1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（24） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 2 |120Ax xx，集合 | 50Bxx，则(AB ) A | 53xx B | 54xx C | 40 xx D |03xx 2复平面内表示复数()(0)zi ai a的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，点P的坐标为(1,4)，则| (
2、PF ) A 17 16 B 65 16 C2 D5 4 为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异， 召集了男女志愿者各 300 名， 让他们同时完成多个任务 以 下 4 个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是( ) 总体看女性处理多任务平均用时更短； 所有女性处理多任务的能力都要优于男性； 男性的时间分布更接近正态分布； 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大 A B C D 5已知 1 sinsin() 33 ，则cos() 6 的值为( ) A 1 3 B 1 3 C 2 3 3 D 2 3 3 6等比数列 n a各项均为正
3、数，且 345 8a a a ，则 212227 logloglog(aaa ) A7 B8 C9 D 2 1log 7 7.已知定义在R上的奇函数( )f x满足：( )(6)f xf x， 且当03x时， 0.5 log(1)(01) ( )( (2)(13) axx f xa xxx 剟 为常数） ，则(2020)(2021)ff的值为( ) A2 B1 C0 D1 8已知直三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为 2，ABBC，2ABBC过AB， 1 BB的中点E，F作平面 与平面 11 AAC C垂直，则所得截面周长为( ) A2 26 B22 6 C3 26 D3 22 6 二、二、
4、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9为方便顾客购物，某网上购鞋平台统计了鞋号y（单位：码）与脚长x（单位：毫米）的样本数据( i x， ) i y，发现y与x具有线性相关关系，用最小二乘法求得回归方程为0.210yx，则下列结论中正确的为( ) A回归直线过样本点的中心(x，)y By与x可能具有负的线性相关关系 C若某顾客的鞋号是
5、40 码，则该顾客的脚长约为 250 毫米 D若某顾客的脚长为 262 毫米，在“不挤脚”的前提下，应选择 42 码的鞋 10在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学生根据高校的 要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史 2 门科目中选择 1 门，再从政治、地理、化学、生物 4 门科 目中选择 2 门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某学生想在物理、化学、生物、 政治、历史、地理这 6 门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( ) A若任意选科，选法总数为 2 4 C B若化学必选，选法总数为 11 23 C C C若政治和地理至少选
6、一门，选法总数为 111 223 C C C D若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为 11 22 1C C 11下列不等式的解集与不等式 22 (1)(23)xx 的解集完全相同的是( ) A 11 |1|23|xx B 11 22 log (1)log (23)xx C 22 22 log (1)log (23)xx D |1|23| 22 xx 12已知函数 (1),0 ( )( ,0 2 x x exx f xe a eaxx 为自然对数的底数） ，若关于x的方程( )()0f xfx有且仅有四 个不同的解，则实数a的值可能为( ) Ae B2e C3e D4e 三、填空题：本题
7、共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量AB与 3 (1,) 2 a 反向，且|13AB ，则AB的坐标为 14为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020 年中办、国办联合印发了关于全面 加强和改进新时代学校体育工作的意见 为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为： 1.33 米得 5 分，每增加 0.03 米，分值增加 5 分，直到 1.84 米得 90 分后，每增加 0.1 米，分值增加 5 分，满 分为 120 分若某女生训练前的成绩为 70 分，经过一段时间的训练后，成绩为 105 分，则该女生经过训
8、练 后跳远增加了 米 15 在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 2 2s i n c o s4s i n c o s3s i ns i n 2 B ABCCA， 则3sincosAA的取值范围为 16 已知离心率为2的双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点F与抛物线 2 C的焦点重合， 1 C的中心与 2 C 的顶点重合，M是 1 C与 2 C的公共点，若| 5MF ，则 1 C的标准方程为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9、。 17已知等差数列 n a和等比数列 n b的首项均为 1， n b的前n项和为 n S，且 22 aS， 43 aS （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 nnn cab， * nN，求数列 n c的前n项和 n T 18如图，在平面四边形ABCD中，45DCB，DBAD，2CD （1）若2 5BD ，求BDC的面积； （2）若 5 cos 5 ADC ， 2 15 9 AD ，求角A的大小 19某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上 40 件产品作为样本算出他们 的重量（单位：克）重量的分组区间为(490，495、(495，500、(510，51
10、5，由此得到样本的频 率分布直方图，如图所示 （1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量； （2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设X为重量超过 505 克的产品数量，求X的分布列及期望； （3）从流水线上任取 5 件产品，设Y为重量超过 505 克的产品数量，求Y的期望、方差 20如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面ABC，D，E，F，G分别为 1 AA，AC， 11 AC， 1 BB的 中点，5ABBC， 1 2ACAA （1）求证：AC 平面BEF； （2）求二面角 1 BCDC的正弦值； （3）求直线FG与平面BCD所成角的正弦值 21已知
11、直线l经过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点(,0)c和下顶点，坐标原点O到直线l的距离为 2 2 c （）求椭圆C的离心率； （）若椭圆C经过点(2,1)P，A，B是椭圆C上的两个动点，且APB的角平分线总是垂直于y轴，求 证：直线AB的斜率为定值 22已知函数 1 ( )() x f xln xa xa ，函数( )g x满足 2 ( )ln g xxlnxxa （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若( )g x有两个不同的零点 1 x， 2 x，证明： 12 1x x 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（24）答案）答案 1解： |
12、 43Axx ， | 50Bxx， | 40ABxx 故选：C 2解：复数()1zi aiai ， 因为0a ，所以复数z对应的点的坐标(1, )a在第四象限 故选：D 3解：抛物线 2 :4C yx的准线方程为： 1 16 y ， 点P的坐标为(1,4)，由抛物线的定义可知 165 | 4() 1616 PF 故选：B 4解：女性处理多任务平均用时集中在23分钟，男性的集中在34.5分钟，即正确； 从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉， 所以并不是 “所有女性都优于男性” ， 即错误； 根据正态分布的性质可知正确； 女性和男性处理多任务的用时均为正数，即错误 故选：C 5解： 1
13、 sinsin() 33 ， 131 sinsincos 223 ， 131 sincos 223 ，即 1 cos() 63 ， 1 cos() 63 故选：B 6解：根据题意，等比数列 n a中， 345 8a a a ，则 3 4 ()8a，即 4 2a ， 则 7 2122272127242 loglogloglog ()log ()log 2aaaa aaa 7 7， 故选：A 7.解：根据题意，函数( )f x满足：( )(6)f xf x，则函数( )f x是周期为 6 的周期函数， 则(2020)( 23376)( 2)fff ，(2021)( 13376)( 1)fff ，
14、又由( )f x为定义域为R的奇函数，则( 2)ff （2） ，(1 )ff （1） ， 又由当03x时， 0.5 log(1)(01) ( ) (2)(13) axx f x xxx 剟 ， 则 0.5 (0)log10faa，则0a ， 则f（1） 0.5 log(1 1)1 ，f（2）2(22)0， 则(2020)(2021)fff （1）f（2）1， 故选：D 8解：取AC的中点D，连接BD，取 11 AC的中点 1 D，连接 11 B D， 1 DD， 取AD的中点G，连接EG，连接EF，并延长，与 11 A B的延长线交于H， 取 11 C D的中点M，连接MH，交 11 BC于N
15、，连接FN，GM， 可得/ /EGBD， 11 / /BDB D， 11 / /MNB D，即有/ /EGMN， 又ABBC，可得BDAC， 1 AA 平面ABC，可得 1 AABD，所以BD 平面 11 AAC C， 可得EG 平面 11 AAC C， 由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF 平面 11 AAC C， 则平面EGMNF即为平面， 由 12 22 EGBD，426GM ， 11 12 22 MNB D，1 12NF ，2FE ， 可得所得截面周长为 22 6223 26 22 故选：C 9解：对于A，回归方程必过样本中心(x，)y，故选项A正确； 对于B，由0.20可知，y与
16、x具有正的线性相关关系，故选项B错误； 对于C，将40y 代入回归方程为0.210yx，可得250 x ， 所以当某顾客的鞋号是 40 码，则该顾客的脚长约为 250 毫米，故选项C正确； 对于D，将262x 代入回归方程为0.210yx，可得262 0.2 1042.4y ， 所以当某顾客的脚长为 262 毫米，选择 42 码的鞋会挤脚，故选项D错误 故选：AC 10解：选项A：若任意选科，选法总数为 12 24 C C，故A错误； 选项B：若化学必选，则选法总数为 11 23 C C，故B正确； 选项C：若政治和地理至少选一门，则选法总数为 111 222 (1)C C C ，故C错误；
17、选项D：若物理必选，化学，生物至少选一门，选法总数为 11 22 1C C ，故D正确 故选：BD 11解：因为函数 2 2 1 ( )f xx x ，它是偶函数且在0，)上单调递减， 所以不等式 22 (1)(23)xx 等价于|2| |23| 0 xx， 对于A，不等式 11 |1|23|xx 等价于|2| |23| 0 xx，故选项A成立； 对 于B， 因 为 函 数 1 2 ylog x在(0,)上 单 调 递 减 ， 所 以 不 等 式 11 22 log (1)log (23)xx等 价 于 1230 xx ，故选项B不成立； 对 于C， 因 为 函 数 2 yl o x在(0,)
18、上 单 调 递 增 ， 所 以 不 等 式 22 22 log (1)log (23)xx等 价 于 |2 | | 23 |0 xx，故选项C成立； 对于D，因为函数2xy 在R上为单调递增函数，所以不等式 |1|23| 22 xx 等价于|2| |23|xx，故选项D 不成立 故选：AC 12解：设( )( )()F xf xfx，可得()( )FxF x，即有( )F x为偶函数， 由题意考虑0 x 时，( )F x有两个零点， 当0 x 时，0 x ，() 2 x a fxeax， 即有0 x 时，( ) 22 xxxx aa F xxeeeaxxeax， 由( )0F x ，可得0 2
19、 x a xeax， 由 x yxe， 1 () 2 ya x相切，设切点为( ,) t t te， x yxe的导数为(1) x yxe，可得切线的斜率为(1) t te， 可得切线的方程为(1) () tt ytete xt， 由切线经过点( 1 2 ，0)，可得(1) ( tt tete 1 ) 2 t， 解得1t 或 1 2 （舍去） ， 即有切线的斜率为2e， 由图象可得2ae时，直线与曲线有两个交点， 综上可得a的范围是(2 ,)e 故选：CD 13解：根据题意设 3 (1,) 2 ABa，且0，|13AB ， 9 113 4 ，解得2 ， ( 2,3)AB 故答案为：( 2,3)
20、 14解：已知 1.33 米1.84米，每增加 0.03 米，分值增加 5 分， 训练前 70 分，则训练前的跳远距离为 705 1.330.031.330.391.72 5 米， 又 1.84 米得 90 分， 则 1.84 米后跳远距离为105 90 0.10.3 5 ， 所以训练后跳远距离为1.840.32.14米， 所以该女生训练后跳远增加的距离为2.141.720.42， 故答案为：0.42 15解：由 2 2sincos4sincos3sinsin 2 B ABCCA，得 cos1 2 cos43 2 B aBcca ， 化简得2 cos2 cos23aBcBcca，即2()cos
21、acBac， 0a ，0c ，2cos1B，又0 2 b ， 3 B ， 2 3 AC ， 62 A ， 31 3sincos2(sincos )2sin()( 3 226 AAAAA ，2 故答案为：( 3，2 16解：由2 c e a ，得 2222 4caba，即3ba， 所以 22 3 4 bc，所以 22 1 22 44 :1 3 xy C cc ， M为双曲线与抛物线的公共点， 由 2 222 4 1243 ycx xyc ，得 22 121630 xcxc 222 ( 16 )4 12 ( 3 )400ccc ， 得 1620 24 cc x ，即 1 6 xc 或 3 2 xc
22、， 0 x ， 3 2 M xc， 则 35 |5 222 M p MFxccc，解得2c 1 C的标准方程为 2 2 1 3 y x 故答案为： 2 2 1 3 y x 17解： （1）设公差为d的等差数列 n a和公比为q的等比数列 n b的首项均为 1， 且 22 aS， 43 aS 所以 2 11 131 dq dqq ， 解得2dq， 所以21 n an， 1 2n n b （2）设 1 (21) 2n nnn cabn ， 所以 1 12 11 2(2 1 1)2(2 2 1)(21) 2n n Tn ， 2 13 1 22(2 1 1)2(2 2 1)(21) 2n n Tn ，
23、 得：(23) 23 n n Tn 18解： （1）因为2 5BD ，由正弦定理 sinsinsin BDCDBC BCDCBDBDC ，45DCB， 可得 10 sin 10 CBD， 由余弦定理可得 222 2 cos 22 BCCDBD DCB BC CD ，可得4 2BC ， 所以 112 sin4 224 222 BDC SBCCDBCD （2）因为ADDB，所以90ADB， 5 coscos()sin 25 ADCBDCBDC ，即 5 sin 5 BDC， 因为 2 sin1BDCcosBDC，且BDC为锐角， 所以 2 5 cos 5 BDC， 所以sinsin()sin()D
24、BCBCDBDCBCDBDC sincoscossinBCDBDCBCDBDC， 可得 3 10 sin 10 DBC， 在BCD中，由正弦定理 sinsin CDBD DBCDCB ， 可得 2 3 102 102 BD ，可得 2 5 3 BD ， 因为tan3 BD A AD ， 又A为锐角， 所以60A 19某解： （1）重量超过 505 克的产品数量是： 40 (0.05 50.01 5)12 件 （2）X的所有可能取值为 0，1，2， 2 28 2 40 63 (0) 130 C P X C ， 11 1228 2 40 56 (1) 130 C C P X C ， 2 12 2
25、40 11 (2) 130 C P X C ， X的分布列为： X 0 1 2 P 63 130 56 130 11 130 63561139 012 13013013065 EX （3）利用样本估计总体，该流水线产品重量超过 505 克的概率为 0.3， 由题意可得(5,0.3)YB， 50.31.5EY， 50.3 0.71.05DY 20 （1）证明：因为ABBC，E为AC中点，所以ACEB， 又因为 1 CC 平面ABC，所以 1 CCAC， 因为E，F分别为AC， 11 AC的中点，所以 1 / /EFC C， 所以ACEF， 又因为EFBEE，所以AC 平面BEF （2）解：由（1
26、）知EA、EB、EF两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， (2CD ，0，1)，(1CB ，2，0)， 设平面BCD的法向量为(mx，y，) z， 20 20 CD mxz CB mxy ，令2x ，( 2m ，1，4)， 平面 1 C CD的法向量为(0n ，1，0)， 设二面角 1 BCDC的大小为， |11 |cos| | |21 121 m n mn ， 2 12 105 sin11 2121 cos 所以二面角 1 BCDC的正弦值为 2 105 21 （3）解：由（2）知平面BCD的法向量为( 2m ，1，4)， 又因为(0FG ，2，1)， 所以直线FG与平面BCD所成角的
27、正弦值为 |22 105 105| |521 FG m FGm 21解： （）法一：过点(,0)c，(0,)b的直线l的方程为01bxcybc 分 则坐标原点O到直线l的距离为 22 2 2 bcbc dc a bc 2分 可得 2 22 1( ) 22 bb e aa 4分 法二：由三角形等面积法可知： 22 22 22 bccbcca2分 可得 2 22 1( ) 22 bb e aa 4分 （）由（）易知2ab，则椭圆 22 22 :1 2 xy C bb 经过点(2,1)P， 解得 2 3b ，则椭圆 22 :1 63 xy C5分 法一：因为APB的角平分线总垂直于y轴，所以AP与B
28、P所在直线关于直线1y 对称 设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为k所以设直线AP的方程为1(2)yk x ， 直线BP的方程为1(2)yk x ， 设点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y6分 由 22 1(2) 1 63 yk x xy ，消去y，得 2222 (1 2)4(2)8840kxkkxkk 因为点(2,1)P在椭圆C上，则有 2 1 2 884 2 12 kk x k ，即 2 1 2 442 12 kk x k 8分 同理可得 2 2 2 442 12 kk x k 9分 所以 12 2 8 12 k xx k ，又 1212 2 8 ()4 12 k
29、yyk xxk k 11分 所以直线AB的斜率为 12 12 1 yy xx 12分 法二：设直线AB的方程为ykxt，点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 11 ykxt， 12 ykxt， 直线AP的斜率 1 1 1 2 AP y k x ，直线BP的斜率 2 2 1 2 BP y k x 因为APB的角平分线总垂直于y轴，所以AP与BP所在直线关于直线1y 对称 所以 APBP kk ，即 12 12 11 06 22 yy xx 分 化简得 12211212 ()2()40 x yx yxxyy 把 11 ykxt， 12 ykxt，代入上式，并化简得 1212
30、 2(12 )()4407kx xtkxxt 分 由由 22 1 63 ykxt xy ，消去y，得 222 (1 2)4260kxktxt 则 12 2 4 12 kt xx k ， 2 12 2 26 12 t x x k ， 代入化简得 2 22 2 (26)4 (12 ) 4409 1212 ktkt tk t kk 分 整理得 2 2310(1)(21)0kkkttktk 所以1k 或21010tk 分 若12tk ，可得方程 222 (1 2)4260kxktxt的一个根为 2，不合题意11分 当1k 时，合题意所以直线AB的斜率为 12 12 1 yy xx 12分 法三：设点
31、1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则直线AP的斜率 1 1 1 2 AP y k x ，直线BP的斜率 2 2 1 2 BP y k x 因为APB的角平分线总垂直于y轴，所以AP与BP所在直线关于直线1y 对称 所以 APBP kk ，即 12 12 11 06 22 yy xx 分 因为点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 在椭圆C上，所以 22 11 1 63 xy ， 22 22 1 63 xy 则有 222211 1111 11 12 260(4)2(1)0 22(1) yx xyxy xy ， 同理有 22 22 12 8 22(1) yx
32、xy 分 从而有 12 12211212 12 22 0()2()409 2(1)2(1) xx x yx yxxyy yy 分 由 12 12211212 12 11 0()2()40 22 yy x yx yxxyy xx 两式相减得 1212 2()10 xxyy 分 又因为 2222 12121212 1212 0111 632() xxyyyyxx xxyy 分 所以直线AB的斜率为 12 12 1 yy xx 12分 22解： （1）由已知得函数的定义域为， 则， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 综上：时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调
33、递增 （2）证明：， ，其定义域为， 等价于，即， 设， 令，则；令，则， 当时单调递增；当时单调递减， 函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点， 时，时， （1）， 有两个不同的零点， 且， 令，则， 在时单调递增， （1），即时，又， ，且时单调递增， ( )f x(,)a 22 1(1)1 ( ) ()() xaxx fx xaxaxa 1a 1a( )f x(,)a 1a1a ( )f x(,1)a(1,) 1a( )f x(,)a 1a ( )f x(,1)a(1,) 2 ( )ln g xxlnxxa 2 ( )() x ax a g xx exxex (0,) 2 ( )()0
34、 x ax a g xx exxex 0 x a ex xlnxa ( )(0)h xxlnx x 11 ( )1 x h x xx ( )0h x1x ( )0h x01x (1,)x( )h x(0,1)x( )h x ( )g x( )h x 0 x ( )h x x( )h x ah1 ( )g x 1 x 2 x 12 01xx 12 ()()h xh xa 1 ( )( )( ),(01)xh xhx x 2 222 1111(1) ( )( )( )(1)0 xx xh xhx xxxxx ( ) x(0,1)x ( ) x001x 1 ( )( )h xh x 1 01x 12 1 1 ( )()()h xh xh x 2 1 1 1,1x x (1,)x( )h x 2 1 1 x x 故而，得证 12 1x x
