1、2021 年广东省深圳市中考数学模拟卷（四）年广东省深圳市中考数学模拟卷（四） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1 （3 分）下列各式错误的是（ ） A（3）3 B|2|2| C0|1| D23 2 （3 分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ） A B C D 3（3 分） 在今年十一期间， 汝州风穴寺景区共接待游客 8.7275 万人次， 旅游总收入为 2094.6 万元 将 2094.6 万元用科学记数法表示为（ ） A2.09461
2、03元 B0.20946104元 C2.0946107元 D0.20946108元 4 （3 分）如图所示，直线 mn，163，234，则BAC 的大小是（ ） A73o B83o C77o D87o 5 （3 分）如图，已知ABC，ACB90，BC3，AC4，小红按如下步骤作图： 分别以 A、C 为圆心，以大于AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M、N； 连接 MN，分别交 AB、AC 于点 D、O； 过 C 作 CEAB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD 则四边形 ADCE 的周长为（ ） A10 B20 C12 D24 6 （3 分）下列命题中，是真命题的个数有（ ） 平分
3、弦的直径垂直于弦； 的算术平方根是 9； 方程的解为 x0； 一组数据 6，7，8，9，10 的众数和中位数都是 8 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7 （3 分）路边有一根电线杆 AB 和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点 G 处， 而长方形广告牌的影子刚好落在地面上 E 点 （如图） ， 已知 BC5 米，长方形广告牌的长 HF4 米，高 HC3 米，DE4 米，则电线杆 AB 的高度是（ ） A6.75 米 B7.75 米 C8.25 米 D10.75 米 8 （3 分）一次函数 yax+b 和反比例函数 y在
4、同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OCAB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45，得到线段 AP，连接 CP，则 线段 CP的最小值为（ ） A2 B1 C2 D2 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，AD：AB：2，CP：BP1：2，连接 EP 并延长， 交 AB 的延长线于点 F，AP、BE 相交于点 O下列结论：EP 平分CEB；BF2PBEF；PFEF 2AD2；EFEP4AOPO其中正确的
5、个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）分解因式：3x212x+12 12 （3 分）已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面积为 65cm2，圆锥的母线是 cm 13 （3 分）如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB，AC 上，DEBC，点 G 在边 BC 上，AG 交 DE 于点 H， 点 O 是线段 AG 的中点，若 AD：DB3：1，则 AO：OH 14 （3 分）如图，点 A，点 B 分别在 y 轴，x 轴上，OAOB，点 E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长交反
6、比 例函数 y（x0）的图象于点 C，过点 C 作 CDx 轴于点 D，点 D 关于直线 AB 的对称点恰好在反 比例函数图象上，则 OEEC 15 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，D 为边 AB 上一动点（B 点除外） ，以 CD 为一边 作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE 面积的最大值为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分
7、，共分，共 55 分）分） 16 （5 分）计算题： 4sin45+（）0（） 1+ （）+ 17 （6 分）先化简，再求值： （a+）（a2+） ，其中 a 满足 a2a20 18 （8 分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校 100 名参加选拔 赛的同学的成绩按 A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图： 成绩等级 频数（人数） 频率 A 4 0.04 B m 0.51 C n D 合计 100 1 （1）求 m ，n ； （2）在扇形统计图中，求“C 等级”所对应圆心角的度数； （3）成绩等级为 A 的 4 名同学中有 1
8、名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加全市 比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作 AGED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G （1）证明：ADGDCE； （2）连接 BF，求证：ABFB 20 （8 分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲 品牌消毒剂每瓶价格的 3 倍少 50 元， 已知用 300 元购买甲品牌消毒剂的数量与用 400 元购买乙品牌消毒 剂的数量相同 （1）求甲、乙两种品牌消毒剂
9、每瓶的价格各是多少元？ （2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共 40 瓶，且总费用为 1400 元，求购买了多少 瓶乙品牌消毒剂？ 21 （10 分）如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCDACB 交O 于 点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF 是O 的切线； （3）如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 22 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C
10、 （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，若点 F 在线段 OC 上，且 OFOA，经入过点 F 的直线在第一象限内与抛物线交于点 D， 与线段 BC 交于点 E，求的最大值； （3）如图 2，若 P 为抛物线的顶点，动点 Q 在抛物线上，当QCOPBC 时，请直接写出点 Q 的坐 标 2021 年广东省深圳市中考数学模拟卷（四）年广东省深圳市中考数学模拟卷（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1
11、（3 分）下列各式错误的是（ ） A（3）3 B|2|2| C0|1| D23 【分析】根据正数大于零，零大于负数和绝对值、相反数的概念可得答案 【解答】解：A、（3）3，正确； B、|2|2|，正确； C、0|1|，错误； D、23，正确； 故选：C 2 （3 分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是： 故选：A 3（3 分） 在今年十一期间， 汝州风穴寺景区共接待游客 8.7275 万人次， 旅游总收入为 2094.6 万元 将 2094.6 万元
12、用科学记数法表示为（ ） A2.0946103元 B0.20946104元 C2.0946107元 D0.20946108元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：2094.6 万209460002.0946107 故选：C 4 （3 分）如图所示，直线 mn，163，234，则BAC 的大小是（ ） A73o B83o C77o D87o 【分析】由直线 mn，利用“两直线平行
13、，内错角相等”可求出3 的度数，再结合1+BAC+3 180，即可求出BAC 的度数 【解答】解：直线 mn， 3234 1+BAC+3180，163，334， BAC180633483 故选：B 5 （3 分）如图，已知ABC，ACB90，BC3，AC4，小红按如下步骤作图： 分别以 A、C 为圆心，以大于AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M、N； 连接 MN，分别交 AB、AC 于点 D、O； 过 C 作 CEAB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD 则四边形 ADCE 的周长为（ ） A10 B20 C12 D24 【分析】由根据题意得：MN 是 AC 的垂直平分线，即可得
14、 ADCD，AECE，然后由 CEAB，可证 得 CDAE，继而证得四边形 ADCE 是菱形，再根据勾股定理求出 AD，进而求出菱形 ADCE 的周长 【解答】解：分别以 A、C 为圆心，以大于AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M、N， MN 是 AC 的垂直平分线， ADCD，AECE， CADACD，CAEACE， CEAB， CADACE， ACDCAE， CDAE， 四边形 ADCE 是平行四边形， 四边形 ADCE 是菱形； OAOCAC2，ODOE，ACDE， ACB90， DEBC， OD 是ABC 的中位线， ODBC31.5， AD2.5， 菱形 ADCE 的周长
15、4AD10 故选：A 6 （3 分）下列命题中，是真命题的个数有（ ） 平分弦的直径垂直于弦； 的算术平方根是 9； 方程的解为 x0； 一组数据 6，7，8，9，10 的众数和中位数都是 8 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用垂径定理、算术平方根的定义、分式方程的解及众数、中位数的定义分别判断后即可确定 正确的选项 【解答】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，是假命题； 的算术平方根是 3，故错误，是假命题； 方程的解 x0，正确，是真命题； 这组数据 6，7，8，9，10 的中位数是 8，故错误，是假命题； 真命题有 1 个， 故选：A 7 （3 分）路边有一根
16、电线杆 AB 和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点 G 处， 而长方形广告牌的影子刚好落在地面上 E 点 （如图） ， 已知 BC5 米，长方形广告牌的长 HF4 米，高 HC3 米，DE4 米，则电线杆 AB 的高度是（ ） A6.75 米 B7.75 米 C8.25 米 D10.75 米 【分析】 过点 G 作 GQBE 于点 Q， GPAB 于点 P， 可得四边形 BQGP 是矩形， 然后且APG 与FDE 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 AP 的长度，再加上 CH 即可 【解答】解：过点 G 作 GQB
17、E 于点 Q，GPAB 于点 P， 根据题意，四边形 BQGP 是矩形， BPGQ3 米， APGFDE， ， AP， AB+38.25（米） ， 故选：C 8 （3 分）一次函数 yax+b 和反比例函数 y在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 【分析】先由一次函数的图象确定 a、b 的正负，再根据 ab 判断双曲线所在的象限能统一的是正确 的，矛盾的是错误的 【解答】解：图 A、B 直线 yax+b 经过第一、二、三象限， a0、b0， y0 时，x，即直线 yax+b 与 x 轴的交点为（，0） 由图 A、B 的直线和 x 轴的交点知：1， 即 ba， 所以 ba0 ab
18、0， 此时双曲线在第一、三象限 故选项 B 不成立，选项 A 正确 图 C、D 直线 yax+b 经过第二、一、四象限， a0，b0， 此时 ab0，双曲线位于第二、四象限， 故选项 C、D 均不成立； 故选：A 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+4 与坐标轴交于 A，B 两点，OCAB 于点 C，P 是线段 OC 上的一个动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45，得到线段 AP，连接 CP，则 线段 CP的最小值为（ ） A2 B1 C2 D2 【分析】由点 P 的运动确定 P的运动轨迹是在与 x 轴垂直的一段线段 MN，当线段 CP与 MN 垂
19、直时， 线段 CP的值最小 【解答】解：由已知可得 A（0，4）B（4，0） 三角形 OAB 是等腰直角三角形 OCAB C（2，2） 又P 是线段 OC 上动点，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 45， P 在线段 OC 上运动，所以 P的运动轨迹也是线段， 当 P 在 O 点时和 P 在 C 点时分别确定 P的起点与终点， P的运动轨迹是在与 x 轴垂直的一段线段 MN 当线段 CP与 MN 垂直时，线段 CP的值最小 在AOB 中，AOAN4，AB4 NB44 又RtHBN 是等腰直角三角形 HB42 CP4（42）222 故选：A 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，E 为 D
20、C 的中点，AD：AB：2，CP：BP1：2，连接 EP 并延长， 交 AB 的延长线于点 F，AP、BE 相交于点 O下列结论：EP 平分CEB；BF2PBEF；PFEF 2AD2；EFEP4AOPO其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由锐角三角函数可求CEP30，EBC30，可求CEPPEB30，可判断， 通过证明EBPEFB，可得，可判断，通过计算 PFEF8x2，2AD26x2，可判断， 由勾股定理可求 AO，PO 的长，可计算 EFEP4x2，4AOPO4x2，可判断，即可求解 【解答】解：设 ADx，AB2x， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，CDAB，D
21、CABC90DCAB， BCx，CD2x， CP：BP1：2， CPx，BPx E 为 DC 的中点， CECDx， tanCEP，tanEBC， CEP30，EBC30， CEB60， PEB30， CEPPEB， EP 平分CEB，故正确； DCAB， CEPF30， FEBP30，FBEF30， EBPEFB， ， BEBFBPEF FBEF， BEBF， BF2PBEF故正确； F30， PF2PBx， 过点 E 作 EGAF 于 G， EGF90， EF2EG2x， PFEFx2x8x2， 2AD22（x）26x2， 6x28x2， PFEF2AD2，故错误； 在 RtECP 中，
22、CEP30， EP2PCx tanPAB， PAB30， APB60， AOB90， 在 RtAOB 和 RtPOB 中，由勾股定理得， AOx，POx， EFEP2xx4x2， 4AOPO4xx4x2 EFEP4AOPO故正确 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）分解因式：3x212x+12 3（x2）2 【分析】原式提取 3 后，利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式3（x24x+4）3（x2）2， 故答案为：3（x2）2 12 （3 分）已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面积为 65cm2，
23、圆锥的母线是 13 cm 【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解 【解答】解：设母线长为 R，则：655R， 解得 R13cm 13 （3 分）如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB，AC 上，DEBC，点 G 在边 BC 上，AG 交 DE 于点 H， 点 O 是线段 AG 的中点，若 AD：DB3：1，则 AO：OH 2：1 【分析】根据平行线分线段成比例定理求出，推出 AOAG，OHOGHGAGAG， 代入求出即可 【解答】解：DEBC，AD：DB3：1， ， OHOGHGAGAG， 点 O 是线段 AG 的中点， OAOGAG， AO：OH（AG） ： （AGA
24、G）2：1， 故答案为：2：1 14 （3 分）如图，点 A，点 B 分别在 y 轴，x 轴上，OAOB，点 E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长交反比 例函数 y（x0）的图象于点 C，过点 C 作 CDx 轴于点 D，点 D 关于直线 AB 的对称点恰好在反 比例函数图象上，则 OEEC 【分析】由题意可得直线 OC 的解析式为 yx，设 C（a，a） ，由点 C 在反比例函数 y（x0）的图 象上，求得 C（1，1） ，求得 D 的坐标，根据互相垂直的两条直线斜率之积为1，可设直线 AB 的解析 式为 yx+b，则 B（b，0） ，BDb1由点 D 和点 F 关于直线 AB 对称，得
25、出 BFDBb1，那 么 B（b，b1） ，再将 F 点坐标代入 y，得到 b（b1）1，解方程即可求得 B 的坐标，然后通过 三角形相似求得 OE，根据 OEECOE（OCOE）2OEOC 即可求得结果 【解答】解：点 A，点 B 分别在 y 轴，x 轴上，OAOB，点 E 为 AB 的中点， 直线 OC 的解析式为 yx， 设 C（a，a） ， 点 C 在反比例函数 y（x0）的图象上， a21， a1， C（1，1） ， D（1，0） ， 设直线 AB 的解析式为 yx+b，则 B（b，0） ，BDb1 点 D 和点 F 关于直线 AB 对称， BFBDb1， F（b，b1） ， F 在
26、反比例函数 y的图象上， b（b1）1， 解得 b1，b2（舍去） ， B（，0） ， C（1，1） ， ODCD1， OC， 易证ODCOEB， ，即， OE， OEECOE（OCOE）2OEOC 故答案为： 15 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，D 为边 AB 上一动点（B 点除外） ，以 CD 为一边 作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE 面积的最大值为 8 【分析】 过点 C 作 CGBA 于点 G， 作 EHAB 于点 H， 作 AMBC 于点 M 由 ABAC5， BC4， 得到 BMCM2，易证AMBCGB，求得 GB8，设 BDx，则 DG8x，易证EDH
27、 DCG，EHDG8x，所以 SBDE，当 x4 时，BDE 面积 的最大值为 8 【解答】解：过点 C 作 CGBA 于点 G，作 EHAB 于点 H，作 AMBC 于点 M ABAC5，BC4， BMCM2， 易证AMBCGB， ， 即 GB8， 设 BDx，则 DG8x， 易证EDHDCG（AAS） ， EHDG8x， SBDE， 当 x4 时，BDE 面积的最大值为 8 故答案为 8 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，第分，第 20
28、 题题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16 （5 分）计算题： 4sin45+（）0（） 1+ （）+ 【分析】先求出每一部分的值，再代入，最后合并即可 【解答】解：原式4+13+33+1 2+13+33+1 2 17 （6 分）先化简，再求值： （a+）（a2+） ，其中 a 满足 a2a20 【分析】先算括号内的加法和减法，再把除法变成乘法，最后求出符合的 a 代入，即可求出答案 【解答】解： （a+）（a2+） ， a2a20， 解得：a2 或1， 根据分母（a+1） （a1）得：a1 不行， 当 a2 时，原式3 18
29、 （8 分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校 100 名参加选拔 赛的同学的成绩按 A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图： 成绩等级 频数（人数） 频率 A 4 0.04 B m 0.51 C n D 合计 100 1 （1）求 m 51 ，n 30 ； （2）在扇形统计图中，求“C 等级”所对应圆心角的度数； （3）成绩等级为 A 的 4 名同学中有 1 名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加全市 比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率 【分析】 （1）由 A 的人数和其所占
30、的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题； （2）由总人数求出 C 等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆心角的度数； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率； 【解答】解： （1）参加本次比赛的学生有：40.04100（人） ； m0.5110051（人） ， D 组人数10015%15（人） ， n1004511530（人） 故答案为 51，30； （2）B 等级的学生共有：504208216（人） 所占的百分比为：165032% C 等级所对应扇形的圆心角度数为：36030%108 （3）列表如下： 男 女 1 女 2 女
31、3 男 （女 1，男） （女 2，男） （女 3，男） 女 1 （男，女） （女 1，女 2） （女 1，女 3） 女 2 （男，女） （女 1，女 2） （女 2，女 3） 女 3 （男，女） （女 1，女 3） （女 2，女 3） 共有 12 种等可能的结果，选中 1 名男生和 1 名女生结果的有 6 种 P（选中 1 名男生和 1 名女生） 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作 AGED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G （1）证明：ADGDCE； （2）连接 BF，求证：ABFB 【分析】 （1）依据正方形的性质以及垂线
32、的定义，即可得到ADGC90，ADDC，DAG CDE，即可得出ADGDCE； （2） 延长 DE 交 AB 的延长线于 H， 根据DCEHBE， 即可得出 B 是 AH 的中点， 进而得到 ABFB 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是正方形， ADGC90，ADDC， 又AGDE， DAG+ADF90CDE+ADF， DAGCDE， ADGDCE（ASA） ； （2）如图所示，延长 DE 交 AB 的延长线于 H， E 是 BC 的中点， BECE， 又CHBE90，DECHEB， DCEHBE（ASA） ， BHDCAB， 即 B 是 AH 的中点， 又AFH90， RtAFH 中
33、，BFAHAB 20 （8 分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲 品牌消毒剂每瓶价格的 3 倍少 50 元， 已知用 300 元购买甲品牌消毒剂的数量与用 400 元购买乙品牌消毒 剂的数量相同 （1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？ （2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共 40 瓶，且总费用为 1400 元，求购买了多少 瓶乙品牌消毒剂？ 【分析】 （1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x50）元，由题意列 出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶，则购买乙种品
34、牌的消毒剂（40y）瓶，由题意列出一元一次方程， 解方程即可 【解答】解： （1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x50）元， 由题意得：， 解得：x30， 经检验，x30 是原方程的解且符合实际意义， 3x540， 答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为 30 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为 40 元； （2）设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40y）瓶， 由题意得：30y+40（40y）1400， 解得：y20， 40y402020， 答：购买了 20 瓶乙品牌消毒剂 21 （10 分）如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点
35、 C 作BCDACB 交O 于 点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF 是O 的切线； （3）如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 【分析】 （1）由 ABAC 知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC 得BCDADC， 从而得证； （2）连接 OA，由CAFCFA 知ACDCAF+CFA2CAF，结合ACBBCD 得ACD 2ACB，CAFACB，据此可知 AFBC，从而得 OAAF，从而得证； （3）证ABECBA 得 AB2BCBE，据此知 AB5，连接 AG，得
36、BAGBAD+DAG，BGA GAC+ACB，由点 G 为内心知DAGGAC，结合BAD+DAGGAC+ACB 得BAG BGA，从而得出 BGAB5 【解答】解： （1）ABAC， ABCACB， 又ACBBCD，ABCADC， BCDADC， EDEC； （2）如图 1，连接 OA， ABAC， ， OABC， CACF， CAFCFA， ACDCAF+CFA2CAF， ACBBCD， ACD2ACB， CAFACB， AFBC， OAAF， AF 为O 的切线； （3）ABECBA，BADBCDACB， ABECBA， ， AB2BCBE， BCBE25， AB5， 如图 2，连接 AG
37、， BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB， 点 G 为内心， DAGGAC， 又BAD+DAGGAC+ACB， BAGBGA， BGAB5 22 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，若点 F 在线段 OC 上，且 OFOA，经入过点 F 的直线在第一象限内与抛物线交于点 D， 与线段 BC 交于点 E，求的最大值； （3）如图 2，若 P 为抛物线的顶点，动点 Q 在抛物线上，当QCOPBC 时，请直接写出点 Q 的坐 标 【分析】 （1）函数的表达式为：y（x+1）
38、 （x3） ，即可求解； （2）作 DNCF，则（x2+2x+3+x3） ，即可求解； （3）PBC 为直角三角形，tanPBC，当QCOPBC 时，tanQCOtan ，即可求解 【解答】解： （1）函数的表达式为：y（x+1） （x3）x2+2x+3， 则点 C（0，3） ； （2）过点 D 作 y 轴的平行线交 BC 于点 N， 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 函数 BC 表达式为：yx+3， OFOA1，则点 F（0，1） ，CF2， 设点 D（x，x2+2x+3） ，则点 N（x，x+3） ， DNCF，则（x2+2x+3+x3）x2+x， 0，则有最大值，此时 x， 的最大值为； （3）连接 PC，点 P 坐标（1，4） ， 则 PC，PB，BC， 则PBC 为直角三角形，tanPBC， 过点 Q 作 QHy 轴于点 H， 设点 Q（x，x2+2x+3） ， 则 tanHCQtan， 解得：x0 或 5 或1（舍去 0） ， 故点 Q（1，0）或（5，12）
