1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 3.8 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 目录 二、 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 定积分的计算定积分的计算 【题型要点】【题型要点】1.计算定积分的解题步骤计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差 (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分 (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数 (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和 【易错提醒】 当被积函数的原函数不易求
2、，而被积函数的图象与直线 xa，xb，y0 所围成的曲边梯 形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分 2.运用微积分基本定理求定积分时的 4 个关键点 (1)对被积函数要先化简，再求积分 (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分 (4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错 类型一类型一 利用微积分基本定理求定积分利用微积分基本定理求定积分 【例【例 1】计算下列定积分： (1)dx x 2 1 2 ；(2)dxx 0 cos；(3)dx x x 3 1 2 1 2. 【解】 (1
3、)因为(ln x)1 x，所以 2ln21ln2ln2ln2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 xdx x dx x (2)因为(sin x)cos x，所以00sinsinsincos 0 0 xdxx. (3)因为(x2)2x， x 1 1 x2，所以 3 2211 2 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 x xdx x dxxdx x x. 类型二类型二 利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义求定积分 【例【例 2】计算下列定积分： (1)dxx 1 0 2 11； (2)dxxx 5 5 3 sin43. 【解】 (1) 根据定积分的几何意义，可知d
4、xx 1 0 2 11表示的是圆(x1)2y21 的面积的1 4(如图中阴影部分) 故dxx 1 0 2 11 4. (2)设 yf(x)3x34sin x， 则 f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x)， 所以 f(x)3x34sin x 在5，5上是奇函数 所以dxxxdxxx 5 0 3 0 5 3 sin43sin43. 所以0sin43sin43sin43 5 0 3 0 5 3 5 5 3 dxxxdxxxdxxx. 题型二题型二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形的面积 【题型要点】【题型要点】1.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、
5、下限及被积函数当图形的边界不同 时，要分不同情况讨论 2.设阴影部分的面积为 S，则对如图所示的四种情况分别有： (1) dxxfS b a . (2) dxxfS b a . (3) dxxfdxxfS b c c a (4) dxxgxfdxxgdxxfS b a b a b a . 【例【例 1】由抛物线 y22x 与直线 yx4 围成的平面图形的面积为_ 【答案】18 【解析】 如图所示 解方程组 y22x， yx4，得两交点的坐标分别为(2，2)，(8，4) 法一：选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之和， 即184222 8 2 2 0 dxxxd
6、xxS. 法二：选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部分的面积18 2 1 4 4 2 2 dyyyS. 【例 2】曲线 yx2，y x与 x 轴所围成的面积为_ 【答案】7 6 【解析】如图所示 由 y x及 yx2 可得交点横坐标为 x1.由定积分的几何意义可知，由 y x，yx2 及 x 轴所围 成的封闭图形的面积为 6 7 2 2 3 2 2 2 1 2 1 0 2 3 2 1 1 0 x xxdxxdxxS 题型三题型三 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 【题型要点】题型要点】定积分在物理中的两个应用 (1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为 vv(t
7、)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过 的路程 dttvs b a . (2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功 是 dxxFW b a . 【例 1】物体 A 以 v3t21(m/s)的速度在一直线 l 上运动，物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v10t(m/s)的速度与 A 同向运动，出发后，物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】 ：.因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为dtts t 0 2 13，物体 B 在 t
8、 秒内行驶的路程为dtts t 010 ， 因为(t3t5t2)3t2110t， 所以5551013 23 0 23 0 2 ttttttdttts t t ， 整理得(t5)(t2 1)0，解得 t5. 【例【例 2】设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10，已知 F(x)x21 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_J(x 的单位：m；力的单位： N) 【答案】 ：342 【 解 析 】 ： 变 力 F(x) x2 1 使 质 点 M 沿 x 轴 正 向 从 x 1 运 动 到 x 10 所 做 的 功 为 dxxdxx
9、FW 10 1 2 10 1 1，因为1 3 1 23 xxx，所以原式342(J) 二、二、高效训练突破高效训练突破 一、选择题一、选择题 1定积分dxex x 1 0 3的值为( ) Ae1 Be Ce1 2 De1 2 【答案】D 【解析】 ：eeexdxex xx 2 1 1 2 3 2 3 3 1 0 2 1 0 . 2已知 t 是常数，若822 0 dxx t ，则 t( ) A1 B2 C2 或 4 D4 【答案】【答案】D 【解析】由822 0 dxx t 得，(x22x)|t0t22t8，解得 t4 或 t2(舍去) 3.设 dttxf x x cos，则 4 ff( ) A
10、1 Bsin 2 Csin 2 D2sin 2 【答案】【答案】D 【解析】 dttxf x x cossin t|xx2sin x，2 4 sin2 4 f，2sin2 4 ff 4.若 dxxfxxf 1 0 2 2，则 dxxf 1 0 ( ) A1 B1 3 C. 1 3 D1 【答案】B. 【解析】 ：因为 dxxfxxf 1 0 2 2，所以 dxxf 1 0 1 0 1 0 1 0 3 2 3 1 2 3 1 dxxfdxxfxx，所以 dxxf 1 0 1 3. 5.若 a xdttx xx xf 0 2 0,3 0,lg f(f(1)1，则 a 的值为( ) A1 B2 C1
11、 D2 【答案】A. 【解析】 ：因为 f(1)lg 10，f(0) 3 0 3 0 2 3atdtt a a ，所以由 f(f(1)1 得 a31，所以 a1. 6.直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A2 2 B4 2 C2 D4 【答案】【答案】D 【解析】如图 y4x 与 yx3的交点 A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积 42 4 1 8 4 1 24 42 0 42 2 0 3 xxdxxxS阴，故选 D. 7.dxxx 1 0 2的值为( ) A. 4 B. 2 C D2 【答案】【答案】A 【解析】令 y x（2x），则(x1)2y21，
12、(y0) dxxx 1 0 2表示由曲线 y x（2x），x0，x1 及 x 轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的1 4， dxxx 1 0 2 4. 8如果 1 N 的力能拉长弹簧 1 cm，为了将弹簧拉长 6 cm，所耗费的功为( ) A0.18 J B0.26 J C0.12 J D0.28 J 【答案】【答案】A 【解析】设 F(x)kx，当 x0.01 m 时，F(x)1，可知 k100.所耗费的功 JxdxxW18. 050100 06. 0 0 2 06. 0 0 9.由曲线 xy1，直线 yx，x3 所围成的封闭平面图形的面积为( ) A.32 9 B4ln 3 C4ln 3 D
13、2ln 3 【答案】B. 【解析】 ：画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数由曲线 xy1，直线 yx，x3 所围 成的封闭的平面图形如图所示： 由 xy1， yx， 得 x1， y1 或 x1， y1.（舍）由 yx， x3，得 x3， y3. 故阴影部分的面积为3ln4ln 2 11 3 1 2 3 1 xxdx x x. 10已知 f(x) sin x x，0 1x2 x（0，1，则 dxxf 1 ( ) A2 B. 2 C2 2 D. 42 【答案】【答案】D 【解析】 dxxdxxdxxf 1 0 2 01 1sin ，2cossin 0 0 xdxx，dxx 1 0 2
14、 1的几何意义是 以原点为圆心，半径为 1 的圆的面积的1 4，故 4 1 1 0 2 dxx，所以 2 4 1 dxxf，故选 D. 二、填空题二、填空题 1.一物体在力 F(x) 5，0 x2， 3x4，x2(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4(单位：m) 处，则力 F(x)做的功为_J. 【答案】36 【解析】由题意知，力 F(x)所做的功为 JxdxxdxdxxFW364 2 3 25435 4 2 2 4 2 2 0 4 0 2.若函数 f(x)在 R 上可导，f(x)x3x2f(1)，则 f(1)_， 2 0 dxxf_ 【答案】3 4 【解析】因为
15、 f(x)x3x2f(1)， 所以 f(x)3x22xf(1) 所以 f(1)32f(1)，解得 f(1)3. 所以 f(x)x33x2. 故 4 4 3 1 0 3 4 2 0 23 2 0 x x dxxxdxxf 3.已知函数 f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围 区域(图中阴影部分)的面积为 1 12，则 a 的值为_ 【答案】 ：1 【解析】 ：f(x)3x22axb，因为 f(0)0，所以 b0，所以 f(x)x3ax2，令 f(x)0，得 x0 或 x a(a0) 12 1 12 1 4 0 23 adxaxxS a
16、 阴 ，所以 a1. 4.一物体受到与它运动方向相反的力：F(x) 1 10e xx 的作用，则它从 x0 运动到 x1 时 F(x)所做的功等于 _ 【答案】 ： e 10 2 5 【解析】 ：由题意知 5 2 10210 1 10 1 1 0 2 1 0 ex edxxeW xx 5.设函数 f(x)ax2b(a0)，若 0 3 0 3xfdxxf ，x00，则 x0_ 【答案】 3 【解析】 依题意得 baxbxx a dxbxaxdxxf 2 0 3 0 3 3 0 2 3 0 3) 3 ()(， 即 3ax209a(a0)， x203(x00)， 由此解得 x0 3. 6.汽车以 7
17、2 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度 a4 m/s2刹车，则汽车从开始 刹车到停止走的距离为_m. 【答案】50 【解析】先求从刹车到停车所用的时间， 当 t0 时，v072 km/h20 m/s， 刹车后，汽车减速行驶，速度为 v(t)v0at204t. 令 v(t)0，可得 t5 s， 所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为： mttdtt50220420 5 0 2 5 0 即汽车从开始刹车到停止，共走了 50 m 三、解答题 1.已知函数 f(x)x3x2x1，求其在点(1，2)处的切线与函数 g(x)x2围成的图形的面积 【答案】 3 4 【解析】 ：因为(
18、1，2)为曲线 f(x)x3x2x1 上的点， 设过点(1，2)处的切线的斜率为 k， 则 kf(1)(3x22x1)|x12， 所以过点(1，2)处的切线方程为 y22(x1)，即 y2x. y2x 与函数 g(x)x2围成的图形如图中阴影部分所示，由 yx2， y2x 可得交点 A(2，4)，O(0，0)，故 y2x 与函数 g(x)x2围成的图形的面积 3 4 3 8 4 3 1 2 2 0 32 2 0 2 xxdxxxS 2.如图，在曲线 C：yx2，x0，1上取点 P(t，t2)，过点 P 作 x 轴的平行线 l.曲线 C 与直线 x0，x1 及 直线 l 围成的图形包括两部分，面积分别记为 S1，S2.当 S1S2时，求 t 的值 【答案】t 3 3 【解析】 ：根据题意，直线 l 的方程是 yt2，且 0t1.结合题图，得交点坐标分别是 A(0，0)，P(t，t2)， B(1，1)所以 333 0 32 0 22 1 3 2 3 1 3 1 tttxxtdxxtS t t ，0t1. 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 23332123 1 22 2 tttttxtxdxtxS t t ，0t1. 由 S1S2，得2 3t 32 3t 3t21 3，所以 t 21 3.又 0t1，所以 t 3 3 . 所以当 S1S2时，t 3 3 .
