1、2021 年广东省东莞市寮步镇中考数学一模试卷年广东省东莞市寮步镇中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A B C2021 D2021 2 （3 分）方程 x22x 的解是（ ） Ax2 B Cx0 Dx2 或 x0 3 （3 分）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）为了防控输入性“新冠肺炎” ，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科 3 位骨干医 师中（含有甲）抽调 2 人组成则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（ ） A B C D 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （xy
2、）3xy3 Bx5x5x C3x25x315x5 D5x2y3+2x2y310 x4y9 6 （3 分）若 ab，则下列不等式变形错误的是（ ） Aa+1b+1 B C3a43b4 D43a43b 7 （3 分）如图，在ABC 中，CAB30，将ABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置，且 CCAB，则旋转角的度数为（ ） A100 B120 C110 D130 8 （3 分）如图，点 A 是反比例函数在第二象限内图象上一点，点 B 是反比例函数在第一象限 内图象上一点，直线 AB 与 y 轴交于点 C，且 ACBC，连接 OA、OB，则AOB 的面积是（ ） A2 B2.5 C3
3、D3.5 9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BC2，BAC30，则劣弧的长等于（ ） A B C D 10 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 D（1，2） ，与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0） 之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac0；当 x1 时，y 随 x 增大而减小；a+b+c0； 若方程 ax2+bx+cm0 没有实数根，则 m2； 3a+c0其中正确结论的个数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程 ax2x0 有实数根，则 a 的取值范围为
4、12 （3 分）如果一个正多边形的中心角为 45，那么这个正多边形的边数是 13 （3 分）若（a2）2+|b+1|0，则 a+b3 14 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD2，CE 5，则 CD 15 （3 分） 如图， 创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB， 其中一名小组成员站在距离树 10 米的点 E 处， 测得树顶 A 的仰角为 54已知测角仪的架高 CE1.5 米，则这棵树的高度为 米 （结果保留 一位小数，参考数据：sin540.8090，cos540.5878，tan541.3764） 16 （3 分）如图，从一
5、个直径为 1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为 90的扇形，再将剪下的扇形围成一 个圆锥，则圆锥的底面半径为 m 17 （3 分）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对 角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 三三.解答题（共解答题（共 8 小题）小题） 18先化简，再求值： （1+），其中 x 是不等式组的整数解 19为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对 A、B、C、D 四个厂家生产 的同种型号的零件共 2000 件进行合格率检测，通过检测得出 C 厂家的合格率为 95%，并
6、根据检测数据 绘制了如图 1、图 2 两幅不完整的统计图 （1）抽查 D 厂家的零件为 件，扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角为 （2）抽查 C 厂家的合格零件为 件，并将图 1 补充完整 （3）若要从 A、B、C、D 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法” 或“画树形图”的方法求出 A、B 两个厂家同时被选中的概率 20如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点 （1）请判断OEF 的形状，并证明你的结论； （2）若 AB13，AC10，请求出线段 EF 的长 21已知：关于 x 的方程 x2（k+2）x+2
7、k0 （1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a1，另两边长 b，c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长 22如图，PA 为O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C，交O 于点 B，延长 BO 与 O 交于点 D，与 PA 的延长线交于点 E （1）求证：PB 为O 的切线； （2）若 tanABE，求 sinE 232020 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口 罩共 20 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表： 型号 价格（元/只） 项目 甲
8、乙 成本 12 4 售价 18 6 （1）若该公司三月份的销售收入为 300 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）如果公司四月份投入成本不超过 216 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月 公司所获利润最大？并求出最大利润 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，EF 垂直平分对角线 AC，垂足为 D点 E、点 F 分别在 BC、OA 上，连接 CF、AE，反比例函数的图象恰好经过点 D， 交线段 AE 于点 G，点 D 的坐标为（4，2） （1）求证：四边形 AECF 为菱形； （2）求直线
9、 AE 的解析式； （3）求 G 的坐标 25如图，直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线经过 A、B，且与 x 轴交于点 C，连接 BC （1）求 b、c 的值； （2）点 P 为线段 AC 上一动点（不与 A、C 重合） ，过点 P 作直线 PDAB，交 BC 于点 D，连接 PB， 设 PCn，PBD 的面积为 S，求 S 关于 n 的函数关系式，并写出自变量 n 的取值范围； （3）在（2）的条件下，当 S 最大时，点 M 在抛物线上，在直线 PD 上，是否存在点 Q，使以 M、Q、P、 B 为顶点为四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出符合条件的点 Q 的坐标； 若
10、不存在， 请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A B C2021 D2021 【解答】解：2021 的相反数是 2021， 故选：C 2 （3 分）方程 x22x 的解是（ ） Ax2 B Cx0 Dx2 或 x0 【解答】解：方程 x22x， 移项得：x22x0， 分解因式得：x（x2）0， 可得 x0 或 x20， 解得：x10，x22 故选：D 3 （3 分）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是中心对称图形故错误； B、不是中心对称图形故正确； C
11、、是中心对称图形故错误； D、是中心对称图形故错误 故选：B 4 （3 分）为了防控输入性“新冠肺炎” ，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科 3 位骨干医 师中（含有甲）抽调 2 人组成则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（ ） A B C D 【解答】解：设 3 位骨干医师有甲、乙、丙三人， 全部可能为甲乙、甲丙、乙丙三种， 其中甲被抽调到防控小组的可能有两种， P（甲一定会被抽调到防控小组的概率）， 故选：C 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （xy）3xy3 Bx5x5x C3x25x315x5 D5x2y3+2x2y310 x4y9 【解答】解：A、原式x3y3，错误
12、； B、原式1，错误； C、原式15x5，正确； D、原式7x2y3，错误， 故选：C 6 （3 分）若 ab，则下列不等式变形错误的是（ ） Aa+1b+1 B C3a43b4 D43a43b 【解答】解：A、在不等式 ab 的两边同时加上 1，不等式仍成立，即 a+1b+1故本选项变形正确； B、在不等式 ab 的两边同时除以 2，不等式仍成立，即故本选项变形正确； C、在不等式 ab 的两边同时乘以 3 再减去 4，不等式仍成立，即 3a43b4故本选项变形正确； D、在不等式 ab 的两边同时乘以3 再减去 4，不等号方向改变，即 43a43b故本选项变形错 误； 故选：D 7 （3
13、分）如图，在ABC 中，CAB30，将ABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置，且 CCAB，则旋转角的度数为（ ） A100 B120 C110 D130 【解答】解：ABC 在平面内绕点 A 逆时针旋转到ABC的位置， ACAC，CAC为旋转角， CCAB， ACCCAB30， ACAC， ACCACC30， CAC1803030120， 旋转角的度数为 120 故选：B 8 （3 分）如图，点 A 是反比例函数在第二象限内图象上一点，点 B 是反比例函数在第一象限 内图象上一点，直线 AB 与 y 轴交于点 C，且 ACBC，连接 OA、OB，则AOB 的面积是（ ） A2 B
14、2.5 C3 D3.5 【解答】解：分别过 A、B 两点作 ADx 轴，BEx 轴，垂足为 D、E， ACCB， ODOE， 设 A（a，） ，则 B（a，） ， 故 SAOBS梯形ADBESAODSBOE（+）2aaa3 故选：C 9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BC2，BAC30，则劣弧的长等于（ ） A B C D 【解答】解：如图，连接 OB、OC， BAC30， BOC2BAC60， 又 OBOC， OBC 是等边三角形， BCOBOC2， 劣弧的长为： 故选：A 10 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 的顶点为 D（1，2） ，与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0
15、）和（2，0） 之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac0；当 x1 时，y 随 x 增大而减小；a+b+c0； 若方程 ax2+bx+cm0 没有实数根，则 m2； 3a+c0其中正确结论的个数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【解答】解：二次函数与 x 轴有两个交点， b24ac0，故错误， 观察图象可知：当 x1 时，y 随 x 增大而减小，故正确， 抛物线与 x 轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间， x1 时，ya+b+c0，故正确， 当 m2 时，抛物线与直线 ym 没有交点， 方程 ax2+bx+cm0 没有实数根，故正确， 对称轴 x1， b2a，
16、a+b+c0， 3a+c0，故正确， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11 （3 分）关于 x 的一元二次方程 ax2x0 有实数根，则 a 的取值范围为 a1 且 a0 【解答】解：根据题意得 a0 且（1）24a （）0， 解得 a1 且 a0； 故答案为 a1 且 a0 12 （3 分）如果一个正多边形的中心角为 45，那么这个正多边形的边数是 8 【解答】解：这个多边形的边数是 360458， 故答案为：8 13 （3 分）若（a2）2+|b+1|0，则 a+b3 1 【解答】解：（a2）2+|b+1|0， a20，a2； b+10，b1； 则 a+b3（21）3
17、1 故答案为：1 14 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD2，CE 5，则 CD 4 【解答】解：ACB90，CE 为 AB 边上的中线， AB2CE10， BDABAD8， 由射影定理得，CD4， 故答案为：4 15 （3 分） 如图， 创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB， 其中一名小组成员站在距离树 10 米的点 E 处， 测得树顶 A 的仰角为 54已知测角仪的架高 CE1.5 米，则这棵树的高度为 15.3 米 （结果保留 一位小数，参考数据：sin540.8090，cos540.5878，tan541.3764）
18、【解答】解：如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D则四边形 CEBD 是矩形，BDCE1.5m， 在 RtACD 中，CDEB10m，ACD54， tanACE， ADCDtanACD101.3813.8m ABAD+BD13.8+1.515.3m 答：树的高度 AB 约为 15.3m 故答案为：15.3 16 （3 分）如图，从一个直径为 1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为 90的扇形，再将剪下的扇形围成一 个圆锥，则圆锥的底面半径为 m 【解答】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径， 扇形的半径为：m， 扇形的弧长为：m， 圆锥的底面半径为：2m 17 （3 分）如图所示，正方形 ABCD
19、 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对 角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 2 【解答】解：连接 BD，与 AC 交于点 F 点 B 与 D 关于 AC 对称， PDPB， PD+PEPB+PEBE 最小 正方形 ABCD 的面积为 12， AB2 又ABE 是等边三角形， BEAB2 故所求最小值为 2 故答案为：2 三三.解答题（共解答题（共 8 小题）小题） 18先化简，再求值： （1+），其中 x 是不等式组的整数解 【解答】解：原式 4（x1） 4x4， 不等式组， 解得：2x3， 不等式组的整数解是 x1 或 1
20、 或 0 或 2， 当 x1，1，0 时，原式没有意义； 当 x2 时，原式4（21）4 19为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对 A、B、C、D 四个厂家生产 的同种型号的零件共 2000 件进行合格率检测，通过检测得出 C 厂家的合格率为 95%，并根据检测数据 绘制了如图 1、图 2 两幅不完整的统计图 （1）抽查 D 厂家的零件为 500 件，扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角为 90 （2）抽查 C 厂家的合格零件为 380 件，并将图 1 补充完整 （3）若要从 A、B、C、D 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法” 或“画树
21、形图”的方法求出 A、B 两个厂家同时被选中的概率 【解答】解： （1）抽查 D 厂家的零件为 2000（135%20%20%）500（件） ，扇形统计图中 D 厂 家对应的圆心角36090 （2）抽查 C 厂家的合格零件200095%20%380（件） ， 条形统计图补充为： 故答案为 500，90，380； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中 A、B 两个厂家同时被选中的结果数为 2， 所以 A、B 两个厂家同时被选中的概率 20如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点 （1）请判断OEF 的形状，并证明你的结论
22、； （2）若 AB13，AC10，请求出线段 EF 的长 【解答】解： （1）OEF 是等腰三角形， 理由：四边形 ABCD 是菱形， ABAD，ACBD， 点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点， EOAB，OFAD， EOFO， OEF 是等腰三角形； （2）四边形 ABCD 是菱形，AC10， AO5，AOB90， BO12， BD24， 点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点， EFBD， EF12 21已知：关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k0 （1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a1，另两边长 b，c 恰好是这个方程
23、的两个根，求ABC 的周长 【解答】 （1）证明：（k+2）242k（k2）2， （k2）20，即0， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当 bc 时，（k2）20，则 k2， 方程化为 x24x+40，解得 x1x22， ABC 的周长2+2+15； 当 ba1 或 ca1 时， 把 x1 代入方程得 1（k+2）+2k0，解得 k1， 方程化为 x23x+20，解得 x11，x22， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， ABC 的周长为 5 22如图，PA 为O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C，交O 于点 B，延长 BO 与 O 交于点 D，
24、与 PA 的延长线交于点 E （1）求证：PB 为O 的切线； （2）若 tanABE，求 sinE 【解答】 （1）证明：连接 OA， PA 为O 的切线， OAPA PAO90， OAOB，OPAB 于 C， BCCA，PBPA， PAOPBO， PBOPAO90， PB 为O 的切线； （2）解：连接 AD， BD 为直径，BAD90由（1）知BCO90 ADOP， ADEPOE， ， 由 ADOC 得 AD2OC tanABE， 设 OCt，则 BC2t，AD2t，由PBCBOC， 得 PC2BC4t，OP5t， 可设 EA2，EP5，则 PA3， PAPB， PB3， sinE 23
25、2020 年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口 罩共 20 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表： 型号 价格（元/只） 项目 甲 乙 成本 12 4 售价 18 6 （1）若该公司三月份的销售收入为 300 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）如果公司四月份投入成本不超过 216 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月 公司所获利润最大？并求出最大利润 【解答】解： （1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 x 万只和 y 万只， 由题意可得：， 解得：， 答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩
26、分别是 15 万只和 5 万只； （2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是 a 万只和（20a）万只，利润为 w 万元， 由题意可得：12a+4（20a）216， a17， w（1812）a+（64） （20a）4a+40 是一次函数，w 随 a 的增大而增大， a17 时，w 有最大利润108（万元） ， 答：安排生产甲种型号的防疫口罩 17 万只，乙种型号的防疫口罩 3 万只，最大利润为 108 万元 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，EF 垂直平分对角线 AC，垂足为 D点 E、点 F 分别在 BC、OA 上，连接
27、 CF、AE，反比例函数的图象恰好经过点 D， 交线段 AE 于点 G，点 D 的坐标为（4，2） （1）求证：四边形 AECF 为菱形； （2）求直线 AE 的解析式； （3）求 G 的坐标 【解答】解： （1）EF 垂直平分对角线 AC， FCFA，EAEC， EACECA，FACFCA， BCOA， EACFACFCAEAC， CFAE， 四边形 AECF 为平行四边形， EAEC， 四边形 AECF 为菱形； （2）将点 D 的坐标代入反比例函数表达式得：2，解得 k8， 故反比例函数表达式为 y， 四边形 AECF 为菱形， 点 D 是 AC 的中点， 则点 D 是矩形 OABC 的
28、中点， 故点 B 的坐标为（8，4） ， 故 OC4，OA8， 设菱形 AECF 的边长为 x，则 AFCFx，OF8x，OC4， 在 RtOCF 中，CF2OC2+OF2，即 x2（x8）2+42， 解得 x5， 则点 E 的坐标为（5，4） ， 设直线 AE 的表达式为 ymx+n，则，解得， 故直线 AE 的表达式为 yx+； （3）联立得：x+， 解得 x4（舍去）或 4+， 故点 G 的坐标为（4+，） 25如图，直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线经过 A、B，且与 x 轴交于点 C，连接 BC （1）求 b、c 的值； （2）点 P 为线段 AC 上一动点（不与
29、 A、C 重合） ，过点 P 作直线 PDAB，交 BC 于点 D，连接 PB， 设 PCn，PBD 的面积为 S，求 S 关于 n 的函数关系式，并写出自变量 n 的取值范围； （3）在（2）的条件下，当 S 最大时，点 M 在抛物线上，在直线 PD 上，是否存在点 Q，使以 M、Q、P、 B 为顶点为四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出符合条件的点 Q 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）对于，令0，解得 x3，令 x0，则 y， 故点 A、B 的坐标分别为（3，0） 、 （0，） ， 将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 即 b，c； （2）由（1）知，抛
30、物线的表达式为 yx2x+， 由点 A、C 的坐标知，AC5， PDAB， 则ABCPBC， ，即，解得 yD， 则 SSPCBSPCDPC（yByD）（）nn2+n（0n5） ； （3）由 Sn2+n 知，当 n时，S 最大，此时点 P 的坐标为（，0） ， 由点 P、D 的坐标得，直线 PD 的表达式为 yx+， 设点 M 坐标为（m，n） ，则 nm2m+，设点 Q 的坐标为（x，x+） ， 当 PB 是边时， 则点 B 向左平移个单位向下平移个单位得到点 P，同样点 M 向左平移个单位向下平移个单位 得到点 Q， 即 mx 且 nx+， 联立并解得 x（不合题意的值已舍去） ， 故点 Q 的坐标为（，） ； 当 PB 是对角线时， 由中点坐标公式得：（0）（x+m）且（0+）（n+x+）， 联立并解得 x（不合题意的值已舍去） ， 故点 Q 的坐标为（，） 综上，点 Q 的坐标为（，）或（，）
