于井上，从 木末望水岸，入径四寸问井深几何？”意思是：如图，井径 BE5 尺，立木高 AB5 尺，BD4 寸 0.4 尺，则井深 x 为 尺 【考点】相似三角形的应用 【专题】图形的相似；运算能力；推理能力 【答案】57.5 【分析】根据题意可知ABDACF，根据相似三角形的性质可求 AC，进一步得到井深 【解答】
13、解：BDCF， ABDACF， AB：ACBD：CF， 即 5：AC0.4：5， 解得 AC62.5， BCACAB62.5557.5 尺 故答案为：57.5 12 如图，P 是等边ABC 内一点，PA4，PB2，PC2，则ABC 的边长为 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能 力 【答案】2 【分析】作 BHPC 于 H，如图，根据等边三角形的性质得 BABC，ABC60，于是可把ABP 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBD，连接 PD，如图，根据旋转的性质得 CDA
14、P4，BDBP2， PBD60，则可判断PBD 为等边三角形，所以 PDPB2，BPD60，然后利用勾股定 理的逆定理可证明PCD 为直角三角形，CPD90，易得BPC150，利用平角等于有BPH 30，再利用勾股定理求出 BC 即可 【解答】解：作 BHPC 于 H，如图， ABC 为等边三角形， BABC，ABC60， 把ABP 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBD，连接 PD，如图， CDAP4，BDBP2，PBD60， PBD 为等边三角形， PDPB2，BPD60， 在PDC 中，PC2，PD2，CD4， PC2+PD2CD2， PCD 为直角三角形，CPD90， BPCBPD+CP
15、D150， BPH30， 在 RtPBH 中，BPH30，PB2， BHPB，PHBH3， CHPC+PH2+35， 在 RtBCH 中，BC2BH2+CH2（）2+5228， BC2， 故答案为：2 三解答题（共 84 分） 13 解方程：x2+2x1 【考点】解一元二次方程配方法 【答案】见试题解答内容 【分析】方程左右两边同时加上 1，则左边是完全平方式，右边是常数，再利用直接开平方法即可求解 【解答】解：x2+2x1， x2+2x+11+1， （x+1）22， x+1， x11+，x21 14 如图， 矩形 ABCD 中， BC4， 将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转得到矩形 AB
16、CD 设旋转角为 ， 此时点 B恰好落在边 AD 上，连接 BB （1）当 B恰好是 AD 中点时，此时 ； （2）若ABB75，求旋转角 及 AB 的长 【考点】矩形的性质；旋转的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）由矩形的性质得出 ADBC4，BCDD90，当 B恰好是 AD 中点时，BDAD 2，得出 BDBC，证出BCD30，求出BCB60即可； （2） 由平行线的性质和等腰三角形的性质得出CBBCBB75， 由三角形内角和定理得出BCB 30，即旋转角 为 30；作 BEBC 于 E，由含 30
17、角的直角三角形的性质即可得出答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC4，BCDD90， 当 B恰好是 AD 中点时，BDAD2， BDBC， BCD30， BCB903060， 即当 B恰好是 AD 中点时，此时 60； 故答案为：60； （2）四边形 ABCD 是矩形， ADBC， CBBABB75， 由旋转的性质得：CBCB， CBBCBB75， BCB180757530， 即旋转角 为 30； 作 BEBC 于 E，如图所示： 则 ABBECB2 15 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k10 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）设两个实
18、数根是 x1和 x2，且 x1+x22x1x22，则 k 的值为 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力 【答案】 （1）k2； （2）1 【分析】 （1）根据一元二次方程 x2+2x+k10 有两个不相等的实数根，可得0，从而可以求得 k 的 取值范围； （2）根据根与系数的关系和 x1+x22x1x22，可以求得 k 的值 【解答】解： （1）一元二次方程 x2+2x+k10 有两个不相等的实数根， b24ac224（k1）0， 解得 k2， 即 k 的取值范围是 k2； （2）一元二次方程 x2+2x+k10 的两个实数根是 x1和 x2， x
19、1+x22，x1x2k1， x1+x22x1x22， 22（k1）2， k1， 故答案为：1 16 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹） （1）如图 1，抛物线 l 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，CDx 轴交抛物线于点 D，作出抛物线 的对称轴 EF； （2）如图 2，抛物线 l1，l2交于点 P 且关于直线 MN 对称，两抛物线分别交 x 轴于点 A，B 和点 C，D， 作出直线 MN 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与 x 轴的交点；作图复杂作图 【专题】作图题；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接 AC，B
20、D 交于点 F，作直线 AD，直线 BC 交于点 E，作直线 EF 即可 （2）作直线 PA，PD 交抛物线于 H，G，作直线 AH，直线 DG 交于点 M，作直线 PM 即可，直线 MN 即为所求 【解答】解： （1）如图 1 所示，直线 EF 即为所求 （2）如图 2 所示，直线 MN 即为所求 17 在一个不透明的盒子中，放入 2 个红球，1 个黄球和 1 个白球这些球除颜色外都相同 （1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红 球的概率； （2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；数据分
21、析观念；推理能力 【答案】 （1）； （2） 【分析】 （1）画树状图，共有 16 个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有 4 个，再由概率公式求解即 可； （2）画树状图，共有 12 个等可能的结果， “一次同时摸出两个红球”的结果有 2 个，再由概率公式求解 即可 【解答】解： （1）画树状图如下： 共有 16 个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有 4 个， 两次都摸到红球的概率为； （2）画树状图如下： 共有 12 个等可能的结果， “一次同时摸出两个红球”的结果有 2 个， “一次同时摸出两个红球”的概率为 18 网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注 有关部门在全国范围内对 123
22、5 岁的网瘾人群进行简单随 机抽样调查并得到如图，期中 3035 岁的网瘾人数占样本人数的 20% （1）请把图中缺失的数据、图形补充完整； （2）若 1235 岁网瘾人数约为 4000 人，请你根据图中数据估计网瘾人群中 1217 岁的网瘾人数 【考点】用样本估计总体 【专题】统计的应用；数据分析观念 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）先求出被调查的总人数，再根据四个年龄段的人数之和等于总人数求出 1217 岁的人数， 从而补全图形； （2）先求出 1217 岁人数所占百分比，再用总人数乘以所求百分比即可 【解答】解： （1）被调查的总人数为 48020%2400（人） ， 1217
23、岁的人数为 2400600576480744（人） ， 补全图形如下： （2）7442400100%31%， 400031%1240（人） ， 若 1235 岁网瘾人数约为 4000 人，则根据图中数据估计网瘾人群中 1217 岁的网瘾人数是 1240 19 某超市购进一批时令水果，成本为 10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来 30 天的销售单价 m （元/千克）与时间 x（天）之间的函数关系式为 mx+20（1x30，x 为整数） ，且其日销售量 y（千 克）与时间 x（天）之间的函数关系如图所示： （1）求每天销售这种水果的利润 W（元）与 x（天）之间的函数关系式； （2）问
24、哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？ 【考点】二次函数的应用 【专题】销售问题；待定系数法；一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；二次函数的应用；运算 能力；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）由题意设销售数量 ykx+b（k0）用待定系数法求得 y 关于 x 的函数关系式，再根据利润 W 等于销售数量 y 千克乘以每千克水果的利润（m10）元，可得答案； （2）根据（1）中所得的 W 关于 x 的二次函数解析式，利用二次函数的性质及自变量的取值范围可得答 案 【解答】解： （1）由题意设销售数量 ykx+b（k0） ， 把（10，55） ， （26，39）代入
25、函数解析式得： ， 解得：， yx+65， Wy（m10） （x+65） （x+2010） x2+x+650（1x30，x 为整数） 每天销售这种水果的利润 W（元）与 x（天）之间的函数关系式为 Wx2+x+650（1x30， x 为整数） ； （2）Wx2+x+650， 抛物线的对称轴为直线 x22.5， a0，1x30，x 为整数， 当 x22 或 x23 时，W 取得最大值， 最大值为： （22+65） （22+10） 4321 903（元） 第 22 或 23 天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为 903 元 20 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 yx+b 的
26、图象经过点 C （0， 2） ， 与反比例函数 y （x0） 的图象交于点 A（1，a） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）一次函数 yx+b 的图象与 x 轴交于 B 点，求ABO 的面积； （3）设 M 是反比例函数 y（x0）图象上一点，N 是直线 AB 上一点，若以点 O、M、C、N 为顶点 的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标 【考点】反比例函数综合题 【专题】代数综合题；运算能力；推理能力 【答案】 （1）y； （2）3； （3） （，+2）或（2+，）或（，2+） 【分析】 （1）将点 C 代入直线 yx+b 中求出 b，进而得出直线 AB 的解析式，进而求出点 A
27、 的坐标，再 代入双曲线的表达式中，即可得出结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设成点 M，N 坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结 论 【解答】解： （1）点 C（0，2）在直线 yx+b 上， b2， 一次函数的表达式为 yx+2； 点 A（1，a）在直线 yx+2 上， a3， 点 A（1，3） ， 点 A（1，3）在反比例函数 y（x0）的图象上， k133， 反比例函数的表达式为 y； （2）在 yx+2 中，令 y0，得 x2，令 x0，得 y2， B（2，0） ，C（0，2） ， ABO 的面积SAOC+SBOC+1+23
28、； （3）由（2）知，直线 AB 的表达式为 yx+2，反比例函数的表达式为 y， 设点 M（m，） ，N（n，n+2） ， 若以点 O、M、C、N 为顶点的四边形是平行四边形， 则以 OC 和 MN 为对角线时， 0， m，n或 m（此时，点 M 不在第一象限，舍去） ，n， N（，+2） ， 以 CN 和 OM 为对角线时， ， mn2+或 mn2（此时，点 M 不在第一象限，舍去） ， N（2+，） ， 以 CM 和 ON 为对角线时， ， mn或 mn（此时，点 M 不在第一象限，舍去） ， N（，2+） ， 即满足条件的点 N 的坐标为（，+2）或（2+，）或（，2+） 21 在矩形
29、 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一动点，连接 DE，过点 E 作 EFDE 交 AB 于点 F （1）如图 1，当 DEDA 时，求证：AFEF； （2）如图 2，点 E 在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由； （3）如图 3，若点 F 为 AB 的中点，连接 DF 交 AC 于点 G，将GEF 沿 EF 翻折得到HEF，连接 DH 交 EF 于点 K，当 AD2，CD2时，求 KH 的长 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）的值不变； （3） 【分析】 （1）连接 DF，证明 Rt
30、DAFRtDEF（HL） ，由全等三角形的性质得出 AFEF； （2）如图，过点 E 作 EMAD 于点 M，过点 E 作 ENAB 于点 N，证明EAMCAD，得出比例线 段，证明DMEFNE，得出比例线段，由可得，则可得出结论； （3）连接 GH 交 EF 于点 I，由勾股定理求出 DF 的长，证明AGFCGD，由相似三角形的性质得 出，则，由折叠的性质可知 GIIH，GHEF，证明GFIDFE，由相似三角形 的性质得出，证明DEKHIK，由相似三角形的性质得出，由勾股定 理可求出答案 【解答】 （1）证明：如图，连接 DF，在矩形 ABCD 中，DAF90， 又DEEF， DEF90，
31、ADDE，DFDF， RtDAFRtDEF（HL） ， AFEF； （2）解：的值不变； 如图，过点 E 作 EMAD 于点 M，过点 E 作 ENAB 于点 N， 四边形 ANEM 是矩形， ENAM， EAMCAD，EMACDA EAMCAD， ，即， DEFMEN90， DEMFEN， 又DMEENF90， DMEFNE， ， 由可得， AD 与 DC 的长度不变， 的长度不变； （3）连接 GH 交 EF 于点 I， 点 F 是 AB 的中点， AF， 在 RtADF 中，DF， 由（2）知， DEEF， 在 RtDEF 中，EF，DE， 又ABDC， AGFCGD， ， ， 由折叠的
32、性质可知 GIIH，GHEF， 又DEEF， GHDE， GFIDFE， ， EI，GIIH， 又GHDE， DEKHIK， ， KI， HK 22 如图，点 O 为原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 和 P（m，n）是函数 y（k0，x0）在 第一象限内图象上的点，过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E，F，正方形 OABC 的面积为 9， 矩形 OAGF 的面积为 S （1）求点 B 的坐标和 k 值； （2）当 S时，求点 P 的坐标； （3）写出 S 与 m 之间的函数表达式 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定
33、系数法求反比例函数解 析式；矩形的性质；正方形的性质 【专题】反比例函数及其应用；运算能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而 求得 B 的坐标； （2）根据矩形的面积公式以及反比例函数系数 k 的几何意义求得即可； （3）根据矩形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）正方形 OABC 的面积为 9， 正方形 OABC 的边长为 3，即 OA3，AB3， B 点坐标为（3，3） 又点 B 是函数 y的图象上的一点， k339； （2）P（m，n） ，则 FG3，AGn， S3n； n， P 是函数 y图象上的
34、点， m9， m6， P（6，） ； （3）S3n P 的纵坐标是 n， S3， 即 S（m3） 23 如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 O 为对角线 AC 的中点，动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，点 P 运动速度为每秒 2 个单位长度，点 Q 运动速度为 每秒 1 个单位长度，当点 P 到达点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止运动，连接 PQ，设点 P 运动时间为 t（t0）秒 （1）cosBAC （2）当 PQAC 时，求 t 的值 （3）求QOP 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并写出 t 的取
35、值范围 （4）当线段 PQ 的垂直平分线经过ABC 的某个顶点时，请直接写出 t 的值 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；分类讨论；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角 三角形及其应用；推理能力 【答案】 （1）； （2）； （3）St2t+12（0t）或 St2+t12（t5） ； （4）或 2 【分析】 （1）先由勾股定理求出 AC10，再由锐角三角函数定义求解即可； （2）由题意得：BQt，AP2t，则 AQ6t，由锐角三角函数定义得 cosQAP，即 ，解得 t即可； （3）过 Q 作 QEAC 于 E，先证AEQABC，求出 QE（6t） ，再分两种
36、情况，由三角形面积 公式求解即可； （4）分三种情况：当线段 PQ 的垂直平分线经过点 C 时；当线段 PQ 的垂直平分线经过点 B 时； 当线段 PQ 的垂直平分线经过点 A 时；由线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质 解答即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， B90， AC10， cosBAC， 故答案为：； （2）由题意得：BQt，AP2t，则 AQ6t， 当 PQAC 时，APQ90， cosQAP， 即， 解得：t， 即当 PQAC 时，t 的值为； （3）过 Q 作 QEAC 于 E，如图 1 所示： 则AEQ90ABC， 又QAECAB， AEQ
37、ABC， ， 即， 解得：QE（6t） ， 点 O 为对角线 AC 的中点， AOAC5， 若 P 与 O 重合时，则 APAO5， 2t5， t， 若 P 与 C 重合时，则 APAC10， 2t10， t5， 当点 P 在线段 AO 上时，OP52t， 则QOP 的面积 SOPQE（52t）（6t）t2t+12， 即 St2t+12（0t） ； 当点 P 在线段 CO 上时，OP2t5， 则QOP 的面积 SOPQE（2t5）（6t）t2+t12， 即 St2+t12（t5） ； （4）分三种情况： 当线段 PQ 的垂直平分线经过点 C 时，连接 QC，如图 2 所示： PCQC102t，
38、 在 RtQBC 中，由勾股定理得：QC2BC2+BQ2， 即（102t）282+t2， 解得：t或 t（舍去） ， t； 当线段 PQ 的垂直平分线经过点 B 时，BQBPt， 过点 P 作 PGBC 于 G，连接 BP，如图 3 所示： 则 PGAB， PCGACB， ， 即， 解得：PG（102t）6t，CG（102t） ， BG8（102t）t， 在 RtBPG 中，由勾股定理得：BP2BG2+PG2， 即 t2（t）2+（6t）2，此方程无解； 当线段 PQ 的垂直平分线经过点 A 时，如图 4 所示： 则 AQAP， 即 6t2t， 解得：t2； 综上所述，当线段 PQ 的垂直平分
39、线经过ABC 的某个顶点时，t 的值为或 2 24 如图， ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形， A， C 分别是一次函数 yx+3 的图象与 y 轴， x 轴的交点， 点 B 在二次函数 yx2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四 边形 （1）求该二次函数的表达式； （2）动点 P 在线段 AD 上从点 A 至点 D 运动，同时动点 Q 在线段 AC 上从点 C 到点 A 运动，两点都是 以每秒 1 个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止 当APQ 是直角三角形时，求 P 的坐标； 四边形 PDCQ 的面积是否有
40、最小值？若有，求出面积的最小值和点 P 的坐标；若没有，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题；函数思想；方程思想；应用意识 【答案】 （1）yx2x17； （2）（63，3）或（66，3） ， 有，S四边形PDCQ最小为，P（，3） ，理由见解答过程 【分析】 （1）求出 A、C 坐标，再由ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形和四边形 ABCD 能构成平行四 边形求出 B、D 坐标即可求二次函数的表达式； （2）APQ 是等腰直角三角形，分两种情况讨论； 用 t 表示出四边形 PDCQ 的面积，再求最小值即可 【解答】解： （1）A，C 分别是一次函数 yx+3 的图象与 y
41、轴，x 轴的交点， 在一次函数 yx+3 中，令 x0 得 y3，令 y0 得 x3， A（0，3） ，C（3，0） ， ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形， OCOB3，B（3，0） ， 四边形 ABCD 能构成平行四边形， ADBC6，D（6，3） ， 点 B、D 在二次函数 yx2+bx+c 的图象上， ，解得 b，c17， 二次函数的表达式为 yx2x17； （2）设运动时间是 t 秒，则 AQACCQ3t，APt， A（0，3） ，C（3，0） ，AOC90， ACO45， 四边形 ABCD 是平行四边形， CAD45， 若APQ 是直角三角形，则APQ 是等腰直角三角形， 分两
42、种情况： （一）APC90，如答图 1： AQAP， 3tt，解得 t63， P（63，3） ， （二）AQP90，如答图 2： APAQ， t（3t） ，解得 t66， P（66，3） ， 综上所述，当APQ 是直角三角形时，P 的坐标是（63，3）或（66，3） ， （3）过 Q 作 QMAD 于 M，如答图 3： A（0，3） ，B（3，0） ，C（3，0） ，ABCD 是平行四边形， SACDSABC639， 而 CMACsin45（3t） 3t， SAPQt（3t）t2+t， S四边形PDCQSACDSAPQ9（t2+t）t2t+9， 当 t时，S四边形PDCQ最小为， 此时 P（，3）
