1、2021 年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷 一、选择题（木大题共一、选择题（木大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的求的.） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） A3a2+2a25a2 B3 Cx2x22x4 Dx6+x2x3 2 （3 分）实数5 的绝对值是（ ） A B5 C0 D5 3 （3 分）直线 y3x+2 与 y 轴的交点坐标为（ ） A （0，3） B （，0） C （0，2） D （0，2） 4 （3 分）一个
2、由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A B C D 5 （3 分）一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A7 B9 C12 D9 或 12 6 （3 分）三张外观相同的卡片分别标有数字 1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字 恰好都小于 3 的概率是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，点（3，k）在双曲线 y上，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，线段 OA 的垂平分线交 OC 于点 B，则ABC 周长的值是（ ） A3 B2+ C4 D3+ 8 （3 分）一种药品原价为 25 元，经过两次降价后每盒 16 元，设两次
3、降价的百分率都同为 x，则 x 满足方 程（ ） A25（12x2）16 B25（1x）216 C16（1+2x2）25 D16（1+x）225 9 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 与O 交于点 D，连接 OD若C 50，则AOD 的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 10 （3 分）如是二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2， 0） （3，0）之间，对称轴是线 x1对于下列说法： abc0；ba+c；3a+c0；当1x时，y0；a+bm（am+b） （m 为实数） 其中正确的是
4、（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）函数 y自变量 x 的取值范围是 12 （3 分）分解因式：m2n4n 13 （3 分）如图，直线 a、b 被 c 所截，且 ab，1132，则2 14 （3 分）某红外线的波长为 0.000 000 94 米，用科学记数法表示这个数是 米 15（3分） 已知关于x的方程x22x+3k0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 16 （3 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 延长线上的一点，连接 PA，过点 P 作 PEPA 交
5、 BC 的延长线于点 E，过点 E 作 EFBP 于点 F，则下列结论中： PAPE；CEPD；BFPDBD；SPEFSADP 正确的是 （填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）解答写出文说明、证明过程或演算步骤） 17 （4 分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 18 （4 分）解分式方程： 19 （6 分）已知，如图，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AECF，求证：BEDF 20 （6 分）已知 H（ab0） （1）化简 H； （2）若点 P（a，b）在
6、直线 yx2 上，求 H 的值 21 （8 分）中华文化源远流长，文学方面西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦是我国古代长编 小说中的典型代表，被称为“四大古典名著” 某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著 你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图 请根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数并将条形统计图补充完整； （2） 没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读， 求他们恰好选中同 一部名著的概率 22 （10 分）已知反比函 y（k 为常数） （1）点 P1（1，y1） 、
7、P2（2，y2）为此反比例函数图象上的两点，比较 y1和 y2的大小； （2）设点 P（m，n） （m0）是其图象上的一点过点 P 作 PMx 轴于点 MO 为坐标原点，若 tan POM2，PO求 k 的值并直接写出不等式 kx0 的解集 23 （10 分）如图，RtABC 中，CD 是斜边 AB 的中线 （1）尺规作图：画出以 CD 为直径的O，与 AB 交于点 E，与 AC 交于点 F； （2）若 BC2，AC4，求 DE 的长； （3）连接 EF，交 CD 于点 P，若 DP：PO3：2，求的值 24 （12 分）如图，ABC 中，A120，ABAC，过点 A 作 AOAC 交 BC
8、于点 O （1）求证：BOBC； （2）设 ABk 以 OB 为半径的O 交 BC 边于另一点 P，点 D 为 CA 边上一点，且 CD2DA连接 DP，求 SCPD 点 Q 是线段 AB 上一动点（不与 A、B 合） ，连接 OQ 在点 Q 运动过程中，求 AQ+2OQ 的最小值 25 （12 分）已知抛物线 yx2+x+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（2，0） （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 Q（h，k）为抛物线上一动点，且 h0，k0 过点 Q 作平行于 BC 的直线 l1交线段 AC 于点 D，记线段 QD 的长为 d当 d 取最大值时
9、，求点 Q 的 坐标； 点 Q1为点 Q 关于 y 轴的对称点，又过点 Q1作直线 l1的平行线 l2交直线 AC 于点 D1记线段 Q1D1的 长为 d1，求当 dd1时，h 的取值范围 2021 年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（木大题共一、选择题（木大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的求的.） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） A3a2+2a25a2 B3 Cx2x22
10、x4 Dx6+x2x3 【解答】解：A、3a2+2a25a2，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、xx2x2x4，故此选项不符合题意； D、x6+x2不能合并同类项，故此选项不符合题意； 故选：A 2 （3 分）实数5 的绝对值是（ ） A B5 C0 D5 【解答】解：实数5 的绝对值是：5 故选：B 3 （3 分）直线 y3x+2 与 y 轴的交点坐标为（ ） A （0，3） B （，0） C （0，2） D （0，2） 【解答】解：令 x0，则 y2， 直线 y3x+2 与 y 轴交点的坐标是（0，2） 故选：D 4 （3 分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，
11、它的俯视图是（ ） A B C D 【解答】解：几何体的俯视图是： 故选：C 5 （3 分）一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A7 B9 C12 D9 或 12 【解答】解：当腰为 5 时，周长5+5+212； 当腰长为 2 时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为 5，这个三角形的周长是 12 故选：C 6 （3 分）三张外观相同的卡片分别标有数字 1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字 恰好都小于 3 的概率是（ ） A B C D 【解答】解：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，而两张卡片上
12、的数字恰好都小于 3 有 2 种情况， 两张卡片上的数字恰好都小于 3 概率是； 故选：C 7 （3 分）如图，点（3，k）在双曲线 y上，过点 A 作 ACx 轴，垂足为 C，线段 OA 的垂平分线交 OC 于点 B，则ABC 周长的值是（ ） A3 B2+ C4 D3+ 【解答】解：点（3，k）在双曲线 y上， k1， A（3，1） ， OC3，AC1 OA 的垂直平分线交 OC 于 B， ABOB， ABC 的周长AB+BC+ACOB+BC+ACOC+AC3+14 故选：C 8 （3 分）一种药品原价为 25 元，经过两次降价后每盒 16 元，设两次降价的百分率都同为 x，则 x 满足方
13、 程（ ） A25（12x2）16 B25（1x）216 C16（1+2x2）25 D16（1+x）225 【解答】解：第一次降价后的价格为 25（1x） ， 第二次降价后的价格为 25（1x）（1x）25（1x）2， 列的方程为 25（1x）216， 故选：B 9 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 与O 交于点 D，连接 OD若C 50，则AOD 的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 【解答】解：AC 是O 的切线， ABAC， BAC90， C50， ABC40， ODOB， ODBABC40， AODODB+ABC80； 故选：C 10
14、 （3 分）如是二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2， 0） （3，0）之间，对称轴是线 x1对于下列说法： abc0；ba+c；3a+c0；当1x时，y0；a+bm（am+b） （m 为实数） 其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 对称轴 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴， c0， abc0，故正确； 抛物线与 x 轴的交点 A 在点（2，0） （3，0）之间，对称轴为 x1， 抛物线 x 轴的另一个交点在（1，0）和（0，0）之间， 当 x1 时，yab+c0，即
15、a+cb，即正确，错误； 抛物线与 x 轴的交点 A 在点（2，0） （3，0）之间， 9a+3b+c0， 又 b2a， 9a6a+c3a+c0，故错误； 由图可知，当 x1 时，函数有最大值， 对于任意实数 m，有 am2+bm+ca+b+c，即 a+bm（am+b） ，故正确 综上，正确的有 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）函数 y自变量 x 的取值范围是 x5 【解答】解：根据题意得，x50， 解得 x5 故答案为：x5 12 （3 分）分解因式：m2n4n n（m+2） （m2） 【
16、解答】解：原式n（m24）n（m+2） （m2） ， 故答案为：n（m+2） （m2） 13 （3 分）如图，直线 a、b 被 c 所截，且 ab，1132，则2 48 【解答】解：ab， 1+2180， 1132， 2180118013248 故答案为：48 14 （3 分）某红外线的波长为 0.000 000 94 米，用科学记数法表示这个数是 9.410 7 米 【解答】解：0.000 000949.410 7； 故答案为 9.410 7 15 （3 分）已知关于 x 的方程 x22x+3k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 【解答】解：a1，b2，c3k， b24ac（
17、2）2413k412k0， 解得：k 故答案为：k 16 （3 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 延长线上的一点，连接 PA，过点 P 作 PEPA 交 BC 的延长线于点 E，过点 E 作 EFBP 于点 F，则下列结论中： PAPE；CEPD；BFPDBD；SPEFSADP 正确的是 （填写所有正确结论的序号） 【解答】解：解法一：如图 1，在 EF 上取一点 G，使 FGFP，连接 BG、PG， EFBP， BFE90， 四边形 ABCD 是正方形， FBCABD45， BFEF， 在BFG 和EFP 中， ， BFGEFP（SAS） ， BGPE，PEFGBF， A
18、BDFPG45， ABPG， APPE， APEAPF+FPEFPE+PEF90， APFPEFGBF， APBG， 四边形 ABGP 是平行四边形， APBG， APPE； 解法二：如图 2，连接 AE，ABCAPE90， A、B、E、P 四点共圆， EAPPBC45， APPE， APE90， APE 是等腰直角三角形， APPE， 故正确； 如图 3，连接 CG，由知：PGAB，PGAB， ABCD，ABCD， PGCD，PGCD， 四边形 DCGP 是平行四边形， CGPD，CGPD， PDEF， CGEF，即CGE90， CEG45， CECGPD； 故正确； 如图 4，连接 AC
19、交 BD 于 O，由知：CGFGFD90， 四边形 ABCD 是正方形， ACBD， COF90， 四边形 OCGF 是矩形， CGOFPD， BDOBBFOFBFPD， 故正确； 如图 4 中，在AOP 和PFE 中， ， AOPPFE（AAS） ， SAOPSPEF， SADPSAOPSPEF， 故不正确； 本题结论正确的有：， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）解答写出文说明、证明过程或演算步骤） 17 （4 分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 【解答】解：， 解不等式得：x1， 解不等
20、式得：x2， 不等式组的解集是1x2 将解集表示在数轴上如下： 18 （4 分）解分式方程： 【解答】解：去分母，得 x（x+2）+6（x2）（x2） （x+2） 化简得：8x8， 解得 x1 经检验，x1 是原方程的解 原方程的解是 x1 19 （6 分）已知，如图，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AECF，求证：BEDF 【解答】证明：四边形 ABCD 为矩形， ADBC，ADBC， 又AECF， ADAEBCCF， 即 EDBF， 而 EDBF， 四边形 BFDE 为平行四边形， BEDF（平行四边形对边相等） 20 （6 分）已知 H（ab0） （1）化简
21、H； （2）若点 P（a，b）在直线 yx2 上，求 H 的值 【解答】解： （1）H ； （2）点 P（a，b）在直线 yx2 上， ba2， ab2， 当 ab2 时，原式1， 即 H 的值是 1 21 （8 分）中华文化源远流长，文学方面西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦是我国古代长编 小说中的典型代表，被称为“四大古典名著” 某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著 你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图 请根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数并将条形统计图补充完整； （2） 没有读过四大古
22、典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读， 求他们恰好选中同 一部名著的概率 【解答】解： （1）调查的总人数为：1025%40（人） ， 阅读 1 部对应的人数为：402108614（人） ， 2+14+102621，2+1420， 中位数为 2 部，将条形统计图补充完整如下： （2）将西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦分别记作 A，B，C，D， 画树状图可得： 共有 16 种等可能的结果，其中选中同一名著的有 4 种， 故 P（两人选中同一名著） 22 （10 分）已知反比函 y（k 为常数） （1）点 P1（1，y1） 、P2（2，y2）为此反比例函数图象上的两点
23、，比较 y1和 y2的大小； （2）设点 P（m，n） （m0）是其图象上的一点过点 P 作 PMx 轴于点 MO 为坐标原点，若 tan POM2，PO求 k 的值并直接写出不等式 kx0 的解集 【解答】解： （1）k2+10， 反比例函数 y（k 为常数）在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小， 210， y1y2； （2）点 P（m，n）在反比例函数 y（k 为常数）的图象上，m0， n0， OMm，PMn， tanPOM2， 2， n2m， PO， m2+n25， m1，n2， P（1，2） ， k2+12， 解得 k1， 当 k1 时，则不等式 kx0 的解集为：x0； 当 k1
24、 时，则不等式 kx0 的解集为：x或x0 23 （10 分）如图，RtABC 中，CD 是斜边 AB 的中线 （1）尺规作图：画出以 CD 为直径的O，与 AB 交于点 E，与 AC 交于点 F； （2）若 BC2，AC4，求 DE 的长； （3）连接 EF，交 CD 于点 P，若 DP：PO3：2，求的值 【解答】解： （1）以 C 为圆心定长为半径画弧，以 D 为圆心定长为半径画弧，两弧交于点 M、N，连接 MN 交 CD 于点 O，以 O 为圆心，OC 为半径画圆； （2）连接 CE， CEBACB，ABCCBE， ABCCBE， 同理，ACEABC， 2， AB，CE， SABC，
25、BE，AE， ， ， （3）CD 为ABC 中线， ADBDCD， DACDCA， OFOC， OFCOCFDCADAC， FOAD， ， ， 令 DE3x，则 CD4xADBD，BEx， CEx， 24 （12 分）如图，ABC 中，A120，ABAC，过点 A 作 AOAC 交 BC 于点 O （1）求证：BOBC； （2）设 ABk 以 OB 为半径的O 交 BC 边于另一点 P，点 D 为 CA 边上一点，且 CD2DA连接 DP，求 SCPD 点 Q 是线段 AB 上一动点（不与 A、B 合） ，连接 OQ 在点 Q 运动过程中，求 AQ+2OQ 的最小值 【解答】解： （1）证明：
26、A120，ABAC， BC30， AOAC， OAC90，BAO30， BOAO，AOCO， BOCO， BOBC； （2）如图： ABk， ACk， RtAOC 中，tanC， OAkOB， C30， OC2OAk， CPOCOPOCOAk， CD2DA， DA，DC， RtAOD 中，tanAOD， AOD30， AOC180OACC60， AODDOP30， 又 OAOP，ODOD， AODPOD（SAS） ， DPOAOD90，DADP， DP， SCPDCPDPk2； 以 A 为顶点，AB 为一边，在ABC 外部作BAN30，过 Q 作 QNAN 于 N，过 O 作 OMAN 于 M
27、，连接 OQ，如图： 在 RtAQN 中，BAN30， NQAQ， AQ+2OQ2（AQ+OQ） ， AQ+2OQ 最小，即是AQ+OQ 最小，故 NQ+OQ 最小，此时 ONAN，Q 与 Q重合，N 与 M 重合， OM 长度即是AQ+OQ 的最小值， 而由知：OAk，OAMOAB+BAM60， RtAOM 中，sinOAM， sin60， OM， AQ+OQ 的最小值为， AQ+2OQ 的最小值是 k 25 （12 分）已知抛物线 yx2+x+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（2，0） （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 Q（h，k）为抛物线上一
28、动点，且 h0，k0 过点 Q 作平行于 BC 的直线 l1交线段 AC 于点 D，记线段 QD 的长为 d当 d 取最大值时，求点 Q 的 坐标； 点 Q1为点 Q 关于 y 轴的对称点，又过点 Q1作直线 l1的平行线 l2交直线 AC 于点 D1记线段 Q1D1的 长为 d1，求当 dd1时，h 的取值范围 【解答】解： （1）把 B（2，0）代入 yx2+x+c，得过且22+c0，解得 c4， 抛物线的解析式为 yx2+x+4， 当 x0 时，y4， C（0，4） ， 设直线 BC 的解析式为 ymx+4，则2m+40，解得 m2， 直线 BC 的解析式为 y2x+4 （2）如图 1，
29、作 QEx 轴于点 E，交线段 AC 于点 F，作 DGQF 于点 G，设直线 l1交 x 轴于点 H 当 y0 时，由x2+x+40，得 x12，x24， A（4，0） ， 设直线 AC 的解析式为 yax+4，则 4a+40，解得 a1， yx+4， 设 Q（h，h2+h+4） ，则 F（h，h+4） ， QFh2+h+4+h4h2+2h； OAOC4，AOC90， OACOCA45， DGAB，FGOC， GDFOAC45，GFDOCA45， DGFG； OB2，OC4，BOC90， BC2， QDGQHACBO，DGQBOC90， DGQBOC， DG：GQ：QDBO：OC：CB1：2： GQ2DG2FG，DGFGQF，QDDGQF， d（h2+2h）h2+h（h2）2+， 0， 当 h2 时，d 的值最大， 此时 Q（2，4） 如图 2，作 Q1Rx 轴，交直线 AC 于点 R，作 D1PQ1R 于点 P. Q1D1RCDHQDF，Q1RD1QFD， D1Q1RDQF， Q1D1Q1R， 点 Q1与点 Q（h，h2+h+4）关于轴对称， Q1（h，h2+h+4） ，R（h，h+4） ， Q1Rh+4+h2h4）h2， Q1D1h2h2， 由题意，得，解得 2h4， h 的取值范围是 2h4
