1、 专题专题 16 16 相交线与平行线相交线与平行线 一、相交线一、相交线 1邻补角 (1)定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 (2)性质：邻补角的性质：邻补角互补。 2对顶角 (1)定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 (2)性质：对顶角的性质：对顶角相等。 3垂线 (1)定义：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 (2)垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 4同位角、内错角、同旁内角 (1)
2、同位角定义：1 与5 像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 (2)内错角定义：2 与6 像这样的一对角叫做内错角。 (3)同旁内角定义：2 与5 像这样的一对角叫做同旁内角。 二、平行线二、平行线 1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做 ab 如“ABCD” ，读作“AB 平行于 CD” 。 2.两条直线的位置关系：平行和相交。 3.平行线公理及其推论： (1)公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行. 4.平行线的判定： 判定方法 1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平
3、行； 判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行； 判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行. 补充平行线的判定方法： (1)平行于同一条直线的两直线平行。 (2)垂直于同一条直线的两直线平行。 5.平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等。 性质 2：两直线平行，内错角相等。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 6证明的一般步骤 (1)根据题意，画出图形。 (2)根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 (3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 【例题【例题 1】(2020北京北京)如图，AB 和 CD 相交于点 O，则
4、下列结论正确的是( ) A12 B23 C14+5 D25 【答案】A 【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可 【解析】A1 和2 是对顶角， 12，故 A 正确； B2A+3， 23，故 B 错误； C14+5，故错误； D24+5，25；故 D 错误. 【对点练习】【对点练习】( (20192019河北省河北省) )下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是( ) A代表FEC B代表同位角 C代表EFC D代表AB 【答案】C 【解析】证明：延长BE交CD于点F， 则BECEFC+C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和) 又BECB+C，得BEF
5、C 故ABCD(内错角相等，两直线平行) 【点拨】以角度之间的关系为前提，得出两条直线平行，是平行线判定定理的运用。 【例题【例题 2】(2020衡阳衡阳)一副三角板如图摆放，且 ABCD，则1 的度数为 【答案】105 【分析】利用平行线的性质得到2D45，然后结合三角形外角定理来求1 的度数 【解析】如图，ABCD，D45， 2D45 12+3，360， 12+345+60105 【对点练习】【对点练习】 ( (20192019 江苏镇江江苏镇江) )如图， 直线ab， ABC的顶点C在直线b上， 边AB与直线b相交于点D 若 BCD是等边三角形，A20，则1_ 【答案】40 【解析】本题
6、考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三 角形内角和定理，先求出ACD的度数是解题的关键 BCD是等边三角形， BBCD60 A20， 1 D C B A b a ACB180AB100 ACDACBBCD40 ab， 1ACD40 【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。 【例题【例题 3】(2020武汉武汉)如图直线 EF 分别与直线 AB，CD 交于点 E，FEM 平分BEF，FN 平分CFE， 且 EMFN求证：ABCD 【答案】见解析。 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到FEBE
7、FC，进而得出 ABCD 【解答】证明：EMFN， FEMEFN， BEFCFE， 又EM 平分BEF，FN 平分CFE， FEBEFC， ABCD 【对点练习】【对点练习】如图，如图，1=301=30，B=60B=60，ABABACAC DAB+B=多少度？ AD 与 BC 平行吗？AB 与 CD 平行吗？试说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)由已知可求得DAB=120，从而可求得DAB+B=180(2)根据同旁内角互补两直线平行可 得 ADBC，ACD 不能确定从而不能确定 AB 与 CD 平行 ABAC，BAC=90， 又1=30，BAD=120， B=60， DAB+B=180
8、答：ADBC，AB 与 CD 不一定平行 理由是： DAB+B=180 ADBC ACD 不能确定 AB 与 CD 不一定平行 一、选择题一、选择题 1(2020长沙长沙)如图：一块直角三角板的 60角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线 FD、GH 上，斜边 AB 平分CAD，交直线 GH 于点 E，则ECB 的大小为( ) A60 B45 C30 D25 【答案】C 【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到ACE 的度数，进而得出ECB 的度数 【解析】AB 平分CAD， CAD2BAC120， 又DFHG， ACE180DAC18012060， 又ACB90， ECBA
9、CBACE906030 2(2020滨州滨州)如图，ABCD，点 P 为 CD 上一点，PF 是EPC 的平分线，若155，则EPD 的大 小为( ) A60 B70 C80 D100 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论 【解析】ABCD， 1CPF55， PF 是EPC 的平分线， CPE2CPF110， EPD18011070 3(2020自贡自贡)如图，直线 ab，150，则2 的度数为( ) A40 B50 C55 D60 【答案】B 【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案 【解析】如图所示： ab， 3150， 2350 4(2020金华金华)如图，工
10、人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b，得到 ab理由是( ) A连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可 【解析】由题意 aAB，bAB， ab(垂直于同一条直线的两条直线平行) 5 5. .( (20192019海南省海南省) )如图，直线l1l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2于B、C两点，连结AC、
11、BC若ABC70，则1 的大小为( ) A20 B35 C40 D70 【答案】C 【解析】根据平行线的性质解答即可 点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2 于B、C， ACAB， CBABCA70， l1l2， CBA+BCA+1180， 1180707040 6 6. .( (20192019湖北省鄂州市湖北省鄂州市) )如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若235，则1 的度数 为( ) A45 B55 C65 D75 【答案】B 【解析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可 如图， 作EFABCD， 2AEF35，1FEC， AEC90， 1903555 7.
12、(2020广元广元)如图，ab，M、N 分别在 a，b 上，P 为两平行线间一点，那么1+2+3( ) A180 B360 C270 D540 【答案】B 【分析】首先作出 PAa，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出1+2+3 的值 【解析】过点 P 作 PAa， ab，PAa， abPA， 1+MPA180，3+APN180， 1+MPA+3+APN180+180360， 1+2+3360 二、填空题二、填空题 8(2020南充南充)如图，两直线交于点 O，若1+276，则1 度 【答案】38 【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案 【解析】两直线交于点 O， 12， 1
13、+276， 138 9(2020杭州杭州)如图，ABCD，EF 分别与 AB，CD 交于点 B，F若E30，EFC130，则A 【答案】20 【分析】直接利用平行线的性质得出ABF50，进而利用三角形外角的性质得出答案 【解析】ABCD， ABF+EFC180， EFC130， ABF50， A+EABF50，E30， A20 10.(10.(20192019 广西省贵港市广西省贵港市) )如图，直线/ /ab，直线m与a，b均相交，若138 ，则2 【答案】142 【解析】知识点是平行线的性质 如图，/ /ab， 23 ， 13180 ， 218038142 1111. .( (201920
14、19 江苏镇江江苏镇江) )如图，直线ab，ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D若BCD是 等边三角形，A20，则1_ 【答案】40 【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三 角形内角和定理，先求出ACD的度数是解题的关键 BCD是等边三角形， BBCD60 1 D C B A b a A20， ACB180AB100 ACDACBBCD40 ab， 1ACD40 【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。 1212. .( (20192019 湖南益阳湖南益阳) )如图，直线ABC
15、D，OAOB，若1142，则2 度 【答案】52 【解析】根据平行线的性质解答即可 ABCD，OCD2， OAOB，O90， 1OCD+O142， 21O1429052 1313( (20192019威海威海) )如图，在四边形ABCD中，ABDC，过点C作CEBC，交AD于点E，连接BE，BEC DEC，若AB6，则CD 【答案】3 【解析】延长BC、AD相交于点F，可证EBCEFC，可得BCCF，则CD为ABF的中位线，故CD 可求出如图，延长BC、AD相交于点F， CEBC，BCEFCE90， BECDEC，CECE， EBCEFC(ASA)，BCCF， ABDC，ADDF， DC 三、
16、解答题三、解答题 14.如图，点D在ABC的AB边上，且ACD=A (1)作BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明) 【答案】(1)如图所示：(2)DEAC 【解析】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平 行(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可； (2)根据角平分线的性质可得BDE= BDC， 根据三角形内角与外角的性质可得A= BDE， 再根据同位角 相等两直线平行可得结论 1414如图，如图，1=301=30，B=60B=60，ABABACAC DAB+B=多少度？ AD 与 BC 平行吗？AB 与 CD 平行吗？试说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)由已知可求得DAB=120，从而可求得DAB+B=180(2)根据同旁内角互补两直线平行可 得 ADBC，ACD 不能确定从而不能确定 AB 与 CD 平行 ABAC，BAC=90， 又1=30，BAD=120， B=60， DAB+B=180 答：ADBC，AB 与 CD 不一定平行 理由是： DAB+B=180 ADBC ACD 不能确定 AB 与 CD 不一定平行
