1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.1 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 求函数的定义域及已知函数的定义域求参数 . 1 题型二 求函数的解析式 . 3 题型三 分段函数求值问题 . 5 题型四 已知分段函数的函数值，求参数的值 . 6 题型五 与分段函数有关的方程、不等式问题 . 6 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 求函数的定义域及已知函数的定义域求参数求函数的定义域及已知函数的定义域求参数 【题型要点】【题型要点】 1.求具体
2、函数 yf(x)的定义域 2.求抽象函数的定义域一般有两种情况： 已知 yf(x)的定义域是 A， 求 yf(g(x)的定义域， 可由 g(x)A 求出 x 的范围， 即为 yf(g(x)的定义域； 已知 yf(g(x)的定义域是 A，求 yf(x)的定义域，可由 xA 求出 g(x)的范围，即为 yf(x)的定义域 3.几种常见函数的定义域 (1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合 (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合 (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合 (4)若 f(x)x0，则定义域为x|
3、x0 (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1. (6)正切函数 ytan x 的定义域为 Zkkxx， 2 . 【例【例 1】(2020 华南师范大学附属中学月考华南师范大学附属中学月考)已知函数 f(x)的定义域是1，1，则函数 g(x)f（2x1） ln（1x）的定 义域是 ( ) A0，1 B(0，1) C0，1) D(0，1 【答案】B 【解析】 由函数 f(x)的定义域为1， 1， 得1x1， 令12x11， 解得 0 x1， 又由 1x0 且 1x1， 解得 x0， x11， 解得1x0 或 00， m24m0 02， 2x，x2， 则 f(2)_ 【答案】 ：2 【解析】 ：
4、f(2)f(42)642. 【例【例 3】(2020 江西南昌一模江西南昌一模)设函数 f(x) x22x，（x0）， f（x3），（x0），则 f(5)的值为( ) A7 B1 C0 D1 2 【答案】 【解析】f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)22 11 2.故选 D. 题型四题型四 已知分段函数的函数值，求参数的值已知分段函数的函数值，求参数的值 【题型要点】【题型要点】先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程然后求出相应自变量 的值，切记要代入检验 【例【例 1】设函数 f(x) x21，（x2）， log2x，（0x2），若 f(m)3，则实数 m
5、 的值为_ 【答案】 2 【解析】 当 m2 时，由 m213，得 m24，解得 m2；当 0m2 时，由 log2m3，解得 m238(舍 去)综上所述，m2. 【例例 2】(2019 厦门模拟厦门模拟)已知函数 f(x) 12ax3a，x1， 2x 1，x1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 _ 【答案】 0，1 2 【解析】当 x1 时，f(x)2x 11.因为函数 f(x) 12ax3a，x1， 2x 1，x1 的值域为 R，所以当 x1 时，(1 2a) x3a 必须取遍(，1)内的所有实数，则 12a0， 12a3a1， 解得 0a1 2. 题型五题型五 与分段函数有关的方程
6、、不等式问题与分段函数有关的方程、不等式问题 【题型要点】【题型要点】已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 【例【例 1】(2020 安徽安庆二模安徽安庆二模)已知函数 f(x) x1，1x0.当 0a1 时，由 f(a)f(a1)，即 2a a，解得 a1 4，则 f a 1 f(4)8，当 a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a2(a1)，不成立故选 D. 【例【例 2】(2020 安徽皖南八校联考安徽皖南八校联考)已知函数 f(x) log2（x1），x1， 1，x1， 则满足 f(2x1)f(3x2)的
7、实数 x 的 取值范围是( ) A(，0 B(3，) C1，3) D(0，1) 【答案】B 【解析】解法一：由 f(x) log2（x1），x1， 1，x1 可得当 x1 时，f(x)1，当 x1 时，函数 f(x)在1，)上 单调递增， 且 f(1)log221， 要使得 f(2x1)f(3x2)， 则 2x11， 解得 x3， 即不等式 f(2x1)f(3x 2)的解集为(3，)，故选 B. 解法二：当 x1 时，函数 f(x)在1，)上单调递增，且 f(x)f(1)1，要使 f(2x1)f(3x2)成立，需 2x11， 2x13x2或 2x11，解得 x3.故选 B. 二、高效训练突破二
8、、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1.(2020 洛阳一中月考洛阳一中月考)函数 f(x) 1 ln2x1的定义域为( ) A ， 2 1 - B 0 2 1 -，(0，) C ， 2 1 - D0，) 【答案】【答案】B 【解析】 由题意得 2x10， 2x11， 解得1 2x0. 2.下列所给图象是函数图象的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B. 【解析】 ：中当 x0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象；中当 xx0时，y 的值 有两个，因此不是函数图象；中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象故选 B. 3.(2019 镇江期中镇江
9、期中)已知函数 f(x) x3 x2，x0， 4，x0， 2x1，x0， 则 f(f(0)( ) A6 B1 6 C6 D1 6 【答案】【答案】D 【解析】 f(0)4，f(4)43 42 1 6，f(f(0) 1 6.故选 D 4(2020 吉安模拟吉安模拟)已知 f 1 2 1 x2x5，且 f(a)6，则 a 等于( ) A.7 4 B7 4 C.4 3 D4 3 【答案】A. 【解析】 ：令 t1 2x1，则 x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则 4a16，解得 a 7 4. 5.(2019 武汉调研武汉调研)函数 f(x) sinx2，1x0， ex 1，x0 满足 f(1)
10、f(a)2，则 a 的所有可能取值为( ) A1 或 2 2 B 2 2 C1 D1 或 2 2 【答案】【答案】A 【解析】 因为 f(1)e1 11 且 f(1)f(a)2， 所以 f(a)1， 当1a0 时， f(a)sin(a2)1， 因为 0a21， 所以 0a20， x11， 解得1x0， x2，x0， g(x) ex，x0， ln x，x0，则( ) A(f f)(x)f(x) B(f g)(x)f(x) C(g f)(x)g(x) D(g g)(x)g(x) 【答案】A. 【解析】 ：对于 A，(f f)(x)f(f(x) f（x），f（x）0， f 2（x），f（x）0，当
11、x0 时，f(x)x0，(f f)(x)f(x)x；当 x0，(f f)(x)f(x)x2；当 x0 时，(f f)(x)f 2(x)002，因此对任意的 xR，有(f f)(x)f(x)，故 A 正确，选 A. 11.(2020 河南郑州第二次质量检测河南郑州第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称 号，用其名字命名的“高斯函数”为设 xR，用x表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数例如： 2.13，3.13，已知函数 f(x)2 x3 2x1，则函数 yf(x)的值域为( ) A0，1，2，3 B0，1，2 C1，2，3 D1，2 【答案】
12、D 【解析】 ：f(x)2 x3 2x1 2x12 2x1 1 2 2x1，因为 2 x0，所以 12x1，所以 0 1 2x11， 则 0 2 2x12，所以 11 2 2x13，即 1f(x)3，当 1f(x)2 时，f(x)1，当 2f(x)1) 【解析】 ： 令2 x1t， 得 x 2 t1， 则 f(t)lg 2 t1， 又 x0， 所以 t1， 故 f(x)的解析式是 f(x)lg 2 x1(x1) 2.若二次函数 g(x)满足 g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则 g(x)_ 【答案】 ：3x22x 【解析】 ：设 g(x)ax2bxc(a0)， 因为 g(1)1，g(1)5
13、，且图象过原点， 所以 abc1， abc5， c0， 解得 a3， b2， c0， 所以 g(x)3x22x. 3.(2019 常州中学月考常州中学月考)若函数 y ax1 ax22ax3的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 0,3) 【解析】 因为函数 y ax1 ax22ax3的定义域为 R，所以 ax 22ax30 无实数解，即函数 uax22ax3 的图象与 x 轴无交点当 a0 时，函数 u3 的图象与 x 轴无交点；当 a0 时，则 (2a)24 3a0，解 得 0a3.综上所述，a 的取值范围是0,3) 4已知函数 f(x) 2x，x0， x1，x0，若 f(a
14、)f(1)0，则实数 a 的值等于_ 【答案】 ：3 【解析】 ：因为 f(1)2，且 f(1)f(a)0，所以 f(a)20，故 a0.依题知 a12，解得 a3. 5已知函数 f(x) （12a）x3a，x1， ln x，x1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 ： 1，1 2 【解析】 ：由题意知 yln x(x1)的值域为0，)，故要使 f(x)的值域为 R，则必有 y(12a)x3a 为增函 数，且 12a3a0，所以 12a0，且 a1，解得1a1 2. 6.设函数 f(x) ln x，x1， 1x，x1，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 ：0 (，0)(e，)
15、 【解析】 ：f(f(0)f(1)ln 10；如图所示， 可得 f(x) ln x，x1， 1x，x1，则实数 m 的取值范围 是(，0)(e，) 7已知实数 a0，函数 f(x) 2xa，x1， x2a，x1. 若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_ 【答案】 ：3 4 【解析】 ：当 a0 时，1a1,1a1，这时 f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a1 3a.由 f(1a)f(1a)得 2a13a， 解得 a3 20， 不合题意， 舍去； 当 a0 时， 1a1,1a1， 这时 f(1a)(1a)2a1a， f(1a)2(1a)a23a， 由 f(1a)f(1a)， 得
16、1a23a， 解得 a3 4. 综上可知，a 的值为3 4. 8.设函数 f(x) x1，x0， 2x，x0， 则满足 f(x)f 2 1 x1 的 x 的取值范围是_ 【答案】 ， 4 1 【解析】 当 x0 时，f(x)2x1 恒成立，当 x1 20，即 x 1 2时，f 2 1 x2x1 21，当 x 1 20，即 0 1 2，则不等式 f(x)f 2 1 x1 恒成立当 x0 时，f(x)f 2 1 xx1x1 22x 3 21，所以 1 4x0.综上所述，x 的取值范围是 ， 4 1 . 三三 解答题解答题 1.(2019 巴蜀中学期中巴蜀中学期中)已知 f(x)x21，g(x) x
17、1，x0， 2x，x0. (1)求 f(g(2)与 g(f(2)； (2)求 f(g(x)与 g(f(x)的表达式 【解析】 (1)由已知条件可得 g(2)1，f(2)3，因此 f(g(2)f(1)0，g(f(2)g(3)2. (2)当 x0 时，g(x)x1，故 f(g(x)(x1)21x22x；当 x0 时，g(x)2x，故 f(g(x)(2x)21 x24x3.所以 f(g(x) x22x，x0， x24x3，x0. 当 x1 或 x1 时，f(x)0，故 g(f(x)f(x)1x22；当 1x1 时，f(x)0，故 g(f(x)2f(x)3x2.所以 g(f(x) x22，x1或x1，
18、 3x2，1x1. 2已知函数 f(x)x2mxn(m，nR)，f(0)f(1)，且方程 xf(x)有两个相等的实数根 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)当 x0,3时，求函数 f(x)的值域 【解析】 (1)因为 f(x)x2mxn，且 f(0)f(1)，所以 n1mn，m1，f(x)x2xn.因为方程 x f(x)有两个相等的实数根，所以方程 xx2xn 有两个相等的实数根，即方程 x22xn0 有两个相等的 实数根，所以 (2)24n0，所以 n1，所以 f(x)x2x1. (2)由(1)知 f(x)x2x1.此函数的图象是开口向上，对称轴为 x1 2的抛物线，所以当 x 1 2时，f(x)有最小值 f 2 1 .而 f 2 1 2 1 21 21 3 4， f(0)1， f(3)3 2317， 所以当 x0,3时， 函数 f(x)的值域是 7 4 3，
