1、2018 年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1下列各数中，比1 小 1 的数为（ ）A0 B1 C2 D22下列等式成立的是（ ）A（x+4）（x4）x 24 B2x 23xxCx 6x2x 2 D（x 2） 3x 63PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，2.5 微米等于 0.000 0025 米，把 0.000 0025 用科学记数法表示为（ ）A2.510 6 B0.2510 5 C2510 7 D2.510 64如图，图中的几何体中，它的左视图是（ ）A BC D5下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）A4x 24x+
2、10 Bx 24x+50 C4x 290 D5x +23x 26若ABCDEF，且对应中线比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积比为（ ）A3：2 B2：3 C4：9 D9：167如图，在底边 BC 为 2 ，腰 AB 为 2 的等腰三角形 ABC 中，DE 垂直平分 AB 于点 D，交 BC于点 E，则 ACE 的周长为（ ）A2+ B2+2 C4 D38如图，在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取 9 个格点（各线的交点称为格点），如果以 A 为圆心， r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 4 个在圆内，则 r 的取值范围为（ ）A2 x B x3 C3 x 5 D5x 二
3、、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）9若分式 有意义，则 x 的取值范围是 10因式分解：2x 2y+12xy18y 11圆心角为 120的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 （结果保留 ）12如图所示，PM 切O 于点 A，PO 交O 于点 B，点 E 为圆上一点，若BE AO，EAO 30，若 O 的半径为 1，则 AP 的长为 13今年“五一”节，A、B 两人到商场购物，A 购 3 件甲商品和 2 件乙商品共支付 30 元，B 购 5件甲商品和 3 件乙商品共支付 45 元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元设甲商品售价 x元/件，乙商品售价 y 元/件，则可列
4、出方程组 14如图所示，图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 中的正方形放在图 2 中的 的某一位置，所组成的图形恰好是正方体展开图的概率是 15如图，点 A 在双曲线 y 上，点 B 在双曲线 y （k0）上，ABx 轴，过点 A 作 ADx轴于 D连接 OB，与 AD 相交于点 C，若 AC CD，则 k 的值为 16如图，在 RtABC 中，C90，BC4，BA5，点 D 在边 AC 上的一动点，过点 D 作DEAB 交边 BC 于点 E，过点 B 作 BFBC 交 DE 的延长线于点 F，分别以 DE，EF 为对角线画矩形 CDGE 和矩形 HEBF，则在 D 从 A 到
5、C 的运动过程中，当矩形 CDGE 和矩形 HEBF 的面积和最小时，则 EF 的长度为 三、（每题 8 分，共 16 分）17（8 分）已知 x3y 0，且 y0，求（1+ ） 的值18（8 分）如图，在五边形 ABCDE 中，BCDEDC90，BCED，ACAD求证：AB AE四、（每题 10，共 20 分）19（10 分）2018 年 3 月 13 日中国教育报公告了“2017 年中国学生资助发展报告”，报告中给出下面两个统计图，请你根据统计图提供的信息回答下列问题（1）2017 年学生资助金额比 2016 年学生资助金额投资增加多少亿元；（2）2017 年地方财政资金占全国学生资助资金
6、的百分比；（3）根据两个统计图提供的信息结合你了解的社会情况，请你给出 2018 年全国学生资助金投入的建议20（10 分）2018 年 3 月 25 日某产业博览会在大连会展中心开幕，博览会设了编号为 16 好展厅共 6 个，小雨一家计划利用两天时间参观其中两个展厅：第一天从 6 个展厅中随机选择一个，第二天从余下的 5 个展厅中再随机选择一个，且每个展厅被选中的机会均等（1）第一天，2 号展厅没有被选中的概率是 ；（2）利用列表或画树状图的方法求两天中 3 号展厅被选中的概率五、（每题 10 分，共 20 分）21（10 分）如图，甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼甲船以每小时 千米的
7、速度沿西偏北 30方向前进，乙船以每小时 15 千米的速度沿东北方向前进甲船航行 2 小时到达 C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东 75的方向追赶，结果两船在B 处相遇（1）甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？22（10 分）如图 1，点 P 是平面直角坐标系内一点（x 轴上的点除外），过点 P 作 PCx 轴于点C，点 C 绕点 P 顺时针旋转 60得到点 Q，我们将此由点 P 得到点 Q 的操作称为 T 变换（1）已知点 P（a，b）经过 T 变换后得到点 Q 的坐标为 ；（2）如图 2，点 A 是函数 y 图象上一
8、点，经过 T 变换后得到点 B，若点 B 恰好落在函数y 上，求点 A 的坐标六、（每 10 题，共 20 分）23（10 分）如图 1 所示，AB 为 O 的一条弦，点 C 为劣弧 AB 的中点，E 为优弧 AB 上一点，点F 在 AE 的延长线上，且 CEBF（1）求证：BEEF（2）连接 OB，交 AE 于点 D，若 BF 是O 的切线，请你判断四边形 CDEB 的形状，并在图 2中画出图形，写出推理过程24（10 分）甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶 20 分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度 2 倍的按原路返回，乙到学
9、校用了 5 分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇 22.5 千米处追上甲后同车前往乡镇如图是甲、乙距学校的距离为 y（千米）与出发的时间为 x（分钟）的函数关系式（1）求线段 CD 对应函数关系式；（2）求甲步行的速度七、（本题 12 分）25（12 分）如图 1，设 D 为锐角ABC 内一点，ADBACB+90（1）求证：CAD+CBD90；（2）如图 2，过点 B 作 BEBD，BEBD，连接 EC，若 ACBDADBC，求证： ACD BCE；求 的值八、（本题 14 分）26（14 分）如图，抛物线 y x2+bx+c 经过点 B（2 ，0）、C（0，2）两点，与 x 轴的另一个交
10、点为 A（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 从点 C 出发沿线段 CB 以每秒 个单位长度的速度向点 B 运动，作 DECB 交 y 轴于点 E，以 CD、DE 为边作矩形 CDEF，设点 D 运动时间为 t（s）当点 F 落在抛物线上时，求 t 的值；若点 D 在运动过程中，设ABC 与矩形 CDEF 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围2018 年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1【分析】根据有理数的减法，即可解答【解答】解：112，故选：C【点评】本题考查了有理数的减法，解决
11、本题的关键是熟记有理数的减法2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式x 216，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式x 4，不符合题意；D、原式x 6，符合题意，故选：D【点评】此题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键3【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定【解答】解：0.000 00252.510 6 ，故选：D【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一
12、般形式为 a10n ，其中 1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4【分析】找到从左面看所得到的图形即可【解答】解：从左面看可得到 1 列正方形的个数为 2故选：B【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图5【分析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式b 24ac，找出0 的方程即可得出结论【解答】解：A、（4） 24410，方程 4x24x+10 有两个相等的实数根；B、（4） 241540，方程 x24x+50 没有实数根；C、0 244（9） 1440，方程 4x290 有两个不相等的实数根；D、原方程可变形为 3x25x20，
13、（5） 243（2）490，方程 5x+23x 2 有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键6【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答【解答】解：ABCDEF，对应中线比为 2：3，ABC 与DEF 的相似比为 2：3，ABC 与DEF 的面积比为 4：9，故选：C【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比7【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 BEAE，可得 AE+ECB
14、C2 ，即可得到结论【解答】解：DE 垂直平分 AB，BEAE，AE+CEBC2 ，ACE 的周长AC+AE+CEAC+BC 2+2 ，故选：B【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力8【分析】利用勾股定理求出各格点到点 A 的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论【解答】解：给各点标上字母，如图所示AB 2 ，AC AD ，AE 3 ，AF ，AGAM AN 5，3 r5 时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 4 个在圆内故选：C【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点 A
15、 的距离是解题的关键二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）9【分析】根据分式有意义，分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：由题意得，x30，解得，x3故答案为：x3【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于 0，分式无意义，分母等于010【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式2y（x 26x +9）2y（x3） 2故答案为：2y（x 3） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键11【分析】根据扇形的面积公式即可求解【解答】解：扇形的面积 3故答案是：3【点评】本题主要考查了
16、扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键12【分析】根据平行线性质求出E，根据圆周角定理求出AOP60，解直角三角形求出即可【解答】解：BEAO ，EAO30，EOAE 30，AOP2E 60，PM 切O 于点 A，OAP90，APOA tanAOP1tan60 ，故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、切线的性质、圆周角定理等知识点，能求出AOP60和PAO90是解此题的关键13【分析】分别利用“A 购 3 件甲商品和 2 件乙商品共支付 30 元，B 购 5 件甲商品和 3 件乙商品共支付 45 元”得出等式求出答案【解答】解：设甲商品售价 x 元/ 件，乙商品售价 y 元/件，则可列出
17、方程组：故答案为： 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出正确等量关系是解题关键14【分析】将图 1 的正方形放在图 2 中的的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得【解答】解：由图共有 4 种等可能结果，其中将图 1 的正方形放在图 2 中的的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图15【分析】根据题意设出点 A 的坐标，从而得到点 B 的坐标，然后根据三
18、角形相似即可求得 k 的值【解答】解：设点 A 的坐标为（a， ），则点 B 的坐标为（ ， ），ABx 轴，BACODC，ACBDCO， ，AC CD， ，ODa，AB1.5a，点 B 的横坐标是 2.5a，2.5a ，解得，k ，故答案为： 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和三角形相似的知识解答16【分析】利用勾股定理求得 AC3，设 DCx ，则 AD3x，利用平行线分线段成比例定理求得 CE 进而求得 BE4 ，然后根据 S 阴 S 矩形 CDGE+S 矩形 HEBF 得到 S 阴 x28x +12，根据二次函数的
19、性质即可求得 CD，进而求得 BE 和 BF，然后根据勾股定理求得即可【解答】解：在 RtABC 中，C90，BC4，BA5，AC 3，设 DCx，则 AD3x，DFAB， ，即 ，CEBE4 ，矩形 CDGE 和矩形 HEBF，ADBF，四边形 ABFD 是平行四边形，BFAD 3x，则 S 阴 S 矩形 CDGE+S 矩形 HEBFDC CE+BEBFx x+（3x）（4 x） x28x+12， 0，当 x 时，有最小值，DC ，有最小值，BE4 2，BF3 ，EF ，即矩形 CDGE 和矩形 HEBF 的面积和最小时，则 EF 的长度为故答案为 【点评】本题考查了二次函数的性质，矩形的性
20、质，勾股定理的应用，表示出线段的长度是解题的关键三、（每题 8 分，共 16 分）17【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据 x3y0 得到 x3y，从而可以解答本题【解答】解：（1+ ） ，x3y0，x3y，原式 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法18【分析】根据ACDADC，BCDEDC90，可得ACBADE，进而运用 SAS即可判定全等三角形，即可得出结论【解答】证明：ACAD，ACDADC，又BCDEDC90，ACBADE，在ABC 和AED 中，ABCAED（SAS），ABAE【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，
21、解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等四、（每题 10，共 20 分）19【分析】（1）根据条形统计图中的数据求出所求即可；（2）根据扇形统计图中的数据确定出所求即可；（3）结合题意，只要建议合理即可【解答】解：（1）根据题意得：（93.2+179.11+365.29+193.8+1050.74）（68.18+165.11+332.13+167.5+955.84）193.38（亿元），则 2017 年学生资助金额比 2016 年学生资助金额投资增加 193.38 亿元；（2）根据题意得：2017 年地方财政资金占全国学生资助资金的百分比为 31.57%；（3）2018 年，建议国家对
22、于学生资助金额应该加大【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键20【分析】（1）根据有 6 个展厅，编号为 16 号，第一天，抽到 2 号展厅的概率是 ，从而得出 2 号展厅没有被选中的概率；（2）根据题意先列出表格，得出所有可能的数和两天中 3 号展厅被选中的结果数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）根据题意知，第一天 2 号展厅没有被选中的概率是：1 ；故答案为： ；（2）根据题意列表如下：1 2 3 4 5 61 （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1）
23、 （3，2） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，6）6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） 由表格可知，总共有 30 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两天中 3 号展厅被选中的结果有 10 种，所以两天中 3 号展厅被选中的概率为 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比五、（每题
24、 10 分，共 20 分）21【分析】（1）根据方向角可以得到BCA45，B30 度，过 A 作 ADBC 于点 D，在直角ACD 中，根据三角函数就可求得 AD 的长，再在直角 ABD 中，根据三角函数即可求得AB 的长，就可求得时间；（2）求出 BC 的长，根据（ 1）中的结果求得时间，即可求得速度【解答】解：（1）如图，过 A 作 ADBC 于点 D作 CGAE 交 AD 于点 G乙船沿东北方向前进，HAB45，EAC30，CAH903060CAB60+45 105 CGEA ，GCAEAC30FCD75，BCG15，BCA15+30 45，B180BCACAB30在直角ACD 中，AC
25、D45，AC 215 30 ADACsin4530 30 千米CDACcos4530 千米在直角ABD 中，B 30则 AB2AD 60 千米则甲船从 C 处追赶上乙船的时间是： 601522 小时；（2）BCCD+ BD30+30 千米则甲船追赶乙船的速度是每小时（30+30 ）215+15 千米/ 小时答：甲船从 C 处追赶上乙船用了 2 小时，甲船追赶乙船的速度是每小时 15+15 千米【点评】一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算，正确作辅助线是解决本题的关键22【分析】（1）根据题意可以求得点 P（a，b）经过 T 变换后得到点 Q 的坐标；（2）根据（1）中的结果，可
26、以求得点 A 的坐标【解答】解：（1）作 QAPC 于点 A，如右图所示，由题意可得，PQPCb，QAbsin60 b，PAbcos60 b，点 Q 的坐标是（a b， b）；（2）设点 A 的坐标为（a， ），点 B 的坐标为（a ， ），点 B 恰好落在函数 y 上， ，解得，a 或 a ，当 a 时， ，当 a 时， ，点 A 的坐标是（ ， ）或（ ， ）【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答六、（每 10 题，共 20 分）23【分析】（1）求出BECAEC ，根据平行线的性质求出AEC F，FBE
27、BEC，求出FEBF 即可；（2）先求出四边形 CDEB 是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可【解答】（1）证明：C 为 的中点， ，BECAEC，BFCE，AECF，FBEBEC ，FEBF，BEEF；（2）解：四边形 CDEB 的形状是菱形，理由是：连接 OB，BF 是O 的切线，BFOB ，CEBF，CEOB，BECAEC，在BEM 和 DEM 中BEM DEM，BMDM，OBCE，OB 为半径，CMEM，四边形 CDEB 是平行四边形，BDCE，四边形 CDEB 是菱形【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运
28、用定理进行推理是解此题的关键24【分析】（1）根据点 A 的坐标利用待定系数法可求出直线 OA 的函数关系式，由乙的速度变化及乙到学校用了 5 分钟取到相机，可得出点 C 的坐标，再利用待定系数法即可求出线段 CD对应函数关系式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出乙追上甲的时间，再利用速度路程时间，即可求出甲步行的速度【解答】解：（1）设线段 OA 所在直线的函数关系式为 ykx （k0），点 A（20，18）在直线 OA 上，1820k，k 乙骑电动车按出发时速度 2 倍的按原路返回，乙到学校用了 5 分钟取到相机，点 B 的坐标为（30，0），点 C 的坐标为（35，0）设线段 CD
29、 所在直线对应函数关系式为 y x+b，点 C（35，0）在线段 CD 上，0 35+b，b ，线段 CD 所在直线对应函数关系式为 y x 当 y45 时，有 x 45，解得：x85，线段 CD 对应函数关系式为 y x （35x85）（2）4522.522.5（千米），当 y22.5 时，有 x 22.5，解得：x60甲步行的速度为（22.518）（6020）0.1125（千米/分钟）答：甲步行的速度为 0.1125 千米/分钟【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标特征，利用待定系数法求出函数关系式；（2
30、）利用一次函数图象上点的坐标特征求出乙追上甲的时间七、（本题 12 分）25【分析】（1）根据三角形外角的性质可得结论；（2） 根据两边成比例且夹角相等证明ACDBCE；先根据等腰直角三角形的性质得： ，证明ACBDCE，得 ，代入所求的式子可得结论【解答】证明：（1）如图 1，延长 CD 交 AB 于 E，ADECAD+ACD，BDECBD+BCD，ADBADE+BDE CAD+ CBD+ACB，ADBACB+90 CAD+CBD90；（2） 如图 2，CAD+ CBD90，CBD+CBE90，CADCBE，ACBDADBC，BD BE， ，ACDBCE；如图 2，连接 DE，BEBD ，B
31、EBD，BDE 是等腰直角三角形， ，ACDBCE，ACDBCE，ACBDCE， ，ACBDCE， ， 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要将比例式变形后才能得出结论八、（本题 14 分）26【分析】（1）把 B 与 C 的坐标代入抛物线解析式求出 b 与 c 的值，即可确定出解析式；（2） 如图 1 所示，构造全等三角形，表示出 F 坐标，代入抛物线解析式求出即可；分三种情况考虑：（i）如图 2 所示，ABC 与矩形 CDEF 重叠部分的面积为矩形CDEF；（ii）如图 3 所示，ABC 与矩形 CDEF 重叠部
32、分的面积为五边形 CDHGF；（iii）如图 4 所示，ABC 与矩形 CDEF 重叠部分的面积为四边形 CDMN，分别表示出 S 与 t 的关系式，并写出 t 的范围即可【解答】解：（1）把 B（2 ，0）、C（0，2）两点代入抛物线解析式得：，解得：b ，c2，则抛物线解析式为 y x2+ x+2；（2） 如图 1 所示，点 F 在抛物线上，作 DGy 轴，FHy 轴，易得CDGEFH ，即 CGHE ，GDFH，由题意得：CDEF t，CGDCOB， ，即 CGHE t，DGFH t，OH t 2，即 F（ t，2 t），代入抛物线解析式得：2 t t2+ （ t）+2，解得：t ；分三
33、种情况考虑：（i）如图 2 所示，ABC 与矩形 CDEF 重叠部分为矩形 CDEF，在 Rt CDE 中， CD t，ECD60，DE3t，S3t t3 t2（0t ）；（ii）如图 3 所示，ABC 与矩形 CDEF 重叠部分为五边形 CDHGF，由题意得：CD t，在 Rt CED 中， ECD60 ，CE2 t，OE2 t2，在 Rt OGE 中，GE2OE4 t4，同理可得 EH4t ，即 SGEH GEEH（2 t2）（4t ），则 S t3t（2 t2）（4t ）5 t2+16t （ t ）；（iii ）如图 4，ABC 与矩形 CDEF 重叠部分为四边形 CDMN，由题意得：CN ，CD t，BD4 t，在 Rt BMD 中，DM ，则 SS BCN S BDM CNBC BDDM 4 （4 t） t2+4t（ t ）【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，矩形的性质，解直角三角形，利用了分类讨论及数形结合的思想，熟练掌握各自的性质是解本题的关键
