1、2021 年天津市津南区南部学区中考数学模拟试卷年天津市津南区南部学区中考数学模拟试卷 一选择题（本大题共 12 小题，共 36 分） 1.计算 21（9）的结果等于（ ） A12 B30 C12 D30 【考点】有理数的减法 【专题】实数；运算能力 【答案】D 【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果 【解答】解：原式21+930 故选：D 2. 2cos30的值等于（ ） A1 B C2 D 【考点】特殊角的三角函数值 【答案】D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：2cos302， 故选：D 3 广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”
2、 ，它距离太阳系约 4.2 光 年光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1 光年约为 9 500 000 000 000 千米，则“比邻 星”距离太阳系约为（ ） A41013千米 B41012千米 C9.51013千米 D9.51012千米 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：依题意得：4.2 光年4.29.5
3、101241013 故选：A 4 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【专题】平移、旋转与对称；几何直观 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形叫做轴对称图形进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 5 如图是 5 个完全相同的小正方体搭成的的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【专题】投影与视图；
4、几何直观 【答案】B 【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案 【解答】解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形 故选：B 6 估计1 的值在（ ） A0 到 1 之间 B1 到 2 之间 C2 到 3 之间 D3 至 4 之间 【考点】估算无理数的大小 【答案】C 【分析】求出的范围，都减去 1 即可得出答案 【解答】解：34， 213， 即1 在 2 到 3 之间 故选：C 7 方程组的解为（ ） A B C D 【考点】解二元一次方程组 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力 【答案】B 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +得：4x12， 解
5、得：x3， 把 x3 代入得：3y2， 解得：y5， 则方程组的解为 故选：B 8 如图，点 O 为线段 AB 的中点，点 B，C，D 到点 O 的距离相等，连接 AC，BD则下面结论不一定成立 的是（ ） AACB90 BBDCBAC CAC 平分BAD DBCD+BAD180 【考点】圆周角定理 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【答案】C 【分析】先利用圆的定义可判断点 A、B、C、D 在O 上，如图，然后根据圆周角定理对各选项进行判 断 【解答】解：点 O 为线段 AB 的中点，点 B，C，D 到点 O 的距离相等， 点 A、B、C、D 在O 上，如图， AB 为直径， ACB90
6、，所以 A 选项的结论正确； BDC 和BAC 都对， BDCBAC，所以 B 选项的结论正确； 只有当 CDCB 时，BACDAC，所以 C 选项的结论不正确； 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， BCD+BAD180，所以 D 选项的结论正确 故选：C 9 计算的值为（ ） A B3a Ca Da2+a 【考点】分式的加减法 【专题】分式；运算能力 【答案】C 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式a 故选：C 10 若点 A（1，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是 （ ） Ay1y2y3 By1y3y
7、2 Cy2y3y1 Dy3y2y1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】函数及其图象；推理能力 【答案】C 【分析】根据反比例函数的增减性判断即可 【解答】解：k90， 在每一象限内，y 随 x 的增大而增大， y2y30，y10， y2y3y1， 故选：C 11 如图，在ABC 中，N 是边 BC 的中点，点 M 在边 AB 上，将ABC 沿直线 MN 折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 D 处，连接 BD，则下列结论一定正确的是（ ） ABNMN BCDDN CCMDN DBDAC 【考点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识
8、 【答案】D 【分析】分别分析每个选项里的结论即可 【解答】解：点 M 是 AB 上的动点， MN 的值不固定， 故 A 不正确， D 是 AC 上的动点， CD 和 DN 不一定相等， 故 B 不正确， 由翻折可以知道MDNMBA， 但题干中没有说ABC 是等腰三角形， 故 C 不正确， N 是 BC 的中点， BNCN， 由翻折可以知道 BNDN， BNDNCN， BDC 为直角三角形， 即 BDAC， 故选：D 12 已知抛物线 yax2+bx+c （a0） 与 x 轴交于点 A （1， 0） ， 对称轴为直线 x1， 与 y 轴的交点 B 在 （0， 3）和（0，4）之间（包含这两个点
9、） 有下列结论： abc0； 关于 x 的方程 ax2+bx+c2a 有两个不等的实数根； a1 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力 【答案】D 【分析】根据题意得到 a0，b0，c0，即可判断；由抛物线开口向下，顶点在 x 轴的上方，即可 判断；由对称轴方程得到 b2a，由 x1 时，y0 得到即 ab+c0，则 c3a，所以 33a 4，则可判断 【解答】解：由题意可知抛物线开口向下，则 a0， 对称轴为直线 x1，与 y 轴的交点 B 在（0，3）和（0，4）之
10、间（包含这两个点） b0，c0， abc0，故正确； 由题意可知抛物线开口向下，顶点在 x 轴的上方， a0， 函数 yax2+bx+c 与直线 y2a 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c2a 有两个不等的实数根，故正确； x1， b2a， x1 时，y0，即 ab+c0， a+2a+c0，即 c3a， 而 2c3， 33a4， a1，所以正确 故选：D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13 计算 a23a2+4a2的结果等于 【考点】合并同类项 【专题】整式；运算能力 【答案】2a2 【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案 【解答】解：a23
11、a2+4a2 （13+4）a2 2a2 故答案为：2a2 14 计算： （+） （）的结果等于 【考点】平方差公式；二次根式的混合运算 【专题】二次根式 【答案】见试题解答内容 【分析】利用平方差公式计算 【解答】解：原式52 3 故答案为 3 15 不透明袋子中装有 10 个球，其中有 6 个红球，4 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取 出 1 个球，则它是红球的概率是 【考点】概率公式 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【答案】 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可 【解答】解：袋子中装有 10 个球，其中有 6 个红球，4 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子 中随
12、机取出 1 个球，共有 10 种等可能结果， 它是红球的概率是， 故答案为： 16 将直线 y2x+3 向下平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为 【考点】一次函数图象与几何变换 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【答案】y2x+1 【分析】根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将直线 y2x+3 向下平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为 y2x+32，即 y 2x+1 故答案为：y2x+1 17 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，M 为 AB 的中点，MBE 为等边三角形，过点 E 作 ME 的垂线分别与 边 AD，BC 交于点 P，Q，则 PE 的长为 【考
13、点】等边三角形的性质；正方形的性质 【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力 【答案】3 【分析】连接 AE，根据题意可证AEP 为等边三角形，求出 AE 长即为 PE 长 【解答】解：连接 AE， M 为 AB 的中点，MBE 为等边三角形， MAMBME， ABE 为直角三角形， 正方形 ABCD 的边长为 6， BEAB3， AE3， MBE 为等边三角形， BME60， 又MAME， MAEMEABME30， EAPBADMAE903060， AEPMEPMEA903060， AEP 为等边三角形， PEAE3， 故答案为：3 18 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网
14、格中，ABC 的顶点 A，B，C 均为格点，点 P 在格点上 （1）AC 的长为 （2）M 是直线 BC 上一点，点 B 关于直线 AM 的对称点为 B，当 PB最长时，请用无刻度的直尺，在如 图所示的网格中，画出点 B，M，并简要说明点 B，M 的位置是如何找到的（不要求证明） 【考点】勾股定理；轴对称的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力 【答案】 （1）2； （2）M 点在 B 点左侧一个单位 【分析】 （1）利用勾股定理即可解决问题 （2）当 P、A、B在一直线上时，PB最长，连接 AP 并延长，取格点 G，连接 GB 交 AP 于点 B， 由PAHANB 和NMBAPH，求
15、出点 MB1 即可 【解答】解： （1）AC2 故答案为 2 （2）当点 B在 PA 的延长线上时，PB最长 理由：PA5，ABAB2，都为定值， 当 P、A、B不在一直线上时，PBPA+AB7， 当 P、A、B在一直线上时，PBPA+AB7， 此时 PB最长 如图所示：M 点是通过计算找到的， 翻折， ABMABM90，MBMB， PAHANB， ，即， NB， 设 MBx，则 BMx，NMx， NMBAPH， ， 即， 解得：x1， MB1， M 点在 B 点左侧一个单位 故答案为 M 点在 B 点左侧一个单位 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理
16、过程） 19 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力 【答案】x1；x2；2x1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集 【解答】解：， （）解不等式，得 x1， （）解不等式，得 x2， （）把不等式和的解集在数轴上分别表示出来如下： （）原不等式组的解集为2x1 故答案为：x1；x2；2x1 20 某中学
17、为了解学生对于预防新冠肺炎疫情知识的掌握情况，随机抽取了该校部分学生进行测试，测试成 绩均为整数，满分 10 分根据测试成绩，绘制出统计图和图 请根据相关信息，解答下列问题； （1）本次抽取的学生人数为 ，图中的 m 的值为 ； （2）求统计的这组测试成绩数据的平均数、众数和中位数； （3）据统计的这组测试成绩的样本数据，若该校共有 400 名学生，估计该校学生测试成绩达到 8 分以上 的学生有多少人？ 【考点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数；中位数；众数 【专题】统计的应用；运算能力 【答案】 （1）20，40； （2）8.25 分，8 分，8 分； （3）160 人 【分析】 （1
18、）根据 6 分的人数和所占的百分比求出总人数；用整体 1 减去其它所占的百分比，求出 m 的 值； （2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中 8 分以上的学生所占的比例即可 【解答】解： （1）本次抽取的学生人数为 15%20（人） ， m%1（5%+15%+30%+10%）40%，即 m40； 故答案为：20，40； （2）所抽取学生成绩平均数为（16+37+88+69+210）8.25（分） ， 因为 8 出现了 8 次，出现的次数最多， 所以众数是 8 分， 把这些数从小大排列，中位数是第 10、11 个数的平均数， 则中位数是8（分） （3）根据题意得：
19、 400160（人） ， 答：该校学生测试成绩达到 8 分以上的学生有 160 人 21 已知 AB 是O 的直径，CD 为O 的弦，CAB26，连接 BC （1）如图 1，若 BD 平分ABC，求ABC 和ACD 的大小； （2）如图 2，若点 D 为弧 AC 的中点，过点 D 作O 的切线交 BA 的延长线于点 P，求P 的大小 【考点】圆周角定理；切线的性质 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力； 推理能力 【答案】 （1）ABC64，ACD32； （2）26 【分析】 （1）根据圆周角定理得出ACB90，根据直角三角形的性质得出ABC
20、90CAB 64，根据角平分线的定义求出ABDCBDABC 即可； （2）连接 BD，DO，由（1）知：ABC64，根据圆周角定理得出ABDCBD32，根据等 腰三角形的性质得出ODBABD32，求出POD，根据切线的性质得出ODP90，再求出 答案即可 【解答】解： （1）AB 是O 的直径， ACB90， CAB26， ABC90CAB64， BD 平分ABC， ABDCBDABC32， ACDABD32， 即ABC64，ACD32； （2）连接 BD，DO， 由（1）知：ABC64， D 为的中点， ABDCBD6432， OBOD， ODBABD32， PODABD+ODB32+326
21、4， PD 切O 于 D， ODP90， P90POD906426 22 如图，小河对岸有一座通讯信号塔 AB，在点 D 处测得信号塔顶端 A 的仰角是 48，沿着射线 BD 方向 走 9 米到达 C 处，在 C 处测得信号塔顶端 A 的仰角是 39，点 A，B，C，D，E，F 在同一平面内若 测角仪的高度为 1.2 米，求信号塔 AB 的高度（结果取整数） 参考数据： sin390.63， cos390.78， tan390.81， sin480.74， cos480.67， tan481.11 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识
22、 【答案】28 米 【分析】过点 E 作 EGAB 于点 G，解直角三角形求出 AG 即可解决问题 【解答】解：过点 E 作 EGAB 于点 G， 由题意知，AEG39，AFG48，EFCD9 米，CEBG1.2， 设 AGx 米， 在 RtAEG 中， AGx，AEG39， tanAEG0.81， EG， FGEGEF9， 在 RtAFG 中， tan481.11， FG， ， 解得 x26.973， ABAG+BG26.973+1.228.17328（米） 答：信号塔的高度 AB 约为 28 米 23 甲、乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发
23、1.5 小时， 如图，线段 OA 表示货车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿 车离甲地的距离 y（千米）与时间 x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段 CD 对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千米 【考点】一次函数的应用 【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿 车到达乙地时，货车与甲地的距离； （2）根据函数图象中的数
24、据，可以得到线段 CD 对应的函数表达式； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距 15 千 米 【解答】解： （1）由图象可得， 货车的速度为 300560（千米/小时） ， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是 604.5270（千米） ， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是 270 千米； （2）设线段 CD 对应的函数表达式是 ykx+b， 点 C（2.5，80） ，点 D（4.5，300） ， ， 解得， 即线段 CD 对应的函数表达式是 y110 x195（2.5x4.5） ； （3）当 x2.5 时，两车之间的距离为：602.58
25、070， 7015， 在轿车行进过程，两车相距 15 千米时间是在 2.54.5 之间， 由图象可得，线段 OA 对应的函数解析式为 y60 x， 则|60 x（110 x195）|15， 解得 x13.6，x24.2， 轿车比货车晚出发 1.5 小时，3.61.52.1（小时） ，4.21.52.7（小时） ， 在轿车行进过程，轿车行驶 2.1 小时或 2.7 小时，两车相距 15 千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶 2.1 小时或 2.7 小时，两车相距 15 千米 24 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A（，0） ，B（0，1） 将ABO 绕点 A 顺时针旋转，得到 ADC，点
26、 O，B 的对应点分别为 D，C （1）如图，当点 D 恰好落在 AB 上时，求点 D 的坐标； （2）在旋转的过程中，连接 BC，设 BCt，ABC 的面积为 S 如图，试用含有 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围； 当 1t3 时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可） 【考点】几何变换综合题 【专题】几何综合题；推理能力 【答案】 （1）D（，） （2）S（0t4） S2 【分析】 （1）过 D 作 DMOA 于 M，求出 DM，AM，进而得出答案 （2）过点 A 作 ATBC 于 T利用勾股定理求出 AT，可得结论 求出 S 的最大值，最小值，可得结论 【解答】解： （1）
27、A（，0） ，点 B（0，1） ， OA，OB1， 在AOB 中，AOB90，tanBAO， BAO30 AB2OB2， 由旋转性质得，DAOA， 过 D 作 DMOA 于 M，如图所示： 则在 RtDAM 中，DMAD，AMDM， OMAOAM D（，） （2）如图中，过点 A 作 ATBC 于 T ABAC2，ATBC， BTTCt， AT SBCATt（0t4） 当 t1 时，S， 当 t3 时，S， S， t28，即 t2时，S 有最大值，最大值为 2， 1t3， S2 25 已知抛物线 yx2+bx+c（b，c 为常数，b0）与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（点 A 在点 B 的
28、左侧） ，与 y 轴正半轴交于点 C （1）当 b2 时，求抛物线的顶点坐标； （2）点 P 是射线 OC 上的一个动点 点 D（b，yD）是抛物线上的点，当 OP3，ADAP 时，求 b 的值； 若点 P 在线段 OC 上，当 CP+2AP 的最小值是 3+时，求 b 的值 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；解直角三角形及其应用；数据分析观念 【答案】 （1） （1，0） ； （2）b1；b4 【分析】 （1）当 b2 时，则 c1，故抛物线的表达式为 yx22x+1（x1）2，即可求解； （2）由 ADAP 得： （1+b）2+c212+32，即（1+b）2+（b1）212+
29、32，即可求解； 过点 C 直线 CN 交 x 轴于点 N，使NCO30，过点 A 作 AHNC 交 CN 于点 H，交 OC 于点 P， 则点 P 为所求点，进而求解 【解答】解：将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：01+b+c，即 b+c1 （1）当 b2 时，则 c1，故抛物线的表达式为 yx22x+1（x1）2， 故抛物线的顶点坐标为（1，0） ； （2）当 xb 时，yx2+bx+cc，故点 D 的坐标为（b，c） ， 由 ADAP 得： （1+b）2+c212+32， 即（1+b）2+（b1）212+32， 解得 b1（正值已舍去） ； 过点 C 直线 CN 交 x 轴于点 N，使NCO30，过点 A 作 AHNC 交 CN 于点 H，交 OC 于点 P， 则点 P 为所求点， 理由：PHPCsin30CP，则 CP+2AP2（AP+CP）2AH 为最小，即 AP+CP， NCO30，则HAN60， 故设直线 CH 的表达式为 yx+c， 则直线 AH 的表达式为 y（x1）x+， 故 OP，即点 P 的坐标为（0，） ， 则 PHPC（c） ，PA， 则 AP+CP（c）+， 解得 c3， 则 b134
