1、第 1 页（共 31 页）2019 年辽宁省鞍山市台安县中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示） ，它的主视图是（ ）A BC D2 （3 分）如图所示，将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点B，A ，C 在同一条直线上，则三角板 ABC 旋转的角度是（ ）A60 B90 C120 D1503 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx24x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak4 Bk4 Ck4 且 k0 Dk 44 （3 分）如图，在 55 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D
2、 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）A B C D5 （3 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，ADCACB，AD2，BD6，则边 AC 的长为（ ）第 2 页（共 31 页）A2 B4 C6 D86 （3 分）如图，BC 是O 的直径，A 是 O 上的一点， OAC32，则B 的度数是（ ）A58 B60 C64 D687 （3 分）在平面直角坐标系中有两点 A（6，2） ，B（6，0） ，以原点为位似中心，相似比为 1：3，把线段 AB 缩小，则过 A 点对应点的反比例函数的解析式为（ ）A B C D8 （3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+
3、c（a0）图象的一部分，对称轴为 x ，且经过点（2，0） ，有下列说法：abc0；a+ b0；4a+2b+c0；若（0，y 1） ，（1，y 2）是抛物线上的两点，则 y1y 2上述说法正确的是（ ）A B C D二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）9 （3 分）有下列平面图形：线段； 等腰直角三角形； 平行四边形；矩形；第 3 页（共 31 页）正八边形；圆其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 （填序号）10 （3 分）如果方程 x2+4x+n0 可以配方成（x+m ） 2 3，那么（m n） 2018 11 （3 分）一抛物线和另一抛物线 y2x 2 的形状和开口方向完全相同，
4、且顶点坐标是（2，1） ，则该抛物线的解析式为 12 （3 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC ，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到ABC的位置，连接 CB，则 CB 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，AB 2，BC ，则 sin 14 （3 分）不透明袋子中有 1 个红球、2 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出 1 个球后放回，再随机摸出 1 个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 15 （3 分）如图所示，已知O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD 若AOB 与COD 互补，弦 CD 6，则弦 AB 的长为 16 （3 分）如
5、图，在矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC10，点 E 在 CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将ABG 沿 BG 折叠，点 A恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论：EBG45；DEFABG；S ABG SFGH ；AG+DFFG 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）第 4 页（共 31 页）三、 （每小题 8 分，共 16 分）17 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m 3）xm0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为 x1、x 2，且 x12+x22x 1x27，求 m 的值18
6、 （8 分）如图所示，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1，将 RtABC 先绕点C 顺时针旋转 90，再向右平移 2，得到ABC （1）画出旋转后的ABC ：（2）求出点 A 整个过程中所经过的路径长四、 （每小题 10 分，共 20 分）19 （10 分）如图，在平面直角坐标 xOy 中，正比例函数 ykx 的图象与反比例函数 y的图象都经过点 A（2，2） （1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为 C，连接 AB，AC ，求点 C 的坐标及ABC 的面积第 5 页（共 31 页）20 （
7、10 分）为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了 A 书法、B 阅读，C 足球，D 器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等（1）学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？五、 （每小题 10 分，共 20 分）21 （10 分）如图，为了测出旗杆 AB 的高度，在旗杆前的平地上选择一点 C，测得旗杆顶部 A 的仰角为 45，在 C、B 之间选择一点 D（C、D、B 三点共线） ，测得旗杆顶部 A的仰角为 75，且 CD8m（1）求点 D 到
8、CA 的距离；（2）求旗杆 AB 的高（注：结果保留根号）22 （10 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE于点 M，经过 B，M 两点的 O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 恰为O 的直径（1）求证：AE 与O 相切；（2）当 BC4，cosC 时，求 O 的半径第 6 页（共 31 页）六、 （每小题 10 分，共 20 分）23 （10 分）某商店经销甲、乙两种商品 现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的零售单价分别为 元和 元 （直接写出答案）（2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品
9、1200 件经调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元，甲种商品每天可多销售 100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降 m（m 0）元在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 1700 元？24 （10 分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范
10、围；（2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？七、 （12 分）第 7 页（共 31 页）25 （12 分）平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线 MN过点 C 作CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F当点 E 与点 A 重合时（如图 1） ，易证：AF+BF2CE当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明八、 （14 分）26 （14 分
11、）如图，已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点 A（1，0） ，B（2， 0） ，C（0，2） ，直线 xm（m 2）与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的解析式；（2）在直线 xm （m2）上有一点 E（点 E 在第四象限） ，使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由第 8 页（共 31 页）2019 年辽宁省鞍山市台安县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题
12、（每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分）将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示） ，它的主视图是（ ）A BC D【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图2 （3 分）如图所示，将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点B，A ，C 在同一条直线上，则三角板 ABC 旋转的角度是（ ）A60 B90 C120 D150【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解【解答】解：旋转角是CAC
13、18030150故选：D【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键3 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx24x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak4 Bk4 Ck4 且 k0 Dk 4第 9 页（共 31 页）【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx24x+10 有实数根， ，解得：k4 且 k0故选：C【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当0 时，方程有实数根”是解题的关键4 （3 分）如图，在 55 的正
14、方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）A B C D【分析】从点 A，B，C，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从点 A，B，C ，D 中任取三点能组成三角形的一共有 4 种可能，其中ABD，ADC，ABC 是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 故选：D【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系和勾股定理的逆定理运用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型5 （3 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，AD
15、CACB，AD2，BD6，则边 AC 的长为（ ）第 10 页（共 31 页）A2 B4 C6 D8【分析】只要证明ADCACB，可得 ，即 AC2ADAB，由此即可解决问题；【解答】解：AA，ADCACB，ADCACB， ，AC 2ADAB 2816，AC0，AC4，故选：B【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型6 （3 分）如图，BC 是O 的直径，A 是 O 上的一点， OAC32，则B 的度数是（ ）A58 B60 C64 D68【分析】根据半径相等，得出 OCOA，进而得出C32，利用直径和圆周角定理解答即可【解答】解：OAO
16、C，COAC32，BC 是直径，B903258，故选：A【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用7 （3 分）在平面直角坐标系中有两点 A（6，2） ，B（6，0） ，以原点为位似中心，相似比为 1：3，把线段 AB 缩小，则过 A 点对应点的反比例函数的解析式为（ ）第 11 页（共 31 页）A B C D【分析】先根据相似比为 1：3，求 A 点对应点的坐标，再利用待定系数法求解析式【解答】解：A 1B1O 和 ABO 以原点为位似中心，A 1B1O ABO，相似比为 1：3，A 1B1 ，OB 12，A 1 的坐标为（2， ）或（
17、2， ） ，设过此点的反比例函数解析式为 y ，则 k ，所以解析式为 y 故选：B【点评】此题关键运用位似知识求对应点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式8 （3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x ，且经过点（2，0） ，有下列说法：abc0；a+ b0；4a+2b+c0；若（0，y 1） ，（1，y 2）是抛物线上的两点，则 y1y 2上述说法正确的是（ ）A B C D第 12 页（共 31 页）【分析】 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与 y 轴交点位置求得 a、b、c 的符号；根据对称轴求出 ba；把 x2 代入函数关系式，结合图象判断
18、函数值与 0 的大小关系；求出点（ 0， y1）关于直线 x 的对称点的坐标，根据对称轴即可判断 y1 和 y2 的大小【解答】解：二次函数的图象开口向下，a0，二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点，c0，对称轴是直线 x ， ，ba0，abc0故正确；由 中知 ba，a+b0，故正确；把 x2 代入 yax 2+bx+c 得：y 4a+2b+ c，抛物线经过点（2，0） ，当 x2 时，y 0，即 4a+2b+c0故错误；（ 0，y 1）关于直线 x 的对称点的坐标是（1，y 1） ，y 1y 2故正确；综上所述，正确的结论是 故选：A【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注
19、意：当 a0 时，二次函第 13 页（共 31 页）数的图象开口向上，当 a0 时，二次函数的图象开口向下二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）9 （3 分）有下列平面图形：线段； 等腰直角三角形； 平行四边形；矩形；正八边形；圆其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 （填序号）【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合各项进行判断即可【解答】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；正八边形是轴对称图形，也是中心对称
20、图形，符合题意圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；故答案为：【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合10 （3 分）如果方程 x2+4x+n0 可以配方成（x+m ） 2 3，那么（m n） 2018 1 【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出 m、n 的值，即可得到结果【解答】解：由（x+m） 23 ，得：x2+2mx+m230，2m4，m 23n，m2，n1，（mn） 20181，故答案为：1【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式
21、是解本题的关键11 （3 分）一抛物线和另一抛物线 y2x 2 的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（2，1） ，则该抛物线的解析式为 y2（x+2） 2+1 【分析】设抛物线的解析式为 ya（xh） 2+k，由条件可以得出 a2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论第 14 页（共 31 页）【解答】解：设抛物线的解析式为 ya（xh） 2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线 y2x 2 相同，a2，y2（xh） 2+k，顶点坐标是（2，1） ，y2（x+2） 2+1，这个函数解析式为 y2（x+2） 2+1，故答案为：y2（x +2） 2+1【点评】本题考查了根据顶点时运用待定系数法
22、求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出 a 值是关健12 （3 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC ，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到ABC的位置，连接 CB，则 CB 1 【分析】连接 BB，根据旋转的性质可得 ABAB ，判断出ABB是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 ABBB，然后利用“边边边”证明ABC和BBC全等，根据全等三角形对应角相等可得ABCBBC ，延长 BC交 AB于 D，根据等边三角形的性质可得 BDAB ，利用勾股定理列式求出 AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出 BD、CD，然后根据BCBDCD 计算即可
23、得解【解答】解：如图，连接 BB，ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60得到ABC，ABAB，BAB 60，ABB 是等边三角形，ABBB，在ABC和BBC中，第 15 页（共 31 页），ABCBBC（SSS） ，ABCBBC，延长 BC交 AB于 D，则 BDAB，C90，ACBC ，AB 2，BD2 ，CD 21，BCBDCD 1故答案为： 1【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出 BC在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点13 （3 分）在 RtABC 中，C90，AB 2，BC ，则
24、sin 【分析】根据A 的正弦求出A60，再根据 30的正弦值求解即可【解答】解：sinA ，A60，sin sin30 故答案为： 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60角的三角函数值是解第 16 页（共 31 页）题的关键14 （3 分）不透明袋子中有 1 个红球、2 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出 1 个球后放回，再随机摸出 1 个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 【分析】先画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的
25、结果数为 4，所以两次摸出的球都是黄球的概率 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率15 （3 分）如图所示，已知O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD 若AOB 与COD 互补，弦 CD 6，则弦 AB 的长为 8 【分析】延长 AO 交O 于点 E，连接 BE，由AOB+BOEAOB+COD 知BOECOD，据此可得 BECD6，在 RtABE 中利用勾股定理求解可得【解答】解：如图，延长 AO 交O 于点 E，连接 BE，则AOB+BOE 180，又
26、AOB+COD180，BOECOD，第 17 页（共 31 页）BECD6，AE 为O 的直径，ABE 90，AB 8，故答案为：8【点评】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理16 （3 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC10，点 E 在 CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将ABG 沿 BG 折叠，点 A恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论：EBG45；DEFABG；S ABG SFGH ；AG+DFFG 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）【分析】由折叠性质得12，CE FE
27、 ，BFBC 10，则在 RtABF 中利用勾股定理可计算出 AF8，所以 DFAD AF 2，设 EFx，则CEx，DE CDCE6x，在 RtDEF 中利用勾股定理得（6x） 2+22x 2，解得x ，即 ED ；再利用折叠性质得34，BH BA6，AGHG ，易得2+345，于是可对 进行判断；设 AGy，则 GHy，GF8y，在 RtHGF 中利用勾股定理得到 y2+42（8y） 2，解得 y3，则 AGGH 3，GF 5，由于AD 和 ，可判断 ABG 与DEF 不相似，则可对 进行判断；根据三角形面积公式可对进行判断；利用 AG3，GF5，DF2 可对进行判断【解答】解：BCE 沿
28、 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处，12，CEFE，BF BC 10，在 Rt ABF 中，AB 6，BF10，AF 8，DFAD AF1082，第 18 页（共 31 页）设 EFx，则 CEx，DE CDCE6x，在 Rt DEF 中，DE 2+DF2EF 2，（6x） 2+22x 2，解得 x ，ED ，ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，34，BHBA 6，AG HG，2+3 ABC45 ，所以正确；HFBFBH1064，设 AGy，则 GHy，GF 8y，在 Rt HGF 中，GH 2+HF2GF 2，y 2+42（8y ） 2，解得
29、y3，AGGH 3 ，GF5，AD， ， ， ，ABG 与DEF 不相似，所以错误；S ABG 639，S FGH GHHF 346，S ABG SFGH ，所以正确；AG+ DF3+25，而 GF 5，AG+ DFGF，所以 正确故答案为【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长三、 （每小题 8 分，共 16 分）第 19 页（共 31 页）17 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m 3）xm0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为 x1、x 2，且 x12+x22x 1x27，求 m 的值
30、【分析】 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于 0 即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于 m 的方程，从而可以求得 m 的值【解答】 （1）证明：x 2（m 3）xm0，（m3） 241（m）m 22m +9（m1） 2+80，方程有两个不相等的实数根；（2）x 2（m 3）xm0，方程的两实根为 x1、x 2，且 x12+x22x 1x27， ，（m3） 23（m）7，解得，m 11，m 22，即 m 的值是 1 或 2【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答18 （8 分）如
31、图所示，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1，将 RtABC 先绕点C 顺时针旋转 90，再向右平移 2，得到ABC （1）画出旋转后的ABC ：（2）求出点 A 整个过程中所经过的路径长第 20 页（共 31 页）【分析】点 A 进过的路径长是以点 C 为圆心，CA 长为半径的圆周的 ，再加上向右平移的 2；【解答】解：（1）如图所示：（2）点 A 经过的路径长是以点 C 为圆心，CA 长为半径的圆周的 ，再加上向右平移的 2，路径长 22+2 +2；【点评】本题考查图形的旋转和平移；掌握图形旋转和平移的特点，能够准确判断出 A经过的路径是 圆周加上 2 是解题的关键四、 （每小题 1
32、0 分，共 20 分）19 （10 分）如图，在平面直角坐标 xOy 中，正比例函数 ykx 的图象与反比例函数 y的图象都经过点 A（2，2） （1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为 C，连接 AB，AC ，求点 C 的坐标及ABC 的面积第 21 页（共 31 页）【分析】 （1）将点 A 坐标（2，2）分别代入 ykx、y 求得 k、m 的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点 B 坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点 C 得坐标，可将ABC 的面积转化为OBC 的面积【解答】
33、解：（1）根据题意，将点 A（2，2）代入 ykx ，得：22k，解得：k1，正比例函数的解析式为：yx，将点 A（2，2）代入 y ，得：2 ，解得：m4；反比例函数的解析式为：y ；（2）直线 OA：yx 向上平移 3 个单位后解析式为：yx+3，则点 B 的坐标为（0，3） ，联立两函数解析式 ，解得： 或 ，第四象限内的交点 C 的坐标为（ 4，1） ，OABC，S ABC S OBC BOxC 346【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键20 （10 分）为进一步深化
34、基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了 A 书法、B 阅读，C 足球，D 器乐四门校本选修课程供学生选择，每第 22 页（共 31 页）门课程被选到的机会均等（1）学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？【分析】 （1）利用直接列举得到所有 6 种等可能的结果数；（2）画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）共有 6 种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD 、 BC、BD、CD；（2）
35、画树状图为：共有 16 种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为 4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率五、 （每小题 10 分，共 20 分）21 （10 分）如图，为了测出旗杆 AB 的高度，在旗杆前的平地上选择一点 C，测得旗杆顶部 A 的仰角为 45，在 C、B 之间选择一点 D（C、D、B 三点共线） ，测得旗杆顶部 A的仰角为 75，且 CD8m（1）求点 D 到 CA 的距离；（2）求旗
36、杆 AB 的高（注：结果保留根号）第 23 页（共 31 页）【分析】 （1）作 DEAC 于点 E，根据 sinC 即可得 DE；（2）由C45可得 CE，由 tanEAD 可得 AE，即可得 AC 的长，再在 RtABC 中，根据 sinC 即可得 AB 的长【解答】解：（1）如图，作 DEAC 于点 E，再 Rt CDE 中， sinC ， ，DE4 ，答：点 D 到 CA 的距离为 4 ；（2）在 RtCDE 中，C 45，CDE 为等腰直角三角形，CEDE4 ，ADB75，C45，EADADBC30，在 RtADE 中，tan EAD ， ，AE4 ，ACAE+CE4 +4 ，在 R
37、t ABC 中，sinC ， ，AB4+4 ，答：旗杆 AB 的高为（4+4 ）m 第 24 页（共 31 页）【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是仰角的定义、特殊角的三角函数值，要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形22 （10 分）已知：如图，在ABC 中，ABAC ，AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE于点 M，经过 B，M 两点的 O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 恰为O 的直径（1）求证：AE 与O 相切；（2）当 BC4，cosC 时，求 O 的半径【分析】 （1）连接 OM，证明 OMBE ，再结合等腰三角形的性质说明 AEBE，进而证明 OM
38、AE ；（2）结合已知求出 AB，再证明AOMABE，利用相似三角形的性质计算【解答】 （1）证明：连接 OM，则 OMOB12BM 平分ABC1323OM BCAMOAEB在ABC 中，AB AC，AE 是角平分线AEBCAEB 90AMO90OM AE点 M 在圆 O 上，AE 与O 相切；（2）解：在ABC 中，AB AC ，AE 是角平分线第 25 页（共 31 页）BE BC， ABC CBC4，cosCBE2，cos ABC在ABE 中，AEB 90AB 6设 O 的半径为 r，则 AO6 rOM BCAOMABE解得 O 的半径为 【点评】本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，
39、角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点六、 （每小题 10 分，共 20 分）23 （10 分）某商店经销甲、乙两种商品 现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的零售单价分别为 2 元和 3 元 （直接写出答案）第 26 页（共 31 页）（2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 1200 件经调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元，甲种商品每天可多销售 100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降 m（m 0）元在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 1700 元？【
40、分析】 （1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；（2）根据降价后甲每天卖出：（500+ 100）件，每件降价后每件利润为：（1m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可【解答】解：（1）解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为 x，y 元，根据题意得： ，解得： ，甲、乙零售单价分别为 2 元和 3 元；故答案为：2，3；（2）根据题意得出：即 2m2m0，解得 m0.5 或 m0（舍去） ，答：当 m 定为 0.5 元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 1700 元【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，此题比较典型也是近几年
41、中考中热点题型，注意表示总利润时表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键24 （10 分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？第 27 页（共 31 页）【分析】 （1）利用
42、待定系数法求解可得 y 关于 x 的函数解析式；（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数解析式为 ykx+ b，将（10，30） 、 （16，24）代入，得： ，解得： ，所以 y 与 x 的函数解析式为 yx+40（10x16） ；（2）根据题意知，W（x10）y（x10） （x +40）x 2+50x400（x25） 2+225，a10，当 x25 时，W 随 x 的增大而增大，10x16，当 x16 时，W 取得最大值，最大值为 144，答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，
43、最大利润是 144 元【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质七、 （12 分）25 （12 分）平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线 MN过点 C 作CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F当点 E 与点 A 重合时（如图 1） ，易证：AF+BF2CE当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，第 28 页（共 31 页）请直接写出你的猜想，不需证明【分析】过 B 作 BH
44、CE 与点 H，易证ACE CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得 AF+BF2CE【解答】解：图 2，AF+BF2CE 仍成立，证明：过 B 作 BHCE 于点 H，BCH+ACE90，又在直角ACE 中，ACE+CAE90，CAEBCH，又ACBC，AECBHC 90ACECBHCHAE ，BF HE，CEBH，AF+BFAE+ EF+BFCH+EF+HECE+EF2EC图 3 中，过点 C 作 CGBF，交 BF 延长线于点 G，ACBC，可得AECCGB，ACEBCG，CBGCAE，AEBG ，AFAE+EF，AFBG +CEBF +FG+CE2CE +BF，AFBF2CE第 29 页（共 31 页）【点评】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键八、 （14 分）26 （14 分）如图，已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点 A（1，0） ，B（2， 0） ，C（0，2） ，直线 xm（m 2）与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的解析式；（2）在直线 xm （m2）上有一点 E（点 E 在第四象限） ，使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形
