1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 3.1 导数的概念及运算导数的概念及运算 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 导数的运算 . 1 命题角度一 求已知函数的导数 . 1 命题角度二 求抽象函数的导数值. 3 题型二 导数的几何意义 . 4 命题角度一 求切线方程 . 4 命题角度二 求切点坐标 . 5 命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值 . 6 命题角度四 导数与函数的图象 . 7 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 导数的运算导数的运算 命题角度一命题角度一 求已知
2、函数的导数求已知函数的导数 【题型要点】【题型要点】1谨记一个原则谨记一个原则 先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导 2熟记求导函数的五种形式及解法熟记求导函数的五种形式及解法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导 (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 3求复合函数的导数的一般步骤 (1)确定复合关系注意内层函数通常为一次函数 (2)由外向内逐层求导
3、【例【例 1】求下列函数的导数： (1)y(2x21)(3x1)； (2)yxsin2xcos2x； (3)yexcosx； (4)yln 2x1 x . (5)yln x1 x (6)ysinx x (7)y(x22x1)e2 x. 【解】(1)因为 y(2x21)(3x1)6x32x23x1， 所以 y18x24x3. (2)因为 yxsin2xcos2x，所以 yx1 2sin4x， 所以 y11 2cos4x 412cos4x. (3)y(excosx)(ex)cosxex(cosx)excosxexsinxex(cosxsinx) (4)y x x) 12ln( ln 2x1xxln
4、 2x1 x2 2x1 2x1 xln 2x1 x2 2x 2x1ln 2x1 x2 2x2x1ln 2x1 2x1x2 . (5)y 2 111 ln 1 ln xxx x x x . (6)y x xsin sinxxsinx x x2 xcosxsinx x2 . (7)y(x22x1)e2 x(x22x1)(e2x)(2x2)e2x(x22x1)(e2x)(3x2)e2x. 命题角度二命题角度二 求抽象函数的导数值求抽象函数的导数值 【题型要点】【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似 f(x)f(x0)g(x)h(x)(x0为常数)的函数，解决这 类问题的关键是明确 f(
5、x0)是常数，其导数值为 0.因此先求导数 f(x)，令 xx0，即可得到 f(x0)的值，进而得 到函数解析式，求得所求导数值 【例例 2】 (2020 华中师范大学第一附中模拟华中师范大学第一附中模拟)设函数 f(x)的导数为 f(x)， 且 xxfxxf 23 3 2 ， 则 f(1) _. 【答案】0 【解析】因为 xxfxxf 23 3 2 ，所以 1 3 2 23 2 xfxxf. 所以1 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 ff.解得 3 2 f1.所以 f(x)3x22x1，所以 f(1)0. 【例【例 2】已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)
6、x23xf(2)ln x，则 f(2) 【答案】9 4 【解析】 因为 f(x)x23xf(2)ln x， 所以 f(x)2x3f(2)1 x， 所以 f(2)43f(2) 1 23f(2) 9 2， 所以 f(2) 9 4. 题型二题型二 导数的几何意义导数的几何意义 命题角度一命题角度一 求切线方程求切线方程 【题型要点】【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法 (1)求“在”曲线 yf(x)上一点 P(x0，y0)处的切线方程：点 P(x0，y0)为切点，切线斜率为 kf(x0)，有唯一的一 条切线，对应的切线方程为 yy0f(x0)(xx0). (2)求“过”曲线 yf(x)上一点
7、P(x0，y0)的切线方程：切线经过点 P，点 P 可能是切点，也可能不是切点，这 样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： 设切点 A(x1，y1)，则以 A 为切点的切线方程为 yy1f(x1)(xx1)； 根据题意知点 P(x0，y0)在切线上，点 A(x1，y1)在曲线 yf(x)上，得到方程组 y1fx1， y0y1fx1x0 x1， 求 出切点 A(x1，y1)，代入方程 yy1f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程 【例【例 1】(2020 年新课标全国年新课标全国 3 卷卷(理理)若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2= 1 5 都相切，则
8、l 的方程为( ) A. y=2x+1 B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1 D. y= 1 2 x+ 1 2 【答案】D 【解析】设直线l在曲线yx上的切点为 00 ,xx，则 0 0 x ， 函数yx的导数为 1 2 y x ，则直线l的斜率 0 1 2 k x ， 设直线l的方程为 00 0 1 2 yxxx x ，即 00 20 xx yx， 由于直线l与圆 22 1 5 xy相切，则 0 0 1 145 x x ， 两边平方并整理得 2 00 5410 xx ，解得 0 1x ， 0 1 5 x (舍)， 则直线l的方程为 210 xy ，即 11 22 yx.故选：
9、D. 【例【例 2】(2020 年新课标全国年新课标全国 1 卷卷.6(理理)函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为( ) A. 21yx B. 21yx C. 23yx D. 21yx 【答案】B 【解析】 43 2f xxx， 32 46fxxx， 11f， 12 f ， 因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx .故选：B. 命题角度二命题角度二 求切点坐标求切点坐标 【题型要点】求切点坐标的思路【题型要点】求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横 坐标，将横坐标代入函数解析式求
10、出切点的纵坐标 【例【例 3】(2020 广州模拟广州模拟)设函数 f(x)x3ax2，若曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 xy0，则 点 P 的坐标为( ) A(0,0) B(1，1) C(1,1) D(1，1)或(1,1) 【答案】D 【解析】f(x)(x3ax2)3x22ax， 由题意得 f(x0)1，x0f(x0)0， 所以 3x202ax01， x0 x30ax200， 由知 x00，故可化为 1x20ax00，所以 ax01x20代入得 3x202(1x20)1，即 x201， 解得 x0 1. 当 x01 时，a2，f(x0)x30ax201； 当 x01
11、 时，a2，f(x0)x30ax201， 所以点 P 的坐标为(1，1)或(1,1) 【例【例 4】(2019 高考江苏卷高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经 过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_ 【答案】(e，1) 【解析】设 A(x0，ln x0)，又 y1 x，则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yln x0 1 x0(xx0)，将(e， 1)代入得，1ln x01 x0(ex0)，化简得 ln x0 e x0，解得 x0e，则点 A 的坐标是(e，1) 命题角度三命题角度三 已知切线方程
12、已知切线方程(或斜率或斜率)求参数值求参数值 【题型要点】【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出 参数：抓住以下三点 切点处的导数是切线的斜率； 切点在切线上； 切点在曲线上 【例【例 5】(2020 高考全国卷高考全国卷(文文)设函数 ax e xf x 若 4 1 e f，则 a=_ 【答案】1 【解析】由函数的解析式可得： 22 1 xxx exaeexa fx xaxa ， 则： 1 22 11 1 11 eaae f aa ，据此可得： 2 4 1 aee a ， 整理可得： 2 210aa ，解得： 1a . 故答案为：1. 【
13、例【例 6】(2020 郑州市第一次质量预测郑州市第一次质量预测)已知函数 f(x)ln xax(aR)的图象与直线 xy10 相切，则实 数 a 的值为_ 【答案】2 【解析】 设直线 xy10 与函数 f(x)ln xax 的图象的切点为 P(x0， y0)， 因为 f(x)1 xa， 所以由题意， 得 x 0y010 f（x0） 1 x0a1 f（x0）ln x0ax0y0 ，解得 x01 y02 a2 . 命题角度四命题角度四 导数与函数的图象导数与函数的图象 【题型要点】【题型要点】函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的 倾斜程度可以判断出函
14、数图象升降的快慢 【例【例 7】函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是( ) 【答案】D 【解析】不妨设导函数 yf(x)的零点依次为 x1，x2，x3，其中 x10x20，排除 B，故选 D. 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1.(2020 宜昌模拟宜昌模拟)已知 f(x)是函数 f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则 f(2)( ) A.128ln 2 12ln 2 B 2 12ln 2 C. 4 12ln 2 D2 【答案】C. 【解析】 ： 因为 f(x)f(1)2xln 22x， 所以 f(1)f(1)2ln
15、22， 解得 f(1) 2 12ln 2， 所以 f(x) 2 12ln 2 2 xln 22x，所以 f(2) 2 12ln 2 2 2ln 22 2 4 12ln 2. 2(2020 安徽江南十校检测安徽江南十校检测)曲线 f(x)12ln x x 在点 P(1，f(1)处的切线 l 的方程为( ) Axy20 B2xy30 C3xy20 D3xy40 【答案】D. 【解析】 ：因为 f(x)12ln x x ，所以 f(x)32ln x x2 ，所以 f(1)3，又 f(1)1，所以所求切线方程为 y 13(x1)，即 3xy40. 3.(2019 高考全国卷高考全国卷)曲线 y2sin
16、 xcos x 在点(，1)处的切线方程为( ) Axy10 B2xy210 C2xy210 Dxy10 【答案】C. 【解析】 ：依题意得 y2cos xsin x，y|x(2cos xsin x)|x2cos sin 2，因此所求的切线方程 为 y12(x)，即 2xy210，故选 C. 4.(2020 安徽宣城八校联考安徽宣城八校联考)若曲线 yaln xx2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是 2 , 3 ，则 a( ) A. 1 24 B3 8 C.3 4 D3 2 【答案】B. 【解析】 ： 因为 yaln xx2(a0)，所以 ya x2x2 2a，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围
17、是 2 , 3 ， 所以斜率 k 3，因此 32 2a，所以 a3 8.故选 B. 5(2020 宁夏中卫月考宁夏中卫月考)函数 yf(x)的图象在点 P(5，f(5)处的切线方程是 yx8，则 f(5)f(5)( ) A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】由条件知 f(5)1，又在点 P 处的切线方程为 yf(5)(x5)，yx5f(5)，即 yx 8，5f(5)8，f(5)3，f(5)f(5)2. 6.(2020 太原模拟太原模拟)已知函数 f(x)xln xa 的图象在 xe 处的切线经过原点，则 f(1)( ) Ae B.1 e C1 D0 【答案】A 【解析】由题意，得 f(x
18、)ln x1.所以 f(e)ln e12，f(e)ea.所以函数 f(x)的图象在 xe 处的切线 方程为 y2(xe)ea.因为此切线经过原点，所以 2(e)ea0，解得 ae.所以 f(1)ae. 7(2020 青岛模拟青岛模拟)已知 f1(x)sinxcosx，fn1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x) fn(x)，nN*，则 f2022(x)( ) Asinxcosx Bsinxcosx Csinxcosx Dsinxcosx 【答案】C 【解析】 f1(x)sinxcosx， f2(x)f1(x)cosxsinx， f3(x)f2
19、(x)sinxcosx， f4(x)f3(x)cosx sinx，f5(x)f4(x)sinxcosx，fn(x)是以 4 为周期的函数，f2022(x)f2(x)cosxsinx. 8.已知函数 f(x) 4 ex1x 3sinx， 其导函数为 f(x)， 则 f(2020)f(2020)f(2020)f(2020)的值为( ) A4040 B4 C2 D0 【答案】B 【解析】函数 f(x) 4 ex1x 3sinxf(x)f(x) 4 ex1 4ex ex14，因为 f(x) 4ex ex123x 2cosx 为偶 函数，所以 f(x)f(x)0，所以 f(2020)f(2020)f(2
20、020)f(2020)4. 9如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是( ) 【答案】D. 【解析】 ：由 yf(x)的图象知 yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜率在(0，)上 也单调递减，故排除 A、C.又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图 象在 xx0处的切线的斜率相同，故排除 B. 10.(2020 广东佛山教学质量检测广东佛山教学质量检测(一一)若曲线yex在x0处的切线也是曲线yln xb的切线， 则b( ) A1 B1 C2 De 【答案】C
21、【解析】 ：.yex的导数为 yex，则曲线 yex在 x0 处的切线斜率 k1，则曲线 yex在 x0 处的切线 方程为 y1x，即 yx1.yln xb 的导数为 y1 x，设切点为(m，n)，则 1 m1，解得 m1，则 n2， 即有 2ln 1b，解得 b2.故选 C. 11.(2020 湖北武汉湖北武汉 4 月调研月调研)设曲线 C：y3x42x39x24，在曲线 C 上一点 M(1，4)处的切线记为 l， 则切线 l 与曲线 C 的公共点个数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 ：.y12x36x218x，则 y|x112 136 1218 112， 所以曲线 y
22、3x42x39x24 在点 M(1，4)处的切线方程为 y412(x1)，即 12xy80.联立 12xy80， y3x42x39x24，解得 x1， y4或 x2， y32 或 x2 3， y0. 故切线与曲线 C 还有其他的公共点(2，32)， 0 , 3 2 ， 所以切线 l 与曲线 C 的公共点个数为 3.故选 C. 12.(2020 安徽淮南二模安徽淮南二模)设直线 l1，l2分别是函数 f(x) ln x，0x1 图象上点 P1，P2处的切线l1与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则 A，B 两点之间的距离是( ) A1 B2 C3 D4 【答
23、案】B. 【解析】 ：设 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)， 当 0x1 时，f(x) 1 x， 不妨设 x1(0，1)，x2(1，)， 故 l1：y1 x1(xx1)ln x1，整理得 l1：y 1 x1xln x11， l2：y 1 x2(xx2)ln x2，整理得 l2：y 1 x2xln x21， 所以 A(0，1ln x1)，B(0，ln x21)，则|AB|2ln(x1x2)|， 因为 l1l2，所以1 x1 1 x21，所以 x1x21，所以|AB|2.故选 B. 二、填空题二、填空题 1.(2020 湖南省湘东六校联考湖南省湘东六校联考)已知曲线 f(x)exx2
24、，则曲线在(0，f(0)处的切线与坐标轴围成的图形的面积 为 【答案】1 2 【解析】由题意，得 f(x)ex2x，所以 f(0)1.又 f(0)1，所以曲线在(0，f(0)处的切线方程为 y11 (x 0)，即 xy10，所以该切线与 x，y 轴的交点分别为(1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图 形的面积为1 2 1 1 1 2. 2(2020 郑州市第一次质量预测郑州市第一次质量预测)已知函数 f(x)ln xax(aR)的图象与直线 xy10 相切，则实数 a 的值为 【答案】 ： 1 e21 【解析】 ：设直线 xy10 与函数 f(x)ln xax 的图象的切点为 P(x
25、0，y0)，因为 f(x)1 xa，所以由题 意，得 x 0y010 f（x0） 1 x0a1 f（x0）ln x0ax0y0 ，解得 a 1 e21. 3已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(2)_ 【答案】 9 4 【解析】 因为 f(x)x23xf(2)ln x，所以 f(x)2x3f(2)1 x，所以 f(2)43f(2) 1 23f(2) 9 2，所以 f(2)9 4. 4若过点 A(a，0)作曲线 C：yxex的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 ：(，4)(0，) 【解析】 ： 设切点坐标为(x0， x
26、0ex0)， y(x1)ex， y|xx0(x01)ex0， 所以切线方程为 yx0ex0(x01)ex0(x x0)，将点 A(a，0)代入可得x0ex0(x01)ex0(ax0)，化简，得 x20ax0a0，过点 A(a，0)作曲线 C 的 切线有且仅有两条，即方程 x20ax0a0 有两个不同的解，则有 a24a0，解得 a0 或 a4，故 实数 a 的取值范围是(，4)(0，) 5如图，已知直线 l 是曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线，则直线 l 的方程是 ；f(2)f(2)的值 为 【答案】 ：x2y80 5 2 【解析】 ：由图象可得直线 l 经过点(2，3)和(0，4)
27、，则直线 l 的斜率为 k43 02 1 2，可得直线 l 的方程为 y1 2x4，即为 x2y80； 由导数的几何意义可得 f(2)1 2，则 f(2)f(2)3 1 2 5 2. 6.(2019 高考江苏卷高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 在曲线 yln x 上， 且该曲线在点 A 处的切线经过点( e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是 【答案】 ：(e，1) 【解析】 ：设 A(m，n)，则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yn1 m(xm) 又切线过点(e，1)，所以有 n11 m(me) 再由 nln m，解得 me，n1. 故点 A 的坐
28、标为(e，1) 7.(2020 江西重点中学江西重点中学 4 月联考月联考)已知曲线 y1 x ln x a 在 x1 处的切线 l 与直线 2x3y0 垂直，则实数 a 的 值为_ 【答案】 ：2 5 【解析】 ：y 1 x2 1 ax，当 x1 时，y1 1 a.由于切线 l 与直线 2x3y0 垂直，所以 3 21 1 a 1，解得 a2 5. 8(2020 四川绵阳二模四川绵阳二模)已知曲线 yx3x2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4xy10，且点 P0在第三 象限，则 P0的坐标为_；若直线 ll1，且 l 也过切点 P0，则直线 l 的方程为_ 【答案】 ：(1，4) x4
29、y170 【解析】 ：由 yx3x2，得 y3x21， 由已知得 3x214，解得 x 1. 当 x1 时，y0；当 x1 时，y4. 又因为点 P0在第三象限， 所以切点 P0的坐标为(1，4) 因为直线 ll1，l1的斜率为 4， 所以直线 l 的斜率为1 4. 因为 l 过切点 P0，点 P0的坐标为(1，4)， 所以直线 l 的方程为 y41 4(x1)， 即 x4y170. 三三 解答题解答题 1.(2020 甘肃会宁一中模拟甘肃会宁一中模拟)已知曲线 yx3x2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4xy10， 且点 P0在第 三象限 (1)求 P0的坐标； (2)若直线 ll1，
30、且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程 【答案】(1)(1，4)；(2)x4y17 【解析】 ：(1)由 yx3x2，得 y3x21. 令 3x214，解得 x 1. 当 x1 时，y0；当 x1 时，y4. 又点 P0在第三象限，所以切点 P0的坐标为(1，4) (2)因为直线 ll1，l1的斜率为 4，所以直线 l 的斜率为1 4. 因为 l 过切点 P0，点 P0的坐标为(1，4)， 所以直线 l 的方程为 y41 4(x1)， 即 x4y170. 2(2020 衡水中学测试衡水中学测试)设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.
31、(1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定 值 【答案】(1)f(x)x3 x.(2)见解析 【解析】(1)方程 7x4y120 可化为 y7 4x3. 当 x2 时，y1 2.又 f(x)a b x2， 于是 2ab 2 1 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3. 故 f(x)x3 x. (2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y1 3 x2， 知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0 2 0 3 1 x (xx0)， 即 y 0 0 3 x x 2 0 3 1 x (xx0) 令 x0，得 y6 x0， 从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 0 6 , 0 x . 令 yx，得 yx2x0， 从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0) 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S62 6 2 1 0 0 x x . 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为 6.
