1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（23） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1设集合UR， |13Axx， 2 |log (2)Bx yx，则()( UA B ) A(1，2 B3，) C(，1(2,) D(，13，) 2复数(1)(1 3 )ii的虚部为( ) A2 B4 C2i D4i 3某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试，先将 50 个零件进行编号，编号分别为 01，02，
2、 ，50，从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第 1 行第 9 列开始向右依次读取数据，则得到的第 4 个样本编号是( ) A10 B09 C71 D20 4已知 4 3 sin()sin,0 352 ，则sin()( 6 ) A 4 5 B 4 5 C 3 5 D 3 5 5某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度
3、滑冰，花样滑冰，冰球滑冰，钢架雪车，跳台滑雪， 冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有( )种 A180 B225 C200 D400 6已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，以点F为圆心，1 为半径的圆与C的渐近线相切于 点 4 5 ( 5 P，) t，则C的离心率为( ) A 5 2 B 3 2 C2 D3 7设( )f x是定义在R上的偶函数，且当0 x时， 4 ( )log (3)f xx若对任意的0 x，1b，均有 () (2 )f xbx，则实数b的最大值是( ) A 2 3 B 3 4 C0 D1 8在菱形A
4、BCD中，6AB ，60A，连结BD，沿BD把ABD折起，使得二面角ABDC的大小 为60，连结AC，则四面体ABCD的外接球的表面积为( ) A13 B24 C36 D52 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 “读书破万卷，下笔如有神” 、 “腹有诗书气自华” ，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操但 是随着学业内容
5、的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响某小学为了了解学生的课 外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，已知四、五、六三个年级的 学生人数之比为9:7:10，则下列说法正确的是( ) A应该采用系统抽样的方法 B应该采用分层抽样的方法 C每个学生被抽到的概率为 1 10 D若样本中五年级的学生比六年级的学生少 12 人，则三个年级的学生总共有 1140 人 10某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12 6nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30， 距离为8 3nmile货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，则下列说法正确的
6、是( ) AA处与D处之间的距离是24nmile B灯塔C与D处之间的距离是16nmile C灯塔C在D处的西偏南60 DD在灯塔B的北偏西30 11 在平面直角坐标系xOy中， 已知点( 4,0)A ， 点B是圆 22 :(2)4Cxy上任一点， 点P为AB的中点 若 点M满足 22 58MAMO，则线段PM的长度可能为( ) A2 B4 C6 D8 12已知函数( )21f xxx，若函数( )( )( )1g xf xaf x恰有三个不同的零点，则a的取值可能是( ) A2 B3 C4 D5 13等比数列(*) n anN中，若 2 1 16 a ， 5 1 2 a ，则 8 a 14若
7、二项式(12 ) () n xnN的展开式中所有项的二项式系数和为 32，则该二项式展开式中含有 3 x项的系 数为 15已知抛物线 2 :4C yx，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若5OA OB，则直线 AB过定点 16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，角A，B，C成等差数列，且4b 若D， E分别为边AC，AB的中点，且G为ABC的重心，则GDE面积的最大值为 三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17在ABC中，a，b，c分别为内角A，
8、B，C所对的边，若(23 )cos3 cosbcAaC （1）求A； （2）若31a ，求ABC面积的最大值 18设 n S为数列 n a的前n项和，已知0 n a ， 2 243 nnn aaS；数列 n b为各项为正的等比数列， 4 1 8 b 且 1 b， 3 4b， 2 2b成等差数列 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）若 nnn ca b，*nN， n T为数列 n c的前n项和，求 n T 19 设P是ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，PDAB于点D，PAB，PBC，PAC， ABC的面积分别是 1 S， 2 S， 3 S，S （1）证明：平面PDC
9、平面ABC； （2）若10S ，求 222 123 SSS的值 20甲、乙、丙三人组成“梦之队”参加市知识竞答比赛，每轮活动由甲、乙、丙各完成一道问题，在每 一轮活动中，如果三人都答对，则“梦之队”得 3 分；如果只有两个人答对，则“梦之队”得 2 分；如果 三人只有一个人答对，则“梦之队”1 分，如果三个人都没有答对，则“梦之队”得 0 分已知甲每轮答对 的概率是 3 4 ，乙每轮答对的概率是 2 3 ，丙每轮答对的概率是 1 2 ；每轮活动中甲、乙、丙答对与否互不影响， 各轮结果亦互不影响假设“梦之队”参加三轮活动，求： （1） “梦之队”第一轮得分X的分布列和数学期望； （2） “梦之队
10、”三轮得分之和为 4 分的概率 21 已知曲线C上的点都在y轴及其右侧， 且C上的任一点P到y轴的距离比它到圆 22 15 :20 16 F xyx 的圆心的距离小 1 （1）求曲线C的方程； （2） 过点F分别作直线 1 l，2l， 其中直线 1 l交曲线C于点A，B， 直线 2 l交曲线C于点M，N， 且直线AM 过定点(0, 2)D，求证：直线BN的斜率为定值 22已知函数( )2(1)4 x f xae x， 2 ( )28g xxx （）若 1 2 a ，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若( )( )f xg x在 2，)上恒成立，求实数a的取值范围 考前考
11、前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（23）答案）答案 1解：(1,3)A，( UA ，13，)， 2 log (2)yx，20 x，2x，(2,)B， ()( UA B ，1(2,)， 故选：C 2解： 2 (1)(1 3 )1 3324iiiiii ， 则复数(1)(1 3 )ii的虚部是：4 故选：B 3解：从表中第 1 行第 9 列开始向右依次读取数据，找出 4 个在01 50内的编号，14，05，11，09，20 则得到的第 4 个样本编号 09 故选：B 4解： 4 3 sin()sin,0 352 ， 13314 3 sincossin3(sincos )3sin
12、() 222265 ， 则 4 sin() 65 ， 故选：A 5解：根据题意，分 2 步进行分析： 在六个门类中选出 2 类，作为甲乙共同选择的科目，有 2 6 15C 种选法， 甲乙从剩下的 4 类中，任选 2 个，有 2 4 12A 种选法， 则有15 12180种选法， 故选：A 6解：由题意，( ,0)F c，不妨设双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 则F到 b yx a 的距离为 2 2 1 1 bc a b b a ， 直线FP所在直线方程为() a yxc b ， 联立 () b yx a a yxc b ，解得 2 a x c ， 22 14 5 5 ac cc ，得5c
13、 ，则 22 5 12acb 5 2 c e a 故选：A 7解：当0 x时， 4 ( )log (3)f xx单调递减，且( )f x为偶函数， 根据偶函数对称性可知，当0 x 时，( )f x单调递增， 对任意的0 x，1b，均有() (2 )f xbx， 故|2 |xbx， 即|2xbx， 由区间的定义可知，1b ， 若0 xb ，则2xbx ，即x b， 由于x的最大值1b，故b x显然不恒成立， 若0 xb，则2xbx，即 1 3 xb， 所以 1 1 3 bb， 解得 3 4 b， 故b的最大值 3 4 故选：B 8解：如图，取BD的中点记为O，连接OC，OA， 分别取BCD与AB
14、D的外心E与F， 过这两点分别作平面BDC、平面ABD的垂线，交于点P， 则P就是外接球的球心，连接OP，CP， AOC为二面角ABDC的平面角为60， 则AOC是等边三角形，其边长为 3 63 3 2 ， 11 3 33 33 OEOC， 在POE中，30POE， 3 tan3031 3 PEOE 又 2 2 3 3 CEOC， 2222 1(2 3)13PCRPECE， 则四面体ABCD的外接球的表面积为 2 4( 13)52 故选：D 9解：因为四、五、六三个年级的学生人数各不相等，故应该采取分层抽样，故A错误，B正确； 利用频率表示概率，根据计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的1
15、0%进行调查，可得每个学生被 抽到的概率为 1 10 ，故C正确； 设四、五、六三个年级的学生人数之比为9x，7x，10 x，由样本中五年级的学生比六年级的学生少 12 人， 可得10712xx，解得4x ， 故样本容量为(9710)4104， 于是可估计三个年级的学生总共有 1040 人，故D错误 故选：BC 10解：如图， 在ABD中，60ADB，45B ，12 6AB ， 由正弦定理得 2 12 6 sin 2 24 sin3 2 ABB AD ADB ， A处与D处的距离为24nmile，故A正确； 在ADC中，由余弦定理得： 22222 3 2cos3024(8 3)224 8 3
16、2 CDADACAD AC ， 解得：8 3CD ，灯塔C与D处的距离为8 3nmile，故B错误； 由ACCD，可得30CADCDA ，则灯塔C在D处的西偏南60，故C正确； 由图可知，D在灯塔B的北偏西60，故D错误 故选：AC 11解：( 4,0)A ，(0,0)O，设( , )M x y， 由 22 58MAMO，得 2222 (4)58xyxy， 化简得 22 (2)25xy 即M的轨迹是以 1( 2,0) C 为圆心，以 5 为半径的圆； 设 0 (P x， 0) y， 1 (B x， 1) y，由点P为AB的中点， 得 1 0 1 0 4 2 2 x x y y ，即 10 10
17、 24 2 xx yy ，代入圆 22 :(2)4Cxy， 可得 22 00 (22)44xy，即 22 00 (1)1xy 点P的轨迹是以 2( 1,0) C为圆心，以 1 为半径的圆 由图可知，线段PM的长度的范围为3，7， 结合选项可知，线段PM的长度可能为 4，6 故选：BC 12解：函数( )f x的定义域是 1 2 ，)， 22122 ( )11 212121 x fx xxx ， 在 1 2 ，5)上，函数( )f x单调递减， 在(5,)上，函数( )f x单调递增， 如图示： 令( )f xt，则 2 10tat 有 2 个不同的零点 1 t， 2 t， 1 1 (2t ，)
18、， 2 (0t ， 1 2 ， 设 2 ( )1h ttat， 则 2 ()40 1 ( ) 0 2 1 22 a h a ，故 2 2 40 11 ( )1 0 22 1 22 a a a ， 解得：2a ， 故选：BCD 13解：因为等比数列(*) n anN中， 2 1 16 a ， 5 1 2 a ， 所以 35 2 8 a q a ，即2q ， 所以 66 82 1 24 16 aa q 故答案为：4 14解：(1 2 ) () n xnN的展开式中所有项的二项式系数和为 32， 232 n ， 解得5n ， 该二项式展开式中含有 3 x项的系数为 33 5 280C ， 故答案为：
19、80 15解：设直线AB的方程为xmyb，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 4 xmyb yx ，整理可得： 2 440ymyb， 所以 12 4y yb ， 2 212 12 () 16 y y x xb， 因为 1212 56OA OBx xy y， 所以 2 45bb，可得5b 或1b ， 因为点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧， 所以 12 40y yb ，可得0b ， 所以5b ， 所以直线恒过点(5,0)， 故答案为：(5,0) 16解：ABC中，角A，B，C成等差数列，2ACB，180ACB，60B， 由余弦定理得， 222 2co
20、sbacacB， 由4b ，则 2222 162cos2 3 acacacacacacac ， 当且仅当ac时取等号，16ac， 所以ABC的面积为 113 sin164 3 222 ABC SacB ， 又D，E分别为边AC，AB的中点，且G为ABC的重心， 由平面几何知识可得GDE的面积为 113 4 3 12123 GDEABC SS ， 所以GDE面积的最大值为 3 3 ， 故答案为： 3 3 17解： （1）因为(23 )cos3 cosbcAaC， 由题意可得2 cos3 cos3 cosbAaCcA， 所以2sincos3(sincossincos )3sin()3sinBAAC
21、CAACB， 因为sin0B ， 所以 3 cos 2 A， 因为(0, )A， 所以 6 A （2）因为31a ， 6 A ， 所以由余弦定理 222 2cosabcbcA， 可得 222 3 ( 31)2 2 bcbc， 所以 22 42 3323bcbcbcbc， 可得2bc，当且仅当2bc时等号成立， 所以 1111 sin2 2222 ABC SbcA ，即ABC面积的最大值为 1 2 18解： （1） n S为数列 n a的前n项和，已知0 n a ， 2 243 nnn aaS； 当1n 时，解得 1 3a 或1（负值舍去） ， 当2n时， 2 111 243 nnn aaS ，
22、 得： 111 ()()2() nnnnnn aaaaaa ， 故 1 2 nn aa （常数） ， 所以数列 n a是以 3 为首项，2 为公差的等差数列； 所以21(*) n annN 设公比为q的数列 n b为各项为正， 4 1 8 b 且 1 b， 3 4b， 2 2b成等差数列 所以 312 82bbb， 所以 312 4 82 1 8 bbb b ，解得 11 24 q 或（负值舍去） ， 故 44 4 1 111 ( ) 822 nn n n bbq （2）由（1）得： 1 1 (21) 2 nnn n ca bn ， 所以 021 1111 357(21) 2222 n n T
23、n ， 123 11111 357(21) 22222 n n Tn， 得： 1 11111 12(1)(21) 22222 n nn Tn ， 1 1 (1) 1 2 12(21) 1 2 1 2 n n n ， 故 1 10(410)(*) 2 n n TnnN 19解： （1）证明：PA，PB，PC两两垂直， PCPA，PCPB， PAPBP，PA、PB 平面PAB， PC平面PAB， AB 平面ABC，平面PDC 平面ABC （2）过P作PO 平面ABC于O，PDAB于点D，平面PDC 平面ABC，C，O，D共线，设 PDC，则ABC的面积 1 11 22coscos SPD SABD
24、CAB ， 1 11 coscos 22 AOB SABODABPDS ， 2 1AOB S SS ， 同理， 2 2BOC S SS ， 2 3AOC S SS ， 三式相加，得： 2222 123 () AOBBOCAOC SSSSSSSS ， 2222 123 100SSSS 20解： （1）由题意可知X的可能取值为 0，1，2，3， 1111 (0) 43224 P X ； 3111211111 (1) 4324324324 P X ； 32131112111 (2) 43243243224 P X ； 3211 (3) 4324 P X ； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P
25、 1 24 1 4 11 12 1 4 1111123 ()0123 24424412 E X ； （2）设“梦之队”三轮得分之和为 4 分为事件A， P（A） 121122 3323 111111111589 ( )() 244442424244608 CCCC 21解： （1）解法 1：配方法可得圆F的方程为 222 1 (1)( ) 4 xy， 即圆F的圆心为(1,0)F， 设P的坐标为( , )x y， 由已知可得 22 (1)1xyx， 化简得，曲线C的方程为 2 4yx 解法 2：配方可得圆F的方程为 222 1 (1)( ) 4 xy， 即圆F的圆心为(1,0)F， 由题意可得C
26、上任意一点P到直线1x 的距离等于该点到圆心F的距离， 由抛物线的定义可得知，点P的轨迹为以点(1,0)F为焦点的抛物线， 所以曲线C的方程为 2 4yx （2）证明：依题意可知直线AM不与坐标轴垂直，故可设其方程为(2)xm y， 代入 2 4yx，得 2 44 20ymym， 其判别式 2 1616 20mm， 所以2m 或0m ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (M x， 2) y， 则 12 4yym， 12 4 2y ym， 因为点B，N在曲线C上， 所以可设其坐标为 3 3 ( 4 y B， 3) y， 2 4 ( 4 y N， 4) y， 因为直线AB过点(1,0)F， 所
27、以可设其方程为1xny，代入 2 4yx， 得 2 440yny，0， 所以 13 4y y ，所以 3 1 4 y y ， 所以点B的坐标为 2 1 4 ( y ， 1 4 ) y ， 同理可得点N的坐标为 2 2 4 ( y ， 2 4 ) y ， 所以直线BN的斜率为 12121212 22 2112 22 12 44 () ()4 2 2 44 4 yyy yyyy ym k yyyym yy ，为定值 22解： （）当时， ，故，又， 故曲线在点，处的切线方程是：； （）设函数， 由题设条件可知，且， 则， ， 令，解得：， ， 若，即，当，时，单调递增， 而，即； 若即， 当，时，
28、当，时， 故在，递减，在，递增， 1 2 a ( )(1)4 x f xe x ( )(2) x f xe x(0)2f(0)3f ( )yf x(0(0)f23yx 2 ( )( )( )2(1)284 x F xf xg xae xxx 2x ) 2 2 ( 2)4 0 a F e (0)24 0Fa 2 22ae剟 ( )2(1)2482(2)(2) xxx F xae xaexxae ( )0F x 1 2 xln a 2 2x 2 22ae剟 1 20 x 剟 1 2x 2 2ae 2x )( ) 0F x( )F x ( 2)0F ( ) 0F x( )( )f xg x 1 20 x 2 22ae 2x 1) x( ) 0F x 1 (xx)( )0F x ( )F x 2 1) x 1 (x) 故在处取得最小值， 而， ，即， 综上，实数的取值范围是， ( )F x 1 xx 1 22 111111111 ( )2(1)284442842 (2) 0 x F xaexxxxxxx x ( ) 0F x( )( )f xg x a2 2 2e
