1、 第 1 页（共 32 页） 2021 年辽宁省本溪市中考数学二模试卷年辽宁省本溪市中考数学二模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分）6的绝对值是( ) A6 B6 C 1 6 D 1 6 2 （3 分）下列运算正确的是( ) A428xxx B235mmm C 933 xxx D 32 264 ()a ba b 3 （3 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( ) A B C
2、 D 4 （3 分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A 2 10 x B 2 210 xx C 2 240 xx D 2 30 xx 5 （3 分）某校女子排球队 12 名队员的年龄分布如下表所示： 年龄（岁) 13 14 15 16 人数（人) 1 2 5 4 则该校女子排球队 12 名队员年龄的众数、中位数分别是( ) A13，14 B14，15 C15，15 D15，14 6 （3 分）下列调查中，适宜采用全面调查的是( ) A调查全国初中学生身高情况 B调查沈阳浑河流域水质情况 C调查某品牌汽车的抗撞击情况 第 2 页（共 32 页） D了解某班女同学 800
3、米的成绩情况 7 （3 分）直线(0)yxb b与直线(0)ykx k的交点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8 （3 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，3AC ，4BC ，点D在边AB上，ADAC，AECD， 垂足为F，与BC相交于点E，则tanCAE的值为( ) A 1 2 B 1 3 C 3 2 D 3 3 9 （3 分）如图是二次函数 2 (yaxbxc a，b，c是常数，0)a 图象的一部分，与x轴的交点A在(2,0) 和(3,0)之间，对称轴是直线1x 对于下列说法中，错误的是( ) A0ab B20ab C30ac D()(ab m amb m为实
4、数） 10 （3 分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，4AC ，8BD ，点N在BO上运动过 点N作/ /EFAC交AB于E，交BC于点F，将BEF沿EF翻折得到EFG，若ONx，EFG与ABC 重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是( ) 第 3 页（共 32 页） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）因式分解： 2 123x 12 （3 分）在平面直角坐标系中，点( 2,3)关于原点对称的点的坐标是 13 （3 分）一个盒子中有 1 个红球、2 个白球和 2
5、 个绿球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球， 记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到球的颜色相同的概率是 14（3 分） 如图， 分别过等边ABC的顶点A、B作直线a，b， 使/ /ab 若1 4 0 ， 则2的度数为 15 （3 分）如图，在ABC中，5AB ，4AC ，3BC ，分别以点A、点B为圆心，大于 1 2 AB的长为 半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为 16 （3 分） 如图， 点A为反比例函数 8 (0)yx x 图象上一点， 点B为反比例函数(0) k yx x 图象上一点， 直线AB过原点O，且，则2OAOB，则k的
6、值为 第 4 页（共 32 页） 17 （3 分）如图，将边长为 4 的等边ABC沿射线BC平移得到DEF，点M，N分别为AC，DF的中 点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC当APC为直角三角形时，BE 18 （3 分） 如图，点 1(2,2) A在直线yx上， 过点作 11/ / ABy轴交直线 1 2 yx于点 1 B，以点 1 A为直角顶点， 11 A B为直角边，在 11 A B的右侧作等腰直角 111 A BC，再过 1 C点作过点 22/ / A By轴交直线yx和直线 1 2 yx 于 1 A， 1 B两点，再以点 2 A为直角顶点， 22 A B为直角边在 22 A B的右
7、侧作等腰直角 222 A B C，按此规律 进行下去，则等腰直角 nnn A B C的边长 nn B C为 （用含正整数n的代数式表示） 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值： 2 524 (2) 23 x x xxx ，其中 0 1 (1)| 2 x 20 （12 分）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同 学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多 10 元，用 300 元购买A种奖品的件数与 第 5 页（共 32 页） 用 2
8、40 元购买B种奖品的件数相同 （1）求A，B两种奖品的单价各是多少元； （2）学校为获奖的 15 名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品） ，且购买的总费用不超过 700 元，求最多可以购买多少件A种奖品？ 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）随着中央电视台朗读者节目的播出， “朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计 划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查调 查结果整理后， 将这部分同学的态度划分为四个类别：A 积极参与；B 一定参与；
9、C 可以参与；D 不 参与根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 A 18 a B 20 40% C m 16% D 4 8% 合计 b 100% 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）a ，b （2）请求出m的值并将条形统计图补充完整 （3）该校有 1500 名学生，如果“不参与”的人数不超过 150 人时， “朗读”活动可以顺利开展，通过计算 分析这次活动能否顺利开展？ （4） “朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读 示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率 22 （
10、12 分）如图，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆连接BO并延长交AC于点D，交O于 第 6 页（共 32 页） 点E，过点A作BC的平行线交BO于点F （1）判断AF与O的位置关系，并证明； （2）若BCBD，求C的度数 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23 （12 分）某种商品的进价为 40 元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品销售单价y（元/件）与 销售数量x（件)(x是正整数）之间的关系如表： x（件) 5 10 15 20 y（元件） 75 70 65 60 （1）由题意知商品的最低销售单价是 元当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数求 出y与
11、x的函数关系式及x的取值范围； （2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在一块平整的土地上，有一矩形建筑物ABCD，20AB 米，31AD 米一个氢气球 在矩形建筑物前漂浮，某数学兴趣小组要测量该氢气球E的高度该兴趣小组可以从A，B，C三点观察 到氢气球E，利用精密测角仪器测得数据如表： 测量项目 测量数据 从点A处观测氢气球E的仰 角 45 从点B处观测氢气球E的仰 角 30 从点D处观测氢气球E的仰 角 64.8 请你根据现有的条件，充分利用建筑物，设计一个测量氢气球E到地
12、面的高度的方案： 要求如下： 第 7 页（共 32 页） 数据尽可能少(3个条件正确求解得 12 分；4 个条件正确求解得 10 分；5 个条件正确求解得 8 分） ； 在所给图形上，画出你设计的测量平面图 （精确到 0.1 米） （参考数据：sin64.80.90 ，cos64.80.43 ，tan64.82.13 ，31.73) 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分分 25 （12 分）如图，等腰Rt CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且ABCEEF，90CEF连 接AF与射线BE交于点G （1）如图 1，当点B、C、F三点共线时，则ABE FEM（填“” 、 “ ”或“”
13、)，则AG FG（填“、 “”或“” )； （2）如图 2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AGGF； （3）若等腰Rt CEF从图 1 的位置绕点C顺时针旋转(090 )，当直线AB与直线EF相交构成的 4 个角中最小角为30时，直接写出的值 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 2 3yaxbx与x轴交于(3,0)A，( 1,0)B 两点，与y轴交于点C，抛物线的对 称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，抛物线上是否存在点P，使得45PECACE？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请
14、说明理由； 第 8 页（共 32 页） （3）如图 2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使2 QBCQAC SS ，直接写出点Q的坐标 2021 年辽宁省本溪市中考数学二模试卷年辽宁省本溪市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分）6的绝对值是( ) A6 B6 C 1 6 D 1 6 【解答】解：| 6| 6， 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是( )
15、 A428xxx B235mmm C 933 xxx D 32 264 ()a ba b 【解答】解： 2 428xxx，故选项A错误； 235mmm，故选项B正确； 936 xxx，故选项C错误； 32 264 ()a ba b，故选项D错误； 故选：B 3 （3 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( ) 第 9 页（共 32 页） A B C D 【解答】解：主视图有 3 列，每列小正方形数目分别为 2，1，1 故选：B 4 （3 分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A 2 10 x B 2 210 xx C 2 240 xx D 2
16、30 xx 【解答】解：A 2 10 x 中 2 04 1 140 ，没有实数根； B 2 210 xx 中 2 ( 2)4 1 10 ，有两个相等实数根； C 2 240 xx中 2 24 1 4120 ，没有实数根； D 2 30 xx中 2 ( 1)4 1 ( 3)130 ，有两个不相等的实数根； 故选：D 5 （3 分）某校女子排球队 12 名队员的年龄分布如下表所示： 年龄（岁) 13 14 15 16 人数（人) 1 2 5 4 则该校女子排球队 12 名队员年龄的众数、中位数分别是( ) A13，14 B14，15 C15，15 D15，14 【解答】解：这组数据中 15 出现
17、5 次，次数最多， 众数为 15 岁， 中位数是第 6、7 个数据的平均数， 中位数为15 15 15 2 岁， 故选：C 6 （3 分）下列调查中，适宜采用全面调查的是( ) A调查全国初中学生身高情况 B调查沈阳浑河流域水质情况 C调查某品牌汽车的抗撞击情况 第 10 页（共 32 页） D了解某班女同学 800 米的成绩情况 【解答】解：A调查全国初中学生身高情况，适宜抽样调查，故本选项不合题意； B调查沈阳浑河流域水质情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； C调查某品牌汽车的抗撞击情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； D了解某班女同学 800 米的成绩情况，是准确的调查，适于全面
18、调查，故本选项符合题意； 故选：D 7 （3 分）直线(0)yxb b与直线(0)ykx k的交点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：直线(0)yxb b与直线(0)ykx k的大致图象如图所示： 10，0b ，而正比例函数的0k ，故图象的交点A位于第二象限 故选：B 8 （3 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，3AC ，4BC ，点D在边AB上，ADAC，AECD， 垂足为F，与BC相交于点E，则tanCAE的值为( ) A 1 2 B 1 3 C 3 2 D 3 3 【解答】解：连接DE，如图所示， 第 11 页（共 32 页） 在Rt ABC中
19、，90ACB，3AC ，4BC ， 2222 345ABACBC， 3ADAC，AFCD， DFCF， CEDE，2BDABAD， 在ADE和ACE中， ACAD CEDE AEAE ， ()ADEACE SSS ， 90ADEACE ， 90BDE， 设CEDEx，则4BEx， 在Rt BDE中，由勾股定理得： 222 DEBDBE， 即 222 2(4)xx， 解得：1.5x ； 1.5CE； 1.51 tan 32 CE CAE AC 故选：A 9 （3 分）如图是二次函数 2 (yaxbxc a，b，c是常数，0)a 图象的一部分，与x轴的交点A在(2,0) 和(3,0)之间，对称轴是
20、直线1x 对于下列说法中，错误的是( ) 第 12 页（共 32 页） A0ab B20ab C30ac D()(ab m amb m为实数） 【解答】解：A、对称轴在y轴右侧， a、b异号， 0ab，故正确； B、对称轴1 2 b x a ， 20ab；故正确； C、20ab， 2ba ， 当1x 时，0yabc， ( 2 )30aacac ，故错误； D、根据图示知，当1x 时，有最大值； 当1m 时，有 2 ambmcabc， 所以()(ab m amb m为实数） 故正确 故选：C 10 （3 分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，4AC ，8BD ，点N在BO上运动过
21、点N作/ /EFAC交AB于E，交BC于点F，将BEF沿EF翻折得到EFG，若ONx，EFG与ABC 重叠部分的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是( ) 第 13 页（共 32 页） A B C D 【解答】解：分情况讨论： 当翻折后点G在点O的左侧时（如图)，即24x剟， / /EFAC， BEFBAC ，BFEBCA ， BEFBAC， 1 BNBO EFAC ，即4BNEFx， 由四边形ABCD是菱形， BDAC， 又/ /EFAC， EFBD， 翻折后，重叠部分 22 11 (4)48(24) 22 EFGBEF yssxxxx 剟； 第 14 页（共 32 页） 当翻折
22、后点G在点O的右侧时（如图)，即02x剟， 翻折后，重叠部分 HIEF ys 梯形 ， ONx，4BNx，4GNBNx， 42OGx， 又/ /EFAC， 同理可得GHIGEF， 42HIOGx， 2 13 (4)(42 )4(02) 22 yxxxxxx剟， 综上所述， 2 2 3 4(02) 2 1 48(24) 2 xxx y xxx 剟 ， 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）因式分解： 2 123x 3(2)(2)xx 【解答】解：原式 2 3(4)x 3(2)(2)xx 故答案为：3(2)(
23、2)xx 12 （3 分）在平面直角坐标系中，点( 2,3)关于原点对称的点的坐标是 (2, 3) 【解答】解：点( 2,3)关于原点对称的点的坐标为(2, 3) 故答案是：(2, 3) 13 （3 分）一个盒子中有 1 个红球、2 个白球和 2 个绿球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球， 记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到球的颜色相同的概率是 9 25 【解答】解：列表如下： 红 白 白 绿 绿 红 （红，红） （白，红） （白，红） （绿，红） （绿，红） 白 （红，白） （白，白） （白，白） （绿，白） （绿，白） 白 （红，白） （白，白） （白，白） （绿，白）
24、 （绿，白） 第 15 页（共 32 页） 绿 （红，绿） （白，绿） （白，绿） （绿，绿） （绿，绿） 绿 （红，绿） （白，绿） （白，绿） （绿，绿） （绿，绿） 由表知，共有 25 种等可能结果，其中两次摸到球的颜色相同的有 9 种结果， 所以两次摸到球的颜色相同的概率为 9 25 ， 故答案为： 9 25 14 （3 分）如图，分别过等边ABC的顶点A、B作直线a，b，使/ /ab若140 ，则2的度数为 80 【解答】解：ABC是等边三角形， 60BAC 140 ， 1100BAC / /ab， 2180(1)18010080BAC 故答案为：80 15 （3 分）如图，在ABC
25、中，5AB ，4AC ，3BC ，分别以点A、点B为圆心，大于 1 2 AB的长为 半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为 5 2 【解答】解：5AB ，4AC ，3BC ， 222 ABACBC， 90ACB， 第 16 页（共 32 页） 由作图可知：MN是AB的垂直平分线， O是AB的中点， 15 22 COAB， 故答案为： 5 2 16 （3 分） 如图， 点A为反比例函数 8 (0)yx x 图象上一点， 点B为反比例函数(0) k yx x 图象上一点， 直线AB过原点O，且，则2OAOB，则k的值为 2 【解答】解：过点A作ACx轴于点D，
26、过点B作BDx轴于点D， 点A为反比例函数 8 (0)yx x 图象上一点， 1 84 2 AOC S ACx轴，BDx轴， OBDOAC BODAOC ， AOCBOD 2OAOB，4 AOC S， 1 4 BOD AOC S S ， 1 BOD S， 1 | 2 BOD Sk ， 2k 故答案为 2 第 17 页（共 32 页） 17 （3 分）如图，将边长为 4 的等边ABC沿射线BC平移得到DEF，点M，N分别为AC，DF的中 点，点P是线段MN的中点，连接PA，PC当APC为直角三角形时，BE 4 或 8 【解答】解：当90APC时 90APC，M为AC中点 1 2 2 PMAMCM
27、AC 2PM ，点P是线段MN的中点 24MNPM 即ABC向左平移 4 4BE 当90ACP时 第 18 页（共 32 页） / /MNBF 60PMNACB 30MPC M为AC中点，4AC 2CM 在Rt MCP中，90MCP，30MPC 1 2 MCPM 24PMCM 点P是线段MN的中点 8MN 即ABC向左平移 4 故答案为：4 或 8 18 （3 分） 如图，点 1(2,2) A在直线yx上， 过点作 11/ / ABy轴交直线 1 2 yx于点 1 B，以点 1 A为直角顶点， 11 A B为直角边，在 11 A B的右侧作等腰直角 111 A BC，再过 1 C点作过点 22
28、/ / A By轴交直线yx和直线 1 2 yx 于 1 A， 1 B两点，再以点 2 A为直角顶点， 22 A B为直角边在 22 A B的右侧作等腰直角 222 A B C，按此规律 进行下去，则等腰直角 nnn A B C的边长 nn B C为 1 3 ( )2 2 n （用含正整数n的代数式表示） 第 19 页（共 32 页） 【解答】解：点 1(2,2) A在直线yx上， 点 1 B横坐标为 2，将2x 代入 1 2 yx得1y ， 点 1 B坐标为(2,1) 111 A BC为等腰直角三角形， 1111 211ABAC ， 点 1 C坐标为(3,2) 11 2BC 过 1 C点作过
29、点 22/ / A By轴， 2 A， 2 B的横坐标为 3，将3x 分别代入yx与 1 2 yx中得 2 A， 2 B的纵坐标分别为 3， 3 2 ， 即 2(3,3) A， 2 3 (3, ) 2 B， 22 3 2 A B ， 2222 3 22 2 B CA B 同理可得 2 33 3 ( )2 2 B C ， 3 44 3 ( )2 2 B C 1 3 ( )2 2 n nn B C 故答案为： 1 3 ( )2 2 n 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值： 2 524 (2)
30、 23 x x xxx ，其中 0 1 (1)| 2 x 第 20 页（共 32 页） 【解答】解：原式 (2)(2)5 2(2) 2(3) xxx xx x (3)(3) 2(2) 2(3) xxx xx x 26x x 0 111 (1)| 1 222 x ， 原式 1 26 26 2 14 1 2 x x 20 （12 分）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同 学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多 10 元，用 300 元购买A种奖品的件数与 用 240 元购买B种奖品的件数相同 （1）求A，B两种奖品的单价各是多少元；
31、（2）学校为获奖的 15 名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品） ，且购买的总费用不超过 700 元，求最多可以购买多少件A种奖品？ 【解答】解： （1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(10)x元， 依题意得： 300240 10 xx ， 解得：40 x ， 经检验，40 x 是原方程的解，且符合题意， 10401050 x 答：A种奖品的单价为 50 元，B种奖品的单价为 40 元 （2）设购买m件A种奖品，则购买(15)m件B种奖品， 依题意得：5040(15) 700mm， 解得：10m 答：最多可以购买 10 件A种奖品 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题
32、 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）随着中央电视台朗读者节目的播出， “朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计 划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查调 查结果整理后， 将这部分同学的态度划分为四个类别：A 积极参与；B 一定参与；C 可以参与；D 不 参与根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图 第 21 页（共 32 页） 学生参与“朗读”的态度统计表 类别 人数 所占百分比 A 18 a B 20 40% C m 16% D 4 8% 合计 b 100% 请你根据以上信息，解
33、答下列问题： （1）a 36% ，b （2）请求出m的值并将条形统计图补充完整 （3）该校有 1500 名学生，如果“不参与”的人数不超过 150 人时， “朗读”活动可以顺利开展，通过计算 分析这次活动能否顺利开展？ （4） “朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读 示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率 【解答】解： （1）100%8%16%40%36%a ， 1836%50b ； 故答案为36%，50； （2）50 16%8m ， 条形统计图为： 第 22 页（共 32 页） （3）15008%120（人)， 因为120150
34、， 所以这次活动能顺利开展； （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中所选两人都是女生的结果数为 2， 所以所选两人都是女生的概率 21 126 22 （12 分）如图，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆连接BO并延长交AC于点D，交O于 点E，过点A作BC的平行线交BO于点F （1）判断AF与O的位置关系，并证明； （2）若BCBD，求C的度数 【解答】解： （1）AF是O的切线， 证明：连接OA，OC， 在OAB与OAC中， OBOC ABAC OAOA ， ()OABOAC SSS ， OABOAC ， OABC， / /ODBC， OAAF， OA是半径， AF是O的
35、切线； 第 23 页（共 32 页） （2）设ABD，则2BAC， BCBD， 3BDCBCD ， ABAC， 3ABCACB ， 180BACABCACB， 233180， 22.5， 367.5， 67.5C 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23 （12 分）某种商品的进价为 40 元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品销售单价y（元/件）与 销售数量x（件)(x是正整数）之间的关系如表： x（件) 5 10 15 20 y（元件） 75 70 65 60 （1） 由题意知商品的最低销售单价是 50 元 当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数 求 出y与x
36、的函数关系式及x的取值范围； （2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 【解答】解： （1）40(125%)50（元)， 设ykxb， 根据题意得： 755 7010 kb kb ， 解得：1k ，80b ， 80yx ， 第 24 页（共 32 页） 根据题意得： 0 80 50 x x ，且x为正整数， 030 x ，x为正整数， 80(030yxx 剟，且x为正整数） ， 故答案为：50； （2）设所获利润为P元，根据题意得： 2 (40)(8040)(20)400Pyxxxx ， 即P是x的二次函数， 10a ， P有最大值， 当20 x 时，
37、400P 最大值 ，此时60y ， 当销售单价为 60 元时，所获利润最大，最大利润为 400 元 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在一块平整的土地上，有一矩形建筑物ABCD，20AB 米，31AD 米一个氢气球 在矩形建筑物前漂浮，某数学兴趣小组要测量该氢气球E的高度该兴趣小组可以从A，B，C三点观察 到氢气球E，利用精密测角仪器测得数据如表： 测量项目 测量数据 从点A处观测氢气球E的仰 角 45 从点B处观测氢气球E的仰 角 30 从点D处观测氢气球E的仰 角 64.8 请你根据现有的条件，充分利用建筑物，设计一个测量氢气球E到地面的高度的方案：
38、 要求如下： 数据尽可能少(3个条件正确求解得 12 分；4 个条件正确求解得 10 分；5 个条件正确求解得 8 分） ； 在所给图形上，画出你设计的测量平面图 （精确到 0.1 米） （参考数据：sin64.80.90 ，cos64.80.43 ，tan64.82.13 ，31.73) 第 25 页（共 32 页） 【解答】解：测量如图所示： 从点A处观测氢气球E的仰角为45， 从点D处观测氢气球E的仰角为64.8， 测得31AD 米 延长AB交EH于点F，则AFEH，垂足为F， 45EAF， 在Rt AEF中，EFFA， 在Rt EDH中， tantan64.8EHHDEDHHD， HD
39、AF，HFAD，HEEFHF， tan64.8HEEFADFA， tan64.831FAFA， 27.43FA（米)， 27.43EF（米)， 27.433158.4EH（米) 答：氢气球E的高度约为 58.4 米 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分分 第 26 页（共 32 页） 25 （12 分）如图，等腰Rt CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且ABCEEF，90CEF连 接AF与射线BE交于点G （1）如图 1，当点B、C、F三点共线时，则ABE FEM（填“” 、 “ ”或“” )，则AG FG（填“、 “”或“” )； （2）如图 2，当点B、C、F三点不共线时，求
40、证：AGGF； （3）若等腰Rt CEF从图 1 的位置绕点C顺时针旋转(090 )，当直线AB与直线EF相交构成的 4 个角中最小角为30时，直接写出的值 【解答】证明： （1）四边形ABCD是正方形，CEF是等腰直角三角形， ABBCCEFE，45ECFEFC ，90ABC， ABCEEFBC， 22.5CBECEB ， 67.5ABE，67.5FEMEBFBFE ， ABEFEM， 连接AC， 四边形ABCD是正方形，CEF是等腰直角三角形， 2ACAB，2CFCE，45ACB， ACCF， 22.5CAFAFC ， 67.5BAGABG ，22.5AFCGBF ， 第 27 页（共 3
41、2 页） AGBGGF， 故答案为：，； （2）过F作/ /FHAB交直线BE于H， ABGFHE ， ABBC，ABCE， BCCE， CBECEB ， 90ABCCEF ， 90ABECBE，1809090FEMCEB ， ABGFEH ， ABGFHE ， FHEFEH， EFFH， FHAB， 又AGBFGH ， ()AGBFGH AAS ， AGGF； （3）如图 3，当直线EF与直线AB的交于点A上方， 第 28 页（共 32 页） 360PPBCPECBCE， 150BCE， 15013515 ； 360PPBCPECBCE， 150BCE， 36015090120DCE ， 1
42、204575 ； 综上所述：的值为15或75 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 2 3yaxbx与x轴交于(3,0)A，( 1,0)B 两点，与y轴交于点C，抛物线的对 称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F 第 29 页（共 32 页） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，抛物线上是否存在点P，使得45PECACE？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）如图 2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使2 QBCQAC SS ，直接写出点Q的坐标 【解答】解： （1）抛物线 2 3yaxbx经过(3,0)A，(
43、 1,0)B 两点， 9330 30 ab ab ， 解得： 1 2 a b ， 2 23yxx； （2）抛物线交y轴于点(0,3)C，经过点(3,0)A， OCOA， 45ACO， 45OCEACE， 45PECACE ， OCEPEC ， 当射线EP在CE的右侧时， 点P与点D重合，即(1,4)P； 当射线EP在CE的左侧时， OCEPEC ， EMCM， 设OMm，则3CMEMm， 第 30 页（共 32 页） 在Rt OME中， 222 OMOEME， 222 1(3)mm， 4 3 m， 4 (0, ) 3 M， 直线EM的解析式为： 44 33 yx ， 2 23yxx， 2 44
44、 23 33 xxx ， 1 52 10 3 x （舍去） ， 2 52 10 3 x ， 当 52 10 3 x 时， 8 108 9 y ， 点P的坐标为： 1(1,4) P或 2 52 10 ( 3 P ， 8 108) 9 ， （3）当点 1 Q在x轴上方时，如图 2，延长 1 CQ交x轴于点N，过点A作 1 AMCQ于点M，过点B作 1 BPCQ于点P， 11 2 Q BCQ AC SS， 11 11 2 22 CQBPCQAM， 2BPAM， 1 AMCQ， 1 BPCQ， / /AMBP， NAMNBP， 1 2 NAAM NBBP ， 4NAAB， (7,0)N， 设直线CN的
45、解析式为ykxc， 把(0,3)C，(7,0)N代入，得： 3 70 c kc ， 第 31 页（共 32 页） 解得： 3 7 3 k c ， 直线CN的解析式为 3 3 7 yx ， 2 3 323 7 xxx ， 解得： 1 0 x （舍去） ， 2 17 7 x ， 当 17 7 x 时， 31796 3 7749 y ， 1 17 ( 7 Q， 96) 49 ， 当点 2 Q在x轴下方时， 如图 3， 连接 2 CQ交x轴于点N， 过点A作 2 AMCQ于点M， 过点B作 2 BPCQ 于点P， 22 2 QB CQ AC SS， 22 11 2 22 CQBPCQAM， 2BPAM， 2 AMCQ， 2 BPCQ， / /AMBP， NAMNBP， 1 2 NAAM NBBP ， 1 2 NANB， 4NANB， 4 3 NA， 5 (3N，0)， 直线CN的解析式为 9 3 5 yx ， 2 9 323 5 xxx ， 解得：0 x （舍去）或 19 5 x ， 当 19 5 x 时， 91996 3 5525 y ， 第 32 页（共 32 页） 2 19 ( 5 Q， 96) 25 ； 综上所述， 1 17 ( 7 Q， 96) 49 ， 2 19 ( 5 Q， 96) 25
