1、2021 年辽宁省鞍山市立山区中考数学一模试卷年辽宁省鞍山市立山区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）数 1，0，2 中最大的是（ ） A1 B0 C D2 2 （3 分） 如图， 已知 ab， 小华把三角板的直角顶点放在直线 a 上 若140， 则2 的度数为 （ ） A100 B110 C120 D130 3 （3 分）下列各式运算正确的是（ ） A2（a1）2a1 Ba2bab20 C2a33a3a3 Da2+a22a2 4 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AD4cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E
2、处，AE 交 DC 于点 O，若 AO5cm，则 AB 的长为（ ） A6cm B7cm C8cm D9cm 5 （3 分）某中学组织共青团员去植树，其中七位同学植树的棵数分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数 据的中位数和众数分别是（ ） A3，2 B2，3 C2，2 D3，3 6 （3 分）若圆锥的侧面积等于其底面积的 3 倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ） A60 B90 C120 D180 7 （3 分）如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转 105至 OA1B1C1 的位置，若 OA2，C120，则点 B1的坐
3、标为（ ） A （3，） B （3，） C （，） D （，） 8 （3 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC3cm，动点 P 从点 A 出发，以cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B，动点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 ACCB 方向运动到点 B设APQ 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 9 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AEBE，AE3，BE
4、4，则阴影部分面积是 11（3分） 到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里 将数据38000用科学记数法表示为 12 （3 分）如图，在ABC 中，M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 MN，点 E 是 CN 的中点，连接 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D若 BC4，则 CD 的长为 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 无实数根，则 k 的取值范围是 14 （3 分）如图，O 是等边ABC 的内切圆，分别切 AB，BC，AC 于点 E，F，D，P 是上一点，则 EPF 的度数是 15 （3 分）A、B 两地相距 60km，甲骑自行车从 A 地到
5、 B 地，出发 1h 后，乙骑摩托车从 A 地到 B 地，且 乙比甲早到 3h，已知甲、乙的速度之比为 1：3，则甲的速度是 16 （3 分）如图，射线 OM 在第一象限，且与 x 轴正半轴的夹角为 60，过点 D（6，0）作 DAOM 于点 A，作线段 OD 的垂直平分线 BE 交 x 轴于点 E，交 AD 于点 B，作射线 OB，以 AB 为边在AOB 的外侧 作正方形 ABCA1，延长 A1C 交射线 OB 于点 B1，以 A1B1为边在A1OB1的外侧作正方形 A1B1C1A2，延 长 A2C1交射线 OB 于点 B2，以 A2B2为边在A2OB2的外侧作正方形 A2B2C2A3按此规
6、律进行下去，则 正方形 A2020B2020C2020A2021的周长为 三、简答题（每小题三、简答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，再求值： （+x1），其中 x（） 1+（3）0 18 （8 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，EF 过点 O 且与 BC、AD 分别交于点 E、F试猜 想线段 AE、CF 的关系，并说明理由 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）在疫情期间，为落实“停课不停学” ，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查， 了解到学生的学习方式有：电视直播、任课
7、教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习参与调查的 学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图根据如图所示的统 计图，解答下列问题 （1）本次接受调查的学生有 名； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果，若本校有 1800 名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？ 20 （10 分）4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品 （1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率； （3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下试验：
8、随机抽取 1 件进行检测，然后放回，多次重复 这个试验， 通过大量重复试验后发现， 抽到合格品的频率稳定在 0.95， 则可以推算出 x 的值大约是多少？ 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）如图，BC 是路边坡角为 30，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射 灯，射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角DAN 和DBN 分别是 37和 60（图中的 点 A、B、C、D、M、N 均在同一平面内，CMAN） （1）求灯杆 CD 的高度； （2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米） （参
9、考数据：1.73sin370.60，cos370.80，tan37 0.75） 22 （10 分）如图，正比例函数的图象与反比例函数（k0）在第一象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知OAM 的面积为 1 （1）求反比例函数的解析式； （2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点，且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小 （只需在图中作出点 B，P，保留痕迹，不必写出理由） 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 交
10、于点 E，连接 AD，过点 A 作直 线 MN，使MACADC （1）求证：直线 MN 是O 的切线 （2）若ADC30，AB8，AE3，求 DE 的长 24 （10 分） 某工厂生产 A 型产品，每件成本为 20 元，销售 A 型产品的销售单价 x 元时，销售量为 y 万件， 要求每件 A 型产品的售价不低于 20 元且不高于 30 元，y 与 x 之间满足一次函数关系：当销售单价为 23 元时，销售量为 34 万件；当销售单价为 25 元时，销售量为 30 万件 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）某次销售刚好获得 182 万元的利润，每件 A 型产品的售价是多少元？ （3
11、）设该工厂销售 A 型产品所获得的利润为 w 万元，将该产品销售单价定为多少元时，才能使销售该 产品所获利润最大？最大利润是多少？ 七、解答题（本题调分七、解答题（本题调分 12 分）分） 25（12 分） 如图， 在ABC 中， ACB90， ACBC， 以 C 为顶点作等腰直角CMN， 使CMN90， 连接 BN，射线 NM 交 BC 于点 D （1）如图 1，若点 A，M，N 在一条直线上 求证：BN+CMAM； 若 AM6，BN2，求 BD 的长； （2）如图 2若 AB4，CN2，将CMN 绕点 C 逆时针旋转一周，在旋转过程中射线 NM 交 AB 于点 H，当三角形 DBH 是直角
12、三角形时，请你直接写出 CD 的长 八、解答题（本题满分八、解答题（本题满分 14 分）分） 26 （14 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上一动点，满足PAB2ACO，求 P 点的坐标； （3）在（2）的条件下，当 P 点在 x 轴上方时，作 PHx 轴于 H，点 M 是线段 OH 上一动点，MDCM 交 PH 于点 D，连接 CD，点 Q 为 CD 中点，求 QM 的最小值 2021 年辽宁省鞍山市立山区中考数学一模试卷年辽宁省鞍山市立山区中考数学一模试卷 参
13、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）数 1，0，2 中最大的是（ ） A1 B0 C D2 【解答】解：201， 所以最大的是 1 故选：A 2 （3 分） 如图， 已知 ab， 小华把三角板的直角顶点放在直线 a 上 若140， 则2 的度数为 （ ） A100 B110 C120 D130 【解答】解：1+390， 3904050， ab， 2+3180 218050130 故选：D 3 （3 分）下列各式运算正确的是（ ） A2（a1）2a1 Ba2bab20 C2a33a3a3 Da2+a22a2 【
14、解答】解：A、2（a1）2a2，故此选项错误； B、a2bab2，无法合并，故此选项错误； C、2a33a3a3，故此选项错误； D、a2+a22a2，正确 故选：D 4 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AD4cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC 于点 O，若 AO5cm，则 AB 的长为（ ） A6cm B7cm C8cm D9cm 【解答】解：根据折叠前后角相等可知BACEAC， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， BACACD， EACACD， AOCO5cm， 在直角三角形 ADO 中，DO3cm， ABCDDO+CO3+58cm 故选：C
15、5 （3 分）某中学组织共青团员去植树，其中七位同学植树的棵数分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数 据的中位数和众数分别是（ ） A3，2 B2，3 C2，2 D3，3 【解答】解：把这些数从小大排列为 1，1，2，2，3，3，3，处于这组数据中间位置的那个数是 2，那么 由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 2； 在这一组数据中 3 是出现次数最多的，故众数是 3 故选：B 6 （3 分）若圆锥的侧面积等于其底面积的 3 倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ） A60 B90 C120 D180 【解答】解：设母线长为 R，底面半径为 r， 底面周长2r，底面面积r2，
16、侧面面积lRrR， 侧面积是底面积的 3 倍， 3r2rR， R3r， 设圆心角为 n，有R， n120 故选：C 7 （3 分）如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形 OABC 绕原点 O 逆时针旋转 105至 OA1B1C1 的位置，若 OA2，C120，则点 B1的坐标为（ ） A （3，） B （3，） C （，） D （，） 【解答】解：连接 AC 与 OB 相交于点 E，过点 B1作 B1Fx 轴，垂足为 F， 四边形 OABC 为菱形，C120，OAOC， AOC60，OCOAAC2， ACOB， 在 RtOAE 中，OA2，AEAC1， OE， OB2， 又A
17、OBAOC30，BOB1105， B1OF180AOBBOB11803010545， 在 RtB1OF 中，OB1OB2，OFB1F， OF2+B1F2OB12， 可得 OFB1F， 点 B1在第二象限， 点 B1的坐标为（，） 故选：C 8 （3 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC3cm，动点 P 从点 A 出发，以cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B，动点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 ACCB 方向运动到点 B设APQ 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ） A B C D 【解答】解： （1
18、）过点 Q 作 QDAB 于点 D， 如图 1，当点 Q 在 AC 上运动时，即 0 x3， 由题意知 AQx、APx， A45， QDAQx， 则 yxxx2； 如图 2，当点 Q 在 CB 上运动时，即 3x6，此时点 P 与点 B 重合， 由题意知 BQ6x、APAB3， B45， QDBQ（6x） ， 则 y3（6x）x+9； 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 9 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x1 【解答】解：根据题意得：x10 且 x+10， 解得：x1 故答案为：x1 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中
19、，AEBE，AE3，BE4，则阴影部分面积是 19 【解答】解：AEBE，AE3，BE4， 在 RtABE 中，AB2AE2+BE29+1625， S阴影部分S正方形ABCDSABEAB2AEBE253419 故答案为：19 11（3分） 到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里 将数据38000用科学记数法表示为 3.8104 【解答】解：380003.8104 故答案为：3.8104 12 （3 分）如图，在ABC 中，M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 MN，点 E 是 CN 的中点，连接 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D若 BC4，则 CD 的长为 2 【解答
20、】解：M，N 分别是 AB 和 AC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MNBC2，MNBC， NMED，MNEDCE， 点 E 是 CN 的中点， NECE， MNEDCE（AAS） ， CDMN2 故答案为：2 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 无实数根，则 k 的取值范围是 k1 【解答】解：由题意可知：4+4k0， k1， 故答案为：k1 14 （3 分）如图，O 是等边ABC 的内切圆，分别切 AB，BC，AC 于点 E，F，D，P 是上一点，则 EPF 的度数是 60 【解答】解：连接 OE、OF，如图， O 是等边ABC 的内切圆， OEAB，OFB
21、C， BEOBFO90， B+EOF180， ABC 为等边三角形， B60， EOF180B120， EPFEOF60 故答案为 60 15 （3 分）A、B 两地相距 60km，甲骑自行车从 A 地到 B 地，出发 1h 后，乙骑摩托车从 A 地到 B 地，且 乙比甲早到 3h，已知甲、乙的速度之比为 1：3，则甲的速度是 10km/h 【解答】解：设甲的速度为 xkm/h，则乙的速度为 3xkm/h， 依题意，有+4， 解这个方程，得 x10， 经检验，x10 是原方程的解， 当 x10 时，3x30 答：甲的速度为 10km/h，乙的速度为 30km/h 故答案为：10km/h 16
22、（3 分）如图，射线 OM 在第一象限，且与 x 轴正半轴的夹角为 60，过点 D（6，0）作 DAOM 于点 A，作线段 OD 的垂直平分线 BE 交 x 轴于点 E，交 AD 于点 B，作射线 OB，以 AB 为边在AOB 的外侧 作正方形 ABCA1，延长 A1C 交射线 OB 于点 B1，以 A1B1为边在A1OB1的外侧作正方形 A1B1C1A2，延 长 A2C1交射线 OB 于点 B2，以 A2B2为边在A2OB2的外侧作正方形 A2B2C2A3按此规律进行下去，则 正方形 A2020B2020C2020A2021的周长为 4 【解答】解：由已知得AOD60， ADO30 BE 垂
23、直平分 OD， BOBD， BODADO30， AOB603030， OAOD3， ABtan30OA， BC， 正方形 ABCA1的周长为 4； 易得 A1B1， 正方形 A1B1C1A2的周长为 4（） ； 同理可得 A2B2+（）（）； B2C2（）， 正方形 A2B2C2A3的周长为 4（）； 同理 A3B3（）+（）， B3C3， 正方形 A3B3C3A4的周长为 4； A4B4B4C4， 正方形 A4B4C4A5的周长为 4；. 以此类推可知正方形正方形 A2020B2020C2020A2021的周长为 4 故答案为：4 三、简答题（每小题三、简答题（每小题 8 分，共分，共 16
24、 分）分） 17 （8 分）先化简，再求值： （+x1），其中 x（） 1+（3）0 【解答】解：原式 当 x2+13 时，原式 18 （8 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，EF 过点 O 且与 BC、AD 分别交于点 E、F试猜 想线段 AE、CF 的关系，并说明理由 【解答】解：AE 与 CF 的关系是平行且相等 理由：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，AFEC， OAFOCE， 在OAF 和OCE 中， ， OAFOCE（ASA） ， AFCE， 又AFCE， 四边形 AECF 是平行四边形， AECF 且 AECF， 即 AE 与 CF 的关系是平行且相
25、等 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）在疫情期间，为落实“停课不停学” ，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查， 了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习参与调查的 学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图根据如图所示的统 计图，解答下列问题 （1）本次接受调查的学生有 60 名； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果，若本校有 1800 名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？ 【解答】解： （1）本次接受调查的学生有：915%60（名） ；
26、故答案为：60； （2）选择 C 学习方式的人数有：60930615（人） ， 补全统计图如下： （3）根据题意得： 1800900（名） ， 答：估计有 900 名学生参与任课教师在线辅导 20 （10 分）4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品 （1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率； （3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取 1 件进行检测，然后放回，多次重复 这个试验， 通过大量重复试验后发现， 抽到合格品的频率稳定在 0.95
27、， 则可以推算出 x 的值大约是多少？ 【解答】解： （1）4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品， P（不合格品）； （2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽 2 件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙， 乙丁，丙丁，6 种情况合格的有 3 种情形 P（抽到的都是合格品）； （3）大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95， 抽到合格品的概率等于 0.95， 0.95， 解得：x16 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）如图，BC 是路边坡角为 30，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探
28、射 灯，射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角DAN 和DBN 分别是 37和 60（图中的 点 A、B、C、D、M、N 均在同一平面内，CMAN） （1）求灯杆 CD 的高度； （2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米） （参考数据：1.73sin370.60，cos370.80，tan37 0.75） 【解答】解： （1）延长 DC 交 AN 于 H DBH60，DHB90， BDH30， CBH30， CBDBDC30， BCCD10（米） （2）在 RtBCH 中，CHBC5，BH58.65， DH15， 在 RtADH 中，AH20， ABAHBH208.
29、6511.4（米） 答：AB 的长度约为 11.4 米 22 （10 分）如图，正比例函数的图象与反比例函数（k0）在第一象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知OAM 的面积为 1 （1）求反比例函数的解析式； （2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点，且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小 （只需在图中作出点 B，P，保留痕迹，不必写出理由） 【解答】解： （1）设 A 点的坐标为（a，b） ，则由，得 ab2k， 反比例函数的解析式为； （2）由条件知：两函数的交点为， 解得：， A 点坐标为： （2，1） ，作出关于
30、A 点 x 轴对称点 C 点，连接 BC，P 点即是所求， 则点 C（2，1） ， B（1，2） ， 设直线 BC 的解析式为：ykx+b， ， 解得：， 直线 BC 的解析式为：y3x+5， 当 y0 时，x， 点 P（，0） 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，连接 AD，过点 A 作直 线 MN，使MACADC （1）求证：直线 MN 是O 的切线 （2）若ADC30，AB8，AE3，求 DE 的长 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ACB90，
31、B+BAC90， BD，MACADC， BMAC， MAC+CAB90， BAM90， ABMN， 直线 MN 是O 的切线； （2）解：连接 OC，过 E 作 EHOC 于 H， ADC30， BADC30， AOC60， AB8， AOBO4， AE3， OE1，BE5， EHO90， OHOE，EHOH， CHOCOH， CE， 由相交弦定理得：AEBECEDE， DE 24 （10 分） 某工厂生产 A 型产品，每件成本为 20 元，销售 A 型产品的销售单价 x 元时，销售量为 y 万件， 要求每件 A 型产品的售价不低于 20 元且不高于 30 元，y 与 x 之间满足一次函数关系
32、：当销售单价为 23 元时，销售量为 34 万件；当销售单价为 25 元时，销售量为 30 万件 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）某次销售刚好获得 182 万元的利润，每件 A 型产品的售价是多少元？ （3）设该工厂销售 A 型产品所获得的利润为 w 万元，将该产品销售单价定为多少元时，才能使销售该 产品所获利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设 ykx+b， 把（23，34）与（25，30）代入得：， 解得：， 则 y 与 x 的函数关系式为 y2x+80； （2）设 A 型产品获得 182 元的利润时，每件的销售单价是 x 元， 根据题意得： （x20）y1
33、82，则（x20） （2x+80）182， 整理得： （x30）29， 解得：x127，x233（不合题意舍去） ， 答：每件饰品的销售单价是 27 元； （3）由题意可得：w（x20） （2x+80） 2x2+120 x16002（x30）2+200， 20，20 x30， 当 x30 时，w最大200， 答：该产品销售单价定为 30 元时，才能使销售该产品所获利润最大，最大利润是 200 元 七、解答题（本题调分七、解答题（本题调分 12 分）分） 25（12 分） 如图， 在ABC 中， ACB90， ACBC， 以 C 为顶点作等腰直角CMN， 使CMN90， 连接 BN，射线 NM
34、交 BC 于点 D （1）如图 1，若点 A，M，N 在一条直线上 求证：BN+CMAM； 若 AM6，BN2，求 BD 的长； （2）如图 2若 AB4，CN2，将CMN 绕点 C 逆时针旋转一周，在旋转过程中射线 NM 交 AB 于点 H，当三角形 DBH 是直角三角形时，请你直接写出 CD 的长 【解答】证明： （1）过 C 作 CFCN，交 AN 于 F， CMN 是等腰直角三角形， CNM45，CMMN， CFCN，ACB90， FCNACB，CFNCNF45， ACFBCN，CFCN，且 ACBC， ACFBCN（SAS） ， AFBN， CFCN，CMMN， MFMNCM， AM
35、AF+FMBN+CM； AM6，BN2，BN+CMAM， CMMN4， ACFBCN， CAFCBN， CAF+ACFCFN45，BCN+MCDMCN45， CAFMCD，且CAFCBN， MCDCBN， ACMBN， MCDNBD，CMDBND90， ， MD2ND， MD+NDMN4， ND， 在 RtDNB 中，BD； （2）若BDH90，如图 2，此时点 M 与点 D 重合， CMN 是等腰直角三角形，CN2， CMMN， CD， 若BHD90，如图 3， BHD90，B45， BDH45， CDN45N， CDCN2， 综上所述，CD 的值为或 2 八、解答题（本题满分八、解答题（本
36、题满分 14 分）分） 26 （14 分）已知二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上一动点，满足PAB2ACO，求 P 点的坐标； （3）在（2）的条件下，当 P 点在 x 轴上方时，作 PHx 轴于 H，点 M 是线段 OH 上一动点，MDCM 交 PH 于点 D，连接 CD，点 Q 为 CD 中点，求 QM 的最小值 【解答】解： （1）把 A（1，0） ，B（4，0）两点代入该抛物线解析式 yx2+bx+c 得： ， 解得：， 该抛物线解析式为 yx2+x+3， （2）
37、如图所示，沿 y 轴将AOC 翻折得到DOC，过点 D 作 DEAC 与点 E， 点 A（1，0） ，C（0，3） ，D（1，0） ， ACDC， 又SACD，即：DE， DE， 而在 RtDEC 中：CE， AOC 翻折得到DOC， ACD2ACO， tanACDtanECD， 分类讨论：当 x 轴上方存在点 P，使得PAB2ACO，AP 与 y 轴交于点 G，此时： tanPAB， GO，即 G（0，） ， 设直线 AGP 的直线解析式为：ykx+b，将 A（1，0） ，G（0，）代入得： ， 解得：， ， P 为直线 AGP 和抛物线的交点，联立方程可得： ， 解得：，（舍去） ， P（
38、3，3） ， 当 x 轴上方存在点 P，使得PAB2ACO，AP与 y 轴交于点 H，此时： tanPAB， OH，即 H（0，） ， 设直线 AHP的直线解析式为：ykx+b，将 A（1，0） ，H（0，）代入得： ， ， y， P为直线 AHP和抛物线的交点，联立方程可得： ， 解得：，（舍去） P（5，） ， 综上：P 的坐标为（3，3）或（5，） ， （3）在（2）的条件下，当 P 点在 x 轴上方时，如图所示作 PHx 轴于 H，点 M 是线段 OH 上一动点， MDCM 交 PH 于点 D，连接 CD，点 Q 为 CD 中点， 由题意可知：CMD 为 Rt，QM 为斜边 CD 的中线，即 QM， 欲使得 QM 最小即 CD 最小时，由图可知，CD 最小时，DH 应最大，设存在点 M（m，0）使得 DH 最大 为 y，即： OMm，MH3m，DHy，CO3， CMMD， CMOMDH，COMMHD90， COMMHD， ，即：， 可得关系式：y（m）2+， ， 当 m时，ymax， 此时，过点 D 作 DNy 轴于点 N，则四边形 ONDH 为矩形，CND 为直角三角形， DHNO，ND3， CN3， 在 RtCND 中，CD， QNmin
