1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1直线的倾斜角直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0 . (2)范围：直线 l 的倾斜角 的取值范围是0 ，180 ) 2斜率公式斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 90，则斜率 ktan_ (2)P1(x1，y1
2、)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1 x2x1 3直线方程的五种形式直线方程的五种形式 名称名称 已知条件已知条件 方程方程 适用范围适用范围 点斜式点斜式 斜率 k 与点(x1，y1) yy1k(xx1) 不含直线 xx1 斜截式斜截式 斜率 k 与直线在 y 轴 上的截距 b ykxb 不含垂直于 x 轴的直 线 两点式两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) yy1 y2y1 xx1 x2x1 (x1x2，y1y2) 不含直线 xx1(x1 x2)和直线 yy1(y1 y2) 截距式截距式 直线在 x 轴、y 轴上 的截距分别为 a，b x a
3、y b1 (a0，b0) 不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 一般式一般式 AxByC0 (A2B20) 平面直角坐标系内的 直线都适用 【常用结论】【常用结论】 1直线倾斜角和斜率的关系直线倾斜角和斜率的关系 不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 ktan ，当 0， 2 时， 越大，斜率 k 就越大，同样 2， 时也是如此，但当 0，)且 2时就不是了 2五种特殊位置的直线方程五种特殊位置的直线方程 (1)x 轴：y0. (2)y 轴：x0. (3)平行于 x 轴的直线：yb(b0) (4)平行于 y 轴的直线：xa(a0) (5)过原点且斜率存在的直线：ykx. 二、题型全归纳二、题型全
4、归纳 题型一题型一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 【题型要点】【题型要点】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素 2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 【核心素养】 ：数学抽象，数学运算 【规律方法】【规律方法】(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤求倾斜角的取值范围的一般步骤 求出斜率 ktan 的取值范围； 利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围 (2)斜率的求法斜率的求法 定义法：若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值，一般根据 ktan 求斜率； 公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根
5、据斜率公式 ky2y1 x2x1(x1x2)求斜率 【易错提醒】【易错提醒】直线倾斜角的范围是)0， ，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的 范围时，要分 0， 2 ， 2与 2， 三种情况讨论由正切函数图象可以看出，当倾斜角 0， 2 时，斜率 k)0， ；当 2时，斜率不存在；当 2， 时，斜率 k( )，0 . 【例【例 1】直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是( ) A.)0， B 0， 4 3 4 ， C. 0， 4 D 0， 4 2， 【答案】B 【解析】 设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin .因为 sin 1，1，所以1tan 1，又 0，)，
6、所以 0 4或 3 4 ，故选 B. 【例【例 2】直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围 为_ 【答案】(， 3 )1， 【解析】如图 因为 kAP10 211，kBP 30 01 3，所以直线 l 的斜率 k(， 3 )1， . 题型二题型二 直线的方程直线的方程 【题型要点】【题型要点】根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)， 体会斜截式与一次函数的关系 【核心素养】 ：【核心素养】 ：数学运算 【技巧方法】巧设直线方程的方法【技巧方法】巧设直线方程的方法 (1)已知一
7、点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况； (2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标， 则可采用两点式设直线方程， 但要注意讨论分母为零的情况； (3)当题目涉及直线在 x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在 x 轴、y 轴 上的截距为 0 的情况； (4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程 【注意】 (1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为 0 时，可将直线方程设为 xmya； (2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为 ykxa； (3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为 y
8、kx. 【例【例 1】根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为 5. 【答案】见解析 【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 10 10 (0)， 从而 cos 3 10 10 ，则 ktan 1 3. 故所求直线方程为 y 1 3(x4)， 即 x3y40 或 x3y40. (2)由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为x a y 12a1， 又直线过点(3，4)， 从而3 a 4 12a1，解得
9、a4 或 a9. 故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x50 满足题意； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y10k(x5)，即 kxy105k0. 由点线距离公式，得|105k| k21 5，解得 k3 4. 故所求直线方程为 3x4y250. 综上，所求直线方程为 x50 或 3x4y250. 【例 2】求满足下列条件的直线方程： (1)经过点 A(5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍； (2)经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 【答案】见解析 【解析】 ：(1)当直线不过原点时，设
10、所求直线方程为 x 2a y a1，将(5，2)代入所设方程，解得 a 1 2， 所以直线方程为 x2y10； 当直线过原点时，设直线方程为 ykx， 则5k2，解得 k2 5， 所以直线方程为 y2 5x，即 2x5y0. 故所求直线方程为 2x5y0 或 x2y10. (2)由题意可知，所求直线的斜率为 1. 又过点(3，4)，由点斜式得 y4 (x3) 所求直线的方程为 xy10 或 xy70. 题型三题型三 直线方程的综合问题直线方程的综合问题 【题型要点】【题型要点】求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本 不等式或函数单调性求解最值 (1)给
11、定条件求直线方程的思路给定条件求直线方程的思路 考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况； 在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程； 重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性 (2)与与直线有关的最值问题的解题思路直线有关的最值问题的解题思路 借助直线方程，用 y 表示 x(或用 x 表示 y)； 将问题转化成关于 x(或 y)的函数； 利用函数的单调性或基本不等式求最值 【例【例 1】已知直线 l 过点 P(3，2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，如图所示，求 ABO 的面 积的最小值及此时直线 l 的方程 【答案】2x3
12、y120 【解析】法一：设直线 l 的方程为x a y b1(a0，b0)，将点 P(3，2)代入得 3 a 2 b12 6 ab，得 ab24，从 而 S AOB1 2ab12，当且仅当 3 a 2 b时等号成立，这时 k b a 2 3，从而所求直线 l 的方程为 2x3y12 0.所以 ABO 的面积的最小值为 12，所求直线 l 的方程为 2x3y120. 法二：依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0， 可设直线 l 的方程为 y2k(x3)(kbc0，则f（a） a ，f（b） b ，f（c） c 的大小关系为_ 【答案】 f（a） a f（b） b 0 时，曲线上各点与原点连
13、线的斜率 随 x 的增大而减小，因为 abc0，所以f（a） a f（b） b f（c） c . 类型二类型二 求最值求最值 【解题要点】【解题要点】对于求形如 ky2y1 x2x1，y cdx abx的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线 斜率的范围，借助数形结合进行求解 【例 2】已知实数 x，y 满足 yx22x2(1x1)，试求y3 x2的最大值和最小值 【答案】见解析 【解析】如图 作出 yx22x2(1x1)的图象(曲线段 AB)，则y3 x2表示定点 P(2，3)和曲线段 AB 上任一点(x，y) 的连线的斜率 k，连接 PA，PB，则 kPAkkPB. 易得 A(
14、1，1)，B(1，5)， 所以 kPA1（3） 1（2） 4 3， kPB 5（3） 1（2）8 ， 所以4 3k8，故 y3 x2的最大值是 8，最小值是 4 3. 类型类型三、证明不等式三、证明不等式 【解题要点】【解题要点】根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解 题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果 【例【例 3】 已知 a，b，m(0，)，且 a a b. 【答案】见解析 【证明】如图 设点 P，M 的坐标分别为(b，a)，(m，m) 因为 0a0，所以点 M 在第三象限，且在直线 yx 上 连接 OP，PM，则 kOPa
15、b，kMP am bm. 因为直线 MP 的倾斜角大于直线 OP 的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角， 所以 kMPkOP，即am bm a b. 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 潍坊模拟潍坊模拟)1已知 ABC 的三个顶点坐标为 A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的中点，则中位线 MN 所在直线的方程为( ) A2xy120 B2xy120 C2xy80 D2xy80 【答案】C 【解析】 ：由题知 M(2，4)，N(3，2)，中位线 MN 所在直线的方程为y4 24 x2 32，整理得 2xy80. 2倾斜
16、角为 120 ，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是( ) A. 3xy10 B 3xy 30 C. 3xy 30 D 3xy 30 【答案】D. 【解析】 ：由于倾斜角为 120 ，故斜率 k 3.又直线过点(1，0)，所以方程为 y 3(x1)，即 3x y 30. 3直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a，b，c 应满足( ) Aab0，bc0 Bab0，bc0 Cab0，bc0 Dab0，bc0 【答案】A 【解析】 ：由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为 ya bx c b. 易知a b0 且 c b0，故 ab0，bc0.
17、 4两直线 x m y na 与 x n y ma(其中 a 为不为零的常数)的图象可能是( ) 【答案】B. 【解析】 ：直线方程 x m y na 可化为 y n mxna，直线 x n y ma 可化为 y m nxma，由此可知两条直线的斜 率同号 5(2020 广东清远一中月考广东清远一中月考)若直线 axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在 x 轴，y 轴上的截距之和 的最小值为( ) A1 B2 C4 D8 【答案】C. 【解析】 ：因为直线 axbyab(a0，b0)过点(1，1)， 所以 abab，即1 a 1 b1， 所以 ab(ab) 1 a 1 b 2b a
18、 a b22 b a a b4， 当且仅当 ab2 时上式等号成立 所以直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为 4. 6(2020 湖南益阳湖南益阳 4 月模拟月模拟)直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值 范围是( ) A2，2 B(，22，) C2，0)(0，2 D(，) 【答案】C. 【解析】 ：令 x0，得 yb 2， 令 y0，得 xb，所以所求三角形的面积为1 2 b 2 |b|1 4b 2，且 b0，1 4b 21，所以 b24，所以 b 的取值 范围是2，0)(0，2 7.(2020 安徽蒙城五校联考安徽蒙城五校联考)若直线 l：kx
19、y24k0(kR)交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B， 则当 AOB 的面积取最小值时直线 l 的方程为( ) Ax2y40 Bx2y80 C2xy40 D2xy80 【答案】B. 【解析】 ：由 l 的方程，得 A 24k k ，0 ，B(0，24k) 依题意得 24k k 0， 解得 k0.因为 S1 2|OA| |OB| 1 2 24k k |24k|1 2 （24k）2 k 1 2 16k4 k16 1 2 (2 816)16，当且仅当 16k4 k，即 k 1 2时等号成立此时 l 的方程为 x2y80. 8已知直线(a1)xya30(a1)，当此直线在 x，y 轴上
20、的截距和最小时，实数 a 的值是( ) A1 B 2 C2 D3 【答案】D. 【解析】 ：当 x0 时，ya3，当 y0 时，xa3 a1，令 ta3 a3 a15(a1) 4 a1.因为 a1，所 以 a10.所以 t52（a1） 4 （a1）9.当且仅当 a1 4 a1，即 a3 时，等号成立 9直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A1k1 5 Bk1 或 k1 2 Ck1 5或 k1 Dk1 2或 k1 【答案】D 【解析】 ：设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，令 y0，得直线 l 在 x 轴上的截距为
21、12 k， 则312 k3，解得 k 1 2或 k1. 10.(2020 天津市新华中学模拟天津市新华中学模拟)已知动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)且点 Q(4，0)到 动直线 l 的最大距离为 3，则 1 2a 2 c的最小值为( ) A.9 2 B9 4 C1 D9 【答案】B. 【解析】 ：因为动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)，所以 abmc20，又点 Q(4， 0)到动直线 l 的最大距离为 3，所以 （41）2（m）23，解得 m0，所以 ac2，则 1 2a 2 c 1 2(a c) 1 2a 2 c 1 2 5 2 c 2a
22、 2a c 1 2 5 22 c 2a 2a c 9 4，当且仅当 c2a 4 3时取等号，故选 B. 二、填空题二、填空题 1.若点 A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则 a 的值为_ 【答案】 ：4 【解析】 ：因为 kAC53 641，kAB a3 54a3.由于 A，B，C 三点共线，所以 a31，即 a4. 2已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四 边形，当四边形的面积最小时，实数 a_ 【答案】 ：1 2 【解析】 ：由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2，2)，直线 l1的纵截距为 2a，直
23、线 l2的横截距为 a22，所以 四边形的面积 S1 2 2 (2a) 1 2 2 (a 22)a2a4 a1 2 2 15 4 ，当 a1 2时，面积最小 3直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率 k 的取值范围是_ 【答案】 ：k1 或 k1 2 【解析】 ：设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，直线在 x 轴上的截距为 12 k. 令312 k3，解不等式得 k1 或 k 1 2. 4已知直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是_ 【答案】 ：2 或 1 【解析】 ：由题意可知 a0.当 x0 时，y
24、a2. 当 y0 时，xa2 a . 所以a2 a a2， 解得 a2 或 a1. 5设点 A(1，0)，B(1，0)，直线 2xyb0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_ 【答案】 ：2，2 【解析】 ：b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图， 当直线 y2xb 过点 A(1，0)和点 B(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值所以 b 的取值范围是2， 2 6.已知直线 l：xmy 3m0 上存在点 M 满足与两点 A(1，0)，B(1，0)连线的斜率 kMA与 kMB之积为 3， 则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 ： ， 6 6 6 6 ， 【解析】 ：设 M(x，y
25、)，由 kMA kMB3，得 y x1 y x13，即 y 23x23. 联立 xmy 3m0， y23x23， 得 1 m23 x 22 3 m x60. 要使直线 l：xmy 3m0 上存在点 M 满足与两点 A(1，0)，B(1，0)连线的斜率 kMA与 kMB之积为 3， 则 2 3 m 2 24 1 m23 0，即 m 21 6.所以实数 m 的取值范围是 ， 6 6 6 6 ， . 三三 解答题解答题 1.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A(3，4)； (2)斜率为1 6. 【答案】见解析 【解析】 ：(1)设
26、直线 l 的方程为 yk(x3)4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是4 k3，3k4，由已知，得 (3k4) 4 k3 6，解得 k1 2 3或 k2 8 3. 故直线 l 的方程为 2x3y60 或 8x3y120. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y1 6xb，它在 x 轴上的截距是6b， 由已知，得|6b b|6， 所以 b 1. 所以直线 l 的方程为 x6y60 或 x6y60. 2已知射线 l1：y4x(x0)和点 P(6，4)，试在 l1上求一点 Q 使得 PQ 所在直线 l 和 l1以及直线 y0 在第一 象限围成的面积达到最小值，并写出此时
27、直线 l 的方程 【答案】见解析 【解析】 ：设点 Q 坐标为(a，4a)，PQ 与 x 轴正半轴相交于 M 点 由题意可得 a1，否则不能围成一个三角形 PQ 所在的直线方程为：y44a4 a6 (x6)， 令 y0，x 5a a1， 因为 a1，所以 S OQM1 2 4a 5a a1， 则 S OQM10a 2 a110 a22a12a21 a1 10 （a1） 1 a12 40， 当且仅当(a1)21 时取等号 所以 a2 时，Q 点坐标为(2，8)， 所以此时直线 l 的方程为：xy100. 3 已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l
28、不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A， 交 y 轴正半轴于点 B， AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)， 求 S 的最小值， 并求此时直线 l 的方程 【答案】见解析 【解析】 ：(1)证明：直线 l 的方程可化为 k(x2)(1y)0， 令 x20， 1y0，解得 x2， y1， 所以无论 k 取何值，直线 l 总过定点(2，1) (2)直线方程可化为 ykx12k，当 k0 时，要使直线不经过第四象限， 则有 k0， 12k0，解得 k0； 当 k0 时，直线为 y1，符合题意 综上，k 的取值范围是 k0. (3)依题意得 A 12k k ，0 ，B(0，12k)，且 12k k 0， 解得 k0.所以 S1 2 |OA| |OB| 1 2 12k k |12k|1 2 （12k）2 k 1 2 4k1 k4 1 2 (2 24)4， “”成立的条件是 4k1 k，此时 k 1 2，所以 Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.
