1、2021 年广东省佛山市桂城街道中考数学科研试卷年广东省佛山市桂城街道中考数学科研试卷 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的， 请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1 （3 分）2021 的倒数是（ ） A2021 B2021 C D 2 （3 分）为在 2020 年实现全面建成小康社会的目标任务，自 2016 年以来，广东已向西部四省拨付财政资 金 105.8 亿元援助脱贫攻坚项目数据 105.8 亿用科学
2、记数法表示为（ ） A105.8108 B10.58109 C1.0581010 D1.0581011 3 （3 分）一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 4 个白球，2 个红球，1 个黄球从布袋 里任意摸出 1 个球，是红球的概率为（ ） A B C D 4 （3 分）在 RtABC 中，B90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，DEAC，垂足为点 E，若 BD3， 则 DE 的长为（ ） A3 B C2 D6 5 （3 分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量 同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度
3、，这种测量原理，就是我们所 学的（ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 6 （3 分）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，FACB90，则DBC 的度数为（ ） A10 B15 C18 D30 7 （3 分）下列等式成立的是（ ） A3+47 B C2 D3 8 （3 分）已知 m、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x26x+k+20 的两个根，则 k 的值等于（ ） A7 B7 或 6 C6 或7 D6 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，将ADE 沿直
4、线 AE 翻折，使得点 D 的对应点 F 落在 BC 边上若 AD4，DAE15，则 CE 的长度是（ ） A84 B46 C2 D1 10 （3 分）如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，CAAB，PDAC 于点 D，连接 AP，设 APx， PAPDy，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 11 （4 分）分解因式：2a38a 12 （4 分）若代数式有意
5、义，则 x 的取值范围是 13 （4 分）不等式组的解集是 14 （4 分）某个函数具有性质：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可） 15 （4 分）如图，在 x 轴，y 轴上分别截取 OA，OB，使 OAOB，再分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径画弧，两弧交于点 P若点 P 的坐标为（a，2a3） ，则 a 的值为 16 （4 分）如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边上的一点，且 AMAD，N 是 AB 边上的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC则 AC 长度的最小
6、值 是 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，一发光电子开始置于 AB 边的点 P 处，并设定此时为 发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射 的反射角和入射角都等于 45，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2021 次后，则它与 AB 边的碰撞次 数是 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （2）2+（1）0+（） 1 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 20 （6 分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌
7、握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了 100 名学生为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A 表示“优秀” ，B 表示“良好” ，C 表示“合格” ，D 表示“不合格” 第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌 握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了 100 名八年级学生 第二小组随机调查了全校三个年级中的 100 名学生，但只收集到 90 名学生的有效问卷调查表 两个小组的调查结果如图的图表所示： 第二小组统计表 等级 人数 百分比 A 17 18.9% B 38 42.2% C 28 31.1% D 7 7.8% 合计 90 100%
8、 若该校共有 1000 名学生，试根据以上信息解答下列问题： （1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合 格以上（含合格）的共约 人； （2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分） “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车 出行某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的 50%标价已知按标价九折销售该型号自行车 8 辆与将标价直降 100 元销售 7 辆获利相同 （
9、1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？ （2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出 51 辆；若每辆自行车每 降价 20 元，每月可多售出 3 辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？ 22 （8 分） 【探索发现】小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图 1，若 P 是圆内接正三角形 ABC 的外接圆的上任一点， 则APB60， 在 PA 上截取 PMPC 连接 MC， 可证明MCP 是 （填 “等腰” “等边”或“直角” ）三角形，从而得到 PCMC，再进一步证明PBC ，得到 PB MA，可证得：PB+PCPA 【拓展应用】小
10、迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图 2，若 P 是圆内接正四边形 ABCD 的外接 圆的上任一点，则APBAPD ，分别过点 B、D 作 BMAP 于 M、DNAP 于 N 【猜想证明】写出 PB、PD 与 PA 之间的数量关系，并说明理由 23 （8 分）如图，A 为反比例函数 y （其中 x0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上有一点 B，OB4连 接 OA，AB，且 OAAB2 （1）求 k 的值； （2） 过点 B 作 BCOB， 交反比例函数 y （其中 x0） 的图象于点 C， 连接 OC 交 AB 于点 D，求 的值 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2
11、小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD，交 BD 的延长线于点 E （1）求证：EC； （2）如图 2，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值； （3）如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数，并直接写出的值 25 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象过原点，与 x 轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式； （2） 在 x 轴上方作 x 轴的平行线 y1m， 交二次函数图象于 A、 B 两
12、点， 过 A、 B 两点分别作 x 轴的垂线， 垂足分别为点 D、点 C当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位长度匀速运动，同时动点 Q 以相 同的速度从点 A 出发沿线段 AD 匀速运动，到达点 D 时立即原速返回，当动点 Q 返回到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0） 过点 P 向 x 轴作垂线，交抛物线于点 E，交直线 AC 于 点 F，当以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，请求出 t 的值 2021 年广东省佛山市桂城街道中考数学科研试卷年广东省佛
13、山市桂城街道中考数学科研试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的， 请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1 （3 分）2021 的倒数是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【解答】解：2021 的倒数是 故选：C 2 （3 分）为在 2020 年实现全面建成小康社会的目标任务，自 2016 年以来，广东已向西部四省拨付财政资 金
14、105.8 亿元援助脱贫攻坚项目数据 105.8 亿用科学记数法表示为（ ） A105.8108 B10.58109 C1.0581010 D1.0581011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：105.8 亿105800000001.0581010 故选：C 3 （3 分）一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 4 个白球，2 个红球，1 个黄球从布袋 里
15、任意摸出 1 个球，是红球的概率为（ ） A B C D 【分析】根据概率公式求解 【解答】解：从布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率 故选：C 4 （3 分）在 RtABC 中，B90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，DEAC，垂足为点 E，若 BD3， 则 DE 的长为（ ） A3 B C2 D6 【分析】根据角平分线的性质即可求得 【解答】解：B90， DBAB， 又AD 平分BAC，DEAC， DEBD3， 故选：A 5 （3 分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量 同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度
16、，这种测量原理，就是我们所 学的（ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可 【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高 度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似， 故选：D 6 （3 分）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，FACB90，则DBC 的度数为（ ） A10 B15 C18 D30 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出ABD45，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：EDF45，ABC30， ABCF， ABD
17、EDF45， DBC453015 故选：B 7 （3 分）下列等式成立的是（ ） A3+47 B C2 D3 【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得 【解答】解：A3 与 4不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B，此选项计算错误； C3，此选项计算错误； D3，此选项计算正确； 故选：D 8 （3 分）已知 m、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x26x+k+20 的两个根，则 k 的值等于（ ） A7 B7 或 6 C6 或7 D6 【分析】 当 m4 或 n4 时， 即 x4， 代入方程即可得到
18、结论， 当 mn 时， 即 （6） 24 （k+2） 0，解方程即可得到结论 【解答】解：m、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， 当 m4 或 n4 时，即 x4， 方程为 4264+k+20， 解得：k6， 当 mn 时，即（6）24（k+2）0， 解得：k7， 综上所述，k 的值等于 6 或 7， 故选：B 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，将ADE 沿直线 AE 翻折，使得点 D 的对应点 F 落在 BC 边上若 AD4，DAE15，则 CE 的长度是（ ） A84 B46 C2 D1 【分析】由折叠的性质可得 ADAFBC4，DAEFAE
19、15，DAFE90，可得AFB 30，由直角三角形的性质可求 ABAF2，BFAB2，可求 CF42，由直角三角 形的性质可求解 【解答】解：将ADE 沿直线 AE 翻折， ADAFBC4，DAEFAE15，DAFE90， BAF903060， AFB30， ABAF2，BFAB2， CF42， DAF+D+AFE+DEF360， DEF150， FEC30， ECFC46， 故选：B 10 （3 分）如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，CAAB，PDAC 于点 D，连接 AP，设 APx， PAPDy，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ） A B C D 【分析】
20、设圆的半径为 R，连接 PB，则 sinABP，则 PDAPsinxx2，即可 求解 【解答】设：圆的半径为 R，连接 PB， 则 sinABP， CAAB，即 AC 是圆的切线，则PADPBA， 则 PDAPsinxx2， 则 yPAPDx2+x， 图象为开口向下的抛物线， 故选：C 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 11 （4 分）分解因式：2a38a 2a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 2a，再利用平方差公式分解即可 【
21、解答】解：原式2a（a24）2a（a+2） （a2） ， 故答案为：2a（a+2） （a2） 12 （4 分）若代数式有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】分式有意义，分母不等于零，即 x10，由此求得 x 的取值范围 【解答】解：依题意得：x10， 解得 x1， 故答案为：x1 13 （4 分）不等式组的解集是 x1 【分析】解不等式 x+20 得 x2，结合 x1，利用口诀“同大取大”可得答案 【解答】解：解不等式 x+20，得：x2， 又 x1， 不等式组的解集为 x1， 故答案为：x1 14 （4 分）某个函数具有性质：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，这个函数的表达式可以
22、是 yx2（答案 不唯一） （只要写出一个符合题意的答案即可） 【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳 【解答】解：yx2中开口向上，对称轴为 x0， 当 x0 时 y 随着 x 的增大而增大， 故答案为：yx2（答案不唯一） 15 （4 分）如图，在 x 轴，y 轴上分别截取 OA，OB，使 OAOB，再分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径画弧，两弧交于点 P若点 P 的坐标为（a，2a3） ，则 a 的值为 3 【分析】根据作图方法可知点 P 在BOA 的角平分线上，由角平分线的性质可知点 P 到 x 轴和 y 轴的距 离相等，结合点 P 在第一象限，可得关于 a
23、 的方程，求解即可 【解答】解：OAOB，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径画弧，两弧交于点 P， 点 P 在BOA 的角平分线上， 点 P 到 x 轴和 y 轴的距离相等， 又点 P 在第一象限，点 P 的坐标为（a，2a3） ， a2a3， a3 故答案为：3 16 （4 分）如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边上的一点，且 AMAD，N 是 AB 边上的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC则 AC 长度的最小值是 1 【分析】过点 M 作 MHCD，由勾股定理可求 MC 的长，由题意可得点 A在以 M 为圆心，AM 为半
24、径的 圆上，则当点 A在线段 MC 上时，AC 长度有最小值 【解答】解：过点 M 作 MHCD 交 CD 延长线于点 H，连接 CM， AMAD，ADCD3 AM1，MD2 CDAB， HDMA60 HDMD1，HMHD CH4 MC 将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN， AMAM1， 点 A在以 M 为圆心，AM 为半径的圆上， 当点 A在线段 MC 上时，AC 长度有最小值 AC 长度的最小值MCMA1 故答案为：1 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，一发光电子开始置于 AB 边的点 P 处，并设定此时为 发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 P
25、R 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射 的反射角和入射角都等于 45，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2021 次后，则它与 AB 边的碰撞次 数是 673 【分析】如图，以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系，根据反射角与入射角的定义可以在格 点中作出图形，可以发现，在经过 6 次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解 【解答】解：如图以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系， 根据图形可以得到：每 6 次反弹为一个循环组依次循环，经过 6 次反弹后动点回到出发点（6，0） ，且每 次循环它与 AB 边的碰撞有 2 次， 202063364，
26、 当点 P 第 2020 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 4 次反弹，点 P 的坐标为（2，0） ， 它与 AB 边的碰撞次数是3362+1673 次， 故答案为：673 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （2）2+（1）0+（） 1 【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式43+1+3 5 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算即可 【解
27、答】解：原式 （a1） ， 当 a时， 原式 （+1）2 3+2 20 （6 分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了 100 名学生为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A 表示“优秀” ，B 表示“良好” ，C 表示“合格” ，D 表示“不合格” 第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌 握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了 100 名八年级学生 第二小组随机调查了全校三个年级中的 100 名学生，但只收集到 90 名学生的有效问卷调查表 两个小组的调查结果如图的图表所示： 第二小组统计表 等级
28、人数 百分比 A 17 18.9% B 38 42.2% C 28 31.1% D 7 7.8% 合计 90 100% 若该校共有 1000 名学生，试根据以上信息解答下列问题： （1）第 二 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合 格以上（含合格）的共约 922 人； （2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议 【分析】 （1）根据样本要具有代表性可知第二小组的调查结果比较合理；用这个结果估计总体，1000 人 的（17.8%）就是“合格及以上”的人数； （2）从抽样的代表性、普遍性和可操作性方面提出意见和建议 【解答】解： （1）根据抽样调查的
29、样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理； 1000（17.8%）10000.922922（人） ， 故答案为：二，922； （2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校 范围内抽查学生进行调查 ； 对于第二小组要把问卷收集齐全， 并尽量从多个角度进行抽样， 确保抽样的代表性、 普遍性和可操作性 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分） “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车 出行某自行车店在销售某型
30、号自行车时，以高出进价的 50%标价已知按标价九折销售该型号自行车 8 辆与将标价直降 100 元销售 7 辆获利相同 （1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？ （2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出 51 辆；若每辆自行车每 降价 20 元，每月可多售出 3 辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）设进价为 x 元，则标价是 1.5x 元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车 8 辆的利 润是 1.5x0.988x，将标价直降 100 元销售 7 辆获利是（1.5x100）77x，根据利润相等可得方 程 1.
31、5x0.988x（1.5x100）77x，再解方程即可得到进价，进而得到标价； （2）设该型号自行车降价 a 元，利润为 w 元，利用销售量每辆自行车的利润总利润列出函数关系 式，再利用配方法求最值即可 【解答】解： （1）设进价为 x 元，则标价是 1.5x 元，由题意得： 1.5x0.988x（1.5x100）77x， 解得：x1000， 1.510001500（元） ， 答：进价为 1000 元，标价为 1500 元； （2）设该型号自行车降价 a 元，利润为 w 元，由题意得： w（51+3） （15001000a） ， （a80）2+26460， 0， 当 a80 时，w最大2646
32、0， 答：该型号自行车降价 80 元出售每月获利最大，最大利润是 26460 元 22 （8 分） 【探索发现】小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图 1，若 P 是圆内接正三角形 ABC 的外接圆的上任一点，则APB60，在 PA 上截取 PMPC连接 MC，可证明MCP 是 等边 （填“等腰” “等边”或“直角” ）三角形，从而得到 PCMC，再进一步证明PBC MAC ，得 到 PBMA，可证得：PB+PCPA 【拓展应用】小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图 2，若 P 是圆内接正四边形 ABCD 的外接 圆的上任一点，则APBAPD 45 ，分别过点 B、D 作 BMAP
33、 于 M、DNAP 于 N 【猜想证明】写出 PB、PD 与 PA 之间的数量关系，并说明理由 【分析】 探索发现： BAC 与BPC 互补， 可得BPC120， 已知APB60， 可得APC60， 即MCP 为等边三角形； ABC 为正三角形，由知 MCP 为等边三角形，即可由三角形全等的判定 SAS，证PBC 和MAC 全等 拓展应用：由已知得，即可得APBAPD45； 猜想证明：由（2）知BMP，DNP 均为等腰直角三角形，在正方形中，DAN+BAMABM+ BAM90， 可得DANABM， 即可证 RtADNRtBAM， 得出 ANBM， 即得出 PB+PDPA 【解答】解：探索发现：
34、APB60，BPC180BAC120， CPMBPCAPB， 又PMPC， MCP 为等边三角形， 则 PCMC，PMC60，AMC180PMC120BPC， ABC 为正三角形， ACBC，在PBC 和MAC 中， ， PBCMAC； 拓展应用P 是圆内接正四边形 ABCD 的外接圆上一点， ABADDCBC， ， 每个弧所对的圆心角度数和为 360， AB 与 AD 所对的圆心角为 90， APBAPD45； 【猜想证明 PB+PDPA， 证明：APB45，DNAP， ADN90， BMP 为等腰直角三角形， 由勾股定理得，BMMPPB， APD45，BMAP， BMP90， DNP 为等
35、腰直角三角形 由勾股定理得，DNNPPD， 又DAN+BAM90ABM+BAM， DANABM， 又ADBA， RtADNRtBAM， ANBM， PAAN+NP BM+NP PB+PA， 即 PB+PDPA 23 （8 分）如图，A 为反比例函数 y （其中 x0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上有一点 B，OB4连 接 OA，AB，且 OAAB2 （1）求 k 的值； （2） 过点 B 作 BCOB， 交反比例函数 y （其中 x0） 的图象于点 C， 连接 OC 交 AB 于点 D，求 的值 【分析】 （1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，利用等腰三角形
36、的性质可得出 DH 的长，利用勾股定理可得出 AH 的长，进而可得出点 A 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征 即可求出 k 值； （2）由 OB 的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出 BC 的长，利用三角形中位线定理可求出 MH 的长，进而可得出 AM 的长，由 AMBC 可得出ADMBDC，利用相似三角形的性质即可求出 的值 【解答】解： （1）过点 A 作 AHx 轴，垂足为点 H，AH 交 OC 于点 M，如图所示 OAAB，AHOB， OHBHOB2， AH6， 点 A 的坐标为（2，6） A 为反比例函数 y图象上的一点， k2612 （2）BCx 轴，OB4，点
37、C 在反比例函数 y上， BC3 AHBC，OHBH， MHBC， AMAHMH AMBC， ADMBDC， 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图 1，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD，交 BD 的延长线于点 E （1）求证：EC； （2）如图 2，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值； （3）如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数，并直接写出的值 【分析】 （1）由题意：E90ADE，证明AD
38、E90C 即可解决问题 （2）延长 AD 交 BC 于点 F证明 AEBC，可得AFBEAD90，由 BD：DE2：3， 可得 cosABC （3） 因为ABC 与ADE 相似， DAE90， 所以ABC 中必有一个内角为 90因为ABC 是锐角， 推出ABC90接下来分两种情形分别求解即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中， AEAD， DAE90，E90ADE， AD 平分BAC， BADBAC，同理ABDABC， ADEBAD+DBA，BAC+ABC180C， ADE（ABC+BAC）90C， E90（90C）C （2）解：延长 AD 交 BC 于点 F ABAE， ABEE， BE
39、平分ABC， ABEEBC， ECBE， AEBC， AFBEAD90， BD：DE2：3， cosABC （3）ABC 与ADE 相似，DAE90， ABC 中必有一个内角为 90 ABC 是锐角， ABC90 当BACDAE90时， EC， ABCEC， ABC+C90， ABC30，此时2 当CDAE90时，C45， EDA45， ABC 与ADE 相似， ABC45，此时2 综上所述，ABC30或 45，2或 2 25 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象过原点，与 x 轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式； （2） 在 x 轴上方作 x 轴的平行线
40、y1m， 交二次函数图象于 A、 B 两点， 过 A、 B 两点分别作 x 轴的垂线， 垂足分别为点 D、点 C当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位长度匀速运动，同时动点 Q 以相 同的速度从点 A 出发沿线段 AD 匀速运动，到达点 D 时立即原速返回，当动点 Q 返回到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0） 过点 P 向 x 轴作垂线，交抛物线于点 E，交直线 AC 于 点 F，当以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，请求出 t 的值 【分析】 （1）根
41、据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点 A，B 的坐标，进而可得出点 C，D 的坐标，再利用正方 形的性质可得出关于 m 的方程，解之即可得出结论； （3）由（2）可得出点 A，B，C，D 的坐标，根据点 A，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AC 的 解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点 E，F 的坐标，由 AQEF 且以 A、E、F、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形可得出 AQEF，分 0t4，4t7，7 t8 三种情况找出 AQ，EF 的长，由 AQEF 可得出关于 t 的一元二次方程，
42、解之取其合适的值即可 得出结论 【解答】解： （1）将（0，0） ， （8，0）代入 yx2+bx+c，得：，解得， 该二次函数的解析式为 yx2+x； （2）当 ym 时，x2+xm， 解得：x14，x24+， 点 A 的坐标为（4，m） ，点 B 的坐标为（4+，m） ， 点 D 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（4+，0） 矩形 ABCD 为正方形， 4+（4）m， 解得：m116（舍去） ，m24 当矩形 ABCD 为正方形时，m 的值为 4 （3）以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形 由（2）可知：点 A 的坐标为（2，4） ，点 B 的坐标为（6，4） ，
43、点 C 的坐标为（6，0） ，点 D 的坐标为 （2，0） 设直线 AC 的解析式为 ykx+a（k0） ， 将 A（2，4） ，C（6，0）代入 ykx+a，得：，解得， 直线 AC 的解析式为 yx+6 当 x2+t 时，yx2+xt2+t+4，yx+6t+4， 点 E 的坐标为（2+t，t2+t+4） ，点 F 的坐标为（2+t，t+4） 以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 AQEF， AQEF，分三种情况考虑： 当 0t4 时，如图 1 所示，AQt，EFt2+t+4（t+4）t2+t， tt2+t， 解得：t10（舍去） ，t24； 当 4t7 时，如图 2 所示，AQ8t，EFt2+t+4（t+4）t2+t， 8tt2+t， 解得：t34（舍去） ，t46； 当 7t8 时，如图 3 所示，AQ8t，EFt+4（t2+t+4）t2t， 8tt2t， 解得：t522（舍去） ，t62+2 综上所述：当以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t 的值为 4 或 6 或 2+2
