1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.8 函数与方程函数与方程 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 求函数的零点或判断其所在的区间 . 1 题型二 函数零点个数的判定 . 3 题型三 函数零点的应用 . 4 命题角度一 根据函数零点个数求参数 . 4 命题角度二 根据函数有无零点求参数 . 5 命题角度三 根据函数零点的范围求参数 . 6 二、高效训练突破 . 6 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 求函数的零点或判断其所在的区间求函数的零点或判断其所在的区间 【题型要点】确定函数零点所在区间的方法【
2、题型要点】确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上 (2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间 (3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有 f(a) f(b) 0.若有，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点 (4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 【例【例 1】(2020 广州模拟广州模拟)已知函数 f(x) 2x1，x1， 1log2x，x1， 则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2，0 B2,
3、0 C.1 2 D0 【答案】D 【解析】当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x1 2，因为 x1， 所以此时方程无解综上，函数 f(x)的零点只有 0，故选 D. 【例【例 2】 若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb) (xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( ) A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 【答案】A 【解析】 由已知得， f(x)是二次函数， 其图象是开口向上的抛物线， 又因为 ab0， f(b)(bc)(ba)0.由零点存在性定理
4、得函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a， b)和(b， c)内 【例【例 3】 】 (2020 青岛二中模拟青岛二中模拟)已知函数 f(x)2xlog1 2x，且实数 abc0 满足 f(a)f(b)f(c)0.若实数 x0是函 数 yf(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成立的是( ) Ax0a Cx0b Dx0bc0 满足 f(a)f(b) f(c)0，sinx0，所以 f(x)0，故 f(x)在0,1 上单调递增， 且 f(0)10， 所以 f(x)在0,1内有唯一零点 当 x1 时， f(x) xcosx0， 故函数 f(x)在0，)上有且仅有一个零点，故选 B. 【例【例 2】
5、(2020 淄博模拟淄博模拟)已知函数 f(x) x22x，x0， 11 x，x0， 则函数 yf(x)3x 的零点个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】由已知得 yf(x)3x x2x，x0， 11 x3x，x0. 令 x2x0，解得 x0 或 x1.令 11 x3x0(x0) 可得 3x2x10.因为 1120， 2|x|，x0， 则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数为_ 【答案】5 【解析】令 2f2(x)3f(x)10，解得 f(x)1 或 f(x)1 2，作出 f(x)的简图： 由图象可得当 f(x)1 或 f(x)1 2时，分别有 3 个和 2 个交点
6、，则关于 x 的函数 y2f 2(x)3f(x)1 的零点的 个数为 5. 题型三题型三 函数零点的应用函数零点的应用 【题型要点】【题型要点】根据函数零点的情况求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解 命题角度一命题角度一 根据函数零点个数求参数根据函数零点个数求参数 【例【例 1】(2020 安徽合肥二模安徽合肥二模)设函数 f(x) |ln x|，x0， ex（x1），x0.若函数 g(
7、x)f(x)b 有三个零点，则实数 b 的 取值范围是( ) A(1，) B 1 e2，0 C(1，)0 D(0，1 【答案】D 【解析】令 g(x)f(x)b0，函数 g(x)f(x)b 有三个零点等价于 f(x)b 有三个根，当 x0 时，f(x)ex(x 1)，则 f(x)ex(x1)exex(x2 )，由 f(x)0 得 ex(x2)0，即 x0 得 ex(x2)0，即2x0，此时 f(x)为增函数，即当 x2 时，f(x)取得极小值 f(2) 1 e2，作出 f(x)的图象 如图， 要使 f(x)b 有三个根，则 00 (e 为自然对数的底数)，若关于 x 的方程 f(x)a0 有两
8、个不相等的实根，则 a 的取值范围是( ) Aa1 B1a1 C0a1 Da1 【答案】C 【解析】画出函数 f(x)的图象如图所示， 若关于 x 的方程 f(x)a0 有两个不相等的实根， 则函数 f(x)与直线 ya 有两个不同交点， 由图可知1 a0，所以 0a1. 命题角度二命题角度二 根据函数有无零点求参数根据函数有无零点求参数 【例【例 3】(2020 安庆模拟安庆模拟)函数 f(x)x2ax1 在区间 3 2 1 ，上有零点，则实数 a 的取值范围是( ) A(2，) B2，) C. 2 5 2， D. 3 10 2， 【答案】D 【解析】由题意知方程 axx21 在 3 2 1
9、 ，上有解，即 ax1 x在 3 2 1 ，上有解，设 tx1 x，x 3 2 1 ， 则 t 的取值范围是 3 10 2，.实数 a 的取值范围是 3 10 2，. 命题角度三命题角度三 根据函数零点的范围求参数根据函数零点的范围求参数 【例【例 5】若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则 m 的取值 范围是_ 【答案】 2 1 4 1， 【解析】 依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足 m2， f（1） f（0）0， f（1） f（2）0， 即 m2， m2m（2m1）（2m1）0， m2m（2m1）4（m2）2m（2m
10、1）0， 解得1 4m0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5) 上均至少有一个零点，所以函数 yf(x)在区间1,6上的零点至少有 3 个 3.若函数 f(x)axb 有一个零点是 2，那么函数 g(x)bx2ax 的零点是( ) A0,2 B0，1 2 C0，1 2 D2，1 2 【答案】C 【解析】因为函数 f(x)axb 有一个零点是 2，所以 2ab0，b2a，所以 g(x)bx2ax2ax2ax ax(2x1)，由 g(x)0 得 x0 或1 2，故 g(x)的零点是 0， 1 2. 4(2020 福建晋江四校联考福建晋江四
11、校联考)设函数 ylog3x 与 y3x 的图象的交点为(x0，y0)，则 x0所在的区间是( ) A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4) 【答案】C. 【解析】 ：令 m(x)log3xx3，则函数 m(x)log3xx3 的零点所在的区间即为函数 ylog3x 与 y3x 的图象的交点的横坐标所在的区间 因为 m(x)log3xx3 单调递增且连续， 且满足 m(2)m(3)0， 所以 m(x) log3xx3 的零点在(2，3)内，从而可知方程 log3xx30 的解所在的区间是(2，3)，即函数 ylog3x 与 y3x 的图象交点的横坐标 x0所在的区间是(2，3)故
12、选 C. 5.(2020 湖南娄底二模湖南娄底二模)若函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2) 【答案】C 【解析】 因为函数 f(x)2x2 xa 在区间(1,2)上单调递增， 又函数 f(x)2 x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内， 则有 f(1) f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a3)0，解得 0a3. 6.(2019 江西三校联考江西三校联考)设函数 ylog2x1 与 y22 x 的图象的交点为(x0，y0)，则 x0所在的区间是( ) A(0,1) B(1,2)
13、 C(2,3) D(3,4) 【答案】C 【解析】设 f(x)(log2x1)22 x，则 f(2)112010.所以 函数 f(x)在区间(2,3)内有零点所以 x0(2,3) 7.(2020 湖南娄底二模湖南娄底二模)若 x1是方程 xex1 的解，x2是方程 xln x1 的解，则 x1x2等于( ) A1 B1 Ce D1 e 【答案】A. 【解析】 ： 考虑到 x1， x2是函数 yex、 函数 yln x 与函数 y1 x的图象的交点 A， B 的横坐标， 而 A 1 1 1 , x x， B 2 2 1 , x x两点关于 yx 对称，因此 x1x21.故选 A. 8.(2020
14、 河南焦作统考河南焦作统考)已知函数 f(x) 2xx2，x0， 1ln（x6），6x0，则函数 f(x)在(6，)上的零点个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C. 【解 析】 ：由 题知函数 f(x) 2xx2，x0， 1ln（x6），6x0 在 ( 6， ) 上有零 点，则 x0， 2xx20 或 6x0， 1ln（x6）0，解得 x2 或 x4 或 xe6，即函数 f(x)在(6，)上的零点个数为 3.故选 C. 9 (2020 河北张家口模拟河北张家口模拟)已知函数 f(x)|ln x|， g(x)f(x)mx 恰有三个零点， 则实数 m 的取值范围是( ) A. e 1
15、0， B ee 21， C(0，1) D ， e 1 【答案】A 【解析】 ：.g(x)有三个零点，即 yf(x)与 ymx 的图象有三个交点，作出 yf(x)和 ymx 的图象如图 当 ymx 与 yf(x)相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，则 mx0ln x0， 1 x0m， 解得 m1 e.则当 0m 1 e时，直线 y mx 与曲线 yf(x)有三个交点，即函数 g(x)有三个零点故选 A. 10.(2019 石家庄模拟石家庄模拟)设方程 10 x|lg (x)|的两个根分别为 x1，x2，则( ) Ax1x21 D0x1x21 【答案】D 【解析】 作出 y10 x与 y|l
16、g (x)|的大致图象，如图 显然 x10，x20.不妨设 x1x2，则 x11，1x20，所以 10 x1lg (x1)，10 x2lg (x2)， 此时 10 x110 x2，即 lg (x1)lg (x2)，由此得 lg (x1x2)0，所以 0x1x21. 二、填空题二、填空题 1.若函数 f(x)2xa2a 在(，1上存在零点，则正实数 a 的取值范围是_ 【答案】(0,1 【解析】当 x(，1时，2x(0,2由函数 f(x)2xa2a 在(，1上存在零点，可得 00， x2x2，x0， 则其零点为_ 【答案】1，1 【解析】当 x0 时，由 f(x)0，即 xln x0 得 ln
17、x0，解得 x1；当 x0 时，由 f(x)0，即 x2x20，解得 x1 或 x2.因为 x0，所以 x1.综上，函数的零点为 1，1. 3.已知函数 f(x) x 2 1 cos x，则 f(x)在0，2上的零点个数为_ 【答案】 ：3 【解析】 ：如图 作出 g(x) x 2 1 与 h(x)cos x 的图象，可知其在0，2上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在0，2上的零 点个数为 3. 4.(2019 衡水模拟衡水模拟)已知函数 f(x) log2x，x0， 3x，x0， 且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】(1，) 【解析】
18、如图 在同一坐标系中分别作出 yf(x)与 yxa 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上的截距由图可知，当 a1 时，直线 yxa 与 ylog2x 只有一个交点 5.(2020 湘赣十四校联考湘赣十四校联考)已知函数 f(x) ax22xa（x0） ax3（x0） ，有且只有 1 个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 【答案】 ：a0 或 a1 【解析】 ：当 a0 时，函数 yax3(x0)必有一个零点，又因为1 a0，解得 a1；当 a0 时，f(x) 2x（x0）， 3（x0） 恰有一个零点；当 a0，则 f(x)ax30，若 x0，则 f(x) ax22xa，此时，f(x)恒小于
19、0，所以当 a1. 三、解答题三、解答题 1.已知函数 f(x)4xm 2x1 有且仅有一个零点 (1)求 m 的值； (2)求函数的零点 【解析】(1)因为 f(x)4xm 2x1 有且仅有一个零点，即方程(2x)2m 2x10 仅有一个实根 设 2xt(t0)，则 t2mt10. 当 0 时，即 m240，所以 m 2， 当 m2 时，t1； 当 m2 时，t1(不符合题意，舍去) 所以 2x1，x0 符合题意 当 0 时，即 m2 或 m1， loga62， 解得 6a 10，故 a 的取值范围是( 6， 10) 3.设函数 f(x)x1 x1，xR 且 x1. (1)求 10 1 f
20、8 1 f 6 1 f 4 1 ff(4)f(6)f(8)f(10)的值； (2)就 m 的取值情况，讨论关于 x 的方程 f(x)xm 在 x2，3上解的个数 【解析】 ：(1)根据题意，函数 f(x)x1 x1，则 x f 1 1 x1 1 x1 1x 1x 1x x1， 则 f(x) x f 1 0， 则 10 1 f 8 1 f 6 1 f 4 1 ff(4)f(6)f(8)f(10) 10 1 ff(10) 8 1 ff(8) 6 1 ff(6) 4 1 ff(4)0. (2)根据题意，设 g(x)f(x)xx1 x1x(x1) 2 x12， 令 tx1，又由 x2，3，则 t1，2
21、， 则设 h(t)t2 t2，有 h(t)1 2 t2 t22 t2 ， 分析可得，在区间1， 2)上，h(t)单调递减，在区间 2，2上，h(t)单调递增； 则 h(t)在1，2有最小值 h( 2)2 22， 且 h(1)h(2)5， 则函数 h(t)在区间1，2上有最大值 5，最小值 2 22， 方程 f(x)xm 的解的个数即为函数 g(x)与直线 ym 的交点个数， 分析可得，当 m2 22 时，函数 g(x)与直线 ym 没有交点，方程 f(x)xm 无解； 当 m2 22 时，函数 g(x)与直线 ym 有 1 个交点，方程 f(x)xm 有 1 个解； 当 2 22m5 时，函数 g(x)与直线 ym 有 2 个交点，方程 f(x)xm 有 2 个解； 当 m5 时，函数 g(x)与直线 ym 没有交点，方程 f(x)xm 无解； 综上可得，当 m2 22 或 m5 时，方程 f(x)xm 无解； 当 m2 22 时，方程 f(x)xm 有 1 个解； 当 2 22m5 时方程 f(x)xm 有 2 个解
